UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA - PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO - CURSO

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1 UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA - PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO - CURSO MATEMÁTICAS II Plan de Estudios del Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre (BOE de 6 de noviembre) Contenidos 1. Álgebra lineal: Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 2. Geometría: Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. 3. Análisis: Concepto de límite de una función. Cálculo de límites. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Problemas de optimización. Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas. Criterios de evaluación 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos y relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas. Este criterio pretende comprobar la destreza para utilizar el lenguaje matricial como herramienta algebraica, útil para expresar y resolver problemas relacionados con la organización de datos; especialmente, si son capaces de distinguir y aplicar, de forma adecuada al contexto, operaciones elemento a elemento, operaciones con filas y columnas, operaciones con submatrices y operaciones con la matriz como objeto algebraico con identidad propia. 2. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el espacio de tres dimensiones. 3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto. Este criterio pretende evaluar la capacidad de representar un problema en lenguaje algebraico o gráfico y resolverlo aplicando procedimientos adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de evaluar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente. 4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en forma explícita. Se pretende comprobar con este criterio que los alumnos son capaces de utilizar los conceptos básicos del análisis y que han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y los aplican adecuadamente al estudio de una función concreta. 1

2 5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización. Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. En concreto, se pretende comprobar la capacidad de extraer conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar valores que optimicen algún criterio establecido. 6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables. Este criterio pretende evaluar la capacidad para medir el área de una región plana mediante el cálculo integral, utilizando técnicas de integración inmediata, integración por partes y cambios de variables sencillos. 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse a situaciones nuevas procediendo a su observación, modelado, reflexión y argumentación adecuada, usando las destrezas matemáticas adquiridas. Tales situaciones no tienen que estar directamente relacionadas con contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidad para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en el que se hayan adquirido. Orden del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, de 1 de julio de 2008 (BOA de 17 de julio) Contenidos 1. Análisis Con ayuda de calculadoras y ordenadores se pueden plantear problemas del mundo físico que permitan acercar a los alumnos a la definición formal de límite. En el cálculo de límites hay que evitar que los estudiantes apliquen las técnicas de forma mecánica, sin mantener el control de la finalidad de la tarea. En el estudio de las propiedades de las funciones, el acento hay que ponerlo tanto en las manipulaciones simbólicas como en su interpretación gráfica y en su significado dentro del contexto de los problemas científicos o de la vida real. Aunque las calculadoras gráficas y los ordenadores facilitan la tarea de representar funciones, el tradicional trabajo con "lápiz y papel" ofrece una excelente oportunidad para que los alumnos conecten distintos conceptos sobre funciones; los medios tecnológicos pueden ser útiles cuando el énfasis resida en la interpretación de situaciones reales a partir de su representación gráfica. Límites. Sucesiones. Límite de una función en un punto: idea intuitiva. Límites laterales. Límites infinitos y límites en el infinito. Cálculo de límites: indeterminaciones. Límites asociados al número e. Noción de continuidad de una función en un punto: relación entre la continuidad y los límites. Interpretación gráfica. Estudio de la continuidad de funciones: determinación y clasificación de las discontinuidades. Propiedades de las funciones continuas. Derivadas. Derivada de una función en un punto. Relación entre la derivabilidad y la continuidad. Interpretación gráfica de la derivabilidad. Interpretación en el mundo de la ciencia del concepto de derivada de una función en un punto. Obtención de la recta tangente a una curva en un punto. Estudio de la derivabilidad de funciones. Cálculo de derivadas. Derivadas sucesivas. Crecimiento y decrecimiento: extremos. Aplicación a problemas de optimización. Algunas propiedades de las funciones derivables: el teorema del valor medio. Concavidad y convexidad: puntos de inflexión. Estudio de las propiedades locales y globales de una función sencilla para realizar su representación gráfica. Utilización de programas de representación de funciones para el estudio de sus propiedades y la interpretación de los resultados obtenidos en la resolución de los problemas planteados. Integrales. El problema del área: aproximación intuitiva a la integral. Definición de integral definida de una función continua. La función área. Noción de primitiva. El teorema fundamental del cálculo integral. La regla de Barrow. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas, por cambio de variable, por partes o racionales sencillas. Integrales definidas. Cálculo de áreas de regiones planas. 2. Álgebra lineal El objetivo de este bloque es completar el aprendizaje de las técnicas de resolución de ecuaciones algebraicas. Las matrices constituyen un excelente recurso para representar los aspectos esenciales de algunos problemas de forma económica. La aplicación de las leyes del cálculo matricial y los determinantes permite discutir previamente la existencia de la solución del problema, así como formular métodos generales de resolución. 2

3 El estudio de las operaciones con matrices abre otra perspectiva en el estudio del Álgebra: en ella la demostración de nuevos resultados de los objetos que se están estudiando depende tan sólo de las propiedades básicas de las operaciones entre ellos conmutatividad, existencia de inverso, y no de su naturaleza intrínseca. Matrices. Matrices de números reales. Tipos de matrices. Operaciones con matrices: transposición, suma, producto por escalares, producto. Aplicación de las operaciones de matrices y de sus propiedades para manejar y operar con datos estructurados en tablas provenientes de problemas extraídos de contextos reales. La matriz inversa: obtención por el método de Gauss. Rango de una matriz: obtención por el método de Gauss. Sistemas de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales. Solución de un sistema. Sistemas equivalentes. Representación matricial de un sistema. Discusión y resolución de un sistema lineal por el método de Gauss. Traducción al lenguaje algebraico de problemas reales que puedan resolverse con sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas homogéneos. El teorema de Rouché Frobenius. Discusión y resolución de sistemas dependientes de un parámetro. Determinantes. Definición inductiva de los determinantes. La regla de Sarrus. Propiedades elementales de los determinantes. Aplicación de las propiedades al cálculo de determinantes. Utilización de los determinantes para calcular el rango de una matriz. Cálculo de la matriz inversa con determinantes. Utilización de los determinantes en la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales: la regla de Cramer. 3. Geometría Los vectores tienen una gran importancia por sus aplicaciones científicas y también por ser un potente instrumento que permite describir los diferentes elementos geométricos con sencillez. Con ellos es posible establecer los resultados geométricos con gran concisión y elegancia, gracias a la interpretación del significado de los distintos productos. En la geometría analítica del espacio son más difíciles las representaciones que en la del plano, pero hay que acostumbrar al alumno a comenzar con razonamientos espaciales, que pueden basarse en representaciones esquemáticas de la situación, para después traducirlas al lenguaje algebraico y, una vez se ha alcanzado la solución, interpretarlas en el contexto geométrico. Vectores. Vectores en el espacio tridimensional. Dependencia e independencia lineal. Bases. Producto escalar: definición e interpretación. Ángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. Producto vectorial: definición e interpretación geométrica. Producto mixto: definición e interpretación geométrica. Aplicación de los productos escalar, vectorial y mixto al cálculo de áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes. Geometría analítica del espacio. Sistemas de referencia. Ecuaciones vectoriales de la recta y el plano. Deducción de otras formas de la ecuación de la recta y el plano a partir de las ecuaciones vectoriales. Posiciones relativas de rectas y planos. Haces de planos. Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Distancia. Distancia entre puntos, rectas y planos. Ángulos entre rectas y planos. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. Criterios de evaluación 1. Comprender los conceptos básicos y utilizar la terminología adecuada del análisis para encontrar e interpretar características de las funciones expresadas de forma explícita. Se pretende comprobar que los alumnos han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y utilizan correctamente el concepto de continuidad, los límites laterales, el límite funcional y el concepto de derivada para analizar las características de continuidad y derivabilidad de funciones sencillas (definidas a trozos, elementales...). Este conocimiento de los conceptos y propiedades de las funciones lo han de aplicar para analizar, interpretar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y sociales. 2. Usar las destrezas más habituales para el cálculo de límites, derivadas e integrales. Se pretende averiguar si los alumnos han desarrollado la destreza en el uso de las técnicas más usuales del cálculo de límites. Asimismo, se desea averiguar que conocen las principales reglas de derivación y que saben aplicarlas en situaciones en las que hay que combinar algunas de ellas, como en la derivación de funciones compuestas. También deben conocer las integrales inmediatas y la aplicación de los métodos básicos de integración. 3. Extraer información, a partir del estudio de las propiedades locales y globales, que permita esbozar las gráficas de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Con este criterio se pretende averiguar si los alumnos son capaces de recoger información local y global sobre funciones sencillas, expresadas de forma explícita, usando los diferentes conceptos y propiedades del análisis matemático; de analizarlas tanto cuantitativa como cualitativamente, y de producir como resultado sus representaciones gráficas, en las que quede recogida de forma coherente toda la información obtenida en el estudio. 4. Utilizar los conceptos y técnicas de límites y derivadas para estudiar fenómenos sociales, naturales y tecnológicos. 3

4 Se trata de saber si los estudiantes son capaces de identificar, en el ámbito natural, geométrico o físico, situaciones a las que aplicar resultados del análisis matemático, e interpretar los resultados en el contexto de la situación analizada. También se evaluará la capacidad de los alumnos para definir la función que debe ser optimizada y aplicar el cálculo de derivadas para estudiarla y obtener los valores óptimos. 5. Calcular áreas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas fácilmente representables, y aplicar este cálculo a situaciones de la naturaleza o la tecnología. Este criterio pretende evaluar la capacidad para aplicar algunas técnicas sencillas de búsqueda de primitivas: integración inmediata, por partes, descomposición en fracciones elementales y cambios de variables sencillos. También se trata de valorar si el alumnado comprende el significado de la integral definida y la relaciona con el cálculo de primitivas. Con este criterio se desea averiguar si los alumnos son capaces de aplicar el cálculo de primitivas de funciones sencillas al cálculo de áreas, analizando la gráfica correspondiente a cada situación y tomando las decisiones que correspondan para una correcta delimitación del recinto objeto del estudio. También se valorará que sepan identificar, en contextos del mundo físico o tecnológico, situaciones problemáticas que sean susceptibles de resolverse usando el cálculo integral. 6. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como herramienta útil para representar e interpretar situaciones diversas y para resolver problemas relacionados con la organización de datos, sistemas de ecuaciones y la geometría analítica. Este criterio pretende comprobar que los alumnos utilizan correctamente la notación matricial para representar datos, relaciones y sistemas de ecuaciones. Asimismo, que son capaces de usar las operaciones con matrices y determinantes para analizar las situaciones representadas y que valoran la sencillez que supone esta notación. 7. Utilizar diversos procedimientos del álgebra matricial o de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se trata de averiguar si los alumnos son capaces de clasificar un sistema de ecuaciones (con un máximo de tres incógnitas) de acuerdo con el tipo de sus soluciones y resolverlo cuando esto sea posible. También se pretende conocer si saben discutir sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro, resolviéndolos en función de éste cuando sea posible. Los estudiantes deben demostrar que conocen tanto el método de Gauss como la regla de Cramer o el uso de la matriz inversa para resolver los sistemas, y que saben elegir el más conveniente para cada problema. 8. Utilizar el lenguaje vectorial y las operaciones con vectores como herramienta útil para representar e interpretar situaciones diversas y problemas relacionados con la geometría, la física y demás ciencias. Se trata de que los alumnos sepan transcribir situaciones de las ciencias de la naturaleza, la tecnología, la física y la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones, así como utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas dando una interpretación de las soluciones. Los estudiantes deberán describir correctamente, con un razonamiento lógico, el proceso seguido en la resolución de los problemas planteados, ayudándose de una representación gráfica de la situación propuesta. 9. Utilizar las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio y las propiedades de las operaciones con vectores para resolver problemas afines o métricos. En este criterio se trata de comprobar que los alumnos saben interpretar y obtener las distintas ecuaciones de la recta y el plano en el espacio y utilizarlas en la resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Además, deben poder emplearlas, junto con los distintos productos entre vectores, para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes. 10. Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos e interpretar las soluciones de acuerdo con el enunciado. Se trata de averiguar si los alumnos son capaces de expresar problemas de diferentes contextos en lenguaje algebraico, aplicar para su resolución las técnicas adecuadas e interpretar los resultados obtenidos en el contexto en el que se enunció el problema. 11. Utilizar los recursos tecnológicos tanto para la obtención de la información necesaria como para la realización de cálculos y representaciones gráficas, como en el proceso de resolución de problemas o de exposición de conclusiones. Se pretende con ello observar la capacidad del alumnado para utilizar las nuevas tecnologías y el software matemático específico (hoja de cálculo, sistemas de representación de objetos matemáticos, de álgebra computacional y de geometría dinámica) para abordar situaciones problemáticas planteadas que precisen, por un lado, la búsqueda de datos de forma selectiva, interpretándolos y analizándolos con rigor, y por otro, la realización de cálculos. 4

5 También se trata de averiguar si es capaz de usar dichos medios para presentar resultados y gráficos de forma atractiva y clara 12. Realizar razonamientos matemáticos, tanto inductivos como deductivos, para justificar algunos resultados. Se pretende evaluar la capacidad de los alumnos para seguir una cadena de argumentos justificando las relaciones entre los distintos pasos. También se pretende que los alumnos muestren su capacidad para generalizar un resultado numérico o geométrico, a partir del estudio de una serie de casos particulares, y dar un razonamiento lógico para justificarlo en todos los casos. 13. Realizar investigaciones que demanden la utilización combinada de diferentes herramientas, métodos y estrategias. Se valorará la capacidad del alumno para afrontar investigaciones o problemas abiertos, de diferentes contextos, que exijan la observación de situaciones particulares, la concreción de su modelo matemático más adecuado, la búsqueda de las soluciones y el análisis de la pertinencia de los resultados encontrados. También la capacidad de los alumnos para integrar los conocimientos y destrezas característicos de distintos campos matemáticos. Asimismo, se evaluará la capacidad de los alumnos para elaborar y exponer los argumentos utilizados para dar validez a su trabajo, la pertinencia del lenguaje matemático empleado y su correcta utilización y la pertinencia de las estrategias utilizadas. 14. Abordar las tareas propuestas con interés y curiosidad y exponer los procesos de forma clara y ordenada, verificando la validez de las soluciones. Se valorará que los alumnos sean capaces de afrontar situaciones problemáticas con curiosidad e interés en su resolución, presentando los procesos realizados de forma ordenada y teniendo en cuenta tanto los procedimientos utilizados como los resultados obtenidos. ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS EJERCICIOS QUE INTEGRAN LA PRUEBA Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN ELABORADOS POR LOS PROFESORES ARMONIZADORES DE LAS MATERIAS DEL 2º CURSO DE BACHILLERATO ESTRUCTURA DEL EJERCICIO El examen constará de dos opciones, A y B, de las que el alumno deberá responder únicamente a una, a su elección. Cada una de las opciones tendrá tres partes o ejercicios y cada parte podrá tener uno o varios apartados. En cada apartado se indicará la puntuación del mismo. La suma de todas las puntuaciones será de 10 puntos distribuidos del siguiente modo: Álgebra Lineal 3 puntos, Geometría 2 puntos y Análisis 5 puntos. CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN Cada uno de los ejercicios tendrá una duración de hora y media y se calificará de 0 a 10 con dos cifras decimales. En las preguntas se concederá especial importancia a la claridad de conceptos reflejados en el razonamiento utilizado y al planteamiento y la clara explicación del proceso seguido en la resolución. Los errores en operaciones no tendrán especial importancia a no ser que reflejen graves fallos en los conceptos empleados. Se podrán usar calculadoras. Se exigirá que todos los resultados analíticos y gráficos estén paso a paso justificados. (Utilización de fórmulas, obtención de gráficas, cálculo de integrales y de derivadas). Se valorará el buen uso de la lengua y la adecuada notación científica, que los correctores podrán bonificar con un máximo de un punto. Por los errores ortográficos, la falta de limpieza en la presentación y la redacción defectuosa podrá bajarse la calificación hasta un punto. 5