Problemas Resueltos de Física 2. Alumno. Titular: Ing. Daniel Omar Valdivia Adjunto: Lic. Auliel María Inés

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1 Problemas Resueltos de Física 2 Alumno Titular: Ing. Daniel Omar Valdivia Adjunto: Lic. Auliel María Inés 25 de Abril de 2013

2 Índice general 1. Movimientos Periódicos Superposición de Movimientos Periódicos Vibraciones libres de los sistemas físicos Vibraciones forzadas y amortiguadas Osciladores Acoplados y modos normales 4 4. Ondas longitudinales en una barra 5 5. Ondas de presión o sonoras 6 6. Ondas transversales en una cuerda 7 7. Desarrollo de los problemas 8 8. Conclusiones 18 A. Anexo 1 19 Bibliografía 20 i

3 Resumen En este trabajo proponemos estudiar y analizar en forma analítica los problemas que se enuncian en la guía de trabajos prácticos de Movimiento Ondulatorio de la cátedra de Física 2, correspondiente a la carrera de Ingeniería de Sonido. El informe cuenta de un desarrollo teórico correspondiente a los conceptos teóricos de la materia y análisis de los resultados obtenidos en cada problema. Además se incluye las conclusiones de cada uno de los temas de la guía de trabajos prácticos.

4 Capítulo 1 Movimientos Periódicos Insertemos una referencia bibliográfica al libro [1]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [2]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [3]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [4]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [5]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [6]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [7]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [8]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [9]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [10] Superposición de Movimientos Periódicos 2

5 Capítulo 2 Vibraciones libres de los sistemas físicos 2.1. Vibraciones forzadas y amortiguadas 3

6 Capítulo 3 Osciladores Acoplados y modos normales 4

7 Capítulo 4 Ondas longitudinales en una barra 5

8 Capítulo 5 Ondas de presión o sonoras 6

9 Capítulo 6 Ondas transversales en una cuerda 7

10 Capítulo 7 Desarrollo de los problemas Enunciado Problema 1 Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Para t = 0, la masa esta en la posición de equilibrio (x = 0). 1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la forma x = Acos(wt+α), dando lo valores numéricos de A, w y α. 2. Determinar los valores de x, dx dt y dx2 dt 2 para t= 8 3 seg. Resultados obtenidos: 1) A = 5 cm, w = 2π rad seg, α = ±π/2. 2)x = cm, dx dt cm = 5π seg y dx2 dt 2 = 10π2 3 cm seg 2 Enunciado Problema 2 Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm seg. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t = 0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un Ángulo de 30o con el eje x. 1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la forma x = Acos(wt+α), dando lo valores numéricos de A, w y α. 2. Determinar los valores de x, dx dt y dx2 dt π Resultados obtenidos: 1) A = 150 π cm, dx dt cm = 25 seg y dx2 dt 2 = 25π 3 cm seg 2 8 para t=2 seg. cm, w = π/3 rad seg, α = π/6. 2)x =

11 7. Desarrollo de los problemas 9 Enunciado Problema 3 La ecuación de una cierta onda es: A (x, t) = 10sin (2π (2x 100t)) donde x se mide en metros y t se mide en seg. Hallar la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación. Dibujar la onda mostrando estos parámetros. Resultados obtenidos:10m,0.5m, 100Hz, 50 m seg. Enunciado Problema 4 Una partícula esta sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y en la dirección x. Si las amplitudes son 0,25, 0,20 y 0,15 mm, respectivamente, y la diferencia de fase entre el primero y el segundo es de 45 o, y entre el segundo y tercero es 30 o, hallar la amplitud de desplazamiento resultante y su fase respecto al primer componente (el de amplitud 0,25 mm). Resultados obtenidos:a = 0, 51mm, fase = 33, 4 o. Enunciado Problema 5 Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descriptas por las ecuaciones: y 1 = A cos (10πt) y 2 = A cos (12πt) Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante un periodo de pulsación. Resultados obtenidos: 2 seg. Enunciado Problema 6 Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes vibraciones: 1. sin (2πt ) + cos (2πt) 2. sin (12πt) + cos (13πt π/4) 3. sin (3t) cos (πt)

12 10 Resultados obtenidos: 1)1 Hz. 2)6, 25 Hz. 3)0, 48Hz. Enunciado Problema 7 Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Para t = 0, el desplazamiento era de 43, 785 cm y la aceleración era de 1, 7514 cm seg. Cual 2 es la constante del muelle? Resultados obtenidos: 0, 04 g seg 2. Enunciado Problema 8 Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k. 1. Cual es el periodo de las oscilaciones del sistema? 2. Cual seria el periodo si la masa m se colgase de modo que: a) Estuviese sujeta a dos muelles idénticos situados uno junto al otro? b) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos conectados uno a continuación del otro? Resultados obtenidos: 1) T 0 = 2π m k T0 2) a) 2 b) 2T 0. Enunciado Problema 9 Una varilla uniforme de longitud L se sujeta por un clavo a un poste de modo que dos tercios de su longitud estén por debajo del clavo. Cual es el periodo de las oscilaciones pequeñas de la varilla? Resp: T 0 = 2π 2L 3g. Enunciado Problema 10 Un objeto de 0,5 Kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de 2 m de longitud y 0,5 mm de diámetro (modulo de Young = N m 2 ). Cual

13 7. Desarrollo de los problemas 11 es el alargamiento del alambre?. Luego se levanta el objeto una distancia h, de modo que el alambre deja de estar tirante, y después se deja caer de modo que el alambre recibe un tirón súbito. La carga de la rotura es de 1, N m 2. Cual es el valor posible de h que resiste el alambre sin romperse? Resultados obtenidos: 0, 25mm. Enunciado Problema 11 Una varilla metálica de 0,5 m de larga tiene una sección recta rectangular de 2 mm 2 de área. 1. Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 Kg en su extremo inferior, se produce un alargamiento de 0,25 mm. Cual es el modulo de Young ( N m 2 ) del material de la varilla? 2. Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, como se muestra en la figure, y en su parte superior se aplica una fuerza F en la dirección y, como esta indicado (paralela a la arista de longitud b). El resultado es una flexión elástica dado por y = 4L3 F Y ab3. Si se suprime la fuerza F y se sujeta a la parte superior de la varilla una masa m, mucho mayor que la masa de la varilla, Cual es el cociente de las frecuencias de vibración en las direcciones y y x (es decir, paralelas a las aristas de longitud b y a? Resultados obtenidos: 1) γ = N m 2. 2) b/a. Enunciado Problema 12 Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una sección cuadrada de 10 mm de lado se somete a una fuerza de tracción de N y experimenta un alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que el comportamiento de la barra es

14 12 totalmente elástico, calcular el modulo de elasticidad del aluminio. Resultados obtenidos: γ = 7, N m 2. Enunciado Problema 13 Estimar la velocidad de propagación de las ondas elásticas en una barra de acero. Resultados obtenidos: 5, m seg. Enunciado Problema 14 Calcular observando la figura el modulo de Young, siendo 400 mm la longitud inicial de la barra y su área 25 mm 2. Calcular la longitud de la barra cuando la fuerza es 115 N y la fuerza para la cual se produce la rotura de la barra. Estiramiento unitario Tensión Punto P pa Punto E pa Punto R pa Resultados obtenidos: γ = Pa, l = 400, 0092 mm, F = 6,5kN. Enunciado Problema 15 Comprobar que x = A exp αt cos(wt) es una posible solución de la ecuación: Hallar α y w en función de γ y w 0. dx 2 dt 2 + γ dx dt + w2 0x = 0 Resultados obtenidos: γ = 2α, w 2 0 = w 2 + α 2. Enunciado Problema 16 Se cuelga un objeto de masa 0,2 Kg de un muelle cuya constante es de 80 N m. Se

15 7. Desarrollo de los problemas 13 somete el objeto a una fuerza resistente dada por bv, siendo v su velocidad en. Plantear la ecuación diferencial del movimiento en el caso de oscilaciones m seg libres del sistema. Si la frecuencia de amortiguamiento es de 3 2 de la frecuencia sin amortiguamiento. Cual es el valor de la constante b? Resultados obtenidos: 3,46 Kg seg. Enunciado Problema 17 Si en el problema 16, b es igual a 4 N.seg m y se somete a una fuerza impulsora dada por F (t) = F 0 sin(wt), siendo F 0 = 2N y w = 30 1 seg, en el estado estacionario, determinar la amplitud de la oscilación forzada. Resultados obtenidos: 1, 28 cm. Enunciado Problema 18 Consideramos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscilaciones forzadas con frecuencia angular w. 1. Determinar la energía cinética instantánea del sistema. 2. Determinar la energía potencial instantánea del sistema. 3. Determinar el cociente entre la energía cinética media y la energía potencial media. Cual es la energía total del sistema en estas condiciones? 4. Para que valores de w son iguales las energías media potencial y cinética? Resultados obtenidos: 1) 0,5mw 2 A 2 (sen(wt + δ)) 2 donde A = 2) 0,5kA 2 (cos(wt + δ)) 2. 3) w2. w0 2 4) w = w 0. F 2 0 m 2 ((w 2 0 w2 ) 2 +( b m w)2 ), tan δ = bw m(w 2 0 w2 ). Enunciado Problema 19 Un oscilador amortiguado forzado de masa m tiene un desplazamiento variable con tiempo dado por x = Asin(wt). La fuerza resistente es bv. A partir de esta información calcular cuanto trabajo se realiza contra la fuerza resistente durante un ciclo de oscilación. Resultados obtenidos: ba2 w 2 T 2. Enunciado Problema 20 Consideramos un oscilador amortiguado de masa 0,2 Kg, b = 4 N.seg m y k = 80 N m.

16 14 Si la fuerza impulsora es F = F 0 cos(wt) siendo F 0 = 2N y w = 30 1 seg. Determinar los valores de A y δ de la respuesta descripta por x = Acos(wt δ). Resultados obtenidos: A = 1, 28 cm, δ = 130 o. Enunciado Problema 21 Se acoplan dos osciladores idénticos sin amortiguar A y B, de masa m y constantes k b y k a, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante k c. Hallar las frecuencias normales w y w y describir los modos normales de oscilación si k 2 c = k a.k b. Resultados obtenidos: w 1 = k a+k b +k c k m, w 2 = c m. Enunciado Problema 22 Se conectan dos objetos A y B, cada uno de ellos a una masa m, mediante muelles, según se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante K c y los otros dos una constante igual a K 0. Si se sujeta B, A vibra a una frecuencia de 1,81 1 seg. La frecuencia ν 1 del modo normal inferior es 1,14 1 seg. Encontrar las ecuaciones de movimiento para A y B. Determinar las frecuencias w 1 y w 2 de los modos normales. Cuando B esta sujeto, calcular la frecuencia angular de A. Resultados obtenidos: w 1 = 2k c m + w2 0, w k 2 = w 0, w a = c m + w2 0. Enunciado Problema 23 Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 Kg de masa se somete a una tension de 10 N. Â Cual es la frecuencia de su modo fundamental? Resultados obtenidos: 10 Hz. Enunciado Problema 24 Una cuerda de longitud L y masa total M se estira mediante una tension T. Cuales son las frecuencias de los tres modos normales inferiores de oscilación de la cuerda cuando estas son transversales?

17 7. Desarrollo de los problemas 15 Resultados obtenidos:w n = nπ T LM. Enunciado Problema 25 Una cuerda estirada de masa m, longitud l y tension T se ve impulsada por dos fuentes una en cada extremo. Ambas fuentes tienen la misma frecuencia ν y una amplitud A pero están desfasadas 180 o entre si. Determinar el valor mas pequeño posible de w consistente con las vibraciones estacionarias de una cuerda. T Resultados obtenidos: ν = π ml. Enunciado Problema 26 Se sujeta una varilla uniforme en el centro dejando ambos extremos libres. Calcular las frecuencias naturales de la varilla en la vibración longitudinal. Calcular la longitud de onda y la cantidad de nodos en el modo n. Resultados obtenidos: 2L n 1/2. Enunciado Problema 27 Calcular la energía total de vibración de una cuerda de longitud L fija en los extremos, que oscila en el modo n con una amplitud A. La tensión de la cuerda es T y la masa es M. Resultados obtenidos: T A2 n 2 π 2 sen 2 (wt) 4L. Enunciado Problema 28 Una cuerda de 4 m de longitud se fija por sus extremos y se le hace vibrar. La rapidez de las ondas sobre la cuerda es de 20 m/s. Hallar la frecuencia del armónico fundamental. Resultados obtenidos: 2, 5 Hz. Enunciado Problema 29 La longitud de la cuerda de una guitarra es 60 cm y vibra a 245 Hz, en su modo fundamental. (a) Â Cual es la rapidez de las ondas transversales sobre la cuerda? (b) Si la densidad lineal es de kg/m, Cual es la tensión? Resultados obtenidos:a) 294 m seg, b) 86, 6N.

18 16 Enunciado Problema 30 Una cuerda con una densidad de masa kg/m se encuentra sometida a una tension de 360 N y esta fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz. La siguiente frecuencia mas alta es 450 Hz. Cual es la frecuencia de resonancia fundamental? Resultados obtenidos:75 Hz. Enunciado Problema 31 Comprobar que las siguientes expresiones son equivalentes: 1. y = A sin( 2π(x vt) λ ) 2. y = A sin(2π(kx νt)) 3. y = A sin(2π(( x λ ) ( t T ))) 4. y = A (sinw(t x v )) 5. y = A Im(exp(2πj(kx νt))) Enunciado Problema 32 La ecuación de onda transversal que se mueve a los largo de una cuerda viene dada por: y = 0,3 sin(π(0,5x 50t)) en donde y y x están en cm y t en seg. Hallar la amplitud, la longitud de onda, el numero de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de la onda. Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier partícula en la cuerda. Resultados obtenidos: 0, 3m, 4m, π/2 1 m 15π m seg., 25 Hz, 0, 04 seg, 100 m seg, v max = Enunciado Problema 33 Una onda de frecuencia 20 1 m seg tiene una velocidad de 80 seg. 1. Determinar la distancia a la que están dos puntos cuyos desplazamientos están separados 30 o en fase. 2. En un punto dado, cual es la diferencia de fase entre dos desplazamientos que se producen en tiempos separados 0,01 seg? Resultados obtenidos: 1) 0, 33m, 2) 72 o.

19 7. Desarrollo de los problemas 17 Enunciado Problema 34 Se observa que un pulso necesita 0,1 seg para recorrer de un extremo a otro una cuerda larga. La tension de la cuerda se obtiene haciéndola pasar sobre una polea y colgando un peso que tiene 100 veces la masa de la misma. Determinar la longitud de la cuerda. Determinar la ecuación del tercer modo normal. Resultados obtenidos: 10m. y = Asen( 3πx 10 ) cos(30πt). Enunciado Problema 35 Se superponen en un medio dos ondas de la siguiente forma: y 1 = A sin(5x 10t) y 2 = A sin(4x 9t) Escribir la ecuación para la perturbación combinada. Resultados obtenidos: 2A cos(π( π 2 x π 2 t))sen(π( π 2 x π 2 t)).

20 Capítulo 8 Conclusiones En el presente trabajo hemos analizado mediante los diferentes problemas resueltos los conceptos de movimiento ondulatorio periódicos, con amortiguamiento y rozamiento. También se estudiaron los sistemas acoplados y modos normales de varios resortes. También se estudio ondas longitudinales en una barra y ondas transversales en una cuerda. 18

21 Apéndice A Anexo 1 19

22 20 10

23 Bibliografía [1] Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Campos y Ondas. Física Vol 2, [2] Adkins. C. Termodinámica del equilibrio. Reverté, [3] H.C Abbott, M.M y Vanness. Termodinámica. 2a. edición. McGraw-Hill., [4] Callen H.B. Thermodynamics. Wiley y Sons., [5] F. Reif. Physics course. Berkeley, [6] C. Thellier, M. y Ripoll. Bases Thermodynamiques de la Biologie Cellulaire. Masson, [7] M. Zemansky y R. Dittman. Calor y Termodinamica. McGraw-Hill, [8] E. Fermi. Termodinámica. EUDEBA, [9] Manuel Recuero Lopez. Ingeniería Acústica. Mc Graw Hill, [10] A. P. French. Vibraciones y Ondas. Vol 2. MIT,