Capítulo2: Conductores

Transcripción

1 Capítulo2: Conductoes 2.1. Las cagas elécticas y las fuezas asociadas. Ley de Coulomb upeficies equipotenciales Los conductoes y el pincipio de supeposisción jemplos sfea maciza metalica cagada Placa maciza metálica cagada Placa maciza en un campo eléctico unifome Dos placas macizas metálicas paalelas cagadas Cáscaa esféica conductoa cagada Cáscaa esféica cagada con una caga en el cento Dos cáscaa esféicas metálicas cagadas Cáscaa cilíndica conductoa cagada Dos cáscaas cilíndicas conductoas cagadas Puntas agudas en conductoes 1 1

2 Capítulo II: Conductoes Hasta ahoa estudiamos los campos elécticos ceados po distibuciones de caga en la nada. No había medio mateial y supusimos que las cagas estaban pegadas ( vaya a sabe cómo!!) fomando distibuciones discetas o continuas (lineales, supeficiales o voluméticas). hoa vamos a descibi lo que ocue cuando tenemos un tipo de mateial (que llamaemos mateial conducto) sometido a campos elécticos ceados po cagas o distibuciones de ellas, o cuando las cagas se intoducen (po algún mecanismo) en cuepos conductoes. Patimos del siguiente esultado expeimental: nunca se pudo medi en una situación electostática un campo eléctico dento de un conducto. s deci, si po ejemplo se coloca un cuepo conducto (llamado el conducto ) en un campo eléctico unifome, se obtiene que el campo se defoma peo de tal manea que esulta nulo dento del conducto (Figua 1) ext Fig. 1-a) muesta donde es colocado el conducto y dibujo de líneas de campo como si el objeto no tuviea caacteísticas elécticas, b) cómo se edistibuyen las cagas en el mismo, c) dibujo de las líneas de campo defomadas Veamos que el modelo de electón libe esulta adecuado paa descibi este compotamiento. i en las moléculas de un conducto existen uno o más electones libes de movese, el campo eléctico exteno haá que estos se muevan y eacomoden en una configuación tal que el campo dento del conducto esulte nulo. i quedaa algún campo eléctico inteno, este haía que los electones se moviean hasta que se llegaa al equilibio. Como consecuencia, podemos deci que los conductoes no tienen campo estático inteno. l movimiento de cagas en espuesta a campos elécticos aplicados se lo llama Inducción léctica (más adelante veemos oto tipo de Inducción llamada lectomagnética). n la Fig. 1 vemos que algunos 2

3 electones se mueven hacia la izquieda, dejando una deficiencia de ellos a la deecha. sí, con este modelo de electón libe podemos pensa que esta disposición de cagas positivas y negativas cea dento del conducto un campo tal que = =. Peo... valdá le Ley de Gauss en int C int ext medios conductoes? xiste alguna distibución de las cagas dento del conducto que haga válida la Ley de Gauss? Veamos: paa cualquie supeficie ceada dento del conducto Φ= ds= c (1) s pues el campo es nulo en el inteio. n consecuencia, si consideamos que los electones viajaon hacia la izquieda dejando con exceso de caga positiva a las moléculas de la deecha y todas están ubicadas en la supeficie extena del conducto, tendemos que la caga enceada en cualquie supeficie intena es nula. Po lo tanto, al considea que las cagas se distibuyen en la supeficie, la Ley de Gauss seá válida también en medios mateiales conductoes. (Taten de pensa si existe alguna ota distibución de cagas que pudiea cumpli con la condición expeimental de campo nulo dento de un conducto en condiciones electostáticas y con la Ley de Gauss al mismo tiempo). Tomaemos al esultado expeimental de no pode medi (y po lo tanto, enconta) campos elécticos en conductoes en situaciones electostáticas como una ley expeimental. sta expeiencia tansfomada en ley y el consecuente modelo de electón libe, nos daá una descipción del compotamiento de cagas en conductoes cuando hay cagas dento o fuea de ellos. ntonces, sabemos que: 1) C = en condiciones electostáticas 2) Los electones tienen libetad de movese dento de un conducto. 3) stas dos condiciones son compatibles con la Ley de Gauss postulando que las cagas se distibuyen en la supeficie extena del conducto (Fig.2). Veamos qué ocue cuando se agega una caga Q (po un mecanismo que no estudiamos en este momento) a un conducto oiginalmente neuto. Independientemente de la foma del conducto, paa que se cumplan 1), 2) y 3) el exceso Fig.2. Distibución de de caga al llega al equilibio debe esta distibuida sobe la cagas en un conducto supeficie extena. Y esto seá independiente también de que la caga sea positiva o negativa. 3

4 Todo lo que dijimos hasta ahoa lo aplicamos a conductoes macizos. Qué ocue si hacemos las mismas expeiencias peo con conductoes con una bubuja de vacío? upongamos pimeo que tenemos un conducto con una bubuja y se le agega una caga Q (no habiendo cagas dento de la bubuja) (Figua 3). Cómo se 1 i aplicamos la Ley de Gauss a cualquie supeficie distibuye Q? con una bubuja en su inteio Fig.3. Conducto ceada 1 que incluya a toda la bubuja (Fig.4), el flujo Φ a tavés de 1 seá nulo poque el campo eléctico es nulo ( 1 está dento del conducto). n consecuencia, la caga neta enceada en 1 seá nula. n este caso, la Ley de Gauss nos asegua que la caga neta es nula peo no nos asegua que no haya una distibución de cagas sobe la supeficie de la bubuja (aunque la caga neta sea nula). Po ejemplo, que haya un exceso de cagas positivas en un lado y negativas en oto de foma tal que el campo no sea nulo en la bubuja. i tomamos una supeficie que limite un volumen que en pate incluye al conducto y en pate a la bubuja (Fig.5) Φ = Q c. d s = c. d s c. d s = = c s deci, aunque tomemos muchas supeficies difeentes, no sabemos cuánto vale la caga enceada en ninguno de los casos y tampoco el campo. Veamos po qué NO es posible que el campo sea distinto de ceo dento de la bubuja en este caso. Debemos pensa en la ota Ley, la - que efleja que los campos electostáticos son consevativos: x = en foma difeencial o. d = - 1 en foma cuva l integal Tomemos una cuva L lo más genéica posible: un enc Fig.4. Cómo se edistibuye la caga en el inteio? - -????? 1 Fig.5. Cuál debo considea como distibución acetada?????? Fig.6. Ciculación geneal, con un tamo en el conducto y oto en la bubuja (2) 4

5 tamo estaá en el conducto y oto en la bubuja (Figua 6). La ciculación del campo eléctico está dada po dl. = dl. dl. (3) l lcon lbub l pime témino del segundo miembo es siempe nulo poque el campo en el conducto es nulo. Peo, como consecuencia, el segundo témino también lo debe se paa todo camino L dento de la bubuja. La única posibilidad, entonces es que = (4) Qué pasaba si colocábamos un conducto hueco descagado en un campo eléctico exteno?. Haciendo los mismos azonamientos que en el caso del conducto hueco cagado, llegamos a que el campo electostático dento de la bubuja es nulo. Hemos llegado a un esultado muy inteesante: los conductoes pueden aisla egiones del espacio; podemos tene egiones del espacio libes de campos electostáticos!! esto se lo llama blindaje electostático: si una cavidad está totalmente enceada dento de un conducto, ninguna distibución estática de cagas en el exteio puede poduci campos elécticos en el inteio 1. Nos falta plantea muchas otas situaciones de cagas en pesencia de conductoes. Veamos ota de ellas: el mismo conducto descagado con una bubuja peo se coloca una caga Q en la bubuja (Figua 7). i aplicamos la Ley de Gauss tomando una supeficie dento del conducto que Q 1 incluya a toda la bubuja, el flujo a tavés de ella debe se ceo poque el campo eléctico es nulo en la supeficie Fig.7. ubuja en un conducto (po esta dento del conducto) y, como consecuencia, la caga con una caga en su inteio neta enceada también debe se ceo Qenc Φ = c d = = (5) Peo... la caga neta enceada es la caga Q solamente????? Podemos pensa, entonces, que sobe la supeficie intena de la bubuja se indujo una caga Q (distibuida de alguna manea) de 1 Cuando consideamos situaciones no electostáticas, podemos habla también de blindaje. Po ejemplo, si colocamos una adio dento de una Jaula de Faaday, no la podemos escucha poque no pueden peneta las ondas de adio dento de la Jaula. 5

6 foma tal que se cumpla la ley expeimental de no enconta campos elécticos en condiciones electostáticas y también se cumpla la Ley de Gauss. Cuánto vale el campo eléctico dento de la bubuja? Podemos sabe si es o no nulo? plicando la Ley de Gauss a una supeficie que enciee pate de la bubuja, tendemos Φ = c d = c d e d = Q d = enc po (6) Peo en este caso, no sabemos cuánto vale la caga neta peo sí que no es nula (paa que sea nula la supeficie debe encea toda la bubuja, es deci, esta toda en el conducto. s deci, Φ si la supeficie no enciea a toda la bubuja y su valo dependeá de cuál sea la supeficie. sto lleva a que que. pliquemos ota vez la Ley que efleja que el campo electostático es consevativo. Tendemos l dl = = dl dl (7) l c C Nuevamente el pime témino del segundo miembo es nulo y po lo tanto el segundo también. s compatible con dl =? s deci, puede se que la ciculación del campo l electostático a tavés de un camino cualquiea que va desde un punto de la supeficie de la bubuja a oto punto cualquiea de la supeficie de la bubuja sea nula?. La espuesta es Í!!. Podíamos demostalo matemáticamente, peo pefeimos hacelo a tavés de la física del poblema. Paa ello, deduciemos pimeo algunas otas popiedades de los conductoes cagados o inmesos en campos electostáticos. l 2.1 Campo electoestático en las cecanías de un conducto De la descipción ealizada podemos saca una conclusión muy impotante que se efiee a cómo son los campos electostáticos inmediatamente fuea de un conducto. i sobe la supeficie del conducto hubiea una componente tangente a la supeficie, las cagas (que están ubicadas en la supeficie, como hemos visto) eaccionaían ante el campo (es deci sufiían una fueza y se moveían). n ese caso estamos contadiciendo nuesta hipótesis inicial de equilibio. n consecuencia, la única posibilidad es que el campo electostático tenga solamente diección pependicula a la 6

7 supeficie (es deci, paalelo al difeencial de supeficie). Peo, cuánto vale el campo eléctico en la supeficie de un conducto? Puede toma cualquie valo? De qué depende? Hallemos el flujo a tavés de una supeficie (ecoda que debe se ceada) como la indicada en la Figua 8 Φ = Qenc. 1 d = d = d = = 1 1 d d 1 1 = Fig.8. squema de la ley de Gauss en las cecanías de la supeficie de un conducto (8) Como esto es válido en toda la supeficie del conducto, valdá, en geneal sup = Módulo del campo en la supeficie extena de un conducto Veamos unos ejemplos: 1) sfea conductoa de adio cagada con Q (necesaiamente debe tene caga distibuida unifomemente po azones de simetía). Q = l campo poducido po esta distibución es 4π. 2 Vemos que en el límite se cumple que ( ) = Q 4π 2 ( e > < (9) = (1) 2) Plano conducto (cagado unifomemente po los mismos motivos que en el caso de la esfea). n el caso de una distibución supeficial de caga unifome sabemos que el campo eléctico es unifome en cada semiespecio, teniendo un módulo dado po = (11) 2 siendo su diección pependicula al plano y su sentido dependiente de que la densidad sea positiva o negativa y del semi-plano en estudio. s deci plano ( = sg( z) ez (12) 2 plano Fig.9. Plano cagado unifomemente z 7

8 Pensemos ahoa un conducto plano infinito. Debe tene un espeso poque es de mateial. Y supongamos que lo cagamos con una caga Q (que debe se infinita). Dónde se distibuyen las cagas? Como el campo dento del conducto es nulo las cagas se distibuián mitad en la supeficie supeio y mitad en la infeio. upongamos que de ahí esulta que la densidad supeficial es en ambas caas. plicando la Ley de Gauss obtenemos que el campo vale z = cond en el conducto ( (13) sg z e fuea del conducto ( ) z s deci, vale el doble que lo que vale en el caso de una distibución plana con la misma densidad supeficial. e Fig.1. Placa conductoa cagada ( en supeficie poque es conductoa) Qplano puede pensa como que en el pime caso plano = Qconducto mientas que en el caso del conducto conducto =. Paa que los campos tengan la misma Qplano magnitud, debe se = Qconducto. ueno, sumando la caga supeio e infeio del conducto plano, 2 nos da ese esultado. s deci, si tenemos una caga Q distibuida en foma plana, el campo geneado Q seá. i esa misma caga se usa paa caga al conducto plano, la caga sobe cada supeficie 2 seá Q/2. Y el campo geneado seá Q. También se puede pensa que paa una dada densidad 2 supeficial, el númeo de líneas en el caso del plano conducto debe se el doble poque no hay líneas hacia adento del conducto. 2.2 upeficies equipotenciales abemos que el campo es nulo dento de un conducto, independientemente de que haya campos electostáticos extenos o que el conducto esté cagado. abemos también que el campo electostático es pependicula a la supeficie de un conducto. Como = V, las líneas 8

9 equipotenciales deben se siempe pependiculaes al campo eléctico. e sigue, entonces que la supeficie de un conducto es una equipotencial. Veamos ahoa que TODO el conducto está al mismo potencial: upongamos que hay supeficies a difeentes V 1 potenciales. ntonces V (punto a V 2 V 3 punto) UDO Como un ejemplo de la infomación que nos da el sabe que un conducto es una supeficie equipotencial y que el campo en la supeficie es pependicula a la misma, tomemos un conducto plano infinito como el de la figua y acequémosle una caga puntual q. abemos que el plano es una equipotencial y que las líneas de campo son pependiculaes en su supeficie. Po oto lado sabemos que las líneas de campo eléctico nacen q> en cagas positivas (y mueen en negativas). qué se paece esto? Fíjense que son las condiciones de un dipolo. sto es un método que no Fig.11.Plano conducto veemos en Física II y que se llama método de imágenes (po su infinito y caga q paecido con un espejo). e calcula el campo como si fuea un dipolo y luego se dice que es válido solamente a la izquieda de nuesto esquema. 2.3 Los conductoes y el pincipio de supeposición stamos habituados a usa el Pincipio de upeposición. Peo CUIDDO!!!! iempe consideamos que la pesencia de una nueva distibución de cagas no afectaba a la ota distibución en el sentido de eodena la configuación oiginal ni la distibución oiginal a la nueva. Con el modelo de conductoes (y el del electón libe) el Pincipio de upeposición se vuelve complicado y, en geneal, no es posible usalo. igue siendo válido peo el poblema que se pesenta es que cambian las distibuciones de caga y, como consecuencia, el campo geneado po cada distibución esulta difeente que el campo geneado po cada distibución cuando no inteactuaban. 9

10 2.4 jemplos n los siguientes ejemplos, la distibución de caga esulta unifome sobe cada supeficie. naliza po qué esta afimación es coecta en cada caso sfea maciza metálica cagada Placa maciza metálica cagada (geometía infinita) Placa maciza en un campo eléctico unifome(geometía infinita) Dos placas macizas metálicas paalelas cagadas con igual o distinta caga (geometía infinita) Cáscaa esféica conductoa cagada ( Difiee del caso 2.4.1?) Cáscaa esféica conductoa cagada con una caga en el cento Dos cáscaas esféicas metálicas concénticas cagadas Cáscaa cilíndica conductoa cagada (geometía infinita) Dos cáscaas cilíndicas metálicas concénticas cagadas (geometía infinita) 2.5 Puntas agudas en conductoes i tenemos un conducto iegula (como el de la fig. 12), podemos caacteiza los extemos y po 2 esfeitas de adios y siendo >. hoa pensemos solo en esas dos esfeas conductoas con cagas q y q. n igo, no se puede aplica el pincipio de supeposición así nomás. Las fuezas de atacción o epulsión ente las cagas de y de (que po se conductoas tienen libe movilidad) ocasionaán una acumulación de cagas no unifome sobe las esfeas. n consecuencia, el campo y el potencial especto a cualquie punto fuea de las esfeas no seán iguales a los que coespondeían a dos cagas puntuales q y q. in embago, cada esfea es una supeficie equipotencial. Consideaemos que su valo no puede depende de dónde o cómo esté distibuida la caga. sta es también una simplificación del poblema. s deci, como modelo simple, consideamos que la 1

11 edistibución de cagas al aceca o aleja estas dos esfeas metálicas cagadas es despeciable, valiendo en pomedio q = 4π 2 q = 4π sí podemos calcula la difeencia de potencial ente cada esfea metálica y algún punto de efeencia (po ejemplo, el infinito). legiemos al infinito como punto de efeencia y le asignaemos el valo ceo. Con esa consideación V( ) q = = = 4π 1 2 q 1 V( = ) = = 4π Fig.12. Conducto pefecto de foma iegula (especto del infinito) Obseva que el esultado es idéntico al que se obtiene si se consideaa que la caga está en el cento de la esfea y que la efeencia del potencial está en el infinito y valiea ceo. i ahoa conectamos las dos esfeas con un conducto (de cualquie foma), debe vale 2 2 = = =. so solo puede ocui si = como q = 4π y q = 4π, esulta V( ) V( ) = q q Como < >. i bien la densidad supeficial de caga esulta mayo en la esfea de meno adio, la caga total sobe su supeficie esulta meno, es deci, Q < Q i volvemos a pensa en nuesto dibujo oiginal, la mayo cantidad de cagas estaá en el extemo más agudo abemos de lo que vimos en 2.1 que el campo eléctico justo en la supeficie de cada conducto vale donde es el valo en ese punto con la apoximación ealizada: ( = ) ( = ) = > 1 11

12 n consecuencia, aplicando la popiedad de que el conducto es una supeficie equipotencial, en la punta de meno adio tanto el campo como la densidad de caga supeficial son mayoes que en la de mayo adio (y no depende de la caga diectamente sino de su densidad supeficial) V = ( = ) = = V V = ( = ) = = V 1 1 unque la difeencia de potencial sea baja, en las zonas de pequeños adios de cuvatua, los campos elécticos pueden se muy gandes. Fig.13. mayo cuvatua mayo númeo de líneas de campo ibliogafía: 1. FIHN, GIOOWICZ Y THONTON. Física paa Ciencias e Ingenieía. Vol II. Pentice Hall Hispanoameicana (1994) 2..M.PUCLL: lecticidad y Magnetismo ekeley Physics Couse Vol. 2, d. eveté.., acelona, FYNMN,..LIGHTON y M.ND: Física, Vol. II. lectomagnetismo y Mateia ddison-wesley Ibeoameicana, México 12