Matrices y Determinantes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matrices y Determinantes"

Transcripción

1 Tema 2 Matrices y Determinantes 21 Introducción Presentaremos en este tema las matrices y los determinantes, centrándonos en particualar en el caso de matrices constituidas por números reales 22 Matrices Conceptos Fundamentales Definición: Dado un conjunto C, una matriz A de orden m n de elementos de C es toda colección de mn elementos de C colocados en m filas y n columnas, de la forma: A = a ij = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Donde i = 1,, m, y j = 1,, n La notación usual es por tanto a ij para representar la componente fila-i columna-j de la matriz Al conjunto de las matrices de orden m n con componentes en el conjunto C se le denota por M m n C Consideraremos en este tema esencialmente matrices de número reales, es decir el conjunto M m n R, si bien la mayor parte de las propiedades y definiciones que expondremos serán válidas para cualquier otro tipo de conjunto Definiciones básicas: Sea A una matriz de orden m n de números reales, A M m n R, A = a ij, i = 1,, m, j = 1,, n 1 Si n = 1, entonces A es una matriz columna Si m = 1, A es una matriz fila 2 Si a ij = 0, i, j, entonces A es la matriz nula de orden m n 13

2 14 MATRICES Y DETERMINANTES 3 Si m = n la matriz A es cuadrada, en caso contrario es una matriz rectangular 4 La matriz opuesta de A = a ij, que denotamos por: A, es la que tiene como componentes a los opuestos de los de A, es decir A = a ij 5 Dada una matriz A de orden m n se llama matriz traspuesta de A a la matriz A t de orden n m en la que se intercambian las filas de A con sus columnas Es decir el elemento que ocupa la posición ij en A pasa ocupar la posición ji en A t De esta forma: si A = a ij, entonces A t = a t ij = a ji Evidentemente A t t = A Para el caso particular de las matrices cuadradas, A M n n R, definiremos a su vez: 1 La diagonal principal de A son los elementos de la forma a ii, con i = 1,, n, es decir: a 11, a 22,, a nn 2 A es triangular superior si a ij = 0 para todas las componentes tales que i > j 3 A es triangular inferior si a ij = 0, i < j 4 A es una matriz diagonal si a ij = 0 para i j Las matrices diagonales a veces se presentan especificando únicamente los elementos no necesariamente nulos, es decir: A = diag {a 11, a 22,, a nn } 5 A es simétrica si para cualquier i, j se verifica que a ij = a ji Equivalentemente, A será simétrica si A t = A 6 A es antisimétrica si para cualquier i, j se verifica que a ij = a ji Equivalentemente: A t = A 7 Se denomina traza de una matriz A a la suma de los elementos de la diagonal principal, es decir: n tr A = 23 El Espacio Vectorial M m n R, +, R El conjunto de matrices de número reales de m filas y n columnas, M m n R, tiene estructura de espacio vectorial real de dimensión m n con las operaciones suma y producto por escalares definidas de la forma siguiente: Suma: Dadas dos matrices A = a ij y B = b ij de orden m n, se define la matriz suma: A + B, como la matriz m n cuyos elemento ij es: a ij + b ij, A + B = a ij + b ij Es decir, la suma se realiza elemento a elemento i=1 a ii

3 MATRICES Y DETERMINANTES 15 Producto por un escalar: Dados λ R y una matriz A M m n R, A = a ij, se define λa M m n R como la matriz cuyos elementos son: λ A = λa ij, es decir la matriz que se obtiene al multiplicar por λ todos y cada uno de los elementos de A Es trivial comprobar que con estas definiciones M m n R, +, R verifica las ocho propiedades de la definición de espacio vectorial Evidentemente el elemento neutro de la suma será la matriz nula, mientras que el elemento opuesto de una matriz no es más que su matriz opuesta La dimensión del espacio vectorial real M m n R, +, R es obviamente igual a mn Desde otro punto de vista, una matriz A M m n R puede ser interpretada como un sistema de m vectores vectores fila del espacio vectorial R n, o bien como un sistema de n vectores vectores columna, de R m, veamos: A = a ij = a 11 a 1n a m1 a mn = f 1 f m = c 1 c n { siendo S c = { c 1, c 2,, c n } y S f = f1,, f } m los sistemas de vectores columna y de vectores fila de A respectivamente c 1,, c n R m, f 1,, f n R n c j = a 1j, a 2j,, a mj, j = 1,, n f i = a i1, a i2,, a in, i = 1,, m 24 Producto de Matrices Matrices Invertibles En el conjunto de las matrices es posible definir una operación de tipo multiplicación, el producto de matrices, cuando el número de filas de una matriz coincide con el número de columnas de la otra Veamos: Producto de matrices: Sea A una matriz de m filas y p columnas, A M m p R, y sea B con p filas y n columnas, B M p n R, es decir el número de columnas de A coincide con el número de filas de B En tal situación, se define la matriz producto C = A B, con C M m n R, como la matriz C = c ij con elementos: c ij = p a ih b hj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj h=1 Desde el punto de vista citado en el apartado anterior, mediante el cual vemos una matriz de números reales como un sistema de vectores fila o de vectores columna, el producto de matrices puede interpretarse de la siguiente forma: para construir el

4 16 MATRICES Y DETERMINANTES producto A B consideremos A como un sistema de vectores fila y B como un sistema de vectores columna: f A C = A B = 1 c B 1 c B n = c ij f A m Dadas las condiciones del producto, tanto las filas de A como las columnas de B son vectores del espacio vectorial R p Introduciremos ahora el producto escalar estándar en R p, al que nos referiremos con mucho más detalle en un tema próximo Si v 1 = x 1,, x p y v 2 = x 1,, x p son dos vectores del espacio vectorial R p, entonces llamaremos producto escalar estándar o simplemente producto escalar de v 1 y v 2, y lo denotamos por v 1 v 2, o alternativamente: v 1 v 2 al número real: v 1 v 2 = x 1 x 1 + x 2 x x p x p De esta forma, concluimos con que el producto de las matrices A y B puede expresarse de la siguiente forma: Ejemplo: Sean A = C = A B = c ij, c ij = f A i c B j y B = En primer lugar, es fácil concluir que no existe B A, pues el número de columnas de B no coincide con el número de filas de A Sin embargo A B sí que está bien definido y será una matriz de orden 2 3 nótese que: A 2 2 B 2 3 = C 2 3 Aplicando la definición: AB = = Propiedades del producto de matrices: 1 Asociativa El producto de matrices es asociativo Sean A M m p R, B M p q R y C M q n R, entonces A B C = A B C 2 El producto de matrices no es conmutativo Evidentemente, tal y como se ha definido el producto, no puede ser conmutativo pues puede existir la matriz A B y no hacerlo la correspondiente B A ver el ejemplo anterior donde se presenta esta situación Aunque existieran ambos productos, serán matrices de diferentes tamaños excepto en el caso de tratarse de matrices cuadradas Finalmente, incluso en el caso de matrices cuadradas: A M n n R, B M n n R, entonces existen A B y B A, y ambas son matrices n n, pero no tienen porqué ser iguales

5 MATRICES Y DETERMINANTES 17 3 Distributiva Se verifica la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma Sean A M m p R, B M p n R, C M p n R, entonces: A B + C = A B + A C Y análogamente para el producto: A + B C = A C + B C, siendo B M m p R 4 Matriz Identidad Se llama matriz identidad I n M n n R a la matriz diagonal I n = diag{1, 1,, 1} Otra notación habitual es I n = δ ij, siendo δ ij la delta de Kronecker, símbolo que representa: δ ij = { 1 si i = j 0 si i j i, j = 1,, n La matriz identidad verifica, para cualquier matriz A M m n R: I m A = A, A I n = A Normalmente se escribe simplemente I para la matriz identidad, sobre-entendiéndose el sub-índice que determina el tamaño en cada caso Teniendo en cuenta las propiedades anteriores, el conjunto de matrices cuadradas M n n R con las operaciones suma y producto de matrices es un anillo unitario no conmutativo 5 Sean A M m p R y B M p n R Entonces: A B t = B t A t 6 Si A y B son dos matrices cuadradas triangulares superiores o inferiores, entonces su producto A B también es triangular superior respectivamente inferior 7 Si A M n n R es una matriz cuadrada, entonces tiene sentido plantear el concepto de potencias de dicha matriz: A 2 = A A, A 3 = A A A, de manera que se verifican trivialmente las propiedades habituales de la exponencianción: A a A b = A a+b, etc Por definición tomaremos: A 0 = I n Matrices Invertibles Definición: Una matriz cuadrada A M n n K es invertible si existe otra matriz de igual tamaño, llamada inversa de A y que denotaremos A 1, que verifica: A A 1 = A 1 A = I n

6 18 MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades de las matrices invertibles: 1 Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única 2 Si A es invertible, entonces A 1 también lo es, y obviamente: A 1 1 = A, es decir la inversa de la matriz inversa de A es la propia matriz A 3 Si A y B son invertibles, entonces su producto A B también es invertible, verificándose: A B 1 = B 1 A 1 4 Si A es invertible, entonces su traspuesta A t también lo es, y además: A t 1 = A 1 t 5 Para las matrices invertibles tiene sentido definir las potencias negativas, de forma evidente: A 2 = A 1 A 1, A 3 = A 1 A 1 A 1 6 El conjunto de las matrices invertibles con la operación producto de matrices tiene estructura de grupo no conmutativo Nota: Es interesante comentar que en la práctica, para comprobar que dos matrices dadas son una inversa de la otra, basta con hacerlo únicamente en uno de las dos ordenaciones posibles Es decir: Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y además A B = I, entonces necesariamente B = A 1, no es necesario por tanto comprobar que B A = I Bastaría así con definir matriz inversa por la derecha o por la izquierda para que una matriz fuera invertible Existe una demostración ingeniosa de este hecho, partiendo de que existe B tal que A B = I, y dando por demostrado que la inversa por la derecha es única, se define: C = B A I + B, y se calcula A C, concluyéndose que B A = I necesariamente 25 Transformaciones elementales Matrices elementales En el tema anterior se definieron las transformaciones elementales en un sistema de vectores Gracias a ellas podíamos aplicar el método de eliminación Gaussiana en los sistemas de vectores de R n, con los consiguientes resultados prácticos de gran utilidad Las transformaciones elementales por filas o por columnas en una matriz van a ser exactamente las mismas, sin más que interpretar a la matriz A M m n R como un sistema de vectores fila o un sistema de vectores columna, respectivamente Tendremos por tanto que las transformaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes: Intercambiar el orden entre las filas i-ésima y j-ésima de la matriz Se denota por F ij

7 MATRICES Y DETERMINANTES 19 Multiplicar la fila i-ésima por un número real escalar k 0 F i k Sumar a la fila i-ésima la fila j-ésima multiplicada por k R F ij k y análogamente para las columnas, es decir: C ij, C i k y C ij k Centraremos todo el análisis que viene a continuación en las transformaciones elementales por filas, si bien es completamente equivalente el análisis de las transformaciones elementales por columnas salvo pequeños detalles que se especificarán Definición: Se llama matriz elemental a la que resulta de aplicar una transformación elemental a la matriz identidad Si la transformación es por filas, tendremos una matriz elemental por filas, y análogamente para el caso de columnas Dado que hay tres tipos de transformaciones elementales, tendremos entonces tres diferentes tipos de matrices elementales, que denotaremos: E ij, E i k, E ij k, con notación heredada de la transformación elemental correspondiente Ejemplo: Algunas matrices elementales por filas para el caso de n = 3: E 23 =, E 1 7 = 0 1 0, E 31 5 = Proposición: Sea A una matriz A M m n R Sea E una matriz elemental por filas de orden m m Entonces la matriz producto E A es igual a la matriz que se obtiene al realizar en A la transformación elemental por filas correspondiente a la matriz E Nota: Esta proposición es cierta para transformaciones por columnas, pero en ese caso el producto debe realizarse por la derecha, es decir: A E Proposición: Las matrices elementales son invertibles y sus inversas son de nuevo matrices elementales del mismo tipo Es fácil deducir utilizando la proposición anterior cuáles son las inversas de las matrices elementales tal y como se ha especificado antes nos referiremos siempre, salvo que se especifique lo contrario, a matrices elementales por filas - Matrices E ij Si a la matriz E ij se le aplica la transformación elemental F ij se obtiene obviamente la identidad, así tendremos: E ij E ij = I E 1 ij = E ij - Matrices E i k De manera análoga, aplicando F i 1 k a la matriz E ik se obtiene la identidad recordemos que k 0 necesariamente Entonces: E i 1 k E ik = I E i k 1 = E i 1 k

8 20 MATRICES Y DETERMINANTES - Matrices E ij k Si se aplica F ij k a E ij k resulta nuevamente la identidad E ij k 1 = E ij k Definición: Una matriz A es equivalente por filas a otra matriz A si A se obtiene aplicando un número finito de transformaciones elementales por filas en A De esta forma, si A se obtiene aplicando p transformaciones elementales por filas en A, tendremos que existen p matrices elementales: E 1, E 2,, E p de tal manera que: La matriz: A = E p E p 1 E 1 A P = E p E p 1 E 1 recibe el nombre de matriz de paso de A a A En general, por tanto, una matriz de paso no es más que una matriz producto de matrices elementales evidentemente nos referimos a matrices de paso por filas, de manera análoga se definirían las matrices de paso por columnas Proposición: Si P es una matriz de paso, entonces es invertible, y su inversa es la matriz de paso de la transformación inversa Es decir: A = PA A = P 1 A Teniendo en cuenta las propiedades de las matrices invertibles, se obtiene de manera directa: P = E p E p 1 E 1 P 1 = E1 1 E2 1 Ep 1 La consecuencia inmediata de los razonamientos anteriores es que si A es equivalente por filas a A, entonces A también lo es a A De hecho se trata de una relación de equivalencia como puede comprobarse trivialmente en el conjunto de las matrices de un tamaño dado, y lo denotaremos de la forma: A A Definición: Sea A M m n R una matriz número de filas menor o igual que de columnas, es decir: m n Se dice que A es una matriz escalonada por filas si cada vector fila de A comienza con un número de ceros superior a la fila anterior En el caso de matrices con mayor número de filas que de columnas, m > n, la definición anterior es válida para las primeras n filas, siendo necesariamente nulas las m n filas restantes Para el caso particular de matrices cuadradas, de la definición anterior se deduce que una matriz escalonada por filas es necesariamente triangular superior El concepto de matriz escalonada por filas es completamente análogo al de sistema de vectores escalonado que fue introducido en el tema anterior De hecho una matriz es

9 MATRICES Y DETERMINANTES 21 escalonada por filas si su sistema de vectores fila es un sistema escalonado Las técnicas de eliminación gaussiana que planteamos entonces para los sistemas de vectores son ahora igualmente válidas, y así, trivialmente, toda matriz del tamaño que sea es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas Teorema: Sea A M n n R una matriz cuadrada La condición necesaria y suficiente para que A sea una matriz invertible es que sea equivalente po filas a la matriz identidad Demostración: Como es lógico, separaremos la demostración en dos partes: A es invertible A es equivalente por filas a la matriz identidad Por medio de elimación gaussiana la matriz A es equivalente por filas a una matriz escalonada U dado que es cuadrada, de hecho es triangular superior Demostremos que entonces los elementos diagonales de U deben ser no nulos necesariamente Si alguno de los elementos diagonales fuera nulo, entonces la última fila de U sería completamente nula, dado que está escalonada por filas Pero entonces U no podría ser una matriz invertible una matriz invertible no puede tener una fila nula, pues su producto con otra matriz cualquiera generaría siempre una fila nula en el resultado, lo cual impide la obtención de la matriz identidad Sin embargo, tenemos que: U = E p E p 1 E 1 A y así U es igual al producto de p + 1 matrices invertibles, luego es invertible Concluimos por tanto que u ii 0, i = 1,, n Aplicando enotnces las n transformaciones elementales por filas F i 1 u ii a U, convertiremos la matriz en una cuya diagonal principal sea enteramente de unos A continuación, basta con utilizar la eliminación gaussiana hacia arriba habitualmente llamado remonte, comenzando por la última fila y eligiendo como pivotes los elementos de la diagonal El proceso concluirá al obtenerse la matriz identidad A es equivalente por filas a la matriz identidad A es invertible Si A I, entonces existen r matrices elementales de manera que: I = E r E r 1 E 1 A I = P A, P = E r E r 1 E 1 pero entonces es evidente que la matriz de paso P no es más que la matriz inversa de A, y en consecuencia A es invertible QED Método de Cálculo de la Matriz Inversa: Una posible manera de calcular la matriz inversa de una matriz invertible A se deduce directamente del Teorema anterior La matriz inversa es simplemente la matriz de paso que lleva de A a la identidad mediante transformaciones elementales por filas Si escribimos I A, es decir la matriz identidad y la matriz A como si constituyeran una matriz n 2n, y aplicamos transformaciones elementales a dicha matriz doble hasta llegar a que A se convierta en la identidad, entonces, trivialmente, la matriz identidad original, bajo las mismas transformaciones, se convertirá en la matriz de paso, es decir, la matriz inversa de A I A A 1 I

10 22 MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo: Obtener la inversa de la matriz: Se tiene que: A = A 1 = Factorización L U Una interesante aplicación de las matrices elementales es la descomposición L U de una matriz cuadrada A Se trata de encontrar dos matrices, una triangular inferior, L, y otra triangular superior, U, de tal manera que A = L U Esta descomposición tiene especial utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que veremos en un tema posterior Como veremos a continuación, no siempre es posible esta descomposición Analicemos el caso A M 3 3 R: buscamos una matriz L = l ij triangular inferior, l ij = 0, i < j, y tal que todos los elementos diagonales sean igual a 1: l ii = 1, i = 1, 2, 3: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = l l 31 l 32 1 Desarrollando el producto tendremos, para la primera fila: u 11 u 12 u 13 0 u 22 u u 33 a 11 = u 11 ; a 12 = u 12 ; a 13 = u 13 es decir, la primera fila de U coincide con la primera de A Si observamos ahora la primera columna del producto, y suponemos que a 11 0, tendremos: a 21 = l 21 u 11 l 21 = a 21 a 11 ; a 31 = l 31 u 11 l 31 = a 31 a 11

11 MATRICES Y DETERMINANTES 23 y así l 21 y l 31 son calculables en términos de los coeficientes a ij a 11 0 Pasemos a la segunda fila: siempre y cuando a 22 = l 21 u 12 + u 22 u 22 = a 22 l 21 u 12 ; a 23 = l 21 u 13 + u 23 u 23 = a 23 l 31 u 13 y conoceremos entonces la segunda fila de U como función de cantidades conocidas Continuando con el razonamiento, para la segunda columna de L y posteriormente para la tercera de U, obtendremos todos los coeficientes de L y U con el único requisito de que a 11 y a 22 sean no nulos Sin embargo, si por ejemplo a 11 = 0 la descomposición ya no será posible En la práctica aplicaremos el siguiente razonamiento: Si la matriz A puede ser convertida en una matriz triangular superior utilizando exclusivamente transformaciones elementales de los tipos: F i λ y F ij λ, siempre con i > j, entonces las matrices elementales involucradas son necesariamente triangulares inferiores, y sus inversas también, de esta manera: U = E p E p 1 E 1 A A = E p E p 1 E 1 1 U y dado que el producto de matrices triangulares inferiores es también triangular inferior, tendremos que L viene dadad directamente por el producto: L = E p E p 1 E 1 1 Para el caso general pueden demostrarse los siguientes resultados interesantes: Proposición 1: Si A es una matriz invertible y factorizable como producto L U con l ii = 1, i, entonces esa factorización es única Proposición 2: Si A es invertible, siempre es posible encontrar una matriz de permutación de filas P tal que P A sea factorizable LU Finalmente, anticiparemos un último resultado importante, que utiliza el concepto de menor principal que será definido en una próxima sección de este tema: Proposición 3: Una condición necesaria y suficiente para que una matriz invertible sea factorizable LU es que todos los menores principales de la matriz sean no nulos Ejemplo: Encontrar la factorización LU de la matriz A 1 = A = F F = U

12 24 MATRICES Y DETERMINANTES A 1 = F 32 1F U = F F32 1U = F 21 1F 32 1U L = F 21 1F 32 1 A = L U = Rango de una matriz Definición: Se llama rango por filas de una matriz A M m n R al rango del sistema de vectores fila de A, r f A = rangos f = dim LS f, con S f = { f 1,, f m } Evidentemente, coincide con el número de filas linealmente independientes que aparecen en la matriz A De manera equivalente se define el rango por columnas de A, considerando ahora, lógicamente, el sistema de vectores columna de A: S c = { c 1,, c n } r c A = rangos c = dim LS c Teorema del Rango: primera versión Dada una matriz A M m n R, su rango por filas y su rango por columnas coinciden Demostración Demostraremos que si el rango por filas de una matriz A es r f A = r, y el rango por columnas es r c A = r, entonces se cumple necesariamente que: r r Supongamos que la matriz A está presentada de manera que son precisamente las r primeras filas las que son linealmente independientes intercambiando filas si fuera necesario, lo que obviamente no afecta al rango por filas A = a 11 a 12 a 1r a 1,r+1 a 1n a 21 a 22 a 2r a 2,r+1 a 2n a r1 a r2 a rr a r,r+1 a rn a r+1,1 a r+1,2 a r+1,r a r+1,r+1 a r+1,n a m,1 a m,2 a m,r a m,r+1 a m,n Entonces el resto de filas, m r, son combinación lineal de las anteriores: f i = r k=1 λ i k f k, i = r + 1,, m o equivalentemente, para las componentes de dichas filas: a ij = r k=1 λ i k a kj, i = r + 1,, m ; j = 1,, n

13 MATRICES Y DETERMINANTES 25 Consideremos ahora un vector columna genérico de A, c j, j = 1,, n Se tiene: c j = a 1j, a 2j,, a rj, a r+1,j,, a mj = = r r a 1j, a 2j,, a rj, λ r+1 k a kj,, λ m k a kj = k=1 = a 1j 1, 0,, 0, λ r+1 1,, λ m 1 + a 2j 0, 1,, 0, λ r+1 2,, λ m a rj 0, 0,, 1, λ r+1 r,, λ m r y por tanto cualquier columna puede expresarse como una combinación lineal de r vectores Esto significa que el rango del sistema de columnas, es decir r, es necesariamente menor o igual que r, puesto que todas las columnas pertenecen a un subespacio generado por r vectores Repitiendo el mismo razonamiento pero comenzando el mismo con las columnas deduciríamos k=1 que r r, y así, en definitiva, tendremos que r = r QED 27 Determinantes Definición Dada una matriz cuadrada M n n R, definiremos su determinante como un número real asociado a ella Para el caso de matrices 2 2, el determinante puede ser definido de una forma muy sencilla: a b a b det = c d c d = a d b c Sin embargo, para tamaños superiores, la definición no es tan trivial, de manera que debemos recordar como paso previo algunos conceptos acerca del conjunto de permutaciones posibles de los elementos de un conjunto dado Grupo Simétrico Denominemos N al conjunto de los n primero número naturales: N = {1, 2,, n} Llamaremos S n al conjunto de todas las permutaciones posibles de dichos números Definición: Llamaremos permutación σ de n elementos a toda aplicación biyectiva del conjunto N = {1, 2,, n} en sí mismo: 1 2 n σ : N N, σ σ1 σ2 σn se trata por tanto de todo reordenamiento posible de los elementos que pertenecen al conjunto N Suele utilizarse una notación abreviada, escribiendo: σ = σ1 σn Ejemplo: El grupo simétrico S 3 tiene los siguientes elementos: σ 1 = σ 2 = σ 3 = 2 1 3

14 26 MATRICES Y DETERMINANTES σ 4 = σ 5 = σ 6 = Recordemos que el número de permutaciones de n elementos, es decir el cardinal de S n, es el factorial de n, n! Composición Producto de permutaciones: Dadas dos permutaciones σ 1 y σ 2 de los elementos del conjunto N, se define el producto de permutaciones, que denotaremos como σ 2 σ 1, como la simple composición de ambas aplicaciones, es decir, la permutación: σ 2 σ 1 = = 1 2 n σ 2 1 σ 2 2 σ 2 n 1 2 n σ 2 σ 1 1 σ 2 σ 1 2 σ 2 σ 1 n 1 2 n σ 1 1 σ 1 2 σ 1 n Obviamente a partir de la operación producto de permutaciones se puede definir la permutación inversa σ 1 como aquella que verifica que σ 1 σ = σ σ 1 = Id, siendo Id la permutación identidad Es fácil dmostrar que el conjunto de las permutaciones S n de un conjunto N con la composición posee estructura de Grupo, el cual recibe el nombre de Grupo simétrico Trasposiciones: Se llama trasposición a la permutación consistente en el intercambio de sólo dos elementos en el conjunto N De forma genérica se tiene que, τ : N N, τ 1 i j n 1 j i n Con cierta frecuencia se utiliza la notación τ ij para denotar la trasposición anterior Proposición: Toda permutación puede escribirse como el producto composición de trasposiciones, esto es, σ S n se verifica que σ = τ p τ p 1 τ 1 Proposición: Si una permutación σ puede descomponerse en el producto de p trasposiciones, con p par, entonces todas las descomposiciones posibles de σ requieren un número par de trasposiciones, y análogamente si p es impar Se dice que una permutación es par si descompone en un número par de trasposiciones En caso de que dicho número sea impar hablaremos de permutaciones impares Definición: El signo de una permutación, que denotaremos por signσ es, signσ = { +1 si σ es par 1 si σ es impar

15 MATRICES Y DETERMINANTES 27 Definicion de Determinante Definición: Dada una matriz cuadrada A de números reales, A = a ij, se llama determinante de A, A o deta, al número real: deta = A = signσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn σ S n En la definición anterior se ha elegido que en cada término de la suma estén fijadas las filas y se permuten los números de columna Es posible definir alternativamente el determinate intercambiando dichos papeles entre filas y columnas Aclararemos esta idea a continuación, en las propiedades de los determinantes En cualquier caso, la definición alternativa sería: deta = A = σ S n signσ a σ11 a σ22 a σnn Determinantes de orden 2: Si A es de orden 2, es evidente que la definición nos conduce a la expresión que ya había sido introducida en el apartado anterior: A = σ S 2 signσ a 1σ1 a 2σ2 = 1 a 11 a a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 Determinantes de orden 3: De manera análoga, para el caso 3 3 se tiene: A = signσ a 1σ1 a 2σ2 a 3σ3 = σ S 3 = 1a 11 a 22 a 33 1a 11 a 23 a 32 1a 12 a 21 a a 12 a 23 a 31 1a 13 a 22 a a 13 a 21 a 32 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 21 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32 que frecuentemente es llamada Regla de Sarrus 28 Propiedades de los determinantes Presentaremos a continuación una serie de propiedades básicas de los determinantes, cuyas demostraciones son sencillas aunque no las incluiremos: Sea A una matriz cuadrada de orden n n Denotaremos: f 1 f 2 A = a ij = y así f 1,, f n son los vectores fila de A f n

16 28 MATRICES Y DETERMINANTES 1 El determinante de la matriz A y el de su traspuesta A t coinciden, es decir: A = A t Esta propiedad tiene como consecuencia que todo lo que se exponga a continuación relativo a las filas de un determinante será válido también para las columnas 2 El determinante es lineal en cada fila y cada columna suele utilizarse entonces el término multilineal Esto significa que se verifican las siguientes relaciones: f 1 + f 1 f 1 f 1 λ f 1 f 1 = +, = λ f n f n f n f n f n y análogamente para cualquiera de las restantes filas 3 Si la matriz A tiene una fila nula, entonces A = 0 4 Si la matriz A se obtiene intercambiando en A el orden de dos filas, entonces A = A, es decir el determinante cambia de signo bajo una transformación elemental por filas de tipo F ij Como consecuencia directa de esta propiedad, si una matriz tiene dos filas iguales automáticamente su determinante es nulo 5 Si la matriz A se obtiene aplicando una transformación elemental por filas de tipo F i k en la matriz A, entonces: A = k A Nótese que esta propiedad está incluida en la anteriormente expuesta Propiedad 2 6 Si la matriz A se obtiene aplicando en A una transformación elemental de tipo F ij k, entonces sus determinantes coinciden, es decir: A = A 7 Si A es una matriz triangular superior o inferior, entonces el determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal de A En particular, evidentemente, esta propiedad se aplica a las matrices diagonales 8 El determinante del producto de dos matrices A y B es igual al producto de los determinantes de cada matriz, es decir: A B = A B 9 Si una de las filas de la matriz A depende linealmente de las demás, entonces A = 0 Entonces evidentemente, si A = 0, el sistema de vectores fila de A es un sistema libre 10 Una matriz A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero Además, el determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz A 29 Menores, adjuntos y Matriz adjunta Definición: Dada una matriz A de orden m n, llamaremos menor de orden p de A al determinante de cualquier submatriz que se obtenga a partir de A por la intersección de p filas y p columnas

17 MATRICES Y DETERMINANTES 29 Definición: Dada una matriz cuadrada A se llama menor complementario α ij de la posición ij al menor de orden n 1 que se obtiene al eliminar en A la fila i ésima y la columna j ésima Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden n, se llama adjunto del elemento ij al número real: A ij = 1 i+j α ij Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden n Se llama matriz adjunta de la matriz A, y de denota por AdA a la matriz que tiene como elementos a los adjuntos de los elementos de la matriz A: AdA = A ij Proposición: Sea A M n n R una matriz invertible, entonces se verifica: A 1 = 1 A AdAt = 1 A AdAt Proposición Desarrollo de un determinante por una fila o columna Sea A M n n R una matriz cuadrada, entonces se verifica: n A = a ij A ij j = 1,, n A = i=1 n a ij A ij j=1 i = 1,, n La primera expresión es lo que se conoce como desarrollo del determinante por la columna j ésima, mientras que la segunda es el desarrollo por la fila i ésima Esta propiedad de los determinantes llamada a veces Desarrollo de Lagrange nos indica que es posible reducir el cálculo de un determinante de orden n a una combinación lineal de determinantes de orden n 1 los que aparecen en los adjuntos correspondientes En particular, una elección adecuada de la fila o columna por la que se va a desarrollar permite simplificar mucho el cálculo final 210 Teorema del Rango En una sección anterior se defició el rango por filas y el rango por columnas de una matriz A M m n R Definiremos ahora una tercera posibilidad, el rango por menores: Definición: Se llama rango por menores de una matriz A M m n R al mayor de los ordenes de los menores no nulos contenidos en dicha matriz Teorema del Rango Dada una matriz A M m n R, su rango por filas, su rango por columnas y su rango por menores coinciden Gracias a este Teorema toda matriz de números reales tiene un único rango definido que puede ser calculado independientemente por filas, por columnas o por menores

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.

Más detalles

3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices.

3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices. Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 3 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de dimensión m n es un conjunto de escalares

Más detalles

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas

Más detalles

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles

Matrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa

Matrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se denota por A B al conjunto

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n

Más detalles

Matrices y Determinantes.

Matrices y Determinantes. Tema II Capítulo 1 Matrices Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC Tema II Matrices y Determinantes 1 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Matrices y determinantes.

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Matrices y determinantes. Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Matrices y determinantes 31 Sistemas de Ecuaciones Lineales El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación

Más detalles

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes Capítulo 1 Matrices y Determinantes 11 Matrices Generalidades Definición 11 Sea E un conjunto cualquiera, m, n N Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12 a 1n a 21 a

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

Matrices. Álgebra de matrices.

Matrices. Álgebra de matrices. Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por

Más detalles

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

TEMA 7. Matrices y determinantes.

TEMA 7. Matrices y determinantes. TEMA 7 Matrices y determinantes. 1. Matrices. Generalidades Definición 1 Sea E un conjunto cualquiera, m, n IN. Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12... a 1n a 21

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2

ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2 ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2 Abstract Estas notas conciernen al álgebra de matrices y serán actualizadas conforme el material se cubre Las notas no son substituto de la clase pues solo contienen

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

APÉNDICE A. Algebra matricial

APÉNDICE A. Algebra matricial APÉNDICE A Algebra matricial El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el álgebra matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación de los métodos

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre, Universidad de Concepción CAPITULO 7. MATRICES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Matriz Sean

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas

Más detalles

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1 Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

1. Matrices. Operaciones con matrices

1. Matrices. Operaciones con matrices REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.

Más detalles

Semana 14 [1/28] Matrices. 22 de julio de Matrices

Semana 14 [1/28] Matrices. 22 de julio de Matrices Semana 14 [1/28] 22 de julio de 2007 Definiciones básicas Semana 14 [2/28] Definiciones básicas Matriz Una matriz A, de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo à (en este apunte à será Ê ó C)

Más detalles

Determinantes. = a 11a 22 a 12 a 21 = ( 3) ( 5) ( 4) 7 = 15 ( 28) = = 43

Determinantes. = a 11a 22 a 12 a 21 = ( 3) ( 5) ( 4) 7 = 15 ( 28) = = 43 Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada A lleva asociado un número, llamado determinante de A, y que denotaremos mediante el símbolo. Este número, entre otras cosas, permite saber cuándo

Más detalles

Tema I. Matrices y determinantes

Tema I. Matrices y determinantes Tema I. Matrices y determinantes 2007 Carmen Moreno Valencia 1. Matrices sobre un cuerpo 2. Operaciones con matrices 3. Determinante de una matriz cuadrada 4. Menor complementario y adjunto 5. Cálculo

Más detalles

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales de la forma a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Las líneas horizontales (verticales)

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( ) MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una

Más detalles

Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 10/11.

Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 10/11. Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 0/. Problemas Tema 2. Matrices y Determinantes. Matrices.. Determinar dos matrices cuadradas de orden 2, X e Y tales que: 2 2X 5Y = 2 ; X + 2Y = 4.2. Calcular

Más detalles

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes. Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES

Más detalles

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,... INTRO. MATRICES Y DETERMINANTES Prof. Gustavo Sosa Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012 3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación

Más detalles

Tema 4: Matrices y Determinantes. Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes. Álgebra Lineal. Curso

Tema 4: Matrices y Determinantes. Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes. Álgebra Lineal. Curso Tema 4: Matrices y Determinantes Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes Álgebra Lineal Curso 2004-2005 Prof. Manu Vega Índice 1. Determinantes 3 2. Regla de Sarrus 3 3. Propiedades de los determinantes

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 2 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas

Más detalles

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES MATRIZ INVERSA

MATRICES Y DETERMINANTES MATRIZ INVERSA Índice Presentación... 3 Determinante de una matriz... 4 Determinante de matrices de orden 2 y 3... 5 Determinante de una matriz... 6 Ejemplo... 7 Propiedades del cálculo de determinantes... 8 Matriz inversa...

Más detalles

1. Matrices y determinantes

1. Matrices y determinantes A-PDF Page Cut DEMO: Purchase www.apuntesdemates.weebly.com from www.a-pdf.com to remove the watermark 1. Matrices y determinantes 1.1 Notación y definiciones Definición 1.1 [Matriz] Una matriz es una

Más detalles

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. 1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales

Más detalles

DETERMINANTES MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES

DETERMINANTES MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES Tema 2.- DETERMINANTES DETERMINANTES MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES 1 Un poco de historia Los determinantes es uno de los temas más útiles del Álgebra Lineal, con muchas

Más detalles

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: Repaso de Matrices MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

Tema 5: Determinantes.

Tema 5: Determinantes. Tema 5: Determinantes. 1. El grupo simétrico. Definición. Una permutación del conjunto {1,..., n} es una aplicación biyectiva de {1,..., n} en si mismo. Se define el conjunto Σ n = {f : {1,..., n} {1,...,

Más detalles

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos: TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,

Más detalles

MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES

MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES ANTECEDENTES En el año 1850, fueron introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A.

Más detalles

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K

Más detalles

MATRICES DETERMINANTES

MATRICES DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de

Más detalles

Matemá'cas generales

Matemá'cas generales Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons

Más detalles

3.7. Determinantes. Definición. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles Definición de determinante.

3.7. Determinantes. Definición. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles Definición de determinante. 37 Determinantes 11 Definición de determinante Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de

Más detalles

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A = Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente

Más detalles

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Matrices Definición: Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Para definirla se utilizan letras

Más detalles

MATRICES. M(n) ó M nxn A =

MATRICES. M(n) ó M nxn A = MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos

Más detalles

Tema 2: Determinantes

Tema 2: Determinantes Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden n, A M n un número real que llamaremos su determinante y escribiremos A. Vamos a ver cómo se calcula.

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles

1. Lección 3: Matrices y Determinantes

1. Lección 3: Matrices y Determinantes Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (

Más detalles

Tema 2: Determinantes

Tema 2: Determinantes Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden, un número real que llamaremos su determinante y escribiremos. Vamos a ver cómo se calcula. Consideremos

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS

MATRICES Y DETERMINANTES DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS Índice Presentación... 3 Matrices... 4 Tipos de matrices I... 5 Tipos de matrices II... 6 Suma de matrices... 7 Multiplicación por un escalar... 8 Producto de matrices... 9 Trasposición de matrices...

Más detalles

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

Capítulo 4. Matrices Definiciones y notación

Capítulo 4. Matrices Definiciones y notación Capítulo 4 Matrices 4.1. Definiciones y notación Esta primera Sección está dedicada a la introducción de la terminología usual asociada a las matrices. En primer lugar, definimos el propio concepto de

Más detalles

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ignacio López Torres. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio electrónico

Más detalles

1. Matrices. Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza. 1 Introducción y definiciones 2

1. Matrices. Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza. 1 Introducción y definiciones 2 1. Matrices. Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Contents 1 Introducción y definiciones 2 2 Algebra matricial. 3 3 Matrices por bloques.

Más detalles

MATRICES. Jaime Garrido Oliver

MATRICES. Jaime Garrido Oliver MATRICES Jaime Garrido Oliver ÍNDICE DE CONTENIDOS ÍNDICE DE CONTENIDOS... 2 MATRICES... 3 1.1. INTRODUCCIÓN.... 3 2. TIPOS DE MATRICES... 4 2.1. Matriz Fila, Matriz Columna... 4 2.2. Matrices cuadradas...

Más detalles

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre

Más detalles

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números

Más detalles

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades: CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse

Más detalles

Capítulo 2. Determinantes Introducción. Definiciones

Capítulo 2. Determinantes Introducción. Definiciones Capítulo 2 Determinantes 2.1. Introducción. Definiciones Si nos centramos en la resolución de un sistema A x = b con A una matriz n n, podemos calcular A 1 y la resolución es inmendiata. El problema es

Más detalles

Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el

Más detalles

1 de 6 24/08/2009 9:54 MATRICES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En

Más detalles

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010.

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010. Algebra Lineal * José de Jesús Ángel Ángel jjaa@mathcommx Working draft: México, DF, a 17 de noviembre de 2010 Un resumen de los principales temas tratados en un curso de Álgebra Lineal Contenido 1 Sistemas

Más detalles

Capítulo 1: Diagonalización de matrices

Capítulo 1: Diagonalización de matrices Capítulo : Diagonalización de matrices Matrices y determinantes Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a a a m a A a a m a n a n a nm La matriz es de orden n m si consta de n

Más detalles

Vectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector

Vectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto

Más detalles

Definición (matriz): Definición (dimensión de una matriz): Si una matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de dimensión m n.

Definición (matriz): Definición (dimensión de una matriz): Si una matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de dimensión m n. Índice general 1. Álgebra de Matrices 1 1.1. Conceptos Fundamentales............................ 1 1.1.1. Vectores y Matrices........................... 1 1.1.2. Transpuesta................................

Más detalles

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*)

BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) Matrices. Determinantes. Rango. Sistemas de ecuaciones lineales. El Álgebra Lineal es una parte de la Matemática de frecuente aplicación

Más detalles

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar

Más detalles

Francisco José Vera López

Francisco José Vera López Álgebra y Matemática Discreta Matrices. Sistemas de ecuaciones. Francisco José Vera López Dpto. de Matemática Aplicada Facultad de Informática 2015 1 Matrices 2 Sistemas de Ecuaciones Matrices Una matriz

Más detalles