Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

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1 Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3,... El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. 1 En:

2 Tipos de matrices Matriz fila: Es una matriz constituida por una sola fila. Matriz columna: Es una matriz con una sola columna. Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. Matriz cuadrada: La que tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1. Matriz nula: Todos los elementos son nulos. Matriz triangular superior: Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0. Matriz triangular inferior: Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0. Matriz diagonal: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Matriz identidad o unidad: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

3 Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. (A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (α A) t = α A t (A B) t = B t A t Matriz regular: Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa. Matriz singular: Es aquella que no tiene matriz inversa. Matriz idempotente: Si A 2 = A. Matriz involutiva: Si A 2 = I. Matriz simétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=A t. Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=-A t. Matriz ortogonal: Si verifica: A A t = I

4 Suma de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición. Propiedades de la suma de matrices Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa: A + B = B + A

5 Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21 Determinante de orden tres Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue: a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - = - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a (-5) (-2) =

6 - 1 2 (-2) (-5) 1 = = (-4) (-15) = = = 63 Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Propiedades de los determinantes 1. A t = A El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A t son iguales. 2. A =0 Si: Posee dos líneas iguales Todos los elementos de una línea son nulos. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras. F3 = F1 + F2 3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

7 4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. 5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. 6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una. 7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes. 8. A B = A B El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes. Menor complementario y adjunto Menor complementario de un elemento de un determinante

8 Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Adjunto de un elemento de un determinante Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es - si i+j es impar. El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes: Ejemplo = 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = = 63 Cálculo de determinantes Determinante de orden uno a 11 = a 11

9 -2 = -2 Determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21 Determinante de orden tres Se aplica la regla de Sarrus: Cálculo de un determinante de cualquier orden Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos: 1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

10 2.En caso negativo: 1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ). 2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos. 3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros. 4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original. = 2(-58)

11 Ejercicios y problemas de matrices 1Dadas las matrices: Calcular: A + B; A - B; A x B; B x A; A t. 2Sean las matrices: Efectuar las siguientes operaciones: (A + B) 2 ; (A - B) 2 ; (B) 3 ; A B t C. 3Dadas las matrices: 1Justificar si son posibles los siguientes productos: 1(A t B ) C 2(B C t ) A t 2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A M C 3Determina la dimensión de M para que C t M sea una matriz cuadrada. 4 Demostrar que: A 2 - A - 2 I = 0, siendo:

12 5Sea A la matriz. Hallar A n, para n 6Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz. 7Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz: 8Calcular la matriz inversa de: 9Calcular la matriz inversa de: 10Calcular el rango de la matriz siguiente: 11Hallar el rango de la matriz siguiente: 12Calcular el rango de la matriz siguiente:

13 13Siendo: Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones: 14Siendo: Resolver la ecuación matricial: A X + 2 B = 3 C 15Resolver; en forma matricial, el sistema: 16Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema: 17Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

14 1Representar esta información en dos matrices. 2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería. 18Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. 1.Representar la información en dos matrices. 2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

15 Matriz inversa A A -1 = A -1 A = I Propiedades (A B) -1 = B -1 A -1 (A -1 ) -1 = A (k A) -1 = k -1 A -1 (A t ) -1 = (A -1 ) t Cálculo por el método de Gauss Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A -1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria La ampliamos con la matriz identidad de orden 3. 2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A -1. F2 - F1 F3 + F2

16 F2 - F3 F1 + F2 (-1) F2 La matriz inversa es: Cálculo por el método de la matriz adjunta

17 Cálculo de la matriz inversa 1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa. 2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. 3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta. 4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

18 Ejercicios resueltos de matriz inversa 1Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de: 2Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de: 3Hallar por determinantes la matriz inversa de: 4 Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa? 5Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa? Hallar por determinantes la matriz inversa de:

19 Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa? Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa? Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A -1 Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de: 1 Construir una matriz del tipo M = (A I) 2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A -1.

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21 Producto de matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Propiedades del producto de matrices Asociativa: A (B C) = (A B) C Elemento neutro: A I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A B B A Distributiva del producto respecto de la suma: A (B + C) = A B + A C

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