Métodos para matrices especiales. Descomposición de Cholesky
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- Ana Prado Revuelta
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1 Métodos para matrices especiales. Descomposición de Cholesky MAT-251 Dr. CIMAT A.C. web: Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C.
2 Ventajas computacionales de las factorizaciones... en segundos
3 Ventajas computacionales de las factorizaciones... en segundos donde se usan factorizaciones en la vida real?...
4 Ventajas computacionales de las factorizaciones... en segundos donde se usan factorizaciones en la vida real?...
5 Ventajas computacionales de las factorizaciones... en segundos donde se usan factorizaciones en la vida real?... Si hacemos una descomposición ( O(n 3 )), de tal forma que resolvemos el sistema Axi=bi para diferentes vectores bi.
6 Ventajas computacionales de las factorizaciones... en segundos donde se usan factorizaciones en la vida real?... Si hacemos una descomposición ( O(n 3 )), de tal forma que resolvemos el sistema Axi=bi para diferentes vectores bi. Entonces la solución estará dada por el orden O(n 2 ) en lugar de O(n 3 ).
7 Ventajas computacionales de las factorizaciones... en segundos donde se usan factorizaciones en la vida real?... Si hacemos una descomposición ( O(n 3 )), de tal forma que resolvemos el sistema Axi=bi para diferentes vectores bi. Entonces la solución estará dada por el orden O(n 2 ) en lugar de O(n 3 ). Para sistemas de tamaño, digamos de 1000x1000
8 Ventajas computacionales de las factorizaciones... en segundos donde se usan factorizaciones en la vida real?... Si hacemos una descomposición ( O(n 3 )), de tal forma que resolvemos el sistema Axi=bi para diferentes vectores bi. Entonces la solución estará dada por el orden O(n 2 ) en lugar de O(n 3 ). Para sistemas de tamaño, digamos de 1000x = 1,000,000 = * 1,000,000,000 = * 1,000 3
9 Matrices con diagonal estrictamente-dominante 2
10 Matrices con diagonal estrictamente-dominante La definición de una matriz cuadrada estrictamente diagonal-dominante es la siguiente: 2
11 Matrices con diagonal estrictamente-dominante La definición de una matriz cuadrada estrictamente diagonal-dominante es la siguiente: 2
12 Matrices con diagonal estrictamente-dominante La definición de una matriz cuadrada estrictamente diagonal-dominante es la siguiente: 2
13 Matrices con diagonal estrictamente-dominante La definición de una matriz cuadrada estrictamente diagonal-dominante es la siguiente: Nótese que dada una matriz estrictamente diagonal-dominante, su transpuesta no tiene por que serlo. 2
14 Matrices con diagonal estrictamente-dominante La definición de una matriz cuadrada estrictamente diagonal-dominante es la siguiente: Nótese que dada una matriz estrictamente diagonal-dominante, su transpuesta no tiene por que serlo. Una matriz estrictamente diagonal-dominante tiene inversa. Se puede aplicar eliminación Gaussiana sin necesidad de hacer intercambio de renglones, y los cálculos serán estables con respecto a los errores de redondeo. 2
15 Una matriz estrictamente diagonal-dominante tiene inversa, demostración: Prueba por contradicción: consideremos que es singular, entonces consideremos Ax=0, con solución x = (xi) que no es cero. Sea k un índice para el cual 0 < xk = max 1 j n xj.
16 Una matriz estrictamente diagonal-dominante tiene inversa, demostración: Prueba por contradicción: consideremos que es singular, entonces consideremos Ax=0, con solución x = (xi) que no es cero. Sea k un índice para el cual 0 < xk = max 1 j n xj.
17 Matrices definidas positivas Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que x T A x > 0 para todo vector x diferente de 0. Es decir que la matriz de tamaño 1x1 (escalar) resultante de la operación es positiva.
18 Matrices definidas positivas Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que x T A x > 0 para todo vector x diferente de 0. Ejemplo, una matriz positiva:
19 Matrices definidas positivas Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que x T A x > 0 para todo vector x diferente de 0. Ejemplo, una matriz positiva:
20 Matrices definidas positivas Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que x T A x > 0 para todo vector x diferente de 0. Ejemplo, una matriz positiva:
21 Matrices definidas positivas Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que x T A x > 0 para todo vector x diferente de 0. Ejemplo, una matriz positiva: A esta forma se le llama forma cuadrática asociada a la matriz.
22 Matrices definidas positivas Una matriz no positiva pero que es definida positiva
23 Matrices definidas positivas Una matriz no positiva pero que es definida positiva
24 Matrices definidas positivas Una matriz no positiva pero que es definida positiva La expresión solo puede ser cero cuando todos los xi son cero.
25 Matrices definidas positivas Las matrices positivas definidas aparecen mucho en problemas de CNyE, por ejemplo en las matrices de covarianza.
26 Matrices definida positiva
27 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices:
28 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular.
29 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular. Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces x T Ax =0, lo cual contradice que A es definida positiva.
30 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular. Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces x T Ax =0, lo cual contradice que A es definida positiva. aii > 0 para toda i=1,...,n, por lo tanto la traza es no negativa.
31 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular. Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces x T Ax =0, lo cual contradice que A es definida positiva. aii > 0 para toda i=1,...,n, por lo tanto la traza es no negativa. Demostración: Para una i cualquiera, definamos x = (xk) por xi = 1 y xj = 0, si j i. Entonces x 0, por lo que 0 < x T Ax = aii.
32 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular. Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces x T Ax =0, lo cual contradice que A es definida positiva. aii > 0 para toda i=1,...,n, por lo tanto la traza es no negativa. Demostración: Para una i cualquiera, definamos x = (xk) por xi = 1 y xj = 0, si j i. Entonces x 0, por lo que 0 < x T Ax = aii. max i k,j n akj max 1 i n aii
33 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular. Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces x T Ax =0, lo cual contradice que A es definida positiva. aii > 0 para toda i=1,...,n, por lo tanto la traza es no negativa. Demostración: Para una i cualquiera, definamos x = (xk) por xi = 1 y xj = 0, si j i. Entonces x 0, por lo que 0 < x T Ax = aii. max i k,j n akj max 1 i n aii Demostración: Tarea.
34 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular. Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces x T Ax =0, lo cual contradice que A es definida positiva. aii > 0 para toda i=1,...,n, por lo tanto la traza es no negativa. Demostración: Para una i cualquiera, definamos x = (xk) por xi = 1 y xj = 0, si j i. Entonces x 0, por lo que 0 < x T Ax = aii. max i k,j n akj max 1 i n aii Demostración: Tarea. aij 2 < aiiajj para cada i j
35 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices: A es no singular. Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces x T Ax =0, lo cual contradice que A es definida positiva. aii > 0 para toda i=1,...,n, por lo tanto la traza es no negativa. Demostración: Para una i cualquiera, definamos x = (xk) por xi = 1 y xj = 0, si j i. Entonces x 0, por lo que 0 < x T Ax = aii. max i k,j n akj max 1 i n aii Demostración: Tarea. aij 2 < aiiajj para cada i j Demostración: Tarea.
36 Matrices definida positiva Propiedades de estas matrices (2): Se puede aplicar eliminación Gaussiana si necesidad de intercambio de renglones. Se puede factorizar en la forma L L T, donde L es una matriz triangular inferior con entradas positivas en la diagonal. Se puede factorizar en la forma LDL T, donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y D es una matriz diagonal con entradas positivas.
37 Descomposición (factorización) de Cholesky André-Louis Cholesky (15 de Octubre de de Agosto de 1918). Se factoriza A = L L T, donde L es una matriz triangular inferior con entradas positivas en la diagonal. La descomposición es única,
38 Descomposición (factorización) de Cholesky André-Louis Cholesky (15 de Octubre de de Agosto de 1918). Se factoriza A = L L T, donde L es una matriz triangular inferior con entradas positivas en la diagonal. La descomposición es única,
39 Descomposición (factorización) de Cholesky Algoritmo =... es simétrica...
40 Descomposición (factorización) de Cholesky =... es simétrica...
41 Descomposición (factorización) de Cholesky Es positivo =... es simétrica...
42 Descomposición (factorización) de Cholesky Es positivo =... es simétrica... De tal manera, que procedemos al cálculo columna por columna, y las entradas de L quedan como:
43 Descomposición (factorización) de Cholesky Es positivo =... es simétrica... De tal manera, que procedemos al cálculo columna por columna, y las entradas de L quedan como:
44 Descomposición (factorización) de Cholesky Es positivo =... es simétrica... De tal manera, que procedemos al cálculo columna por columna, y las entradas de L quedan como:
45 Descomposición (factorización) de Cholesky Es positivo =... es simétrica... De tal manera, que procedemos al cálculo columna por columna, y las entradas de L quedan como: para i > j
46 Descomposición (factorización) de Cholesky Es positivo =... es simétrica... De tal manera, que procedemos al cálculo columna por columna, y las entradas de L quedan como: para i > j
47 Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas
48 Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas De tal manera que L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y D es una matriz diagonal con entradas positivas. multiplicando las matrices tenemos
49 Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas De tal manera que L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y D es una matriz diagonal con entradas positivas. multiplicando las matrices tenemos... es simétrica...
50 Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas
51 Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas Quedando las entradas definidas como:
52 Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas Quedando las entradas definidas como:
53 Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas Quedando las entradas definidas como: De tal forma que, de nuevo, hacemos el cálculo columna por columna.
54 Relación entre las 2 factorizaciones Las 2 factorizaciones LL T y LDL T (nótese que son diferentes L s) se relacionan así:
55 Relación entre las 2 factorizaciones Las 2 factorizaciones LL T y LDL T (nótese que son diferentes L s) se relacionan así:
56 Solución del SEL dada la factorización LL T
57 Solución del SEL dada la factorización LL T Si tenemos Ax=b entonces usamos LL T x=b, primero hacemos y = L T x y solucionamos Ly=b con sustitución hacia adelante, con: Luego solucionamos para x el sistema L T x = y con sustitución hacia atrás.
58 Solución del SEL dada la factorización LL T Si tenemos Ax=b entonces usamos LL T x=b, primero hacemos y = L T x y solucionamos Ly=b con sustitución hacia adelante, con: Luego solucionamos para x el sistema L T x = y con sustitución hacia atrás.
59 Solución del SEL dada la factorización LDL T
60 Solución del SEL dada la factorización LDL T Si tenemos el sistema A x=b como LDL T x = b haciendo y = DL T x, y resolviendo para y el SEL Ly=b con sustitución hacia adelante.
61 Solución del SEL dada la factorización LDL T Si tenemos el sistema A x=b como LDL T x = b haciendo y = DL T x, y resolviendo para y el SEL Ly=b con sustitución hacia adelante. Luego usamos z = L T x de tal forma que resolvemos para z el SEL Dz=y. Pero D es diagonal, por lo que esto es muy fácil:
62 Solución del SEL dada la factorización LDL T Si tenemos el sistema A x=b como LDL T x = b haciendo y = DL T x, y resolviendo para y el SEL Ly=b con sustitución hacia adelante. Luego usamos z = L T x de tal forma que resolvemos para z el SEL Dz=y. Pero D es diagonal, por lo que esto es muy fácil:
63 Solución del SEL dada la factorización LDL T Si tenemos el sistema A x=b como LDL T x = b haciendo y = DL T x, y resolviendo para y el SEL Ly=b con sustitución hacia adelante. Luego usamos z = L T x de tal forma que resolvemos para z el SEL Dz=y. Pero D es diagonal, por lo que esto es muy fácil: Finalmente resolvemos L T x = z para x con sustitución hacia atrás y TERMINAMOS.
64 Solución del SEL dada la factorización LDL T Si tenemos el sistema A x=b como LDL T x = b haciendo y = DL T x, y resolviendo para y el SEL Ly=b con sustitución hacia adelante. Luego usamos z = L T x de tal forma que resolvemos para z el SEL Dz=y. Pero D es diagonal, por lo que esto es muy fácil: Finalmente resolvemos L T x = z para x con sustitución hacia atrás y TERMINAMOS.
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66 Matrices bandadas Una matriz de tamaño n x n se dice que es bandada si existen los numeros p y q enteros 1 < p, q < n, tal que aij = 0 para todo p j- i ó q i - j p denota el número de diagonales arriba de la diagonal principal, incluyéndola. q denota el número de diagonales abajo de la diagonal principal, incluyéndola. Ejemplo con p = 3 y q = 2. El numero de diagonales es p+q-1.
67 Matrices tridiagonales Un grupo muy famoso son las tridiagonales, es decir con p=q=2
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