ALGORITMO HÍBRIDO PARA UN ENFOQUE ALTERNATIVO AL JOB-SHOP SCHEDULING PROBLEM

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2 1. Introducción El Job-Shop Scheduling Problem (JSSP), consiste en la asignación de recursos a diferentes actividades que se ejecutan simultáneamente a lo largo del tiempo. El rango de aplicación de la teoría de secuenciación abarca áreas de conocimiento tales como producción, computación, servicios y otros. En adelante se adopta la terminología de producción, donde las tareas (J) son las actividades descompuestas en operaciones () (Figura 1) y las máquinas (M) representan recursos. J J2 J J Figura 1. Tareas descompuestas en operaciones El JSSP, consiste en la programación temporal de las operaciones que surgen de la descomposición de un conjunto de tareas teniendo en cuenta que éstas pueden ser ejecutadas en una o varias máquinas, y que cada máquina solamente puede ejecutar una tarea simultáneamente. Se trata de un problema de optimización del tipo NP-Completo (Lenstra & Rinnooy Kan, 1979). En este trabajo se propone un algoritmo híbrido que combina de manera eficiente dos metaheurísticas actuales: Algoritmos Genéticos (AGs) y Simulated Annealing (SA) para el JSSP. 2. Presentación del JSSP Sea J={1,...,i,...,n} el conjunto de todas las tareas, sea M={1,...,k,...,m} el conjunto de las máquinas en que se deben ejecutar las operaciones de las diferentes tareas. El conjunto de operaciones para una tarea posee una relación de precedencia que viene predeterminada por la secuencia técnica de producción. Cada conjunto E k contiene las operaciones que deben ejecutarse en la máquina k, es decir, las operaciones que no se pueden superponer temporalmente (Figura 2). Machine M M M M M Time (Hs) Figura 2. Diagrama de Gantt - JSSP El modelo propuesto para el problema en este trabajo es definido por los autores a través de las Exp. 1, 2 y 3. En el modelo, Z 1 (Exp. 1) y Z 2 (Exp. 2), representan la sumatoria de los retrasos o delay (D i ), producidos para las tareas de alta prioridad (H) y baja prioridad (L), 2

3 respectivamente. Esto ocurre cuando los tiempos efectivos de entrega (t i ) son mayores a los tiempos deseados de entrega (T i ) (Exp. 3). Min Z = D i H (Exp. 1) Min Z2 = D, i L (Exp. 2) 1 i, i H ( i i ) ( ) Si T t 0, D = 0 Si T t < 0, D = T t i i i i i i (Exp. 3) En la Tabla 1, se observan las tareas (col. Job), las operaciones (col. peration) y la máquina donde se realiza cada operación (col. Machine). Para nombrar a cada operación de manera univoca se la codifica según la nomenclatura ijk, que representa la operación j de una tarea i que se debe ejecutar en la máquina k (col. Code). Además, la Tabla 1, refleja la duración (col. Duration), el tiempo deseado de entrega (col. Time-Limit), y la prioridad de ejecución (col. Priority) de cada tarea. i L JB PERATIN MACHINE CDE DURATIN (HS) TIME-LIMIT (HS) PRIRITY H L H L Tabla 1. Codificación de las peraciones, Duración, Tiempo Límite y Prioridad. El JSSP consiste en seleccionar el orden en que las operaciones deben realizarse en cada máquina de forma tal de minimizar Z 1 y Z 2 del modelo propuesto por los autores (Figura 3). i Machine M M D3 M D4 M M T1 T3 T2 T4 Time (Hs) 3. Algoritmo Híbrido Figura 3. Diagrama de Gantt - Delay Varios autores han propuesto distintos métodos para abordar el JSSP, tales como, Greedy Randomized Adaptive Search Procedures (GRASP), Tabu Search (TS), Fuzzy Logic (FL), Ant Colony ptimization (AC), Algoritmos Genéticos (AGs) y Simulated Annealing (SA) (Heinonen & Pettersson, 2007). Los algoritmos híbridos han surgido como consecuencia de la falta de capacidad de resolver el problema, utilizando únicamente, una de las heurísticas antes mencionadas. 3

4 Para el caso del JSSP, distintos autores han propuesto diferentes algoritmos híbridos (AHs), que combinan AGs con otras técnicas de búsqueda local (Park et. al, 2003), (Tsai & Lin, 2003). En particular, se pueden encontrar en la literatura AHs que combinan AGs y SA (Heinonen & Pettersson, 2007). En estos, el principal inconveniente se centra en que la búsqueda local no tiene en cuenta las restricciones entre operaciones, la precedencia, las máquinas donde se realizan dichas operaciones y por esta razón, la búsqueda local, produce gran cantidad de individuos que no incorporan una solución mejor. El AH propuesto, comprende un AG multiobjetivo que obtiene un conjunto de individuos no dominados. Luego, aplica SA con la incorporación de la noción de máscara, para obtener soluciones que mejoran los individuos cercanos a la frontera de Pareto. 3.1 Algoritmo genético En los últimos años se ha generalizado el uso de algoritmos evolutivos, en especial los AGs (Golberg, 1989), para el tratamiento de problemas NP-Completos, como una alternativa a los límites de los métodos exactos. El pseudo-código del AG, puede observarse en la Figura 4. Algorithm AG step Input: T: Task; : perations; M: Machines; utput: S: Set of Best Individuals; Var continue: boolean; n: integer; 0. Inialization Random; 1. Generate Initial population (T,,M); 2. n =0; 3. Decoder(population n); 4. continue = yes; 5. repeat 6. Fitness Evaluation (population n); 7. Fathers = Fathers Pareto Selection(); 8. Children = Crossover(Fathers); 9. Mutation(Children); 10. Decoder(Children); 11. Generate(Population + 1, Fathers, Children); 12. n=n if conditions of Termination = yes 14. then 15. continue = no; 16. end if 17. until continue = no; end Algorithm Representación del Individuo Figura 4. Pseudo-código AG - JSSP Para la utilización del AG en el JSSP fue necesario poner especial hincapié en la representación del individuo. Para la representación del genotipo del individuo, se utilizó una variante a lo planteado por (Wu et. al, 2004). El cromosoma de un individuo representa una programación, es decir, cada alelo constituye una operación de una tarea específica que se realiza en una máquina dada. De esta manera una representación binaria no es suficiente para albergar toda la información necesaria para el problema planteado. Por este motivo el cromosoma es una cadena de enteros, donde cada uno se corresponde con una operación específica, quedando establecida una relación entre un número entero (col. Allele) y una operación (col. Code) (Tabla 2). 4

5 Ž Z[\[\[][\^`_ à b ^dc_[ ev^dcfpgev^%h1a1b a1^%g]api j.k j l m no9p k qrp/1j s k jv/1/1p k j s.q j l.ivt]/`pvqo9k i j n'uqqj qs /`uq/1j o JB PERATIN MACHINE CDE ALLELE Tabla 2. Tareas, operaciones, máquina, código, alelo Sea n la cantidad de tareas a programar, l i es la cantidad de operaciones de la tarea i. La longitud del cromosoma se obtiene a partir de la Exp. 4. n l i (Exp. 4) i= 1 En la Figura 5 se puede observar el cromosoma de un individuo y las operaciones que representa. El orden de las operaciones se considera de izquierda a derecha en el cromosoma Proceso de Selección Figura 5. Cromosoma del Individuo Para la asignación del fitness a un individuo se utilizó la técnica de Pareto propuesta por (Fonseca & Fleming, 1993), con el objetivo de encontrar un conjunto de soluciones para el JSSP no dominadas. Para esto fue necesario desviarse del esquema del AG simple o elitista, el cual tiende a converger hacia una única solución e incorporar Pareto como herramienta para la selección de los individuos de la generación siguiente. Esta consiste en la construcción de un ranking de dominancia entre los individuos de la población. La posición en el ranking se establece en función de la cantidad de individuos que dominan, en términos de Pareto, a uno en particular. Luego el fitness de cada individuo se obtiene interpolando desde el mejor al peor. Por último se promedió el fitness de los individuos que se encuentran en la misma posición del ranking de manera tal que todos ellos sean muestreados en la misma proporción. Para preservar la diversidad genética, se utilizó la técnica conocida como Sharing (Fonseca & Fleming, 1995). Ésta disminuye el fitness de los individuos que se encuentran dentro de lo que se conoce como Niched. De esta manera, cuantos más individuos estén dentro de un niched menor será su fitness. Con lo cual se le resta posibilidades de reproducción futura, puesto que posee menos chances de ser seleccionado. Es decir, cuanto más alto es el tamaño del niched de una solución más degradado su valor de fitness. A partir de esto se realiza un ranking según el fitness de los individuos. Luego de que los padres son elegidos, las operaciones de cruzamiento y mutación son realizadas. 5

6 3.1.3 Cruzamiento Para el cruzamiento se eligen dos padres y se seleccionan dos puntos de corte por cada padre. Sean P 1 (Figura 6) y P 2 (Figura 7) los padres a cruzar. El primer hijo (H 1 ) (Figura 8), se obtiene de la primer parte de P 1, la sección intermedia de P 2 y el final de P 1. De manera similar ocurre con el segundo hijo (H 2 ) (Figura 9). Para evitar que se repitan operaciones (enteros en la cadena) se trabaja con un cruzamiento similar al popularmente utilizado en el Travel Salesman Problem. Se puede apreciar que H 2 es una programación no factible para el JSSP. Esto no resulta inconveniente puesto que antes de que los hijos formen parte de la nueva población serán decodificados y transformados en hijos factibles, como lo indica la estrategia de decodificación que se verá en breve Figura 6. P Mutación Figura 7. P Figura 8. H Figura 9. H 2 La mutación comprende al intercambio de dos alelos (Figura 10, alelos 3 y 12), dentro del cromosoma del individuo. Este operador sirvió para mantener la diversidad genética dentro de la población (Figura 11) Figura 10. Mutación H Figura 11. H 1 - Factible Supongamos que elegimos los alelos 10 y 7 a intercambiar (Figura 12), el resultado (Figura 13), corresponde con un cromosoma no factible para el JSSP. 6

7 Figura 12. Mutación H Decodificación de la solución Figura 13. H 1 - No Factible Dado que los operadores de cruzamiento y mutación pueden generar individuos no factibles, fue necesario introducir una estrategia de decodificación (Cheng et. al., 1996). El objetivo de esta decodificación es obtener individuos factibles a partir de cualquier permutación de enteros. Un cambio incorporado a dicha estrategia en este trabajo consiste en reemplazar los valores del cromosoma de un individuo no factible una vez decodificado a su forma factible. De esta manera no tenemos individuos repetidos que estén representados de diferente manera dentro de la población. Cabe destacar que dado que la decodificación del individuo debe ser realizada siempre, la actualización del mismo no agrega mayor tiempo de ejecución al proceso. La decodificación se realiza en cuatro etapas (Figura 9): 1era. Se escanea los genes contenidos en el cromosoma, 2do. La primera operación que sea posible realizar es sumada a la cola de la máquina en que se debe realizar. En el caso particular del individuo de la Figura 9 se muestra como se realiza el cambio de posición para respetar el orden de precedencia (Figura 14), 3ero. Se repiten las etapas 1 y 2 hasta que las operaciones sean ordenadas en las máquinas correspondientes y 4to. Se actualiza la representación del individuo (Figura 15) Figura 14. H 2 - No Factible - Decodificación Figura 15. H 2 - Factible - Resultado En el caso en particular del individuo de la Figura 13, el procedimiento de decodificación encuentra en la secuencia de cromosomas que la 324 está antes en la secuencia que la 312 (Figura 16). En este caso existe una inconsistencia en el orden de precedencia de las operaciones. Como resultado de la modificación se reordenan los índices (Figura 17) Figura 16. H 1 - No Factible - Decodificación 7

8 Simulated Annealing Figura 17. H 1 - Factible - Resultado En los últimos años, Simulated Annealing (SA), ha sido utilizado ampliamente como técnica para afrontar problemas con gran complejidad. Cuenta con una estrategia de aceptación para las nuevas configuraciones que permite salir de mínimos locales, y encontrar soluciones de alta calidad. Es una metodología simple y de gran potencialidad para ser aplicada a una gran variedad de problemas. Distintos autores han utilizado SA como herramienta para obtener soluciones para el JSSP. Para el uso de SA, en el algoritmo híbrido presentado, se introduce el concepto de máscara dentro del cromosoma de los individuos. Sea ijk, la operación j de la tarea i que se realiza en la máquina k, la máscara extrae la sub-cadena del cromosoma correspondiente a la máquina k (E k ), SA intercambia los alelos de la sub-cadena M cantidad de veces, donde M depende de la Temperatura T y de omega, parámetro de SA. Esto se realiza para cada una de las máquinas. En el caso de que el individuo resultante sea no factible se vuelve a decodificar y se obtiene la representación factible del individuo. SA compara el individuo resultante con el original, si su fitness es mejor, se almacena como la mejor solución encontrada hasta el momento. En caso contrario, se obtiene una probabilidad de quedarse con ese individuo y se vuelve a realizar todo el proceso. Luego de obtener los mejores individuos posibles, SA actualiza la lista de soluciones y termina. La Figura 18, muestra como ejemplo la etapa donde se intercambian dos operaciones de la M 2 luego de aplicar la máscara en el H 1 (Figura 8) Figura 18. Mascara H 1 - M 2 - SA La Figura 19, muestra el procedimiento para la M 1 en el H 2 (Figura 9). Cabe destacar que al finalizar el ciclo de cambio de lugar de las operaciones, se debe decodificar el individuo a fin de obtener un resultado factible (Figura 20). En la Figura 21, se puede observar el algoritmo de SA totalmente adaptado al JSSP Figura 19. Mascara H 2 - M 1 - SA Figura 20. H 2 - No Factible - Decodificación - SA 8

9 Algorithm Simulated Annealing for JSSP Input: BI: GA s best individuals; utput: BISA: SA s best individuals; Var: omega:real; n,k: Integer; TFinal: real; M: integer; I:Individual; 0. omega = Initmega(); 1. for n = 0 to Number of Individuals in BI 2. I = BI (n); 3. Sa = I; 4. T= inittemperature(); 5. while T> TFinal 6. M = (1/T) + omega ; 7. for k = 1 to M 8. for each Machine 9. Sc=TurnperationsInMachine(Sa); 10. end for 11. end for 12. Decode(Sc); 13. if Sc.IsBestThan(Sa) 14. then 15. Sb = Sc; 16. else 17. if z(0, 1) < e 18. then 19. Sa = Sc; 20. end if 21. T = alpha(t); 22. end while 23. BISA.add(Sb); 24. n = n end for end Algorithm Simulated Annealing for JSSP -(Q(Sc) - Q(Sa))/T 4. Conclusiones y Trabajo Futuro Figura 21. Pseudo-código SA - JSSP En este trabajo se presento un algoritmo híbrido para el Job-Shop Scheduling Problem (JSSP). Esta técnica híbrida combina dos meta-heurísticas, un Algoritmo Genético (AG) y Simulated Annealing (SA), con el objetivo de obtener un conjunto de soluciones al JSSP. Dado que la solución final es siempre elegida por un Decision Maker fue necesario brindar un conjunto de soluciones alternativas, las cuales se obtuvieron de manera natural con el concepto de Pareto. La etapa del AG está enmarcada en la idea de obtener individuos no dominados y no se encuentren cercanos entre sí, de tal modo, que la segunda etapa, correspondiente a SA, obtenga soluciones óptimas dentro de la vecindad de los individuos obtenidos en la etapa anterior. El JSSP es uno de los problemas NP-Completos más tratados en la literatura ya que es un tema actual, tanto a nivel académico como empresarial. Su estudio traerá grandes beneficios en ambos sentidos. Como trabajo futuro, el algoritmo híbrido debe ser probado en contraposición con otras técnicas desarrolladas, con el objetivo de establecer un marco de referencia a los resultados obtenidos. Referencias CHENG R., GEN M. & TSUJIMURA Y. A tutorial survey of jobshop scheduling problems using genetic algorithms. Part I: Representation. Computers and Industrial Engineering 30 (4) FNSECA C. M. & FLEMING P. J. Multiobjective genetic algorithms made easy: Selection, sharing and mating restriction. GALESIA, pp GLDBERG D. E. Genetic Algorithms in Search. ptimization and Machine Learning. Addison Wesley, Massachusetts HEINNEN J. & PETTERSSN F. Hybrid ant colony optimization and visibility studies applied to a jobshop scheduling problem. Applied Mathematics and Computation. Elsevier. Volume 187, Issue 2, 15 April 2007, pp In Press

10 LENSTRA J.K. & RINNY KAN A.H.G. Computational complexity of discrete optimization problems. Ann. Discrete Math. Volume: 4, pp PARK B. J., CHI H. R. & KIM H. S. A hybrid genetic algorithm for the job shop scheduling problems. Computers and Industrial Engineering. Elsevier. Volume 45, Issue 4, pp TSAI C.F. & LIN F.C. A new hybrid heuristic technique for solving job-shop scheduling problem. Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems: Technology and Applications, Second IEEE International Workshop WU C. G., XING X. L., LEE H. P., ZHU C. G. & LIANG Y.C. Genetic Algorithm Application on The Job Shop Scheduling Problem. Machine Learning and Cybernetics, Proceedings of 2004 International Conference. Volume: 4, pp vol