1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de expoete racioal. Para comprederlo mejor, veamos los siguietes ejemplos: x + x ab a x + + y x + y ( m + p ) Toda expresió algebraica esta formada por caracteres alfabéticos, que represeta a las variables, y úmeros, que so coeficietes que acompaña a las variables. Ua expresió algebraica puede estar formada por diferetes letras del alfabeto, ellas siempre represetara a las variables. Las expresioes algebraicas está compuestas por térmios. U térmio es aquella cadea de letras y úmeros separada por las operacioes de suma y de resta. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Eteras Expresió algebraica dode las variables aparece e el umerador y está afectadas sólo a expoetes aturales Ej.: x m + m + Expresioes Algebraicas Racioales Fraccioarias Expresió algebraica dode al meos ua variable está afectada a u expoete etero egativo (o figura e el deomiador) Ej.: (x +,) x + x x x + x + x Irracioales Expresió algebraica dode al meos ua variable está afectada a u expoete fraccioario (o figura bajo u sigo de radicació) Ej.: (6m m) = 6m m a a = a + + a

2 POLINOMIOS Se deomia poliomio a toda expresió algebraica racioal etera. Es decir que e él, la o las variables va a estar relacioadas por operacioes matemáticas tales como: suma, resta, multiplicació y potecia de expoete etero o egativo. La expresió geérica de u poliomio de ua sola variable (, es: P( = a. x + a. x a x a Dode:. + a i R, y se deomia coeficietes a 0, y se deomia coeficiete pricipal a 0 se deomia termio idepediete 0 x x + x x x + x Moomios Se deomia moomio a toda expresió algebraica etera de u solo térmio, es decir que e ella o iterviee operacioes de suma i resta. m pql x y Coeficiete de u Moomio Se deomia coeficiete de u moomio al úmero real que precede a dicha expresió. Si os fijamos e los ejemplos ateriores, podemos decir que e: m es el coeficiete, pql es el coeficiete, x y / es el coeficiete. Moomios Semejates Cuado dos moomios tiee las mismas variables co los mismos expoetes, decimos que éstos so semejates. O sea, sólo puede diferir sus coeficietes. m m m

3 Grado de u Moomio El grado de u moomio queda determiado por la suma de los expoetes de las variables que lo compoe. Así, tomado ejemplos ateriores, podemos decir que: m es de 6º grado, pql es de º grado, x y es de º grado. Grado de u Poliomio Dado que u poliomio está formado por dos o más moomios, el grado de u poliomio se correspoderá co el moomio de mayor grado que lo compoga. El grado de u poliomio se simboliza: gr[p(]. P( = x + x x gr[p(] = Q ( m) = m + m m gr[q(m)] = R( p) = p p + p gr[r(p)] = Poliomio Homogéeo Se deomia poliomio homogéeo a aquel que matiee el mismo grado e todos los térmios que lo compoe, e forma idepediete de las variables que itegra dicho térmio. x y p q + zpq es u poliomio homogéeo de º grado y + xy x es u poliomio homogéeo de º grado mp m q es u poliomio homogéeo de º grado Poliomio Ordeado Decimos que u poliomio está ordeado respecto de ua variable ordeatriz cuado todos sus térmios está dispuestos e forma creciete o decreciete respecto del expoete de dicha variable ordeatriz. x x + x + poliomio ordeado e forma descedete (e 6 + a 7a poliomio ordeado e forma ascedete (e a) y ay + a poliomio ordeado e forma descedete (e y) Poliomio Completo Se dice que u poliomio está completo cuado cotiee térmios de todos los grados segú la variable ordeatriz, desde el de mayor grado hasta el de grado cero.

4 Si u poliomio esta icompleto, se puede completar los térmios faltates co coeficiete cero m m + m poliomio completo y ordeado e forma descedete. ax + bx 6 poliomio completo y ordeado e forma descedete. p p + poliomio completo y ordeado e forma ascedete. p + p poliomio icompleto y ordeado e forma descedete. p + 0 p + p poliomio completo y ordeado e forma descedete. Poliomio Opuesto Dado u poliomio, se dice su poliomio opuesto es aquel que sólo difiere e el sigo de los coeficietes que lo compoe. Ejemplo: P( = x x + 9 ; su poliomio opuesto será: Q( = x + x 9 P( = x + x + x 6 ; su poliomio opuesto será: Q( = x x x + 6 Igualdad de Poliomios Se dice que dos poliomios so iguales cuado tiee el mismo grado y los mismos coeficietes e los térmios semejates. E forma geérica, podemos escribirlo de la siguiete maera: Sea los poliomios de ua sola variable: P( = a. x + a. x a x a Q. + ( = b. x + b. x b. x + b0 Se dice que P( = Q( [gr(p) = gr(q) y a = b i co i = 0; ; ; ; ] Ejemplo: Si P( = x + x, para que Q ( = mx + x + p sea su igual: sus coeficietes debe ser: m = ; = y p = 0 Poliomio Nulo Se dice que u poliomio es ulo si todos sus coeficietes so ulos. Se simboliza co 0. El poliomio ulo o tiee grado. E símbolos sería: 0 0 = 0x = 0x + 0 = 0x + 0x + 0 =...

5 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El valor umérico de ua expresió algebraica es el úmero real que se obtiee al reemplazar a las variables que iterviee e la expresió por úmeros reales determiados y luego de realizar las operacioes idicadas, siempre que sea posibles. x 6 x + para x =. () 6. () + = 9 el valor umérico para x = es igual a 9 x x + esta expresió algebraica racioal etera tiee solució para cualquier valor que le demos a x meos para cuado es x =, dado x que o es posible resolver u cociete co deomiador igual a 0 ó ulo. RAICES DE UN POLINOMIO U caso particular del valor umérico de ua expresió algebraica, es cuado dado u valor a la variable, esta resulta igual a 0 (cero), a este valor de la variable es el que deomiamos raíz del poliomio. E resume podemos decir: que u úmero real a es raíz, o cero, del poliomio P( sí y sólo sí se verifica que P(a) = 0 P ( = x para x = P ( ) = ( ) = 0 el valor umérico para x = es igual a 0; por lo tato x = es raíz del poliomio P( = x para x =, o para x =, P ( ) = ( ) = 0 y P ( ) = ( ) = 0 se verifica que P ( ) = 0 y que P ( ) = 0, por lo tato ambas so raíces, o cero, del poliomio. Los poliomios o siempre cueta co valores que satisfaga P(a) = 0; e tal caso se dice que o existe raíces reales para el poliomio. Ejemplo: P( = x + si desarrollamos, vemos que: x = ; y como vimos co aterioridad esto o tiee solució detro del cojuto de úmeros reales porque su valor o se ecuetra sobre la recta e la que se represeta estos valores.

6 6 IGUALDADES, IDENTIDAD Y ECUACIONES Igualdades Decimos que está plateada ua igualdad etre dos expresioes matemáticas cuado ambas alcaza u mismo valor umérico. Es decir que se establece ua relació de equivalecia etre ellas. ( x + y) ( x y) = x y x = x + Idetidad Decimos que existe ua relació de idetidad cuado la igualdad plateada se satisface para todos los valores posibles que pude alcazar la(s) variable(s) de cada ua de las expresioes cosideradas. ( x + ) ( x ) = x 9 ; es ua idetidad, pues se verifica para cualquier valor que se le asige a x

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