CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.

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1 Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece este término signific l cónic est rotd, en est guí sólo vmos ver B0sin termino rectngulr) CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugr geométrico de los puntos que equidistn de un punto llmdo Centro es distnci es el rdio. Ecución Cnónic: α ) β ) r Centro: α, β ) Rdio: r En I) AB Cundo en I) prece AB es del tipo Circunferenci, pero puede degenerr en un punto o en no eiste lugr geométrico. ). Hlle grfique el lugr geométrico de los puntos P,)que distn uniddes de C-,).. Trslde los ejes coordendos de form tl que el nuevo origen de coordends se C-,). Cuáles son ls coordends de C en el sistem trslddo?. Eprese l ecución de l cónic que otuvo en tomndo como referenci el sistem Ci,j). C-.) r Reemplzmos directmente en l ecución cnónic de l Circunferenci: α ) β ) r ) ) 9. Trslde los ejes coordendos de form tl que el nuevo origen de coordends se C-,). Cuáles son ls coordends de C en el sistem trslddo? ' Ls ecuciones de trslción son: ' ' ' α β donde α, β ) es el centro de l circunferenci. Eprese l ecución de l cónic que otuvo en tomndo como referenci el sistem Ci,j) Reemplzndo ls ecuciones de trslción en l ecución cnónic otenemos: ' ' 9 ) Hlle ls ecuciones de ls siguientes circunferencis:. C,-), r

2 Directmente reemplzmos el centro el rdio en l ecución cnónic de l circunferenci: α ) β ) r ) ). C,-), ps por el origen En l ecución cnónic de l circunferenci reemplzmos el centro: α ) β ) r ) ) r Como el origen pertenece l circunferenci verific l ecución: 0 ) 0 ) r r r ) ). Su centro est sore el eje Y ; que ps por A-,) B,) α ) β ) r Como el centro est sore el eje, culquier punto del eje l componente vle cero, reemplzndo en l ecución: 0) β ) r I) El punto A verific l ecución, reemplzmos en I) 0) β ) r Lo mismo el punto B: 0) β ) r Igulndo I) II) β β 9 6β β r r I) II) β β 6β 6 β β β β Reemplzndo el vlor de β en 0) β ) r ) r 9 r 6 Reemplzmos en I) : 0) β ) r r 6 6 β ) 6 6

3 . Su centro est sore l rect 0, que ps por el origen su rdio es. Si el centro α, β ) est sore l rect verific l ecución de l rect: β α Reemplzmos en l ecución cnónic de l circunferenci β α r α ) β ) r α ) α ) * Ps por el origen 0,0) pertenece l circunferenci: 0 α ) 0 α ) α α α α α α Reemplzmos en *: ) ) o ) ) ) Anlice si ls siguientes ecuciones representn circunferencis e indique, cundo se posile, ls coordends del centro el vlor del rdio:. 6 Completmos cudrdos, socimos los términos en e : ) 6 ) Dividimos el coeficiente del término linel por ese vlor v ser el segundo término del inomio) lo elevmos l cudrdo Ese término lo summos mos miemros pr que no ltere l epresión ) 6 9) ) ) Es un circunferenci de centro -,) rdio ) ) ) ) 0 0 ) ) Si oservmos tenemos dos términos elevdos l cudrdo sumndo, nunc nos puede dr un número negtivo no eiste lugr geométrico. 6 0 ) ) 6 6 9) 0 ) ) ) 0 Pr que l sum de dos términos nos de por resultdo el vlor cero puede psr que los dos términos sen opuestos o los dos nulos, como están elevdos l cudrdo l únic lterntiv es que sen cero.

4 El vlor de que hce cero el primer término es el vlor de que hce cero el segundo término es - Es el punto,-) Como podemos oservr en ests tres ecuciones, los coeficientes de los términos cudráticos son igules, ern del tipo circunferenci, pero vimos que podín degenerr en un punto o no eiste lugr geométrico. ) Pr qué vlores reles de ls siguientes ecuciones representn: i) circunferencis ii) puntos escrílos) iii) ningún lugr geométrico rel. 0 Completmos cudrdos. ) ) 8 ) 8 Circunferenci: >0 > 8 > 8 > Punto: P-,0) - P,0) No eiste lugr geométrico: 8 <0 > ) ) 6 9 ) ) 9 ) ) 9 *) 9 0 ± ± 8 8 9

5 - Culquier vlor entre 9 que reemplce en *) no d por resultdo un vlor negtivo, los demás vlores dn positivo. > ó > 9 circunferenci ó 9 Punto < > no eiste lugr geométrico 9. 6 Asocimos los términos en e en mos csos scmos fctor común ) ) ) ) Tengmos en cuent que l sumr en el º miemro est fectdo por el, entonces en el º tengo que sumr por. Lo mismo que el ) ) 0 9 ) ,0) Puntos 6, ) 9 6 >0 < no eiste lugr geométrico <0 o > 9 circunferenci ) Hlle grfique l ecución de l circunferenci con centro en el punto O,) tngente:. l eje de sciss. l eje de ordends. l rect t:- 0. l eje de sciss

6 Reemplzmos el centro en l ecución de l circunferenci α ) β ) r ) ) r El eje de sciss es el eje su ecución es 0 L intersección de l circunferenci con el eje nos d por resultdo un punto, plntemos el sistem: ) ) r 0 Reemplzmos en l ecución de l circunferenci 0 ) 0 ) r Ten gmos en cuent que l incógnit es 9 r r ) 0 Es un ecución cudrátic, cundo l resolvemos plicndo l fórmul el discriminnte c nos puede dr positivo, negtivo o cero > 0 son dos puntos 0 un punto < 0 ningún punto En nuestro ejercicio queremos que el eje se tngente l circunferenci, signific que h un solo punto en común 0 6 r ) 0 r 6 0 r 6 r 9 ) ) 9. l eje de ordends Es ectmente igul que el ejercicio nterior pero teniendo en cuent que el eje de ordends es el eje cu ecución es 0 ) ) r 0 0 ) ) r 6 9 r 6 r ) r ) r 6 0 r 6 r 0 ) ). l rect t:- 0 Despejmos de l ecución de l rect Hllmos l intersección de l rect l circunferenci, teniendo en cuent que l intersección tiene que dr un solo punto ) ) r

7 ) ) r ) 6) r r r ) r ) r 0 0r 76 r 7 7 ) ) PARÁBOLA: DEFINICIÓN: Es el lugr geométrico de los puntos P, ) que equidistn de un rect fij llmd directriz un punto fijo llmdo foco. Vértice α, β ) En l ecución generl de un cónic: A C D E F 0, pr que se del tipo práol A ó C tiene que ser cero Tengmos en cuent que un práol puede degenerr en un pr de rects, rect o no eiste lugr geométrico Eje focl prlelo l eje Vértice : α, β ) p Foco: α, β ) Directriz: Ldo recto: p Eje focl: β Ecución: β ) p α ) Eje focl prlelo l eje : Vértice : α, β ) p Foco: α, β ) Directriz: p Ldo recto: p Eje focl: β Ecución : α ) p β ) p 6) Hlle grfique el lugr geométrico de los puntos P, ) que equidistn: 6. del punto F,0) de l rect - Si diujmos l rect el foco nos dmos cuent que l práol es de eje focl coincidente con el eje que el vértice es el origen:

8 F,0) β ) p α ) p por ser V α, β ) 0,0 ) p p p Reemplzmos en l ecución 6. del punto F0,-) de l rect. Si nlizmos como en el ejercicio nterior, concluimos que eje focl es coincidente con el eje que tmién el vértice es el origen α ) p β ) p p F0,-) p -0 p ) Oteng ls ecuciones de ls siguientes práols: 7. V0,0), F-,0) El foco est sore el eje eje focl Como el vértice es el origen ecución : p p Foco-,0) p - p V0,0)ps por P 0,) su eje focl es el eje p Si ps por el punto P 0,) verific l ecución p. 9 p 9 7.V-,)F-,) Si mrcmos estos puntos concluimos que l práol es de eje prlelo l eje α ) p β ) reemplzmos ls componentes del vértice ) p ) p El foco es α, β ) -,) Si este pr ordendo le restmos ls componentes del vértice nos d p/ p p 8 Por último reemplzmos en l ecución p

9 ) 8 ) 7. Eje prlelo l eje, V,), que ps por -,-) Eje prlelo l eje β ) p α ) Vértice,) ) p ) ps por -,-) verific l ecución: ) p ) 6 p-) p -8 ) 8 ) 8) Pr cd un de ls siguientes ecuciones se pide: ) Completndo cudrdos oteng un ecución del tipo α ) p β ) ó β ) p α ) ) Efectué un trslción conveniente pr que el nuevo origen de coordends coincide con el vértice de l práol. c) Oteng ls coordends del foco del vértice, l longitud del ldo recto ls ecuciones de l directriz del eje foclsugerenci: use ls ecuciones que crcterizn l trslción). d) Grfique 8. 0 Completmos cudrdos, socimos los términos en scmos fctor común ) 9 9 ) 6 8 ) 8 ) ) 0 respuest: ) ) ) 0 Vértice :, ), práol de eje focl prlelo l eje 0

10 ' ecuciones de trslción: reemplzndo en l ecución otenid en ) ' 0 ' ' respuest ) p p p 8 SO,, ) SO,,) Vértice 0,0), ) 0 Foco 0,- ), ) Eje focl X 0-0 Directriz Y Y Ldo recto 8. ) ) ) ) ecuciones de trslción que reemplzmos en l ecución ' ' ' ' p p p SO,, ) SO,,) Vértice 0,0), ) Foco 0, ), ) Eje focl X 0-0 Directriz Y - Y- - Ldo recto

11 ) ) 7 6 ) ) 6) ) ' 6 ' ' ' p - p - p SO,, ) SO,,) Vértice 0,0) -6,) Foco -,0),) Eje focl Y 0-0 Directriz 6 Ldo recto 9) Hlle l ecución del rco prólico de se ltur h representdo en l figur. Como oservmos en l figur de l guí es un práol de eje prlelo l eje, cu ecución es: α ) p β ) I) 0,0) pertenece l práol 0 α ) p0 β ) Vértice:,h) 0 ) p0 h) p h) p - h Reemplzndo p el vértice en I) ) h) h ELIPSE: Definición: Es el lugr geométrico de los puntos P,) tles que l sum dos puntos fijos llmdos focos es constnte e igul. Semieje mor:, eje mor: Semieje menor:, eje menor Distnci focl: c Relción pitgóric de l Elipse: c

12 Ldo recto Ecentricidd c en l elipse <) En l elipse siempre > A C D E F 0 Pr que se del tipo elipse el signo de A dee ser igul l signo de C Tengmos en cuent que un elipse puede degenerr ectmente igul que un circunferenci, en un punto no eiste lugr geométrico Centro en el origen 0,0), Eje focl Vértices: ±, 0 ) Focos: ± c, 0 ) Vértices secundrios: 0, ± ) Ecución eje focl 0 Directrices ± e Ecución cnónic Centro en el origen 0,0), eje focl Vértices: 0,± ) Focos: 0, ± c ) Vértices secundrios: ±,0) Ecución eje focl 0 Directrices ± e Ecución cnónic Centro α, β ),eje prlelo l eje Vértices: α ±, β ) Focos: α ± c, β ) Vértices secundrios: α, β ± ) Ecución eje focl β Directrices α ± e α ) β ) Ecución cnónic Centro α, β ), eje prlelo l eje Vértices: α, β ± ) Focos: α, β ± c ) Vértices secundrios: α ±, β ) Ecución eje focl α

13 Directrices β ± e α ) β ) Ecución cnónic 0) Pr cd un de ls siguientes elipses, hlle los semiejes mor menor, ls coordends de vértices focos, l ecentricidd. Grfique Dividimos mos miemros por 6 9 El denomindor con mor vlor es 6 semieje mor 9 semieje menor c c c 6-9 c 7 Como est en el termino, l elipse es de eje focl Vértices: ±,0) 7 Focos ± 7,0) ecentricidd 0. 6 semieje mor semieje menor c c c - c Como est en el termino, l elipse es de eje focl Vértices: 0, ± ) Focos 0, ± ) ecentricidd

14 0. semieje mor semieje menor c c c c 6 Como est en el termino, l elipse es de eje focl Vértices: ±,0) Focos ±,0) 6 ecentricidd : 6 e. 6 e ) En cd cso hlle l ecución de l elipse que stisfce ls condiciones dds:. V, ±,0) Focos ±,0). Vértices0, ± 0) Ecentricidd. Focos 0, ± ) Ecentricidd. Ejes coincidentes con los ejes coordendos ps por,) -,). Focos ±,0), ps por,). V, ±,0) Focos ±,0) Si mrcmos estos elementos concluimos que l elipse tiene centro en el origen eje focl ecución: c que nos dn los vértices los focos, que son dtos Nos flt clculr : c c 6 9

15 9. Vértices0, ± 0) Ecentricidd Si uicmos los vértices vemos que en el punto medio est el centro 0,0) el eje focl es el eje L componente del vértice es 0 Por otro ldo nos dn como dto l ecentricidd e c Un error mu común es suponer que c ESTA MAL c 0 c c 0 c8 nos flt clculr el vlor de c c Reemplzmos los vlores otenidos en l ecución: Focos 0, ± ) Ecentricidd Con los focos deducimos que el centro est en el origen el eje focl c dto del foco c e c c Nos flt el vlor de c c Ejes coincidentes con los ejes coordendos ps por,) -,)

16 Con los ejes coincidentes con los ejes coordendos semos que el centro es el origen, pero dándonos dos puntos no semos si es de eje focl o Suponemos que es de l form después vemos que ps con l solución Los puntos pertenecen l elipse entonces verificn l ecución:,) I) -,) ) II) Igulmos I) II): Reemplzmos en II) 6. scmos fctor común dividimos por Reemplzmos los vlores otenidos en Focos ±,0), ps por,) Con los focos deducimos que el centro es el origen el eje focl es el, tmién que c c 9 * 6,) verific l ecución : 6 reemplzndo * 6 9 9)

17 ± ± - que no puede ser o 9 Reemplzndo el vlor en 9 8 Por último reemplzmos en l ecución: 8 9 ) Pr cd un de ls siguientes elipses: se pide: ) Completndo cudrdos oteng un ecución del tipo α ) β ) ) Efectué un trslción conveniente pr que O coincid con el centro de l elipse. c) Oteng ls coordends de focos, vértices, l longitud del ldo recto ls ecuciones de ls directrices del eje focl Completmos cudrdos: 8 ) 8 6) ) ) ) ) 8 dividimos por 8 ) ) ) 8 9 ) ' ' c) ' ' c c c 8 9 c 9 c

18 .9 e ldo recto, SO,, ) SO,,) Centro 0,0),-) Vértices ±,0) ±, ) Focos ±,0) ±,-) Vértices 0, ± ), ± -) Secundrios Eje focl Y 0 Y - Directrices ' ± 6 ± ) 6 9) 8 8 ) 7 ) 7 9 ) 8 ) 7 ) ) 8 9 ) ' ' c) ' ' c c c 9 8 c e 6 ldo recto SO,, ) SO,,) Centro 0,0),) Vértices 0, ± ), ± ) Focos 0, ± ), ± ) Vértices Secundrios ±,0) ±,) Eje focl X 0 X Directrices ' ± 9 ± 9

19 ) Determine el lugr geométrico de los puntos que verificn: )9 ) < 0 > 0 9 < 0) < 0 9 > 0) ) Determine los vlores reles de A, B C, pr que l elipse A B C 0 se tngente l eje de sciss en el origen de coordends pse por el punto:. -,).,-). -,) A B C 0 L elipse es tngente en el origen, signific que este pertenece. 0,0).00A.0B.0C0 C0 -,) -AB0 AB8 el eje de sciss 0 L intersección entre l elipse el eje, l ser tngente, nos d por resultdo sólo un punto igul que el ejercicio ) A B C 0 A c 0 A 0 A 0 AB8 B - Rt: AC0, B-.,-) A B C 0 0,0).00A.0B.0C0 C0,-) 6.A-B0 B.A7 A B C 0 A c 0 A 0 A 0 B.A7 B 7 Rt: AC0, B7 HIPÉRBOLA: Definición: Es el lugr geométrico de los puntos P,) tles que l diferenci, en módulo dos puntos fijos llmdos focos es constnte e igul.

20 Semieje trnsverso:, eje trnsverso: Semieje conjugdo o imginrio:, eje conjugdo Distnci focl: c Relción pitgóric de l Hipérol : c Ldo recto Ecentricidd c en l hipérol >) En l hipérol no siempre > A C D E F 0 Pr que se del tipo hipérol el signo de A dee ser distinto l signo de C Tengmos en cuent que l hipérol puede degenerr en dos rects concurrentes que serín sus síntots) Centro en el origen 0,0), Eje focl Vértices: ±, 0 ) Focos: ± c, 0 ) Vértices secundrios: 0, ± ) Ecución eje focl 0 Directrices ± e Asíntots ± Ecución cnónic término negtivo relciondo con ) Centro en el origen 0,0), eje focl Vértices: 0,± ) Focos: 0, ± c ) Vértices secundrios: ±,0) Ecución eje focl 0 Directrices ± e Asíntots ± Ecución cnónic Centro α, β ),eje prlelo l eje Vértices: α ±, β ) Focos: α ± c, β ) Vértices secundrios: α, β ± ) Ecución eje focl β Directrices α ± e

21 Asíntots β ± α ) α ) β ) Ecución cnónic Centro α, β ), eje prlelo l eje Vértices: α, β ± ) Focos: α, β ± c ) Vértices secundrios: α ±, β ) Ecución eje focl α Directrices β ± e Asíntots β ± α ) α ) β ) Ecución cnónic ) Pr cd un de ls siguientes hipérols, hlle ls longitudes de los semiejes trnsverso conjugdo, ls coordends de vértice focos, l ecentricidd ls ecuciones del eje focl, ls directrices ls síntots. Grfique eje focl, con centro en el origen semieje trnsverso 6 semieje conjugdo c c 96 c Vértices: ±,0) Focos: ±,0) A, 0, ± ) Ecentricidd e eje focl 0 directrices ± 9 Asíntots ± hipérol con centro en el origen eje focl semieje trnsverso

22 semieje conjugdo c c c Vértices: 0, ± ) Focos: 0, ± ) A, ±,0) Ecentricidd e eje focl 0 directrices ± Asíntots ± Hipérol con centro en el origen eje focl semieje trnsverso semieje conjugdo c c c Vértices: ±,0) Focos: ±,0) A, 0, ± ) Ecentricidd e eje focl 0 directrices ± Asíntots ± 6) En cd uno de los csos, oteng l ecución de l hipérol que stisfcen ls condiciones dds: 6. Vértices ±,0) Focos ± 7,0) 6. Vértices0, ± 7) e 6. e, focos en el eje, centro en el origen ps por,) 6. Vértices ±,0) Asíntots ± 6. Centro en -,), F -,) V -,) 6.6 Asíntots - 0) 0) ps por,) 6.Vértices ±,0) Focos ± 7,0) A prtir de los vértices focos deducimos: hipérol con eje focl, centro en el origen, c 7 Ecución: nos flt el vlor de c c 9-

23 6.Vértices0, ± 7) e Con el vértice deducimos que es de eje focl, con centro en el origen 7 nos flt e c c c 7 c 8 c c e, focos en el eje, centro en el origen ps por,) L ecución tiene l form: c e c c Reemplzndo en l ecución : 9 Y por último el punto,) Vértices ±,0) Asíntots ± Al uicr los vértices en los ejes deducimos que tiene eje focl, centro en el origen el vlor de, l ecución tiene l form Por otro ldo l síntot es ± donde ecución: 6 reemplzndo en l

24 6.Centro en -,), F -,) V -,) En este ejemplo el centro no est en el origen, l uicr el vértice el foco vemos que es de α ) β ) eje focl prlelo l eje, cu ecución es de l form: ) ) Centro α, β ) -,) Vértices: α, β ± )-,) si l vértice le restmos el centro nos d el vlor de : Focos: α, β ± c )-,) si l foco le restmos el centro nos d c: c Nos flt el vlor de : c c - ) ) 6.6Asíntots - 0) 0) ps por,) Si diujmos ls síntots deducimos que el centro es el origen, pero no semos si es de eje focl o, pero l mrcr el punto que pertenece l hipérol deducimos que es de eje focl De l síntot se deduce que:., reemplzndo en l ecución 9 por último el punto,): ) Pr cd un de ls siguientes ecuciones que corresponden hipérols: se pide: ) Completndo cudrdos oteng un ecución del tipo α ) β ) ± ) Efectué un trslción conveniente pr que O coincid con el centro de l hipérol. c) Oteng ls longitudes de los semiejes trnsverso conjugdo, ls coordends de focos, vértices, l ecentricidd ls ecuciones del eje focl de ls síntots. d) Grfique

25 Completmos cudrdos ) ) ) ) ) ) ) ) ' ' ' ' semieje trnsverso semieje conjugdo c c c 6 8 c ecentricidd e 6. ldo recto So, ) So,,) Centro 0,0),-) Vértices ±,0) ±,-) Focos ± 6,0) ± 6,-) A, 0, ± ),- ± ) Eje focl Y 0 Y0 síntots Y ± Y ± -) ) 9) 9 9 ) 9 ) ) ) ) ) 9 ' ' ' ' 9 semieje trnsverso 9 semieje conjugdo c c 9 c ecentricidd e c.9 ldo recto 9 6 6

26 So, ) So,,) Centro 0,0) -,) Vértices 0, ± ) -, ± ) Focos 0, ± ) -, ± ) A, ±,0) - ±,) Eje focl X 0 X0 síntots Y ± Y- ± ) 8) Oteng l ecución cnónic, identifique grfique ls siguientes cónics: ) ) 9 9 ) 9 8 ) 8 6) 6 ) 6 ) ) 9 Elipse con Centro -,),eje focl // l eje ± 6 8 rects //.. 6 ± ) ) 9

27 ) ) ) ) 0 ) ) ó ) ) 6 9) ) ) ) rects concurrentes ) ) 9 Hipérol de eje trnsverso // l eje con centro -,-) 8. 0 ) ) ) ) ) ) - ó rects concurrentes ) ) ) 0 Es un punto el 0,-)

28 9) 9. Pr cd p>0, l ecución: p p ) p p represent un elipse. Determine en función de p) l ecentricidd ls coordends de los focos. 9. deduzc l ecución crtesin de l hipérol que tiene los mismos focos que l elipse de l prte ), que tiene ecentricidd. 9. Pr cd p>0, l ecución: p p ) p p represent un elipse. Determine en función de p) l ecentricidd ls coordends de los focos. p p ) p p ) como p>0 podemos segurr que pp) 0, podemos dividir por est epresión p p ) p p ) p p ) el mor de los dos denomindores es p es de eje focl, centro en el p ) p origen de coordends p p Pr poder clculr el foco necesitmos el vlor de c c c p-p c c c Foco ±,0) ecentricidd e p p 9. deduzc l ecución crtesin de l hipérol que tiene los mismos focos que l elipse de l prte ), que tiene ecentricidd. Foco ±,0) e L hipérol tiene centro en el origen el eje focl es, c c e e En l hipérol c c - Reemplzndo los vlores otenidos en l ecución otenemos:

29 0) Oteng todos los vlores reles de siendo que el eje focl de l hipérol: 0. ) ) es prlelo l eje de sciss es prlelo l eje de sciss el eje trnsverso mide es prlelo l eje de ordends el eje trnsverso mide ) ) es prlelo l eje de sciss Si es de eje l ecución es de l form:, por lo tnto el primer término, en, es positivo el segundo negtivo -)>0 <0 [ ] 0) 0 0) 0 < < < > > 0) < > < < es prlelo l eje de sciss el eje trnsverso mide Completmos cudrdos llevndo l ecución l form cnónic : 0 6 ) ) 6 9 ) 9) 6 8 ) ) 8 ) 8 ) Si l hipérol es prlel l eje de sciss tiene l form: ) ) β α El eje trnsverso es , reemplzndo este vlor en el segundo término de l ecución me d por resultdo un vlor negtivo, que es correcto pr que nos de un hipérol. Rt: es prlelo l eje de ordends el eje trnsverso mide ) 6 ) 6 )

30 ) α ) β ) Si l hipérol es prlel l eje de ordends tiene l form: El eje trnsverso es , reemplzndo este vlor en el segundo término de l ecución me d por resultdo un vlor negtivo, que es correcto pr que nos de un hipérol. Rt: - ) Anlice l ecución h ) h m) en cd uno de los siguientes csos:. >h>m. m>h>. h>>m. >h>m h-<0 por ser h < h-m>0 por ser h>m h ) h m) el primer término es negtivo el segundo positivo, es un hipérol de eje focl o trnsverso. m>h> h->0 h-m<0 h ) h m) el primer termino es positivo el segundo es negtivo, es un hipérol de eje focl. h>>m h->0 h-m>0 h ) h m) los dos términos son positivos, es un elipse Vmos nlizr si puede ser un circunferenci: Pr que se un circunferenci los coeficientes de los dos términos deen ser igules:h-h-m de lo cul se deduce que m, es flso, por lo tnto nunc puede ser circunferenci Rt: Elipse ) Clsifique ls siguientes ecuciones pr los distintos vlores de : ) 8

31 . 0 0 H dos vlores que no puede tomr que son los que hcen cero los denomindores: pr 0 0 l ecución no est definid Tenemos que nlizr el signo que puede tener cd término dependiendo de los vlores de. Puede psr que los dos términos sen positivos simultánemente l ecución representrí un elipse 0->0 0->0 <0 <0 <0 Si son los dos términos negtivos: no eiste lugr geométrico 0-<0 0-<0 >0 >0 >0 Si el primer término es negtivo el segundo positivo: es un hipérol de eje focl 0-<0 0->0 >0 <0 0,0) L últim lterntiv es que el primer término se positivo el segundo negtivo 0->0 0-<0 <0 >0 { } no h ningún vlor de simultánemente menor que 0 mor que 0) Rt: <0 Elipse 0,0) hipérol de eje focl >0 no eiste lugr geométrico 0 0 no est definid l ecución. no est definid pr pr culquier de, siempre es positiv ->0, los dos términos son positivos represent un elipse -<0, el primer término positivo el segundo negtivo, represent un hipérol de eje focl Rt: < hipérol de eje focl > distinto de ) Elipse no est definid. 8 ) 8 8 ) 8 ) si oservmos los vlores que nuln los términos son 8 0, vmos nlizr que ps con estos vlores: 8 l ecución qued de l form: es el eje pr todo vlor de, vle cero) eje

32 A prtir de est ecución 8 ) 8 ) si 8 0 dividimos mos miemros por 8-): 8 ) Y prtir de cá nlizmos como los ejercicios nteriores >0 8->0 >0 <8 0,8) Elipse <0 8-<0 <0 >8 no eiste ningún vlor de que cumpl est condición simultánemente >0 8-<0 >0 >8 >8 hipérol de eje <0 8->0 <0 <8 <0 hipérol de eje Rt: <0 hipérol de eje 0 eje 0,8) Elipse 8 eje >8 hipérol de eje ) Clsifique l ecución A B ) 0 en cd uno de los siguientes csos:. A > 0; B >. A > 0; B. A 0; B <. A 0; B >. A > 0; B > Si B>l B->0 signo coeficiente de es igul l signo del coeficiente de cónic es del tipo Elipse Si AB- es del tipo Circunferenci. A > 0; B L ecución qued de l form: A 0 Al estr un vrile elevd l cudrdo l otr linel es un práol de eje focl.. A 0; B < L ecución qued del tipo : B ) 0 Práol de eje focl. A 0; B > B ) 0 Práol de eje focl l ) Clsifique l ecución h ) m 0 en cd uno de los siguientes csos:. h m. h -; m 0. h ; m 0

33 . h 0; m. h m Si reemplzmos en l ecución nos qued : 0 completmos cudrdos ) 8 ) 6 8 ) Práol de Vértice ) 8, de eje focl. h -; m 0 Si reemplzmos en l ecución 0 ) m h Nos qued de l form: 0 ) Práol de eje focl Vértice -,0).h ; m 0 0 ) m h 0 rects prlels.h 0; m 0 completmos cudrdos ) ) 9 ) )

34 Circunferenci con centro, ) CONICAS ROTADAS. Clsificr ls siguientes cónics: ) - -0 ) c) Rts: ) Cónic degenerd en un punto ) Elipse rel c) Dos rects concurrentes. Clsificr hllr los elementos de ls cónics: ) ) Rts.: ) Elipse rel C0,-) Ejes --0, 9-0 ) Hipérol rel C/,-)

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