UNIDAD 13 LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA

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1 UNIDAD 13 LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA Objetivo general. Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los elementos que caracterizan a la circunferencia y a la parábola en las soluciones de ejercicios y problemas. Objetivos específicos: 1. Recordarás cuáles son las curvas cónicas y porqué se les da ese nombre; la ecuación general de segundo grado y las condiciones para que una ecuación cuadrática represente a cada sección cónica.. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general. 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas. 4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general. 5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación.

2 13. Objetivo 1. Recordarás cuáles son las curvas cónicas y porqué se les da ese nombre, la ecuación general de segundo grado y las condiciones para que una ecuación cuadrática represente a cada sección cónica. El geómetra y astrónomo griego Apolonio de Pérgamo que vivió del año 6 ac al 180 ac, en su obra Las Cónicas describió las curvas que se obtienen al seccionar un cono con un plano. Como puede observarse en la Figura 1.1, la intersección de un cono doble infinito por un plano, determina diferentes curvas según la inclinación del plano con respecto al eje del cono. Así, Fig. 1.1 a) Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección determina una circunferencia. b) Si el plano no es perpendicular al eje del cono y su inclinación es tal que divide al cono en dos partes, se determina una elipse.

3 13.3 c) Si el plano forma un ángulo dado con el eje del cono y es paralelo a un plano tangente al cono, la curva que determina es una parábola. d) Si el plano es paralelo al eje de ambos conos, las intersecciones son las dos ramas de la curva llamada hipérbola. Debido a esta característica, se les llama curvas cónicas, secciones cónicas, o simplemente cónicas. Aun cuando las cuatro curvas mencionadas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola se obtienen a partir del cono, en realidad la circunferencia puede considerarse un caso especial de la elipse cuando los ejes mayor y menor tienen la misma longitud. Igual que en el caso de la recta, todas las curvas se definen como el lugar geométrico de un punto que se mueve cumpliendo ciertas condiciones. En la unidad anterior se vio que toda ecuación de primer grado representa una recta; en esta unidad se revisarán las cuatro curvas cónicas, cuya representación algebraica está dada por una ecuación de segundo grado. Conviene recordar que la forma general de una ecuación de segundo grado en dos variables y y es: A By Cy D Ey F 0 donde todos los coeficientes son constantes y al menos uno de los tres primeros, A, B ó C, es diferente de cero. El indicador o discriminante de una ecuación cuadrática definido como I B 4AC permite determinar qué clase de curva representa la ecuación. Una ecuación cuadrática representa: 1. Una parábola, si B 4AC 0. Una elipse, si B 4AC 0 3. Una hipérbola, si B 4AC 0

4 13.4 Objetivo. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general. Definición. La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de manera que se encuentra siempre a la misma distancia de un punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio de la circunferencia. Figura.1 Si C(h, k) es el punto fijo, r la distancia constante y P(, y) el punto que se mueve manteniéndose siempre a una distancia r del punto C, la epresión algebraica de la definición es: d CP r h y k r h y k r

5 13.5 Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r. A esta epresión se le llama forma canónica de la ecuación de la circunferencia. Cuando el centro de una circunferencia está en el origen del sistema cartesiano, es decir C(0, 0), la ecuación se transforma en: 0 y 0 r y r Ejemplos: 1.) Para escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 13 la respuesta es inmediata aplicando la fórmula anterior, en la que se sustituye en el segundo miembro el valor del radio: y r y 13 y 169.) Para encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto P(3, 4), como el centro de la circunferencia está en el origen y se conoce un punto por el que pasa, es posible determinar el valor del radio y, con estos tres datos: h, k y r, escribir la ecuación. d r = CP d = 5 CP r = 5 Por lo tanto la ecuación es y 5

6 ) Para encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C(, 4) y tangente al eje y, al graficar las condiciones del problema se observa que por ser tangente al eje y, la circunferencia pasa por el punto P(0, 4). Figura E.1 Luego se determina el valor del radio, que es la distancia del centro al punto de tangencia: r 1 = 0 = Como la circunferencia tiene su centro fuera del origen, la formula que debe emplearse es h y k r y 4 y 4 4

7 ) Para determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje, y pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6), como ya se conoce la ordenada del centro de la circunferencia, que es cero por estar sobre el eje, se debe determinar la abscisa. Por tanto se formula que el centro está en C(h, 0), con h desconocida. Puesto que todos los puntos de la circunferencia equidistan del centro, d d CA CB 1 h h h 9 4 h 36 1 h h h h 10 h 5 8h 6h 4 h 7 36 Entonces, el centro es el punto C(7, 0). Para determinar la ecuación se necesita el valor del radio, que es la distancia de un punto al centro: r = d CA r La ecuación de la circunferencia con centro en (7, 0) y radio 45 es 7 y y 45

8 13.8 Figura E. Dada la ecuación de una circunferencia en la forma canónica, es posible epresarla en la forma general al desarrollar los binomios cuadrados, reducir términos semejantes e igualar a cero la ecuación. Ejemplos: Obtención de la forma general de las ecuaciones de las circunferencias correspondientes a los ejemplos 1 al 4 anteriores: 5.) y 169 En este caso no hay binomios por desarrollar, así que la forma general se obtiene al igualar a cero el segundo miembro: y ) y 5 Como en el caso anterior, la forma general se obtiene al igualar a cero el segundo miembro: y 5 0

9 ) y 4 4 Se desarrollan los binomios cuadrados: 4 4 y 8y 16 4 Se suman algebraicamente los términos constantes, igualando a cero el segundo miembro y ordenando por grado los términos de la ecuación: 8.) 7 y 45 y 4 8y 16 0 Se desarrolla el único binomio que aparece y se iguala a cero: La ecuación es y y ) Para obtener la ecuación, en forma general, de la circunferencia que pasa por los puntos A( 8, 3) y B(4, 5) y cuyo centro está sobre la recta 3y 14 0 es muy conveniente representar primero la figura a partir de las condiciones dadas. Figura E.3a

10 13.10 El centro de la circunferencia se encuentra sobre la bisectriz del segmento AB (la recta perpendicular en el punto medio del segmento) y está en la intersección de esa bisectriz con la recta dada; por lo tanto, se debe encontrar la ecuación de la bisectriz de AB y la intersección de ambas rectas para conocer las coordenadas del centro. Con este punto y cualquiera de los puntos A o B, se determina su distancia, que es el radio de la circunferencia. Figura E.3b La bisectriz del segmento AB pasa por el punto medio del segmento y su pendiente es reciproca y de signo contrario a la de AB : Punto medio de AB : 1 = y 1 y y = = = 1 Pendiente del segmento AB: m AB y 1 = y = 8 1 3

11 13.11 Pendiente de la bisectriz de AB : 1 = m AB 1 3 = 3 Ecuación de la bisectriz de AB : y y y m( ) y y 4 0 Intersección de las rectas 3 y 4 0 y 3y 14 0 Se despeja una variable de la primera ecuación: Se sustituye en la segunda ecuación: 3 y y 3 y 4 3y y 8 9y 4 0 5y 50 y 10 Se sustituye este valor en la epresión para : = La intersección es el punto ( 8, 10), que es el centro de la circunferencia.

12 13.1 Figura E.3c Radio de la circunferencia: r = d CA r La circunferencia que pasa por los puntos A( 8, 3) y B(4, 5) y cuyo centro está sobre la recta 3y 14 0, tiene su centro en C( 8, 10) y su radio es 13, por lo que su ecuación en la forma canónica es: y, en la forma general: 8 y y y 0y y 5 0 Objetivo 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas.

13 13.13 La forma general de la ecuación de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio r es: h y k r h h y ky k r 0 y h ky h k r 0 Si se compara esta epresión con la forma general de la ecuación cuadrática, A By Cy D Ey F 0 y, dado que h, k y r son constantes, la forma general de la ecuación de la circunferencia puede reescribirse como y D Ey F 0 donde la relación entre los coeficientes de la forma cuadrática y los de la ecuación de la circunferencia es tal que: La epresión para r A = C = +1 D = h ; E = k; F = h + k r ; B = 0 h k D E D E 4F r 4 se obtiene al sustituir h y k por sus igualdades correspondientes en términos de D y E. Conviene observar que el numerador ( D E 4F ) puede ser positivo, cero o negativo y, puesto que su raíz cuadrada es el valor del radio de la circunferencia: a) Si D E 4F 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en el D E punto, y radio igual a 1 D E 4F

14 13.14 b) Si D E 4F 0, se dice que la ecuación representa un círculo punto o nulo, si D E bien geométricamente representa sólo un punto de coordenadas, c) Si D E 4F 0, se dice que representa un círculo imaginario, aunque en geometría real, no representa un lugar geométrico. En la ecuación de una circunferencia hay tres constantes que son arbitrarias e independientes. En la forma canónica son h, k y r, y en la forma general son D, E y F; por ello para determinar la ecuación de cualquier circunferencia se requiere conocer los valores de tres constantes. Analíticamente esto significa que la ecuación de una circunferencia se determina completamente por tres condiciones independientes. A diferencia de la ecuación de una recta, que está determinada por dos condiciones (por ejemplo dos puntos), para encontrar la ecuación de una circunferencia, si se trata de puntos, se deben conocer tres puntos por los que pase. Ejemplos: 1.) A partir de la ecuación y 10 6y 15 0, para obtener la forma canónica se procede en forma inversa a como se hizo en el objetivo anterior, es decir, se deben obtener los términos h y y k independiente que resulte., y pasar al segundo miembro el término En este ejemplo la ecuación se divide por para obtener coeficientes unitarios en las variables, y, y 5 3y Luego, las cantidades que se agregan en el primer miembro para completar el desarrollo de los binomios cuadrados, se deben agregar también en el segundo para obtener una ecuación equivalente: 15

15 y 3y y 16 Por lo tanto, la ecuación representa a una circunferencia con centro en igual a , y radio Otra manera de resolver este problema consiste en aplicar las epresiones en términos de D, E y F para determinar las coordenadas del centro y el valor del radio. En éste, y en cualquier caso, siempre será necesario que los coeficientes de y y sean unitarios y positivos, de modo que lo primero que debe hacerse es dividir por la ecuación: Ahora D = 5, E = 3, F = 15 y y 0 Coordenadas del centro: D E, 5 3 =, = 5 3, Radio: r = 1 = D E 4F = = 4.) Para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( 1, 1), (3, 5), (5, 3) se utiliza la ecuación en la forma general y D Ey F 0 En este caso se deben conocer los valores D, E y F. Como la circunferencia pasa por los puntos dados, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación anterior: Para el punto ( 1, 1): 11 D E F 0

16 13.16 Para el punto (3, 5): 9 5 3D 5E F 0 Para el punto (5, 3): 5 9 5D 3E F 0 Se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: D, E y F, que se resuelve con alguno de los métodos conocidos. Utilizando el método de determinantes: D E F 3D 5E F 34 5D 3E F D = E F Al sustituir estos valores en la forma general se obtiene: y y 0 5 Si se quiere epresar la ecuación con coeficientes enteros, se multiplica por 5:

17 y 3 8y ) Para determinar el centro y el radio de la circunferencia del ejemplo anterior se toma la ecuación con los coeficientes de y y unitarios. Luego se pueden completar los trinomios cuadrados o utilizar las epresiones con D, E y F. Siguiendo este último procedimiento: Centro: 3 D, 5 D E, = 8 E, F 5, =, Radio: r = D E 4F = = = r = 44 5 Objetivo 4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general. Definición. La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que siempre está a la misma distancia de una recta fija, llamada directriz, y de un punto fijo llamado foco que no pertenece a la recta. Ambos (directriz y foco) situados en el mismo plano de la parábola. Los principales elementos de la parábola y su nomenclatura se señalan en la figura 4.1:

18 13.18 Figura 4.1 Donde V: Vértice de la parábola F: Foco de la parábola d: Directriz de la parábola a: Eje de la parábola: Recta que pasa por F y es perpendicular a d LR: Lado recto de la parábola: Cuerda focal perpendicular a su eje p: Distancia del vértice al foco y también del vértice a la directriz Se define también un concepto llamado ecentricidad, como la razón de las longitudes de los segmentos de un punto P(, y) de la parábola, a la directriz y al foco: e FP Pd Como por la definición del lugar geométrico de la curva las distancias son iguales, la ecentricidad de una parábola es igual a 1: FP e = 1 Pd

19 13.19 La parábola siempre es simétrica con respecto a su eje, y la posición de éste determina la posición de la curva en el plano cartesiano: el eje será horizontal si es paralelo al eje (Fig. 4.), vertical si es paralelo al eje y (Fig. 4.3), o inclinado si tiene esta posición respecto a los ejes (Fig. 4.4). En esta Guía no se trata el último caso, que se resuelve mediante la rotación de los ejes coordenados. Figura 4. Figura 4.3

20 13.0 Figura 4.4. Si el eje de la parábola es horizontal, la curva puede abrir hacia la derecha o hacia la izquierda; si su eje es vertical puede abrir hacia arriba o hacia abajo. En cualquier caso, siempre envuelve a su foco. Para obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje de la parábola el eje, se considera un punto P(, y) de la curva, el foco localizado en el punto F(p, 0) y un punto de la directriz, de coordenadas A( p, y), que cumple con la definición. Estos elementos se representan en la figura 4.5: Figura 4.5

21 13.1 Aplicando la definición del lugar geométrico de la curva, la distancia del foco F al punto P es igual a la distancia de P al punto A de la directriz: FP PA donde p y 0 FP y PA p Al sustituir en la primera epresión se obtiene la ecuación: p y = p p y p p p y p p y 4 p Ésta es la ecuación de una parábola con V(0, 0), F(p, 0) y eje el eje. La ecuación de la directriz es = p. Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha; si p < 0 abre hacia la izquierda. Si la parábola tiene el vértice en el origen pero su eje es el eje y, las coordenadas del foco son (0, p) y su ecuación es: FP PA FP 0 y p PA p y 0 y p p y y py p = p py y 4 py

22 13. La ecuación de la directriz para esta curva es y p. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba; si p < 0, abre hacia abajo. En ambos casos, la longitud del lado recto es el valor absoluto del coeficiente del término de primer grado: Las ecuaciones LR 4 p y 4 p y 4 py se conocen, cada una, como forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice en el origen. Ejemplos: 1.) El procedimiento para encontrar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y su representación en el plano, si la parábola tiene su vértice en el origen, pasa por el punto P(4, ) y su eje coincide con el eje y, es el siguiente: Como el eje coincide con el eje de las ordenadas, la ecuación es de la forma 4 py y las coordenadas de P(4, ) deben satisfacer a esta ecuación, es decir: Por lo tanto, la ecuación de la parábola es 4 4 p 16 8p p 4 py ; 8y Las coordenadas del foco resultan: F(0, p) = (0, ) La ecuación de la directriz es:

23 13.3 y p y ( ) La longitud del lado recto queda como: LR 4 p 8 Figura E 4.1.) Para encontrar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco y la longitud del lado recto, si la parábola tiene el vértice en el origen y su directriz es la recta 5 0, se procede así: De la ecuación de la directriz se sabe que esta recta se encuentra 5 unidades a la izquierda del eje y, paralela a él y por la ubicación de la directriz se deduce que el foco está 5 unidades a la derecha del origen sobre el eje, por lo tanto F(5, 0)

24 13.4 Entonces la parábola tiene su eje sobre el eje, y puesto que p = 5 > 0, abre hacia la derecha. La ecuación es de la forma y 4 p y 45 y 0 LR 0 Para localizarla en el plano se encuentran algunos puntos: Para = y = 1 0 ± ± ± ± 8.94 Figura E 4.

25 ) Si una cuerda de la parábola y 4 se encuentra sobre la recta y 3 0 puede determinar su longitud al recordar que, por definición, se llama cuerda al segmento de recta que une dos puntos de la curva. Por tanto, ambos puntos deben satisfacer la ecuación de la curva y también la ecuación de la recta, puesto que se encuentran sobre ella., se Para resolver las ecuaciones en forma simultánea, se puede despejar a de la ecuación de la recta y sustituirla en la de la parábola: y 3 y y 4 y 3 8y 1 0 Al aplicar la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado: y y y 6 1 y y los valores de se obtienen sustituyendo cada valor de y en la ecuación y 3: y, 6 3 Para 1 6 Para = 9; un etremo de la cuerda es el punto (9, 6) y, 3 = 1; el otro etremo es (1, ) La longitud de la cuerda es la distancia entre los dos etremos: d = = 80 = 4 5.

26 13.6 En tanto que el origen es sólo un punto del plano, es más común que el vértice de una parábola se encuentre en cualquier otro punto. Las fórmulas que se obtienen enseguida corresponden a la forma canónica de una parábola que tiene su vértice en un punto del plano de coordenadas (h, k), y su eje paralelo -no necesariamente coincidente- a uno de los ejes coordenados. Figura 4.6a Figura 4.6b

27 13.7 En las figuras 4.6a y 4.6b se observa que si se traslada el origen del plano al punto (h, k), y a los nuevos ejes cartesianos se les denota como y y, las ecuaciones de las parábolas con vértice en el nuevo origen son: a) eje paralelo al eje : y' 4 p'... (1) b) eje paralelo al eje y: ' 4 py'... () Puesto que la relación entre las coordenadas del sistema original y las del sistema trasladado es: ' h y y' k entonces ' h y' y k Al sustituir estas epresiones en la ecuación (1) se obtiene: y k 4 p h Que es la ecuación de una parábola con vértice en (h, k) eje paralelo al eje foco en (h + p, k) ecuación de la directriz: h p longitud del lado recto: 4p Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha; si p < 0 la parábola abre hacia la izquierda. Sustituyendo en la ecuación (), se obtiene: Que es la ecuación de una parábola con vértice en (h, k) h 4 py k

28 13.8 eje paralelo al eje y foco en (h, k + p) ecuación de la directriz: y k p longitud del lado recto: 4p. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba; si p < 0, abre hacia abajo: Ejemplos: 4.) Para encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos ( 4, 3) y ( 1, 3), respectivamente, al representarlas en el plano se observa que: el eje de la parábola es paralelo al eje, luego su ecuación es del tipo y k 4 p h de las coordenadas del vértice y del foco se determina que k = 3; h = 4 y h + p = 1, por lo que p 1 h p Como p > 0, la parábola abre hacia la derecha. Figura E 4.3

29 13.9 Sustituyendo los valores obtenidos se determina la ecuación de la parábola: y y La ecuación de su directriz es h p La ecuación de su eje, que es la recta donde se encuentran el foco y el vértice, resulta: y 3 y ) La directriz de una parábola es la recta y 1 0 y su foco es el punto (4, 3). Por la ecuación de la directriz se sabe que la parábola tiene su eje paralelo al eje y, por lo que su ecuación será de la forma: h 4 py k También se sabe que la ecuación de la directriz es del tipo y k p, por lo tanto y 1 0 implica que y 1, luego k p 1 Las coordenadas del foco son (h, k + p), de ahí que h = 4, k + p = 3 Estas dos ecuaciones con dos incógnitas: k y p, se resuelven como un sistema de ecuaciones simultáneas y se obtiene: La ecuación de la parábola es k 1 p 1 p p 3 p 4 p k 1 k 1 h 4 py k

30 y 1 4 8y 1 Como p < 0, la parábola abre hacia abajo. Figura E ) Dada la parábola la siguiente manera: y se pueden encontrar todos sus elementos de En el binomio cuadrado está la variable y, por lo tanto la parábola tiene su eje paralelo al eje ; las coordenadas del vértice son h = 1 y k = 5, y también aparece que 4 p p 4 4 Su foco se localiza en el punto (h + p, k), es decir en 1 4, 5 = 3, 5 La ecuación de su directriz, h p, es 1 4; 5 0 La longitud del lado recto: 4 p es LR y, como p < 0, la parábola abre hacia la izquierda.

31 13.31 Figura E 4.5 Una parábola está representada por una ecuación cuadrática pero, a diferencia de las otras cónicas, únicamente tiene un término cuadrático: el término en si su eje es vertical, o el término en y si su eje es horizontal. La forma general de la ecuación de la parábola se obtiene efectuando las operaciones indicadas, sumando los términos semejantes e igualando a cero el segundo miembro. Ejemplos: Obtención de la forma general de la ecuación de las parábolas de los tres ejemplos anteriores: 7.) y Se desarrollan el binomio cuadrado y el producto que aparece en el segundo miembro: y 6y Se pasan todos los términos al primer miembro, se suman los términos independientes y se ordenan como ocurre en la ecuación general de segundo grado:

32 13.3 y 1 6y ) 4 8y 1 Se siguen los mismos pasos: efectuar las operaciones indicadas en ambos miembros y 8 Sumar términos semejantes, ordenar e igualar a cero: 8 8y ) y y 10y y 16 10y ) Para determinar las coordenadas del vértice y del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz, de la parábola cuya ecuación es 3 9 5y 0, como la ecuación de la curva está en la forma general debe encontrarse la forma canónica. El procedimiento es inverso a lo hecho en los ejemplos anteriores. Ahora hay que completar el trinomio y factorizar tanto el binomio cuadrado del primer miembro como el binomio del segundo miembro; así se obtendrán las coordenadas del vértice y el valor de p. Como en la forma canónica el coeficiente de la variable elevada al cuadrado es unitario, la ecuación se divide entre 3: 5 3 y Se reacomodan los términos dejando en el primer miembro los que se factorizarán en el binomio cuadrado, y se agrega en el segundo el término que se sumó en el primero para completar el trinomio:

33 y y Se factorizan el trinomio y el binomio para obtener las coordenadas (h, k) del vértice y el valor de 4p: De aquí se obtiene: Directriz: y k p ; 3 h y y k p ; 3 V 3 7, 4 p F h, k p, =, LR 4 p y ; y ; y ) La ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los puntos (3, 5) y (3, 3) se encuentra de la siguiente manera: Por los puntos (3, 5) y (3, 3) se sabe que el eje de la parábola es paralelo al eje, y su ecuación es del tipo y k 4 p h El lado recto es la longitud del segmento LR = 64 8 Como LR 4 p, entonces 8 4 p 8 4 p 8 p 4

34 13.34 El doble signo es porque no se sabe si la parábola abre hacia la derecha o hacia la izquierda. Como el foco de la parábola se encuentra en el punto medio del lado recto, sus coordenadas son: = 3 ; y 1 F(3, 1) a) Si la curva abre a la derecha p es positiva. Entonces p = +, y el vértice se encuentra a unidades a la izquierda del foco. Sus coordenadas son: V(h p, k) = (3, 1) = (1, 1) En este caso la ecuación de la parábola es: y en la forma general: y y y La directriz es: h p y al sustituir los valores de h y de p resulta: b) Si la curva abre a la izquierda p es negativa, p =, y el vértice estará a unidades a la derecha del foco; en tal caso V(h p, k) = [3 ( ), 1] = (5, 1) La parábola tiene por ecuación y en la forma general y y y La directriz es: h p :

35 13.35 La gráfica de las dos curvas se muestra en la siguiente figura. Figura E 4.6 RESUMEN DE FÓRMULAS FÓRMULA y 4 p ELEMENTOS eje coincidente con el eje vértice en (0, 0) foco en (p, 0) ecuación de la directriz: = p longitud del lado recto: 4p p > 0 abre hacia la derecha p < 0 abre hacia la izquierda 4 py eje coincidente con el eje y vértice en (0, 0) foco son (0, p) ecuación de la directriz: y p longitud del lado recto: 4p

36 13.36 p > 0 abre hacia arriba p < 0 abre hacia abajo y k 4 p h eje paralelo al eje vértice en (h, k) foco en (h + p, k) ecuación de la directriz: h p longitud del lado recto: 4p p > 0 abre hacia la derecha p < 0 abre hacia la izquierda. h 4 py k eje paralelo al eje y vértice en (h, k) foco en (h, k + p) ecuación de la directriz: y k p longitud del lado recto: 4p p > 0 abre hacia arriba p < 0 abre hacia abajo. Objetivo 5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación. Dada la forma general de una ecuación de segundo grado que no contenga el término en y: A Cy D Ey F 0 1. Si A = 0, C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje.

37 13.37 Sin embargo, si A = 0, C 0 pero D = 0, la ecuación no representa una parábola. En este caso si las raíces de la ecuación Cy Ey F 0 son a) reales y diferentes, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje b) reales e iguales, representa dos rectas coincidentes paralelas al eje c) complejas, no representa lugar geométrico alguno.. Si A 0, C = 0 y E 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje y. Pero si A 0, C = 0 y E = 0, la ecuación no representa una parábola. Como en el caso anterior, si las raíces de la ecuación A D F 0 son a) reales y diferentes, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y b) reales e iguales, representa dos rectas coincidentes paralelas al eje y c) complejas, no representa lugar geométrico alguno. Ejemplos: 1.) Para determinar el lugar geométrico que representa la ecuación 4 0 4y 97 0, se observa que en esta ecuación de segundo grado A 0, C = 0, E 0. Por tanto, representa una parábola con su eje paralelo al eje y..) Para determinar el lugar geométrico que define la ecuación y se efectúan las operaciones indicadas para poder analizar la estructura de la ecuación: y y y 4y y y 4y 3 0 Esta ecuación cuadrática corresponde al caso en que A = 0, C 0 pero D = 0, por lo que no representa a una parábola.

38 13.38 Si se aplica la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado donde a = 1, b = 4, c = 3: b b 4ac y = a y = 4 8 = y y y y Cada una de estas epresiones representa una recta paralela al eje : la primera a una distancia de unidades arriba del eje, y la segunda a unidades abajo del eje. En forma similar a lo que ocurre con la circunferencia, en la ecuación de la parábola eisten tres constantes arbitrarias independientes o parámetros: h, k y p. Por ello, la ecuación de cualquier parábola, cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados, puede determinarse a partir de tres condiciones independientes. Ejemplo: 3.) Para encontrar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje y pasa por los 3 puntos,1, (0, 5) y ( 6, 7), como el eje de la parábola es paralelo al de las abscisas, en la ecuación que se busca el término que aparece al cuadrado es el de y Para resolver este problema es conveniente utilizar la forma general de la ecuación de la parábola: Cy D Ey F 0 Como C debe ser diferente de cero, se divide la ecuación por C: y D C E C y F C 0

39 13.39 D Si se cambia de nombre a las variables, para simplificar la epresión: D', C F F', la ecuación queda como: C y D' E' y F' 0 E E', C De manera que para encontrar la ecuación de la parábola, deberán determinarse las tres constantes D, E y F, a partir de los tres puntos por los que pasa la curva. Sustituyendo las coordenadas de cada punto en la ecuación anterior, se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas que se resolverán como ecuaciones simultáneas. 3 3 Para,1 : 1 D ' E' F' 0 Para (0, 5) : 5 + 5E ' F' 0 Para ( 6, 7): 49 6D ' 7E' F' 0 El sistema puede escribirse como: 3 D ' E' F' 1... (1) 5E ' F' 5... () 6D ' 7E' F' (3) De () se despeja a F : F' 5 5E' 3 Se sustituye F en (1): D ' E' 5 5E' 1 3 D ' 6E' 4 3D ' 1E' (4) Se sustituye en (3): 6D ' 7E' 5 5E' 49 6D ' 1E' 4 3D ' 6E' 1... (5)

40 13.40 Restando (4) (5): 3D ' 1E' 48 3D ' 6E' 1 18E ' E ' 18 Sustituyendo en (4): 3D ' 1E' 48 Sustituyendo en F : 48 3D ' D ' 8 3 F' 5 5E' F ' Se sustituyen estos valores en la ecuación: y D' E' y F' 0 y se obtiene la ecuación de la parábola que pasa por los puntos dados y su eje es paralelo al eje : y 8 y 15 0