1 Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R 0503) Dinámica de Rotación

Transcripción

1 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara 050) Diámica de otació E las rotacioes, tal como e las traslacioes, existe ua iercia y u pricipio que la rige. El pricipio de iercia para rotació dice que todo cuerpo e reposo permaecerá e reposo, y todo cuerpo e movimieto rotatorio seguirá co ese movimieto, salvo que sobre él actúe torques exteriores que le obligue a modificar esos estados. Así, todo cuerpo e rotació costate tiede a mateer costate su vector velocidad agular. E la figura apreciamos a ua persoa tratado de mover el eje de ua rueda. Debido a la iercia rotacioal, si la rueda gira co velocidad agular A) ercia otacioal ula, cuesta mover su eje, mietras que si la velocidad agular es ula, resulta fácil cambiar la direcció del eje. Mometo de ercia Cuado u objeto rígido como el de la figura gira co ua velocidad agular ω, existe ua eergía ciética asociada a su rotació. El cuerpo puede ser descompuesto e u gra úmero de pequeñas partículas, cada ua de masa m co rapidez tagecial v, y ua distacia del cetro de rotació. Cada partícula tiee asociada ua eergía ciética: K m v La eergía ciética K de todo el objeto rígido es la suma de las eergías ciéticas de las partículas que la compoe. Así: K K m v Figura ) ersoa tratado de girar ua rueda Figura ) Cuerpo rígido girado Las diversas partículas posee diferetes velocidades tageciales, pero como el objeto es rígido, todas las partículas tiee el mismo módulo de velocidad agular ω. Usado la relació v ω, podemos escribir la eergía ciética del objeto rígido como: Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara K m ( ω ) Los factores ½ y ω so iguales para todos los sumados, así que puede sacarse fuera de la suma: K m ω odemos escribir la eergía ciética del objeto rígido como: ω ω K m Dode es el mometo de iercia (o iercia rotacioal) del objeto, defiido como: m El mometo de iercia se mide e [kg m ] (MKS) y es ua catidad física escalar. Como se desprede de la defiició, depede de: Las masas de las partículas del objeto rígido. La distacia etre las partículas y el eje de giro E geeral, u mismo cuerpo tiee diferetes mometos de iercia depediedo del eje de giro. E u objeto o sistema de masas, mietras más lejos esté las masas de u sistema del cetro de giro, mayor es el mometo de iercia y más cuesta hacerlo girar. Así, los sistemas mostrados e la figura, e los cuales la masa está cerca del eje de giro, tiee baja iercia rotacioal, por lo que so fáciles de girar. or el cotrario, los sistemas de la figura 4 tiee mayor cocetració de masa lejos del eje de giro, por lo que su mometo de iercia es mayor y so por tato más difíciles de hacer girar La idea de mometo de iercia permite explicar la razó de ciertos feómeos de la vida cotidiaa: E la figura 5a se aprecia dos pédulos, uo corto y otro largo. Como el pédulo corto tiee meor iercia rotacioal que el pédulo largo, resulta más fácil hacerlo oscilar, lo que es coherete co el hecho de que su frecuecia de oscilació es mayor. Figura ) Sistemas co masas cercaas al eje de giro Figura 4) Sistemas co masas cercaas al eje de giro

2 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara Sosteiedo ua vara larga, el equilibrista de la cuerda floja de la figura 5b aumeta su iercia rotacioal. Así, se hace más difícil que vuelque producto de u evetual desequilibrio, dispoiedo de tiempo suficiete para reajustar su cetro de masa mietras avaza. Dadas distribucioes de masa semejates, las patas cortas tiee meor iercia rotacioal que las patas largas. Así, los aimales de patas cortas puede correr más rápido que los de patas largas, como la jirafa de la figura 5c. Observado la figura 5d, podemos eteder porqué doblamos las pieras al correr. Al hacerlo, reducimos su iercia rotacioal, co lo que se hace más fácil hacerlas girar. E el caso de los cilidros de igual masa cayedo e u plao icliado mostrados e la figura 5e, el cilidro sólido (masa repartida e todo el cilidro) tiee meor iercia rotacioal que el cilidro hueco (que tiee toda la masa cocetrada lejos Figura 5) Mometo de iercia y la vida cotidiaa. (a) pédulo; (b) equilibrista; (c) aimales de patas largas y cortas. (d) persoa corriedo; (e) cilidros cayedo e u plao icliado. Figura 6) Ejes de giro del cuerpo humao del eje de giro del cilidro): Luego, el cilidro sólido rodará más aprisa, y llegará ates al puto más bajo del plao icliado. El cuerpo humao puede girar libremete y e forma estable alrededor de los tres ejes pricipales de rotació mutuamete perpediculares, que se muestra e la figura 6. Estos so: logitudial, medio y trasversal. La iercia rotacioal más pequeña es respecto al eje logitudial (eje vertical que va de la cabeza a los pies) pues la mayor parte de la masa se cocetra alrededor de este eje. or ello, resulta más fácil rotar alrededor del eje logitudial que de los otros dos. 4 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara Mometo de ercia de diferetes cuerpos. Figura Descripció Valor del Mometo de ercia édulo Simple Aro girado e toro a su eje ormal Aro girado e toro a u diámetro Aro girado e toro a ua líea tagete Cilidro aular (aillo), co respecto al eje del cilidro m( + ) m m ml + 4 a su Cetro de Masa m l de uo de sus extremos m l m 5 Cilidro sólido, co respecto al eje del cilidro Cilidro de largo L alrededor de u diámetro cetral Barra delgada girado e toro Barra delgada girado e toro Esfera rellea girado e toro a cualquiera de sus diámetros Esfera hueca (cascaró esférico) girado e toro a cualquiera de sus diámetros m

3 5 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara laca rectagular girado e Teorema de los Ejes aralelos U cuerpo tiee ifiitos mometos de iercia, pues e úmero de ejes de giro que podría teer es ifiito. Existe ua relació simple etre el mometo de iercia de u cuerpo de masa M alrededor de u eje que pasa por el cetro de masa y el mometo alrededor de cualquier otro eje paralelo al origial pero desplazado ua distacia d. Esta relació es el teorema de los ejes paralelos, y dice que: + Md A cotiuació, se demostrará este teorema toro a su Cetro de Masa m( a + b ) laca rectagular girado e toro a uo de sus bordes. ma Tomado como referecia el cuerpo rígido de la figura, cosidere dos ejes paralelos al eje z, uo que pasa por el cetro de masa y otro que pasa por. El orige O de uestro sistema está e el cetro de masa (x y z 0). El eje de por el cetro de masa pasa por el puto O. El eje paralelo pasa por el puto, cuyas coordeadas (x, y) so (a,b). La distacia etre este eje y el eje que pasa por cetro de masa es d, dode d a + b Cosidere ua partícula de masa m, a distacias x, y y z del orige O. El mometo de iercia e toro al cetro de masa es: El mometo de iercia e toro a es: m x + y m x a y b + Figura 7) Cuerpo rígido (demostració del teorema de los ejes paralelos) 6 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara Sumado partículas que coforma el cuerpo rígido completo, se puede calcular que el mometo total de iercia e toro al cetro de masa es: m x + y or otra parte, el mometo de iercia e toro a es: Expadiedo los cuadrados y reagrupado: Aalizado los térmios: ( ) + ( ) m x a y b m x ax a y by b m x + y a m x b m y + m a + b m x + y a m x ax 0 b m y by 0 m a + b m d d m Md Fialmete, + Md, co lo que queda demostrado el teorema de los ejes paralelos. B) º ricipio de ewto para otació Cosidere el cuerpo rígido de la figura 8, formado por partículas, cada ua de masa m y a distacia r del cetro de giro 0, y que sufre ua fuerza eta F.

4 7 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara La fuerza eta se descompoe e ua compoete radial F rad, que o ejerce torque, y e ua compoete tagecial F ta, que si ejerce torque. La º Ley de ewto para la compoete tagecial es, e magitud: F m a ta ta Dado que es u cuerpo rígido, todas las partículas tiee la misma aceleració agular α. La aceleració tagecial de la -ésima partícula se puede expresar e fució de la aceleració agular como: a r α ta eemplazado, se llega a: Fta m r α Multiplicado a ambos lados por r, se llega a: or defiició: F r m r α ta τ F r ta Dode τ es el torque aplicado sobre la -ésima partícula. Luego Sumado los torques sobre las partículas Como vimos e la secció aterior, τ m r α τ m r α α m r m r Dode es el mometo de iercia total del cuerpo rígido Figura 8) Demostració del º ricipio de ewto para otació 8 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara Así, se llega a la º Ley de ewto para la rotació de u cuerpo rígido. τ α Euciado: La suma de los torques aplicados al cuerpo es igual al producto de su mometo de iercia y su aceleració agular. C) Movimieto combiado de traslació y rotació. Cuado ua rueda está rodado, experimeta simultáeamete ua traslació y ua rotació e toro a su eje. Así, el movimieto de cuerpos que rueda es la combiació de u movimieto de traslació y de uo de rotació. Si embargo, tambié se puede aalizar el problema de u cuerpo que rueda como si su movimieto fuera de rotació pura. Cosidere el cilidro de radio basal y masa M que rueda e ua superficie horizotal mostrado e la figura 9. E u istate cualquiera, la parte baja del cilidro se ecuetra e reposo e la superficie, puesto que o desliza. El eje ormal al plao de la Figura 9) Cuerpo rodado figura que pasa por el puto de cotacto se llama eje istatáeo de rotació. E ese istate, la velocidad lieal de toda partícula del cilidro tiee ua direcció perpedicular a la líea que ua la partícula co, y su magitud es proporcioal a esa distacia. Esta situació equivale a decir que, e ese istate, el cilidro gira alrededor de u eje fijo que pasa por co ua cierta velocidad agular ω. Luego, e u istate dado, el movimieto del cuerpo es equivalete a ua rotació pura. Luego, la eergía ciética total es: K ω Dode es el mometo de iercia co respecto al eje que pasa por. Del teorema de los ejes paralelos: + M Dode es el mometo de iercia del cilidro de masa M y radio co respecto a u eje paralelo que pasa por su cetro de masa. eemplazado, la eergía ciética total queda: K ( + M ) ω ω + M ω

5 9 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara Como la velocidad del cetro de masa co respecto a es igual que la velocidad de co respecto al cetro de masa, la velocidad agular del cetro de masa co respecto a es igual que la velocidad agular de co respecto al cetro de masa. Si ωv es la velocidad co que se está moviedo el cetro de masa del cilidro co respecto a : K ω + M v Este resultado se puede iterpretar de la siguiete maera: K Ktras + Krot Dode Ktras M v Eergía ciética asociada al movimieto de traslació Krot ω Eergía ciética asociada al movimieto de rotació Así, tal como se muestra e la figura 0, los efectos combiados de la traslació del cetro de masa y de la rotació e toro a u eje que pase por el cetro de masa so equivaletes a ua rotació pura co la misma velocidad agular co respecto a u eje que pasa por el puto de cotacto de u cuerpo que va rodado. Figura 0) Movimieto combiado de rotació y traslació como movimieto de rotació pura. v 0 Ua fuerza tagecial que actúa sobre u cuerpo e rotació efectúa u trabajo Supoga que ua fuerza tagecial Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara v v v ω v 0 D) Trabajo y Eergía e el Movimieto de otació F ta actúa e el borde de ua rueda pivotate, como por ejemplo la iña que corre empujado el tiovivo mostrada e la figura ª, y cuyo esquema se muestra e la figura b. La rueda gira u águlo ifiitesimal dθ alrededor de u eje fijo u tiempo ifiitesimal dt. El trabajo dw efectuado por la fuerza F ta mietras u puto del borde se mueve ua distacia ds es: Si dθ se mide e radiaes, ds dθ, por lo que dw F ds ta (a) (b) Figura ) iña empujado u tiovivo. (a) retrato de la situació; (b) esquema de la situació Co referecia a la figura, se puede establecer que e el puto Q v v v + ω v + v Q v Como τ Fta, se tiee que: dw F dθ dw ta τdθ E el puto C tegrado sobre u desplazamieto etre θ y θ: E el puto vc v + 0 v Figura ) Cuerpo e movimieto combiado de rotació y traslació ara torque de magitud costate W θ θ τdθ

6 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara W τ θ θ τ θ Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara τ kθ Usado la º Ley de ewto para rotació, co mometo de iercia costate y α aceleració agular costate: Desarrollado la tegral dω dθ dw τdθ αdθ dθ dω ωdω dt dt ω W ωdω ω ω ω Que es el teorema del trabajo y la eergía para la rotació de u cuerpo rígido. Dividiedo dw τdθ por dt, os queda dw dθ τ dt dt Como dw/dt es la potecia y dθ/dt es la velocidad agular ω, se llega fialmete a que édulo de Torsió) τω E) MAS otacioal Es u disco suspedido de u alambre fijo al cetro de masa del disco, como el ilustrado e la figura. El alambre está firmemete uido a u soporte sólido y al disco. E la posició de equilibrio del disco se traza ua líea radial desde el cetro hasta, como se muestra e la figura. Si el disco se hace girar e u plao horizotal hasta la posició radial Q, el alambre se tuerce. El alambre torcido ejercerá u mometo de rotació sobre el disco, tediedo a regresarlo a la posició. Este es u mometo de rotació (torque) restaurador. ara pequeñas torsioes se ecuetra que el mometo Figura ) édulo de Torsió restaurador es proporcioal al mometo de la torsió, o sea, al desplazamieto agular (ley de Hooke para rotacioes), de maera que: La costate κ se llama costate de torsió y depede de las propiedades del alambre. El sigo meos idica que el torque eto tiee setido opuesto al desplazamieto agular. (Torque restaurador) Aplicado el º ricipio de ewto para rotacioes, vemos que la ecuació de movimieto para este sistema es: eemplazado τ α d θ dt d θ d θ κθ κθ dt dt Esta ecuació es la de u movimieto armóico simple (MAS) agular. Es aáloga a la del MAS lieal, pudiedo ecotrarse las siguietes correspodecias co el sistema masa-resorte édulo de Torsió Desplazamieto (x) Masa (m) Costate de elasticidad del resorte (k) Así, por simple aalogía, se puede establecer los siguietes parámetros: osició agular e fució del tiempo: θ ( t ) θ cos ( ω t + δ ) Frecuecia agular: κ ω. κ Frecuecia de oscilació: f π eríodo de oscilació: T π κ édulo Físico o eal Es u cuerpo rígido cualquiera istalado de maera que pueda oscilar e u plao vertical e toro de algú eje que pase por éste. Es ua geeralizació del pédulo simple. ara pequeñas oscilacioes, el aálisis casi ta fácil como el de éste. ara el pédulo real de la figura 4, se defie: 0 Sistema Masa-esorte Águlo (θ) Mometo de ercia () Costate de torsió del resorte (κ) Figura 4) édulo físico

7 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara m: masa del pédulo θ: Águlo de giro. O: eje de giro : Mometo de iercia del cuerpo alrededor de O. d: distacia de O al cetro de masa E la posició de equilibrio, el cetro de masa está exactamete debajo del pivote O. Cuado el pédulo se desplaza a la posició mostrada e la figura y se suelta, el peso mg causa u torque de restitució: τ m g d si ( θ ) ara valores pequeños de θ, si(θ) θ, el movimieto es aproximadamete MAS 4 Física Geeral aralelos 05 y. rofesor odrigovergara eríodo de oscilació: T π mgd De la ecuació del período del pédulo se puede despejar el mometo de iercia del cuerpo. T π mgd 4π T mgd dode el período, la masa y la distacia al cetro de masa se puede medir directamete. Co esta ecuació podemos calcular el mometo de iercia de cualquier cuerpo, pues basta hacer oscilar el cuerpo e toro a cualquier puto distito al cetro de masa, medir T, m y d y hacer el cálculo respectivo. τ m g d θ La ecuació del movimieto es: τ α d θ dt eemplazado d θ d θ mgd m g d θ dt dt Esta ecuació es la de u movimieto armóico simple (MAS) agular. Es aáloga a la del MAS lieal, pudiedo ecotrarse las siguietes correspodecias co el sistema masa-resorte θ édulo Físico Desplazamieto (x) Masa (m) Costate de elasticidad del resorte (k) Sistema Masa-esorte Águlo (θ) Mometo de ercia () roducto m g d Así, por simple aalogía, se puede establecer los siguietes parámetros: osició agular e fució del tiempo: θ ( t ) θ cos ( ω t + δ ) Frecuecia agular: ω mgd mgd Frecuecia de oscilació: f π 0