Escuela Politécnica Superior Ingeniería Informática Universidad Autónoma de Madrid

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1 Tema 3: Sistemas de Numeración. Codificación Binaria Ingeniería Informática Universidad Autónoma de Madrid 1 O B J E T I V O S Sistemas de Numeración. Codificación Binaria Conocer los diferentes sistemas de numeración y los códigos alfanuméricos. Aplicar las operaciones aritméticas a los números binarios Conversión entre los diferentes sistemas de numeración. Expresar y sumar números en BCD. TEMA 3: SISTEMAS DE NUMERACIÓN. CODIFICACIÓN BINARIA 3.1 Sistemas de numeración 3.2 Operaciones aritméticas en binario 3.3 Código BCD. Aritmética BCD 3.4 Representación de números con signo 3.5 Representación de números en punto fijo y coma flotante 3.6 Códigos alfanuméricos Bibliografía Tema 3: - Fundamentos de Sistemas Digitales. T. L. FLOYD. 7ª Ed. (Prentice Hall, 2000). Cap Introduction to Computer Hardware and Data Communications. P.-A. GOUPILLE. (Prentice Hall, 1993). Capítulos 2, 3 y 4. 2

2 SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL El sistema de numeración decimal con sus diez dígitos, de 0 hasta 9, es un sistema en base diez. La posición de cada dígito en un número decimal indica la magnitud de la cantidad reservada, y se le puede asignar un peso. Los pesos para los números enteros son potencias positivas de diez, que aumentan de derecha a izquierda, comenzando por 10 0 = Para fraccionarios, os, los pesos son potencias negativas de diez que aumentan de izquierda a derecha, comenzando por , Coma decimal 3 SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL El valor de un número decimal es la suma de los dígitos después de haber multiplicado cada dígito por su peso. Ejemplo: Expresar el número decimal 47 como suma de los valores de cada dígito. Solución. Como indican sus respectivas posiciones, el dígito 4 tiene un peso de 10, que es El dígito 7 tiene un peso de 1, que corresponde a = ( 4 x 10 1 ) + ( 7 x 10 0 ) =(4x10)+(7x1)=40+7 4

3 SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Ejemplo: Expresar el número decimal 568,23 como suma de los valores de cada dígito. Solución. El dígito 5 de la parte entera del número tiene un peso 100, es decir 10 2 ; el dígito 6 tiene un peso de 10, que corresponde a El dígito 8 tiene un peso de 1, que es 10 0 ; el dígito 2 de la parte fraccionaria tiene un peso 0,1, es decir 10-1 ;yeldígito3tieneun peso de 0,01 que es ,23 = (5 x 10 2 )+(6x10 1 )+(8x10 0 )+(2x10-1 )+(3x10-2 ) = (5 x 100) + (6 x 10) + (8 x 1) + (2 x 0,1) + (3 x 0,01) = ,2 + 0,03 5 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO El sistema de numeración binario solo tiene dos dígitos. El sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos. Los dígitos binarios (bits) son 0 y 1. La posición de un 1 o de un 0 en un número binario indica su peso, o valor dentro del número, así como la posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. Los pesos de un número binario están basados en las potencias de dos. 6

4 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Contar en Binario Por ejemplo, se requieren cuatro bits para contar desde 0hasta15.Engeneral, con n bits se puede contar hasta un número igual a 2 n -1. Máximo número decimal = 2 n -1 Así, con 5 bits (n =5) se puede contar desde 0 hasta 31: = 32 1 = 31 Con 6 bits (n =6) se puede contar desde 0 hasta 63: 2 6-1=64 1=63 7 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Número decimal Número binario

5 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Estructura de Pesos de los Números Binarios Un número binario es un número con peso. El bit más a la derecha es el bit menos significativo (LSB, Least Significant Bit) en un número entero binario y tiene un peso de 2 0 =1. Los pesos de los respectivos bits crecen de derecha a izquierda según las potencias de dos. El bit más a la izquierda es el bit más significativo (MSB, Most Significant Bit), y su peso depende del tamaño del número binario. Los números con parte fraccionaria también se pueden representar en binario, colocando bits a la derecha de la coma binaria. 9 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Estructura de Pesos de los Números Binarios En un número binario con parte fraccionaria, el bit más a la izquierda es el MSB, y tiene un peso de 2-1 = 0,5. Los pesos fraccionarios de los respectivos bits decrecen de izquierda a derecha según las potencias negativas de dos. La estructura de pesos de un número binario es: 2 n , n Coma binaria i donde n es el número de bits a partir de la coma binaria. 10

6 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Estructura de Pesos de los Números Binarios Tabla de Pesos Binarios Potencias positivas de dos (número entero) Potencias negativas de dos (número fraccionario) /2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 0,5 0,25 0,125 0,0625 0, , CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL El valor decimal de cualquier número binario se puede determinar sumando los pesos de todos los bits que son 1, y descartando los pesos de todos los bits que son 0. Ejemplo: Convertir el número entero binario a decimal. Solución. Sedeterminaelpesodecadabitqueestáa1, y luego se obtiene la suma de los pesos para obtener el número decimal: Peso: Número binario: = = =109 12

7 CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL Ejemplo: Convertir el número binario fraccionario 0,1011 en decimal. Solución. En primer lugar se determina el peso de cada bit que está a 1, y luego se suman los pesos para obtener la fracción decimal: Peso: Número binario: 0, ,1011 = = 0,5 + 0, ,0625 = 0, CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO Método de la Suma de Pesos - Una forma de calcular el número binario equivalente a un número decimal dado es determinar el conjunto de pesos binarios, cuya sumaesigual al número decimal. - Ejemplo: Convertir los siguientes números decimales a formato binario: (a) 12 (b) 25 (c) 58 (d) 82 Solución. (a) 12 = = (b) 25 = = (c) 58 = = (d) 82 = =

8 CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO Método de la División Sucesiva por 2 - Un método sistemático para convertir a binario enteros decimales es el proceso de la división sucesiva por 2. - Por ejemplo, para convertir a binario el número decimal 12, comenzamos dividiendo 12 entre 2. Luego cada cociente resultante se divide por 2 hasta que se obtiene un cociente cuya parte entera es 0. - Los restos generados en cada división forman el número binario. El primer resto es el bit menos significativo (LSB) y el último resto es el bit más significativo (MSB) del número binario. 15 CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO Método de la División Sucesiva por 2 -Ejemplo: Resto 12 = = = Parar cuando la parte entera del cociente sea 0 1 = MSB LSB 16

9 CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIO Método de la Suma de Pesos - El método de la suma de pesos se puede aplicar a números decimales fraccionarios. Por ejemplo: 0,625 = 0,5 + 0,125 = = 0,101 Lo que indica que en la posición 2-1 hay un 1, en la posición 2-2 un 0 y en la posición 2-3 un 1. Método de la Multiplicación Sucesiva por 2 - Los números decimales enteros se pueden convertir a números binarios mediante la división sucesiva por 2. - Los números decimales fraccionarios pueden convertirse en números binarios mediante la multiplicación sucesiva por CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIO Método de la Multiplicación Sucesiva por 2 - Por ejemplo, para convertir a binario el número decimal fraccionario 0,3125, empezamos multiplicando por 2, y después se multiplica li cada parte fraccional resultante del producto por 2, hasta que el producto fraccionario sea cero o hasta que se alcance el número deseado de posiciones decimales. - Los dígitos acarreados, o acarreos, generados por las multiplicaciones dan lugar al número binario. - El primer acarreo que se obtiene es el MSB, y el último es el LSB. 18

10 CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIO Método de la Multiplicación Sucesiva por 2 -Ejemplo: MSB LSB Acarreo,0101 0,3125 x 2 = 0, ,625 x 2 = 1,25 1 Continuar hasta obtener el número de posiciones decimales deseadas, o parar cuando la parte fraccional sea toda cero 0,25 x 2 = 0,50 0 0,50 x 2 = 1, SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL - El sistema de numeración hexadecimal es un sistema en base dieciséis, es decir, está formado por 16 dígitos y caracteres alfabéticos: 0-9 y A-F F. - La mayoría de los sistemas digitales procesan grupos de datos binarios que son múltiplos de cuatro bits, lo que hace al número hexadecimal muy adecuado, ya que cada dígito hexadecimal se representa mediante un número binario de 4 bits. 20

11 SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL Decimal Binario Hexadecimal A B C D E F 21 CONVERSIÓN BINARIO-HEXADECIMAL - El procedimiento de conversión de un número binario a hexadecimal consiste en los siguientes pasos: (a) se parte el número binario en grupos de 4 bits, comenzando por el bit más a la derecha; y (b) se reemplaza cada grupo de 4 bits por su símbolo hexadecimal equivalente. 22

12 CONVERSIÓN BINARIO-HEXADECIMAL Ejemplo: Convertir a hexadecimal los siguientes números binarios: (a) (b) Solución. (a) (b) C A 5 7 = CA F = 3F CONVERSIÓN HEXADECIMAL-BINARIO - Para convertir un número hexadecimal en un número binario se realiza el proceso inverso, reemplazando cada símbolo hexadecimal, por el grupo de cuatro bits adecuados. 24

13 CONVERSIÓN HEXADECIMAL-BINARIO Ejemplo: Determinar los números binarios que correspondanalossiguientesnúmeroshexadecimales: (a) 10A4 16 (b) CF8E 16 (c) Solución. (a) 1 0 A 4 (b) C F 8 E (c) CONVERSIÓN HEXADECIMAL-DECIMAL - Método 1: para encontrar el equivalente decimal de un número hexadecimal, primero, convertir el número hexadecimal a binario, y después, el binario a decimal. 26

14 CONVERSIÓN HEXADECIMAL-DECIMAL Ejemplo: Convertir a decimal los siguientes números hexadecimales: (a) 1C 16 (b) A85 16 Solución. Primero, hay que convertir a binario el número hexadecimal, y después a decimal: (a) 1 C = = = (b) A = = = CONVERSIÓN HEXADECIMAL-DECIMAL - Método 2: para convertir un número hexadecimal a su equivalente decimal, multiplicar el valor decimal de cada dígito hexadecimal por su peso, y luego realizar la suma de estos productos. - Los pesos de un número hexadecimal crecen según las potencias de 16 (de derecha a izquierda). - Para un número hexadecimal de 4 dígitos, los pesos son:

15 CONVERSIÓN HEXADECIMAL-DECIMAL Ejemplo: Convertir a decimal los siguientes números hexadecimales: (a) E5 16 (b) B2F8 16 Solución. LasletrasdelaAhastalaFrepresentanlos números decimales de 10 hasta 15, respectivamente. (a) E5 16 = (E x 16) + (5 x 1) = (14 x 16) + (5 x 1) = = (b) B2F8 16 = (B x 4096) + (2 x 256) + (F x 16) + (8 x 1) = (11 x 16 3 ) + (2 x 16 2 ) + (15 x 16 1 ) + (8 x 16 0 ) = (11 x 4096) + (2 x 256) + (15 x 16) + (8 x 1) = = CONVERSIÓN DECIMAL-HEXADECIMAL - La división sucesiva por 16 de un número decimal generará el número hexadecimal equivalente formado por restos de las divisiones. - El primer resto que se genera es el dígito menos significativo (LSD). - Cada división sucesiva por 16 dará un resto que será dígito del número hexadecimal equivalente. - Et Este procedimiento i es similar il a la diiió división sucesiva por 2 para la conversión decimal-binario. 30

16 CONVERSIÓN DECIMAL-HEXADECIMAL Ejemplo. Convertir a hexadecimal el número decimal 650 por el método de la división sucesiva por 16. Resto hexadecimal 650 = 40,625 0,625 x 16 =10 = A = 2,5 0,5 x 16 = 8 = = 16 0,125 0,125 x 16 = 2 = 2 Parar cuando la parte entera del cociente sea 0 Dígito más significativo 2 8 A Número hexadecimal Dígito menos 31 significativo SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL - El sistema de numeración octal está formado por ocho dígitos, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. - Puesto que el sistema de numeración octal es un sistema en base ocho, cada posición sucesiva de dígito es una potencia superior de ocho, empezando por el dígito situado más a la derecha con

17 CONVERSIÓN OCTAL-DECIMAL - La evaluación de un número octal en términos de su equivalente decimal se consigue multiplicando cada dígito por su peso y sumando los productos. Por ejemplo, para se tiene: Peso : Número Octal: = (2 x 8 3 ) + (3 x 8 2 ) + (7 x 8 1 ) + (4 x 8 0 ) = (2 x 512) + (3 x 64) + (7 x 8) + (4 x 1) = = CONVERSIÓN DECIMAL-OCTAL - Un método para convertir un número decimal en un número octal es el método de la división sucesiva por 8. - Cada división sucesiva por 8 da un resto que será un dígito del número octal equivalente. - El primer resto que se genera es el dígito menos significativo. - Por ejemplo, convertir a octal el número decimal

18 CONVERSIÓN DECIMAL-OCTAL 359 = 44,875 0,875 x 8 = = 5,5 0,5 x 8 = = 8 0,625 0,625 x 8 = 5 Parar cuando la parte entera del cociente sea 0 Dígito más significativo Número octal Dígito menos significativo 35 CONVERSIÓN OCTAL-BINARIO - Puesto que cada dígito octal se puede representar mediante un número binario de 3 dígitos, para convertir un número octal en un número binario, simplemente se reemplaza cada dígito por el correspondiente grupo de tres bits. - Cada dígito octal se representa mediante tres bits, como se muestra en la siguiente tabla: Dígito octal Binario

19 CONVERSIÓN OCTAL-BINARIO Ejemplo: Convertir a binario los siguientes números octales: (a) 13 8 (b) 25 8 (c) (d) Solución. (a) 1 3 (b) 2 5 (c) (d) CONVERSIÓN BINARIO-OCTAL OCTAL -Laconversióndeunnúmerobinarioaunnúmerooctal es el inverso de la conversión de octal a binario. - El procedimiento es el siguiente: se comienza por el grupo de tres bits más a la derecha y, moviéndose de derecha a izquierda, se convierte cada grupo de 3 bits en el dígito octal equivalente. - Si para el grupo más a la izquierda no hay disponibles tres bits, se añaden uno o dos ceros para completar el grupo. Estos ceros no afectan al valor del número binario. 38

20 CONVERSIÓN BINARIO-OCTAL OCTAL Ejemplo: Convertir a octal los siguientes números binarios: (a) (b) (c) (d) Solución. (a) (b) = = (c) (d) = = RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS 1. Propiedad de sistemas posicionales Si se tienen dos bases b 1 y b 2 tales que b 1 =(b 2 ) k, los dígitosdelarepresentaciónenlabaseb 1 se pueden obtener agrupando los dígitos de la base b 2 en grupos de longitud k y representando en base b Objetivos de las bases: Representaciones más legibles para el usuario. Representaciones de fácil conversión a binario. 40

21 RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS Representación Octal Sistema Posicional: Base8 Conjuntodedígitos{0,1,2,3,4,5,6,7}. 41 RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS Conversiones 1. Conversión binario octal Las bases involucradas cumplen la condición de la propiedad: 8=2 3 Las conversiones se pueden hacer agrupando los dígitos binarios de 3 en 3: - Comenzando por el bit menos significativo. - Completando a la izquierda, si fuera necesario. 42

22 RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS Conversiones 1. Conversión binario octal Ejemplos: = (se agrupan de 3 en 3) = (se pasa a octal) = (se pasa a binario, 3 bits, dígito a dígito) = Conversión decimal octal Mismos algoritmos que decimal binario 43 RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS Representación Hexadecimal Base 16 Sistema Posicional: Conjuntodedígitos{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Valores: - A 16 = B 16 = C 16 = D 16 = E 16 = F 16 =

23 RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS Conversiones 1. Conversión binario hexadecimal Las bases involucradas cumplen la condición de la propiedad: 16 = 2 4 Las conversiones se pueden hacer agrupando los dígitos binarios de 4 en 4: - Comenzando por el bit menos significativo. - Completando a la izquierda, si fuera necesario. 45 RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS Conversiones 1. Conversión binario hexadecimal Ejemplos: = (se agrupa de 4 en 4) = (se pasa a hexadecimal) 2DC 16-10C 16 = (se pasa a binario, 4 bits, dígito a dígito) = Conversión decimal hexadecimal Mismos algoritmos que decimal binario 46

24 RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIAS Conversiones 3. Conversión hexadecimal octal Se suele utilizar el paso intermedio a binario. Ejemplo: - 70A1F 16 = (se pasa a binario) = (grupos de 3) = (paso a octal) OPERACIONES EN BINARIO PURO 1. Suma Binaria - Las cuatro reglas básicas para sumar dígitos binarios son: Tabla de la suma dígito a dígito = 0 Suma 0 con acarreo = 1 Suma 1 con acarreo = 1 Suma 1 con acarreo = 10 Suma 0 con acarreo 1 (El resultado es 2 10 = ) Acarreo Acarreo

25 OPERACIONES EN BINARIO PURO 1. Suma Binaria - Cuando existe un acarreo igual a 1, se produce una situación en la que se deben sumar tres bits (un bit de cada uno de los números y un bit de acarreo). Bits de acarreo = 01 Suma 1 con acarreo = 10 Suma 0 con acarreo = 10 Suma 0 con acarreo = 11 Suma 1 con acarreo 1 49 OPERACIONES EN BINARIO PURO 1. Suma Binaria -Ejemplo: Ejemplos: = =

26 OPERACIONES EN BINARIO PURO 1. Suma Binaria -Ejemplo:Sumar los siguientes números binarios: (a) (b) (c) (d) Solución. La suma decimal equivalente se muestra también como referencia. (a) 11 3 (b) (c) (d) OPERACIONES EN BINARIO PURO 2. Resta Binaria - Las cuatro reglas básicas para restar números binarios son: Tabla de la resta dígito a dígito 0-0 = = 1 (con acarreo negativo de 1, el resultado es = ) 1-0 = = 0 52

27 OPERACIONES EN BINARIO PURO 2. Resta Binaria Ejemplo: Realizar las siguientes sustracciones binarias: Solución. (a) (b) (a) 11 3 (b) En este ejemplo no se han generado acarreos negativos. El número binario 01 es el mismo que OPERACIONES EN BINARIO PURO 2. Resta Binaria Ejemplo: Restar 011 de 101. Solución En este ejemplo es necesario un acarreo negativo. Comenzando por la columna de la derecha, se tiene: Columna izquierda: cuando se acarrea un 1, queda 0, luego Columna central: Acarreo negativo de 1 de la columna siguiente que da lugar a 10 en esta columna, luego 10-1=1 Columna derecha: 1-1 = 0 54

28 OPERACIONES EN BINARIO PURO 2. Resta Binaria -Ejemplo: Ejemplos: = OPERACIONES EN BINARIO PURO 3. Multiplicación Binaria - Las cuatro reglas básicas de la multiplicación de bits son las siguientes: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 - Algoritmo: la multiplicación con números binarios se realiza de la misma forma que con números decimales. 56

29 OPERACIONES EN BINARIO PURO 3. Multiplicación Binaria 3.1. Multiplicación directa de naturales en binario Mismo algoritmo que en decimal. Ventaja: facilidad de cálculo. x * 1 2 = x x x * 0 2 = 0 x 57 OPERACIONES EN BINARIO PURO 3. Multiplicación Binaria 3.1. Multiplicación directa de naturales en binario - Ejemplo: 1000 x x x x 1010 x

30 OPERACIONES EN BINARIO PURO 3. Multiplicación Binaria 3.1. Multiplicación directa de naturales en binario Ejemplo: : Realizar las siguientes s multiplicacionesci binarias: i Solución. (a) 11x11 (b) 101 x 111 (a) 11 3 (b) Productos Parciales x 11 x 3 x 101 x Productos + 11 Parciales OPERACIONES EN BINARIO PURO 3. Multiplicación Binaria 3.1. Multiplicación directa de naturales en binario - Ejemplo: * = Reducción de producto a sumas reiteradas y i 1 x* y = = x x, y 60

31 OPERACIONES EN BINARIO PURO 4. División Binaria 4.1. División directa de naturales en binario - Algoritmo: mismo algoritmo que en decimal. -Ejemplo: OPERACIONES EN BINARIO PURO 4. División Binaria 4.1. División directa de naturales en binario Ejemplo: Realizar las siguientes i diii divisiones binarias: i (a) (b) Solución. (a) 10 2 (b) )110 3)6 10)110 2)

32 OPERACIONES EN BINARIO PURO 4. División Binaria 4.1. División directa de naturales en binario - Ejemplo: = con resto Reducción de división a restas reiteradas 63 CARACTERÍSTICAS DE ENTEROS EN BINARIO PURO Anomalías en la resta: resultados erróneos n -2 2 n -3 2 n

33 REDUCCIÓN DE OPERACIONES, RESTAS A SUMAS No es necesario realizar restas. Uso del opuesto: x opuesto(x) = -x x - x = 0 x - y = x + opuesto(y) x, y y El tamaño utilizado para representar números: - Observación sobre el tamaño de almacenamiento. - Acarreo y desbordamiento. 65 COMPLEMENTO A 1 Y COMPLEMENTO A 2 DE LOS NÚMEROS BINARIOS El complemento a 1 y el complemento a 2 de un número binario son importantes porque permiten la representación de números negativos. La aritmética en complemento a 2 se usa comúnmente en las computadoras para manipular los números negativos. Obtención del Complemento a 1 de un Número Binario - El complemento a 1 de un número binario se obtiene cambiando todos los 1s por 0s y todos los 0s por 1s: Número binario Complemento a 1 66

34 COMPLEMENTO A 1 Y COMPLEMENTO A 2 DE LOS NÚMEROS BINARIOS Obtención del Complemento a 2 de un Número Binario - El complemento a 2 de un número binario se obtiene sumando 1 al LSB del complemento a 1. Complemento a 2 = (Complemento a 1) + 1 -Ejemplo:Hallar el complemento a 2 de Solución Número Binario Complemento a Se suma Complemento a 2 67 COMPLEMENTO A 1 Y COMPLEMENTO A 2 DE LOS NÚMEROS BINARIOS - Método alternativo para obtener el complemento a 2 de un número binario: 1. Se empieza por la derecha conel LSB y se escriben los bits como están hasta encontrar el primer 1, incluido éste. 2. Se calcula el complemento a 1 de los bits restantes. Ejemplo: Calcular el complemento a 2 de , utilizando el método alternativo. Solución Número binario Complemento a Complemento a 2 de los bits originales Estos bits no varían 68

35 NÚMEROS CON SIGNO. REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJA - Los sistemas digitales, tales como la computadora, deben ser capaces de manejar números positivos y negativos. - Un número binario con signo queda determinado por su magnitud y su signo. - El signo indica si un número es positivo o negativo, y la magnitud es el valor del número. - Existen tres formatos binarios para representar los números enteros con signo: signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2. - Los números no enteros y muy grandes o muy pequeños pueden expresarse en formato de coma flotante. 69 REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNO-MAGNITUD El bit de signo - Se reserva un dígito para representar el signo del número. En general, el bit más a la izquierda en un número binario con signo es el bit de signo, que indica si el número es positivo o negativo. El significado suele ser: 0, número positivo y 1, número negativo. Se utiliza un 0 para el signo positivo y un 1 para el signo negativo. Sistema Signo-Magnitud - Cuando un número binario con signo se representa en formato signo-magnitud, el bit más a la izquierda es el bit de signo y los bits restantes son los bits de magnitud. 70

36 REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNO-MAGNITUD Sistema Signo-Magnitud -Los bits de magnitud son el número binario real (no com- plementado) tanto para los números positivos como para los negativos. Por ejemplo: el número decimal 25 es: Bit de signo El número decimal -25 se expresa así: Bits de magnitud En el sistema signo-magnitud, un número negativo tiene los mismos bits de magnitud que el correspondiente número positivo, pero el bit de signo es un 1 en lugar de un cero. 71 REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJA Sistema del Complemento a 1 - Los números positivos en el sistema del complemento a 1 se representan de la misma forma que en el formato signo-magnitud. - Los números negativos son el complemento a 1 del correspondiente número positivo En el sistema del complemento a 1, un número negativo es el complemento a 1 del correspondiente número positivo. Sistema del Complemento a 2 - Los números positivos en el sistema del complemento a 2 se representan de la misma forma que en los sistemas de complemento a 1 y de signo-magnitud. - Los números negativos son el complemento a 2 del correspondiente número positivo En el sistema del complemento a 2, un número negativo es el complemento a 2 del correspondiente número positivo. 72

37 CONVERSIONES DECIMAL / SIGNO-MAGNITUD 1. Conversiones decimal signo magnitud: Como binario pero el signo por separado. Ejemplos: Si n = 7 y se desea representar 27 10, su representación es Si n = 7 y se desea representar 27 10, su representación es CONVERSIONES DECIMAL / SIGNO-MAGNITUD 2. Conversiones signo-magnitud decimal: -Ejemplos: Si n = 9 y el valor de , es Si n = 9 y el valor de , es

38 VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO Signo-magnitud - Los valores decimales de los números positivos y negativos se determinan sumando los pesos de todas las posiciones de los bits de magnitud, cuando son 1s, e ignorando aquellas posiciones en las que haya cero. El signo se determina por medio del examen del bit de signo. -Ejemplo:Determinar el valor decimal del número binario con signo expresado como signo magnitud: Solución. Los siete bits de magnitud y sus pesos potencias de dos son: Sumando los pesos de las posiciones donde hay 1s, se tiene: = 21 El bit de signo es 1, por tanto, el número es OPERACIONES DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNO-MAGNITUD 1. Calculo del opuesto - Inversión del bit más a la izquierda 2. Sumas y restas - Necesidad de analizar los signos. Ejemplo, para la suma: Signo X 1 Signo X 2 Operación Ejemplo 0 (+) 0 (+) X 1 + X 2 3+7=3+7=10 0 (+) 1 (-) X 1 - X 2 3+(-7)=3-7= (-) 0 (+) X 2 -X 1 (-3)+7=7-3=4 1 (-) 1 (-) -( X 1 + X 2 ) -3-7=-(3+7)=-10 76

39 OPERACIONES DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNO-MAGNITUD Ejemplos: Sumar-9 10 y = en signo magnitud con n= se representa como se representa como Para sumar se sumará 3 de 9 con resultado negativo Los signos Se determinan añade el la operación signo suma CARACTERÍSTICAS DE SIGNO- MAGNITUD Desbordamientos: Si n = 5, x = 11 10, y = 6 10 x es 01011, y es Su suma es (aparentemente -1) - Rango de representación: [-2 n-1-1, 2 n-1-1]. Dos representaciones para el 0: 0...(n-2 ceros) (n-3 ceros)...0 Operaciones son complicadas. 78

40 REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO RESTRINGIDO A LA BASE-1 (COMPLEMENTO A 1 CON BASE 2) El complemento a 1 de un valor es: El complemento lógico dígito a dígito de su representación en binario puro, si es negativo. Su representación en binario puro, si es positivo. Distinción entre positivos y negativos: Comienzo 0 significa positivo. Comienzo 1 significa negativo. Desbordamientos: Ejemplo: valores mayores de 2 n-1-1 (una cadena de n-1 dígitos igual a 1) son positivos pero se interpretan como negativos. 79 REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO RESTRINGIDO A LA BASE-1 (COMPLEMENTO A 1 CON BASE 2) 1. Conversiones: Complemento a 1 decimal Algoritmo: Si el 1 er bit es 0, entonces se aplica la conversión de binario a decimal. Si el 1 er bit es 1, entonces se aplica el complemento a 1 y se aplica la conversión de binario a decimal y el valor es su opuesto. Ejemplos: El número en complemento a representa el valor -12, ya que es el opuesto del número binario = El número en complemento a representa el valor

41 VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO Complemento a 1 - Los valores decimales de los números positivos en el sistema de complemento a 1, se determinan sumando todas las posiciones de bit donde haya 1s, y se ignoran aquellas posiciones donde haya ceros. - Los valores decimales de los números negativos se determinan asignando el valor negativo al peso del bit de signo, y sumando todos los pesos donde haya 1s, y añadiendo d luego 1 al resultado. 81 VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO Complemento a 1 -Ejemplo:Determinar el valor decimal de los números binarios con signo expresados en complemento a 1: (a) (b) Solución. Para (a) : (a) Los bits y sus pesos según las potencias de dos para el número positivo son: sumando los pesos donde hay 1s: =

42 VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO Complemento a 1 - Ejemplo: (Continuación) Solución. Para (b) : (b) Los bits y sus pesos según las potencias de dos para el número negativo son los siguientes ( el bit de signo negativo tiene un peso de -2 7, es decir, -128 ): sumando los pesos donde hay 1s = -24 sumando 1 al resultado, el número final es: = OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1 1. Cálculo del opuesto en complemento a 1 Algoritmo: El opuesto de un número en complemento a 1 es su complemento a 1 Ejemplos: con 5 dígitos es 11101, su opuesto es con 5 dígitos es 01100, su opuesto es

43 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1 2. Suma en complemento a 1 Algoritmo: Sumar en binario i puro (excepto cuando ambos son positivos o negativos): Si no hay acarreo final, el resultado es negativo. Si hay acarreo final, el resultado es positivo pero hay que sumar el acarreo al resultado. Ejemplos: Si n=8, x=63, y=-28 Si n=9, x=-75, y=40 85 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1 3. Resta o sustracción en complemento a 1 - La sustracción es un caso especial de la suma. - Por ejemplo, restar +6 (el sustraendo) de +9(el minuendo) es equivalente a sumar -6 a Básicamente la operación de la sustracción cambia el signo del sustraendo y le suma al minuendo. - El resultado de una sustracción se denomina diferencia. El signo de un número binario positivo o o negativo se cambia calculando su complemento a 1. Para restar dos números con signo se calcula el complemento a 1 del sustraendo y se suman. Cualquier bit de acarreo final se suma al LSB (de más a la derecha). 86

44 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1 3. Resta o sustracción en complemento a 1 -Ejemplo: Forma normal Forma en complemento a Acarreo final Si no hubiera un bit de acarreo final, entonces el resultadoesunnúmeronegativorepresentadoenla forma de complemento a 1. La magnitud del resultado se puede determinar obteniendo su complemento a OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1 3. Resta o sustracción en complemento a 1 -Ejemplo: Restar de Forma normal Forma en complemento a No hay acarreo final Nosetieneunbitdeacarreofinal,portantoel resultadoesunnúmeronegativo en complemento a 1. Se debe determinar su complemento a 1 para obtener su magnitud; en este caso es: o Como su signo es negativo, el resultado real es:

45 CARACTERÍSTICAS DEL COMPLEMENTO A 1 El complemento a 1 es el complemento lógico. Desbordamientos posibles en la suma: Ejemplo: n=6, x=27, y=22 Dos representaciones del 0: 0...(n-2)...0 cero positivo y 1...(n-2)...1 cero negativo. Misma magnitud de máximos enteros (positivo mayor es 2 n-1-1 y negativo menor es -(2 n-1-1); por ejemplo 31 y -31, si n=6). Rango de representación: [0, 2 n-1-1] para los positivos y [-(2 n-1-1), -0] para los negativos. 89 REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO A LA BASE (COMPLEMENTO A 2 CON BASE 2) El complemento a 2 de un valor es: El resultado de la suma binaria de 1 y el complemento a 1 del número, si es negativo. Su representación en binario puro, si es positivo. Ejemplos: con 5 dígitos es = , en complemento a 1 es da el complemento a 2: con 5 dígitos es 01100, = con 4 dígitos 9 10 = , 1001 sería el complemento a 2 ERROR!!! 90

46 REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO A LA BASE (COMPLEMENTO A 2 CON BASE 2) Observaciones: Positivos y negativos ( 1 er bit 0(+), 1(-) ) Desbordamientos: Ejemplo: valores mayores de 2 n-1-1 (una cadena de n-1 dígitos igual a 1) son positivos pero se interpretan como negativos. 91 REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO A LA BASE (COMPLEMENTO A 2 CON BASE 2) 1. Conversiones complemento a 2 decimal Algoritmo: Si el 1 er bit es 0, entonces se aplica la conversión de binario a decimal. Si el 1 er bit es 1, entonces se realiza el complemento a 2 y se aplica la conversión de binario a decimal y el valor es su opuesto. Ejemplos: Con 5 bits el número en complemento a representa el valor , ya que el complemento a 2 de es y representa el valor binario puro de su opuesto = Con 6 bits el número en complemento a representa el valor

47 VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO Complemento a 2 - Los valores decimales de los números positivos y negativos en el sistema de complemento a 2, se determinan sumando los pesos de todas las posiciones de bit donde haya 1s, e ignorando aquellas posiciones donde haya ceros. - El peso del bit de signo en un número negativo viene determinado por su valor negativo. 93 VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO Complemento a 2 - Ejemplo: Determinar los valores decimales de los números binarios con signo expresados en complemento a 2: (a) (b) Solución. Para (a) : (a) Los bits y sus pesos según las potencias de dos para el número positivo son: sumando los pesos donde hay 1s: =

48 VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO Complemento a 2 - Ejemplo: (Continuación) Solución. Para (b) : (b) Losbitsysuspesossegúnlaspotenciasdedosparael número negativo son los siguientes (obsérvese que el bitdesignonegativotieneunpesode-2 7, es decir, -128): sumando los pesos donde hay 1s = OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 1. Cálculo del opuesto en complemento a 2 Algoritmo: El opuesto de un número en complemento a 2 es su complemento a 2 Ejemplos: con 5 dígitos es 11110, su opuesto es 2 10 (00010) con 5 dígitos es 01100, su opuesto es (10100) 96

49 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 2. Suma en Complemento a 2 Algoritmo: Sumar en binario puro (excepto cuando ambos son positivos o negativos): Si no hay acarreo final, el resultado es negativo. Si hay acarreo final, el resultado es positivo (se desprecia el acarreo). Ejemplos: Si n=8, x=63, y= en complemento a 2 es en complemento a 2 es = (8 bits) 97 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 2. Suma en Complemento a 2 Ejemplos: (Continuación) 28 en complemento a 1 es = Se suma El resultado es ( = ). Si n=9, x=-75, y=40 ; x+y = que es

50 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 Suma - Los dos números en una suma se denominan sumandos. - El resultado es la suma. - Cuando se suman dos números binarios con signo pueden producirse cuatro casos: 1. Ambos números son positivos. 2. El número positivo es mayor que el negativo en valor absoluto. 3. El número negativo es mayor que el positivo en valor absoluto. 4. Ambos números son negativos. 99 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 Suma - Ambos números son positivos: La suma es positiva y, por tanto, es un número binario real (no complementado). 100

51 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 Suma - El número positivo es mayor que el número negativo en valor absoluto: Acarreo que se descarta El bit de acarreo final no se tiene en cuenta. La suma es positiva y, portanto t es un número binarioi real (no complementado). 101 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 Suma - El número negativo es mayor que el número positivo en valor absoluto: La suma es negativa y, por tanto, está en complemento a

52 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 Suma - Ambos números son negativos: Acarreo que se descarta El bit de acarreo final no se tiene en cuenta. La suma es negativa y, por tanto, está en complemento a OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 Condición de desbordamiento (overflow) - Cuando se suman dos números y el número de bits requerido para representar la suma excede al número de bits de los dos números, se produce un desbordamiento que se indica mediante un bit de signo incorrecto. - Un desbordamiento se puede producir sólo cuando ambos números son positivos o negativos. Por ejemplo: Signo incorrecto Magnitud incorrecta

53 OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2 Sustracción - La sustracción es un caso especial de la suma. -Porejemplo, restar +6 (el sustraendo) ) de +9 (el minuendo) ) es equivalente a sumar -6 a Básicamente la operación de la sustracción cambia el signo del sustraendo y le suma al minuendo. - El resultado de una sustracción se denomina diferencia El signo de un número binario positivo o negativo se cambia calculando su complemento a 2. Para restar dos números con signo se calcula el complemento a 2 del sustraendo y se suman descartando cualquier bit de acarreo final. 105 CARACTERÍSTICAS DEL COMPLEMENTO A 2 Suma independiente del signo. Más complicado que el complemento a 1. Posibilidad de desbordamientos: -Ejemplo: con n=8 resultado ( ) aparentemente -61, = > 127 = Cero único (0...(n-2 ceros)...0). Un negativo representable más ([-2 n-1, 2 n-1-1], si n=6, [-32, 31]). 106

54 RANGO DE REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS CON SIGNO - Fórmula para calcular el número de combinaciones diferentes de n bits: Nº total de combinaciones = 2 n - Para los números con signo en complemento a 2, el rango de valores para números de n bits es: -(2 n-1 ) a +(2 n-1-1) habiendo en cada caso un bit de signo y n-1 bits de magnitud. Por ejemplo, con cuatro bits pueden representarse números en complemento a 2 en el rango de -(2 3 )=-8hasta 2 3-1=+7. Del mismo modo, con ocho bits, se puede abarcar desde -128 hasta 127; con dieciséis bits se puede ir de hasta , etc. 107 REPRESENTACIÓN EN EXCESO A M 1. Definición La representación en exceso a M de un valor x es la de x+m en binario puro. Si n es el número de dígitos, suele ser M=2 n-1. Observación No es un nuevo sistema de representación. Ejemplos: Si n=8 y M=128-3 es = es = es 0 10 = es =

55 REPRESENTACIÓN EN EXCESO A M 2. Características Es un sistema utilizado para la representación de números reales en coma flotante. Similares a complemento a NÚMEROS EN COMA FLOTANTE - Un número en coma flotante (también conocido como número real) tiene dos partes más un signo: mantisa y exponente. -Lamantisa es la parte del número en coma flotante que representa la magnitud del número. -Elexponente es la parte del número en coma flotante que representa el número de lugares que se va a desplazar el punto decimal (o punto binario). - Para los números en coma flotante binarios, existe el formato definido por el estándar ANSI/IEEE , que puede tomar tres formas: simple precisión (32 bits), doble precisión (64 bits) y precisión ampliada (80 bits). 110

56 ESTÁNDARES DE REPRESENTACIÓN DE COMA FLOTANTE - Necesidad de estándares. Hay problemas relacionados con coma flotante: Diferentes precisiones. Errores de redondeo. d Implementación de las operaciones. Excepcionales: División entre 0; Desbordamiento. Diferentes fabricantes han proporcionado soluciones completas a estas situaciones a las que se conoce como estándares de representación de coma flotante. - Ejemplos: (a) Estándar de IEE; (b) Estándares de IBM; y (c) Estándar de IEEE ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - En el formato estándar ANSI/IEEE para un número binario de simple precisión, el bit de signo (S) es el que se encuentra más a la izquierda, el exponente (E) incluye los siguientes 8 bits y la mantisa o parte fraccionaria (F) incluye los restantes 23 bits. 32 bits S Exponente (E) Mantisa (parte fraccionaria, F ) 1 bit 8 bits 23 bits 112

57 ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - En la mantisa o parte fraccionaria, se entiende que el punto binario estará a la izquierda de los 23 bits. - Realmente, la mantisa consta de 24 bits, ya que, en cualquier número binario, el bit más a la izquierda (más significativo) es siempre 1. Por tanto, este 1 se entiende que estará allí aunque no ocupe una posición de bit real. - Los 8 bits de los que consta el exponente representan un exponente desplazado que se ha obtenido mediante la adición ión de 127 al exponente nt real. - El propósito de este desplazamiento es poder definir números muy grandes o muy pequeños sin necesidad de emplear un bit de signo diferente para el exponente. 113 ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - El exponente desplazado permite emplear un rango de valores para los exponentes comprendidos entre -126 y Ejemplo: = 1, x 2 12 S E F Número = (-1) s (1 + F) (2 E-127 ) 114

58 ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - Ejemplo del método: dado el siguiente número binario en coma flotante, determinar el número decimal correspondiente: El bit de signo es 1. El exponente desplazado es: = 145 ; aplicando la formula, obtenemos Número = (-1) 1 ( ) ) ( ) = (-1) ( ) (2 18 ) = Este número binario en coma flotante es equivalente a: en decimal. 115 ESTÁNDAR IBM. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - En el formato estándar IBM para un número binario de simple precisión, el bit de signo (S) es el que se encuentra más a la izquierda, el exponente (E) incluye los siguientes 7 bits y la mantisa (M) incluye los restantes 24 bits. Bit bits S S < Exponente (E) desplazado > < Mantisa (M) > 116

59 ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - En el formato estándar IEE para un número binario de simple precisión, el bit de signo (S) es el que se encuentra en el bit 24, el exponente (E) incluye los 7 bits de más a la izquierda y la mantisa (M) incluye los restantes 24 bits. Bit bits S < Exponente (E) desplazado > S < Mantisa (M) > 117 ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - Presenta dos precisiones: Precisión Sencilla o Simple Precisión (32 bits, es decir dos palabras de 16 bits) y Doble Precisión ió (64 bits, es decir cuatro palabras de 16 bits). - Observación práctica: Aparición frecuente de la representación interna en hexadecimal. La base usada en el estándar IEE es Método para el estándar IEE. Ejemplo 1: Cómo se representa por ejemplo el número en coma flotante de simple precisión? 118

60 ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN -Pasos: 1. Convertir a la base 16, ya que la base usada en este estándar es la 16. Es decir A Normalizar el número, es decir debemos mover el punto decimal a la izquierda hasta que el número esté normalizado. Un número en coma flotante está normalizado cuando el dígito inmediatamente a la derecha del punto (en la izquierda de la mantisa) no es un 0 mientras que el número a la izquierda del punto decimal es un 0. Este 0 se omite cuando el número es almacenado como una fracción. Es decir, tenemos:.a8 E ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN -Pasos: 3. En el estándar IEE el exponente está desplazado por 64, es decir está en exceso Así, tenemos: Desplazamiento + Exponente = Exponente Desplazado = Es decir El signo es positivo, el bit que presenta el signo será El resultado final es: Exponente (E) desplazado S Mantisa (M) 8 2 A

61 ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN - Ejemplo 2. Determinar el valor decimal del siguiente número en hexadecimal en la forma de coma flotante según el estándar IEE: Pasos: 1. Convertir a binario el número hexadecimal: <Exponente> Signo < Mantisa > Signo: el bit de signo es 0, ya que el número es positivo. 121 ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN -Pasos: 2. Exponente: =66 10 conundesplazamientode 64, entonces el exponente real es E Mantisa: Como el exponente que hemos determinado es +2, podemos desnormalizar el número moviendo dos lugares a la derecha la coma decimal, así tenemos: Convertimosahoraalabase10elnúmeroytenemos: (1 x 16 1 )+(6x16 0 ),(3x16-1 )+(8x16-2 )+(5x16-3 )+(2x16-4 ) y finalmente se tiene:

62 REPRESENTACIONES DE NÚMEROS RACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALES 1. Representación de la parte entera Visto en sesiones anteriores 2. Representación de la parte fraccionaria Convenios: - Separación de la parte entera por la coma:, - Colocación: a la derecha de la parte entera. Ejemplos: parte_entera,parte_fraccionaria 13,95 10 A42F,1C 16 36, , REPRESENTACIONES DE NÚMEROS RACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALES 1. Valor de un número fraccionario en base b El valor del número Secalcula: e,f - Suma del valor de la parte entera (e), y del valor de la parte fraccionaria (f). Valor de la parte entera - Visto en sesiones anteriores 124

63 REPRESENTACIONES DE NÚMEROS RACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALES Valor de la parte fraccionaria - Valores para las nuevas posiciones Número X 4 X 3 X 2 X 1 X 0 X -1 X -2 X -3 X -4 X -5 Posición Valor b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 b -1 b -2 b -3 b -4 b REPRESENTACIONES DE NÚMEROS RACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALES Ejemplos Binario: , = 94, , Octal: 36,741 8 = 30, , Hexadecimal: A42F,1C 16 = 42031, A 4 2 F, 1 C

64 CONVERSIONES DE RACIONALES Para convertir a otra base el número Se procede: e,f Se convierte la parte entera (e). Se convierte la parte fraccionaria (f). Se escriben separadas por la coma. - La conversión de la parte entera se ha visto en sesiones anteriores. Conversiones de la parte fraccionaria a la decimal - Se puede aplicar el cálculo de valor (decimal) visto en sesiones anteriores. 127 CONVERSIONES DE PARTE FRACCIONARIA 1. Conversión decimal hexadecimal - Para convertir la parte fraccionaria decimal a hexadecimal se procede: Posición -1 Repetir hasta suficiente número de decimales hexadecimales: - dígito de la posición parte_entera(decimalx16) - decimal parte_fraccionaria(decimalx16) - posición posición

65 CONVERSIONES DE PARTE FRACCIONARIA Ejemplos: 135,78 10 = 87,C Parte Entera: = Parte Fraccionaria: 0,78 x 16 = 12,48 dígito -1: = C 16 0,48 x 16 = 7,48 dígito -2: 7 10 = CONVERSIONES DE PARTE FRACCIONARIA 2. Conversión decimal octal - Para convertir la parte fraccionaria decimal en octal se procede: Posición -1 Repetir hasta suficiente número de decimales octales: - dígito de la posición parte_entera(decimalx8) - decimal parte_fraccionaria(decimalx8) - posición posición

66 CONVERSIONES DE PARTE FRACCIONARIA Ejemplos: 135,78 10 = 207, Parte Entera: = Parte Fraccionaria: 0,78 x 8 = 6,24 dígito -1: 6 10 = 6 8 0,24 x 8 = 1,92 dígito -2: 1 10 = CONVERSIONES DE PARTE FRACCIONARIA 3. Conversión decimal binario - Para convertir la parte fraccionaria decimal a binario se procede: Posición -1 Repetir hasta suficiente número de decimales binarios: - dígito de la posición parte_entera(decimalx2) - decimal parte_fraccionaria(decimalx2) - posición posición

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