Representación digital de los datos

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1 Capítulo Representación digital de los datos Conceptos básicos Dato Digital Sistema decimal Sistemas posicionales Sistema Binario Sistemas Octal y Hexadecimal Conversiones de base Números con signo Números reales Aritmética Códigos Representación digital de los datos Saber Hacer Representar cantidades enteras en cualquier base, principalmente en binario. Seleccionar la forma de representación de datos numéricos. Representar en forma digital cualquier tipo de datos (numéricos y no numéricos).

2 2 CAPÍTULO. REPRESENTACIÓN DIGITAL DE LOS DATOS El mundo moderno gobernado por la informática, nos dice que la información puede ser procesada, enviada de un sitio a otro o almacenada. Lo que llamamos información puede consistir simplemente en un texto, es decir, una hilera de caracteres en una página de un directorio telefónico o puede contener imágenes y sonido como la novedosa multimedia nos tiene acostumbrados. Dentro de este conjunto de información también se incluyen los datos numéricos; al fin y al cabo, el computador fue conocido inicialmente por su habilidad de hacer cálculos aritméticos. Nuestro interrogante podría ser: Cómo están constituidas todas estas categorías de datos para que sean manipuladas por medio de una máquina? Cómo está constituida la información que maneja un teléfono? Alguien seguramente se acordará, o hasta lo habrá visto en los comerciales de los teléfonos celulares, que algunos son digitales y otros son análogos o analógicos. Ya lo entendimos? Seguramente que no. Examinemos otra de estas famosas máquinas: la calculadora; no hay duda de que el asunto es digital puesto que los datos que manipula la calculadora están conformados por dígitos. En una calculadora programable, una parte del teclado corresponde a las letras del alfabeto; además, podemos procesar datos numéricos, almacenar las direcciones y los teléfonos de todos nuestros amigos. Es muy probable que nuestra calculadora ya tenga pantalla y pueda mostrar gráficas. Esta pantalla es similar a una hoja de papel cuadriculado sólo que con los cuadritos más diminutos; cada cuadrito se denomina pixel y simplemente, el puede estar encendido o apagado. Ha notado que cuando hacemos gráficas en papel milimetrado, lo que hacemos es ubicar puntos y después los unimos por una línea continua? Pues algo parecido hace la calculadora con las gráficas, sólo que no tiene que unir la línea; de eso se encarga el ojo humano si los puntos son muy pequeños y están muy cerca unos de otros. Empezamos a concentrarnos entonces en dígitos más pequeños; en este caso, los pixeles están encendidos o apagados ; o también en o en. A estos dígitos de sólo dos estados los llamamos bits, bitios, o dígitos binarios (la palabra dígito implícitamente contiene el significado de decimal o sea que puede tener valores diferentes (,,2... 9). Los bits son muy importantes en el mundo digital puesto que son los más inmediatos de representar físicamente; un relé, por ejemplo, puede estar abierto o cerrado (los primeros computadores fueron construidos con relés); un transistor puede estar conduciendo o estar en corte. Queremos examinar entonces cómo es posible la representación de cualquier tipo de información a partir de los bits o dígitos binarios.. DIGITAL VRS. ANALÓGICO Empecemos por definir lo que es un sistema: En primer lugar, entendemos por sistema un conjunto de elementos que en forma coordinada tienen una función específica; desde el punto de vista matemático, un sistema es una transformación única u operador que relaciona o transforma una condición de entrada dada en una salida específica. Un sistema cuyas señales de entrada y de salida son continuas, decimos que es un sistema continuo o

3 .2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES 3 analógico. E igualmente, un sistema cuyas señales de entrada y de salida no son continuas, es decir discretas o muestreadas, es un sistema digital. Estamos en el punto de partida de los sistemas digitales, los cuales se pueden definir como aquellos que manejan toda su información representada en forma digital, es decir, basada en dígitos generalmente binarios. Esto nos permite ver por qué algunos relojes, por ejemplo, son digitales. Pero entonces, cómo son los relojes análogos? Los surtidores de gasolina son digitales. Y los teléfonos digitales?. La información procesada por los teléfonos, es la voz humana, Esta señal, como ya sabemos, es intrínsecamente continua (no es escalonada): una señal de sonido variable en el tiempo; el teléfono lo que hace es convertir esta señal de sonido en una señal de corriente eléctrica, igualmente continua, que es equivalente o análoga a la señal original. Fundamentalmente, esto es lo que ocurre con todas las variables de un sistema físico cuando les aplicamos instrumentos de medida: el instrumento de medida o transductor nos produce una señal generalmente eléctrica que es análoga o equivalente a la original; esta señal puede variar gradualmente sobre un intervalo continuo de valores. La señal continua descrita anteriormente se puede discretizar, digitizar, digitalizar o muestrear, lo cual significa tomar valores o muestras cada cierto tiempo; algo similar hacemos cuando una señal en lugar de ser representada por una gráfica continua, es mostrada como una tabla de valores los cuales ya son digitales. En consecuencia, el teléfono digital trabaja con la señal que representa la voz en forma digital; algo similar ocurre con los equipos de sonido digitales y con los osciloscopios digitales. El mundo real está fundamentalmente compuesto de señales continuas que se procesan en forma digital..2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES En un sistema de numeración posicional, un número se representa por una hilera de dígitos, cada uno de los cuales tiene un peso asociado que depende de la posición que ocupe. Por ejemplo: 734 = El peso de cada dígito resulta de una potencia de correspondiente a la posición del dígito. En general, si D = d 3 d 2 d d d d 2. Entonces, D = d d d + d + d + d 2 2 Este sistema de numeración tiene como base o raíz a por lo cual se le denomina decimal. En general, podemos construir otros sistemas de numeración tomando otras bases que deben ser números enteros.

4 4 CAPÍTULO. REPRESENTACIÓN DIGITAL DE LOS DATOS En el sistema decimal se utilizan dígitos para representar las cantidades. En el sistema cuaternario, o sea el que tiene como raíz 4, los dígitos son,,2,3 (en todos los sistemas posicionales interviene el lo cual contrasta con el sistema de números romanos que no tiene cero) Si vamos a contar en el sistema cuaternario, tendremos: DECIMAL CUATERNARIO Cuadro.: Observamos que 3 4 (3 en base 4) equivale a: = = 7 Por lo tanto, 32 4 = = = 865 El sistema binario tiene como base 2 y sus dígitos binarios (bits) son y. Observemos como se puede contar en el sistema binario: DECIMAL BINARIO DECIMAL BINARIO Cuadro.2: Si con dos dígitos decimales podemos contar desde hasta 99, tendremos = 2 cantidades diferentes; en forma análoga, podemos contar con 4 bits desde hasta, o sea 2 4 = 6 cantidades diferentes.

5 .3. REPRESENTACIONES DE CANTIDADES NUMÉRICAS 5 Si la base es superior a 9, tendremos que usar otros dígitos adicionales para los cuales se usan las letras mayúsculas del alfabeto. Por ejemplo, si la base es 6, los dígitos son,,2,...,9,a,b,c,d,e,f; donde A es el equivalente a, B a y así sucesivamente hasta F = 5. Este sistema de numeración se denomina hexadecimal. En sistemas digitales el sistema de numeración básico es el binario, pero el octal y el hexadecimal son importantes puesto que 8 y 6 son potencias de 2. Esto nos permite convertir fácilmente de binario a octal o hexadecimal y viceversa en forma muy rápida y obtener representaciones más compactas de cantidades binarias..3 REPRESENTACIONES DE CANTIDADES NUMÉRICAS Para representar información en el computador utilizamos códigos, los cuales se forman a partir de un conjunto dado de símbolos utilizados en forma sistemática y normalizada. Un código muy conocido en nuestra vida diaria es el que se utiliza en el semáforo: si la luz verde está encendida, significa siga, si la luz roja está encendida, debemos detenernos; y si la luz amarilla está encendida, significa precaución. El código Morse es otro ejemplo bien conocido en el cual utilizamos los símbolos punto y raya para representar todos los caracteres del alfabeto. Este código permitió el envío de mensajes por medio del telégrafo. La información que necesitamos manipular en forma digital generalmente la clasificamos en numérica y no numérica. Dentro de la información numérica a su vez podemos encontrar clasificaciones numéricas de punto fijo y de punto flotante..3.. Números de punto fijo Los números de punto fijo se utilizan para representar ya sea enteros con signo o fracciones con signo. En ambos casos se utilizan los sistemas de magnitud y signo, de complemento de dos, o de complemento de uno para representar los valores con signo. Los enteros de punto fijo tienen un punto binario implícito a la derecha del bit menos significativo y las fracciones de punto fijo tienen el punto binario implícito entre el bit del signo y el bit de magnitud más significativo. Los números en el sistema de magnitud y signo constan de una magnitud y además, de un símbolo que indica si la magnitud es positiva o negativa. Cuando los números son binarios se utiliza un bit adicional para representar el signo; usualmente es el bit más significativo. Por ejemplo: 2 = = 85 2 = = 27 2 = + 2 = En el sistema de complemento de la base, el complemento de un número de n dígitos se obtiene al restarlo de r n, donde r es la base. En el sistema decimal el complemento de la

6 6 CAPÍTULO. REPRESENTACIÓN DIGITAL DE LOS DATOS base se llama complemento de, mientras que en el sistema binario, se llama complemento de 2. Ejemplo: Complemento de Complemento de 2 Una forma rápida de encontrar el complemento de 2 consiste en complementar cada bit (cambiar por y viceversa) y sumarle uno al resultado. Entonces, si 7 = 2 el complemento de 2 será: + 2 En el sistema de complemento de la base disminuida, el complemento de un número de n dígitos se obtiene al restarlo de r n. En el sistema decimal el complemento de la base se llama complemento de 9; y en el sistema binario se llama complemento de que se calcula rápidamente complementando cada bit individualmente. Entonces, si 7 = 2 el complemento de de 7 será: Números de punto flotante Para representar cantidades numéricas que pudieran tener parte fraccionaria y con magnitud muy grande o muy pequeña, se inventó la codificación de números de punto flotante, basándose seguramente en la notación científica. En general, la forma de punto flotante de un número N se escribe como: N = M r E En donde M, la mantisa, es un número de punto fijo que contiene los dígitos significativos de N. El exponente E, es un entero de punto fijo. La mantisa M, usualmente se codifica en magnitud y signo, por lo general como una fracción, y se puede escribir como: M = S M a n a m El exponente E se codifica en el complemento de dos con exceso de -K, el cual se forma sumando un sesgo K al valor entero como complemento de 2 del exponente. Los formatos de punto flotante utilizados por los sistemas de cómputo de los diversos fabricantes, difieren con frecuencia en la cantidad de bits que se usan para representar la mantisa y el exponente, así como en el método de codificación de cada uno. El estándar 754 de 985 del IEEE define 2 formatos de números de punto flotante, así:

7 .4. REPRESENTACIÓN DE INFORMACIÓN NO NUMÉRICA 7 PRECISION PRECISION SENCILLA DOBLE Total de bits Bits de la mantisa Bits del exponente 8 Sesgo del exponente Cuadro.3:.4 REPRESENTACIÓN DE INFORMACIÓN NO NUMÉRICA En esta categoría caben muchas cosas tales como el texto, las imágenes, el sonido, etc. El tipo más común de datos no numéricos es el texto, cadenas de caracteres de algún conjunto de datos. Cada carácter está representado en el computador mediante una cadena de bits de acuerdo con una convención establecida. El código de caracteres más comúnmente usado es el ASCII (American Standard Code for Information Interchange). ASCII representa cada carácter con una cadena de 7 bits, la cual da un total de 28 caracteres diferentes. El código BCD (Binary-Coded Decimal) sirve para representar los dígitos decimales del al 9 y es un ejemplo de un código ponderado, es decir, cada posición en el código tiene un valor o un peso numérico asociado a éste. El código BCD utiliza 4 bits y los pesos son los mismos que en un entero binario de 4 bits. El código BCD también es conocido como código por los pesos utilizados. Un código cíclico se puede definir como un código en el que un corrimiento circular produce otra cadena del código para cualquier palabra de código. El código Gray es uno de los tipos más comunes de códigos cíclicos y tiene la característica de que las palabras de código para dos números consecutivos difieren sólo en un bit. Es decir, la distancia entre dos palabras de código es. En general, la distancia entre dos palabras de código binario es igual al número de bits en el que difieren las dos palabras. El código Gray es útil donde se necesite medir u observar la posición de un eje circular. En la figura. observamos esta aplicación en forma esquemática..5 PROCESAMIENTO ELECTRÓNICO DE LOS DATOS Hasta este punto ya tenemos un panorama general de la forma como los datos pueden representarse. El término procesamiento es muy amplio e incluye actividades tales como la comunicación (muy utilizada cuando enviamos un correo electrónico), el almacenamiento, la ejecución de cálculos numéricos, etc. En la Figura.2 se muestran los elementos que intervienen en el procesamiento de los datos. El procesador es el agente ejecutor de la actividad; puede ser una persona (en cuyo caso el proceso es manual) o puede ser un computador. Este modelo lo podemos aplicar

8 8 CAPÍTULO. REPRESENTACIÓN DIGITAL DE LOS DATOS Figura.: Disco con código Gray. ENTRADA DE DATOS PROCESADOR SALIDA DE RESULTADOS Figura.2: Procesamiento de datos. al computador personal, en el cual la entrada de datos se realiza mediante dispositivos como el teclado, el ratón, etc.; y la salida de resultados se realiza por dispositivos como la pantalla y la impresora. El procesamiento lo hace la Unidad Central de Procesamiento o CPU. Podemos pensar también, en utilizar el computador como elemento de control en un sistema. Muy seguramente la variable que se va a controlar será de tipo analógico, por lo cual la entrada de datos la realizará un dispositivo convertidor análogo/digital. La labor de procesamiento en este caso consistirá en comparar la variable controlada contra el valor de referencia y emitir la señal de control, obviamente digital. El módulo de salida será entonces un convertidor digital/análogo.

9 Capítulo 2 Compuertas Lógicas y Álgebra Digital Conceptos básicos Variables lógicas o binarias Álgebra de Boole Leyes Booleanas Postulados del Álgebra Booleana Tablas de Verdad Compuerta AND Compuerta OR Compuerta NOT Compuerta NAND Compuerta NOR Compuerta EOR Compuerta NEOR Tabla de Verdad Saber Hacer Reconocer los símbolos de las operaciones lógicas. Manipular ecuaciones lógicas usando conceptos de álgebra booleana. 9

10 CAPÍTULO 2. COMPUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA DIGITAL 2. ALGEBRA DE BOOLE En 854 el matemático inglés George Boole escribió el libro An Investigation of the Laws of thought on which to found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, en el cual se hizo un análisis matemático de la lógica, que dio como resultado un nuevo campo denominado Álgebra de la Lógica, o Álgebra Booleana. En 938, Claude E. Shannon, asistente de investigación del Departamento de Ingeniería Eléctrica del MIT (Massachussets Institute of Technology), sugirió la posibilidad de utilizar el álgebra booleana en el diseño de circuitos de conmutación basados en relés, con lo cual se sentaron las bases matemáticas de los circuitos de conmutación utilizados en los computadores digitales. Los estados lógicos y los estados de un circuito de conmutación se caracterizan por las siguientes propiedades: Existen dos estados; usualmente, verdadero y falso o y. Cualquier variable debe existir en uno de los dos estados; no se permiten otros estados. Cualquier variable lógica sólo puede tener un valor. Ninguna cantidad puede ser simultáneamente verdadera y falsa. Toda cantidad tiene un opuesto. Si la cantidad es verdadera, el opuesto es el inverso. Una cantidad lógica puede ser una constante o una variable. Las cantidades lógicas se pueden representar físicamente de muchas maneras, tales como: Eléctricamente, con dos voltajes diferentes. Mecánicamente, por la posición de un conmutador. Óptimamente, por la presencia o ausencia de luz. Tomando como entradas las cantidades lógicas, el álgebra booleana define tres operaciones básicas que son el producto booleano, la suma booleana y el complemento. Ya en el terreno de los sistemas digitales, estas operaciones se convierten en compuertas, las cuales definimos a continuación, junto con otras compuertas adicionales que son de utilidad La compuerta AND Esta compuerta implementa el producto booleano. La compuerta AND produce una salida verdadera sólo cuando cada una de las entradas es verdadera, tal como se muestra en la siguiente tabla de verdad:

11 2.. ALGEBRA DE BOOLE A B F En álgebra booleana, la función AND se indica por medio de un punto entre las entradas (multiplicación lógica) o por multiplicación implícita como en álgebra F = A.B F = AB F = (A)(B) La compuerta OR Esta compuerta corresponde a la suma booleana. La Compuerta OR produce una salida verdadera cuando cualquiera de sus entradas es verdadera. A B F F = AorB F = A + B La compuerta NOT o INVERSOR Esta compuerta corresponde al complemento booleano. La salida de un inversor es simplemente el complemento de la entrada. A F F = nota F = A F = A La compuerta NAND La salida de la compuerta NAND es el complemento de la salida de la compuerta AND

12 2 CAPÍTULO 2. COMPUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA DIGITAL A B F F = A.B La compuerta NOR La salida de la compuerta NOR es el complemento de la salida de la compuerta OR. A B F F = A + B Leyes Booleanas El álgebra Booleana satisface las siguientes leyes o axiomas: N Algebra Ley a + a = a Ley de Idempotencia 2 a a = a 3 a + (b + c) = (a + b) + c Ley asociativa 4 a (b c) = (a b) c 5 a + b = b + a Ley conmutativa 6 a b = b a 7 a + (a b) = a Ley de Absorción 8 a (a + b) = a 9 a (b + c) = (a b) + (a c) Ley distributiva a + (b c) = (a + b) (a + c) a + = a 2 a = a 3 a a = 4 a + a =

13 2.2. FUNCIONES DIGITALES O BOOLEANAS 3 En éste punto conviene mencionar que éstas leyes cumplen con el principio de dualidad del álgebra booleana, mediante el cual si intercambiamos suma por producto y por, obtenemos otra ley igualmente válida. Obsérvese que y 2 son duales, al igual que 3 y 4, y así sucesivamente Postulados del álgebra booleana Los siguientes postulados son de bastante utilidad en la manipulación de expresiones algebraicas. A + A = A, = A + AB = A + B A.A = A, = A (A + B).(A + C) = A + B.C A.A = A A + = A (A + B).B = B A + A = A A + = A.B + A.C = A.(B + C) A + B = B + A A + A = A A.B = B.A A = A A + AB = A Teorema de DeMorgan: (A.B) = A + B (A + B) = A.B 2.2 FUNCIONES DIGITALES O BOOLEANAS Las expresiones booleanas están conformadas por variables, constantes y operaciones booleanas. Si agregamos los paréntesis como ayuda para significar agrupación, obtenemos la idea más general de expresión, por el estilo de las que utilizamos en los lenguajes de programación. Por ejemplo, a.x.(b + (x.x 2 )) Es una expresión booleana, siempre y cuando a, b, x, x 2 sean variables booleanas. Las expresiones boolenas también se denominan funciones booleanas. Para n variables booleanas, y utilizando la notación matemática de función, tendríamos que f(x, x, x 3, x 4,, x n ) representaría una función booleana que contendrá en su definición las n variables booleanas y también los operadores booleanos. Tomemos como ejemplo un sumador de 4 bits, representado como se muestra a continuación: Las señales de entrada son dos números binarios de 4 bits cada uno, y la respuesta es un número binario de 5 bits. Para definir la función digital se puede utilizar una tabla que contiene todas las combinaciones posibles de las variables de entrada y define para cada posible combinación el

14 4 CAPÍTULO 2. COMPUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA DIGITAL Figura 2.: Sumador de 4 bits valor de la función. Para éste caso la tabla tendría 2 8 filas, dado que son 8 variables de entrada, cada una de las cuales puede tener 2 valores diferentes. Estas tablas se denominan tablas de la verdad.

15 Capítulo 3 Circuitos Básicos de 2 Niveles Conceptos básicos Tabla de verdad Especificación de un circuito Forma canónica de una ecuación Notación POS Notación SOP Implementación de un circuito usando compuertas básicas Saber Hacer Saber expresar en forma de tabla de verdad una especificación en lenguaje natural de un circuito lógico. Obtener de la tabla de verdad la ecuación canónica del circuito. 5

16 6 CAPÍTULO 3. CIRCUITOS BÁSICOS DE 2 NIVELES 3. FORMA SUMA DE PRODUCTOS Supongamos que existe una red digital cuya operación es definida por la tabla siguiente: A B C F Cuadro 3.: Asumiendo que el estado verdadero de una variable es y el estado complementario es, directamente podemos escribir la siguiente expresión booleana: F = ABC + ABC + AB C + ABC (3.) Esta forma de ecuación, una serie de productos (AND) conectado por la suma (OR), la llamamos suma de productos (SOP) Implementación de un Circuito SOP Una expresión en forma SOP puede convertirse fácilmente en un diagrama lógico. El diagrama lógico que implementa la ecuación anterior es: Nótese la naturaleza de dos niveles del diagrama lógico. Cuando se asume que tanto la variable como su complemento están disponibles (como es casi siempre el caso), llamamos a éstas de doble riel Forma Normal Una ecuación SOP en la que cada producto contiene todas las variables de entrada ya sea en forma verdadera o en forma complementada, está en forma NORMAL o CANÓNICA. Una ecuación en forma normal no necesariamente es la más simple o la única ecuación para evaluar una función booleana en particular. Por ejemplo, la siguiente ecuación es equivalente a la dada anteriormente. F = AB + AB C + BC (3.2)

17 3.. FORMA SUMA DE PRODUCTOS 7 Figura 3.: Diagrama lógico de un SOP Observe que esta ecuación no está en forma normal. Aun cuando puedan existir varias ecuaciones para una función dada, sólo existirá una forma normal. Para convertir una ecuación a forma normal, debemos multiplicar los términos a los que les falte una variable por la variable faltante, así: F = AB() + AB C + ()BC (3.3) Se sabe que + =. Por lo tanto, F = AB(C + C) + AB C + (A + A)BC (3.4) de donde, F = ABC + ABC + AB C + ABC + ABC (3.5) F = ABC + AB C + ABC + ABC (3.6)

18 8 CAPÍTULO 3. CIRCUITOS BÁSICOS DE 2 NIVELES Mintérminos Observando la tabla 3. vemos que cada combinación de variables de entrada forma un valor binario entre y 2 N en donde N es el número de variables de entrada. Puesto que cada combinación posible de variables de entrada forma un valor binario único, una combinación de entrada puede representarse por el valor decimal equivalente al valor binario formado por las entradas. A este valor lo llamamos número mintérmino. Por ejemplo, cuál combinación de entrada representa el mintérmino 5 (m 5 )? Asumiendo las tres variables de entrada usadas anteriormente: 5 decimal = binario ABC Cuál combinación representa el mintérmino 2? 2 decimal = binario ABC Cuál mintérmino corresponde a ABC? ABC binario = 6 decimal Usando mintérminos, la ecuación 3. la podemos escribir como: F = m 2 + m 3 + m 4 + m 7 (3.7) Esta ecuación también la podemos representar simplificadamente como: F = m(2, 3, 4, 7) (3.8) 3.2 FORMA PRODUCTO DE SUMAS Mientras que la ecuación SOP es una serie de productos conectados por suma, la ecuación POS (Productos de sumas) es una serie de sumas (OR) conectadas por la multiplicación (AND). Para formular una ecuación POS, decimos que la salida de una red digital será solamente cuando no sea. En la tabla 3., la salida es igual a para los mintérminos,,5 y 6. Por lo tanto, F = m m m 5 m 6 (3.9) Veamos qué significa un mintérmino complementado: m 5 = ABC de donde m 5 = ABC

19 3.2. FORMA PRODUCTO DE SUMAS 9 si aplicamos el teorema de DeMorgan: m 5 = (A + B + C) = (A + B + C) de esta forma podemos escribir: F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) El procedimiento lo podemos resumir de la siguiente forma: La ecuación POS será el producto lógico de N términos de suma en donde N es el número de entradas en la tabla de verdad para los cuales la salida es. Los términos de suma se forman conectando con OR los complementos de cada variable de entrada para aquellas combinaciones cuya función de salida es Implementación del Circuito POS El proceso es similar al de una ecuación SOP: Figura 3.2: Diagrama lógico de un POS Maxtérminos Cuando derivamos la ecuación POS, usamos los mintérminos invertidos. Un mintérmino invertido se llama maxtérmino.

20 2 CAPÍTULO 3. CIRCUITOS BÁSICOS DE 2 NIVELES F = m m m 5 m 6 Ésta ecuación la podemos escribir en forma simplificada así: F = m(,, 5, 6) (3.) 3.3 CONSIDERACIONES DE DISEÑO Aunque las implementaciones SOP se usan más frecuentemente, existen aplicaciones para las cuales es más conveniente la implementación POS. Por ejemplo, consideremos una red digital con tres entradas para la cual la salida es para seis de las ocho posibles combinaciones de entrada. Expresada en forma SOP, la ecuación resultante tendría 6 términos y el circuito requeriría seis compuertas AND y una compuerta OR de 6 entradas. Una implementación POS del mismo circuito tendría solamente 2 términos y requeriría solo dos compuertas OR y una compuerta AND de dos entradas..

21 Capítulo 4 Simplificación de Circuitos Conceptos básicos Minimización por método algebraico Minimización por tabla de Karnaugh Condiciones No Importa Compuertas universales Implementación con compuertas universales Saber Hacer Obtener la función minimizada a partir de la ecuación canónica. Implementar la ecuación minimizada utilizando compuertas universales 2

22 22 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS 4. TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE EPRESIONES Las técnicas estudiadas en el capitulo 3 redujeron los requerimientos de hardware implementando expresiones con solo un tipo de compuerta. Se pueden lograr reducciones adicionales simplificando la ecuación original antes de intentar implementarla. Esta reducción se ejecuta típicamente por manipulación algebraica o con los mapas de Karnaugh REDUCCIÓN ALGEBRAICA En el capítulo 3 convertimos una expresión a su forma normal multiplicando por las variables faltantes y sus complementos. Si pensamos en forma inversa, es decir, si removemos esas combinaciones de la ecuación en forma normal, resultará la ecuación original más simple. Esta es la base de la reducción de expresiones: remover las combinaciones de una variable y su complemento. Considere la siguiente ecuación, la cual ya está en forma simplificada: F = BC + AB (4.) La convertimos en forma normal multiplicando por las variables faltantes y sus respectivos complementos: F = (A + A)BC + AB(C + C) F = ABC + ABC + ABC + AB C (4.2) Si se diera esta ecuación final en forma normal y se pidiese reducirla a su forma más simple, cómo se haría? Puesto que nosotros la derivamos de la ecuación original, el proceso es obvio. Los primeros dos términos de la ecuación en forma normal fueron generados por: y los dos últimos por: ABC + ABC = (A + A)BC (4.3) ABC + AB C = AB(C + C) (4.4) puesto que la unión de cualquier variable con su complemento es, esta combinación se puede eliminar produciendo la ecuación original: F = BC + AB (4.5)

23 4.. TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE EPRESIONES 23 El proceso empleado aquí es sencillo. Si en dos términos una variable aparece tanto en su forma verdadera como complementada y las variables restantes son iguales, se puede eliminar la variable y su respectivo complemento y el resultado es simplemente un término compuesto de las variables restantes. Para ilustrar adicionalmente el proceso, simplifiquemos la siguiente expresión: F = A BC + ABC + ABC + ABC (4.6) En los dos primeros términos, B está presente tanto en su forma normal como complementada y las variables restantes son iguales. Por lo tanto, los primeros dos términos pueden reducirse a: A BC + ABC = A(B + B)C = AC (4.7) En los dos últimos términos, B nuevamente está presente tanto en su forma normal como complementada. Por lo tanto, Produciendo una expresión reducida: ABC + ABC = A(B + B)C = AC (4.8) F = AC + AC (4.9) Si examinamos la ecuación vemos que la podemos simplificar aún más. Puesto que A aparece tanto en su forma verdadera como complementada, podemos reducirla a: AC = AC = (A + A)C = C (4.) F = C (4.) Por lo tanto, el hardware necesario para implementar esta función es simplemente un cable que conecta a C con la salida F. La simplificación posible y la reducción resultante en los requerimientos de hardware son obvias. Pero la reducción algebraica es a menudo difícil, especialmente en expresiones complejas. La secuencia apropiada de operaciones que debe ejecutarse no siempre es clara. Pero así como en el capítulo 3 se utilizó un método gráfico para implementar circuitos con un solo tipo de compuerta, de igual modo existe un método gráfico para facilitar la reducción de expresiones.

24 24 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS MAPAS DE KARNAUGH Los mapas de Karnaugh son un método gráfico para reducir expresiones a su forma mínima. Un mapa K es una tabla de verdad organizada especialmente de tal modo que las reducciones posibles se puedan ver fácilmente. En las figuras 4-, 4-2 y 4-3 se muestra la forma de los mapas K de dos, tres y cuatro entradas. En lugar de enunciar todas las combinaciones de las entradas como en una tabla de verdad normal, los mapas K usan las posiciones de los cuadros en el mapa para representar las diferentes combinaciones de entrada: B A 3 2 Figura 4.: Mapa K de 2 entradas BC A Figura 4.2: Mapa K de 3 entradas CD AB Figura 4.3: Mapa K de 4 entradas Para ayudar en la determinación de cuál combinación de entrada está representada en un cuadro, las filas y las columnas están marcadas con la combinación parcial de entrada representada por la fila y la columna. Por ejemplo, cuál combinación de entrada

25 4.. TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE EPRESIONES 25 está representada por el cuadro en la fila 2, columna 4 del mapa K de 4 entradas? La fila 2 está marcada ; la columna 4 está marcada. Colocando estos dos valores uno junto al otro en orden fila-columna, se produce, el cual es el mintérmino 6 o AB CD. El cuadrado en la fila 3 columna 2 representa, el cual es el mintérmino 3 o ABCD. Observando más profundamente vemos que la etiqueta en la fila indica que A y B son ambos para toda la fila. De igual forma, la etiqueta en la columna 4 indica que C es y D es para toda la columna. Para representar una función con un mapa K, los unos y los ceros se colocan en los cuadrados apropiados de acuerdo con la combinación de entradas representada por cada cuadro. El arreglo especial del mapa K asegura que las combinaciones de entrada representadas por dos cuadrados adyacentes son idénticas excepto que una variable aparece en su forma verdadera en un cuadrado y en su forma complementada en el otro. Nótese que éste es simplemente el criterio especificado en la sección 4.. para la reducción de dos términos. Por lo tanto, dos cuadrados adyacentes pueden ser elegibles para ser reducidos. Esta relación puede verse mirando dos cuadros adyacentes en un mapa K. Por ejemplo, considere los dos primeros cuadrados de la fila de un mapa K de 4 entradas. El primer cuadrado representa la combinación de entrada, o A B C D. El segundo cuadrado representa la combinación de entrada, o A B CD. Entre estos dos términos, todo es idéntico excepto que D aparece en su forma verdadera en el segundo cuadro y en su forma complementada en el primer cuadro. Nótese que esta relación se mantiene entre dos cuadrados adyacentes cualquiera, tomados ya sea horizontal o verticalmente. Además, la relación se mantiene entre los lados exteriores (es decir, fila, cuadro y 4 o columna, filas y 4, etc.); por lo tanto, los lados extremos son considerados adyacentes. Uso de los mapas de KARNAUGH Para usar un mapa K en la reducción, primero llene el mapa K con la salida de la función. La tabla de verdad normal para la ecuación 4.2 se muestra en la figura 4.4, en donde también se ha diligenciado el mapa K. A B C F BC A Figura 4.4:

26 26 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS Puesto que los cuadrados adyacentes representan términos que pueden ser reducidos, busque y encierre grupos de los unos adyacentes. Un grupo debe constar de,2,4,8 ó 6 unos, es decir, una potencia de 2. En general, entre mayor sea el grupo encerrado, más sencilla será la expresión reducida. Por lo tanto, primero busque grupos de 6 (no aplicable en este ejemplo, por supuesto) y luego siga buscando grupos de 8, de 4, de 2 y finalmente, los unos aislados, hasta que los haya agrupado a todos. Este proceso se muestra en la figura 4.5 BC A Figura 4.5: La expresión resultante SOP constará de un término por cada grupo encerrado. Por lo tanto, entre menos grupos encerrados, más simple será la expresión. En el mapa K de la figura 4.5, obtuvimos 2 grupos. El producto resultante para cada grupo estará compuesto de aquellas variables que son iguales para todo el grupo. Por ejemplo, para el grupo vertical, tanto B como C son para todo el grupo; por lo tanto, el término producto resultante es BC. En el grupo horizontal, A es en ambos cuadros y B es en ambos cuadros. Por consiguiente, el producto resultante será AB. Combinando ambos resultados obtendremos: F = AC + AB (4.2) Como segundo ejemplo, reduzcamos la ecuación 4.6 usando mapas K. En la figura 4.6 aparece la tabla de verdad normal y el mapa K resultante. BC A Figura 4.6: Si se buscan inicialmente grupos de 8, no encontramos ninguno; si se buscan grupos de 4, encontraremos uno de acuerdo con la figura 4.6.

27 4.. TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE EPRESIONES 27 Puesto que ya hemos encerrado todos los unos, no es necesario seguir buscando más grupos. La ecuación resultante SOP tendrá solamente un término, en el cual aparecen sólo aquellas variables que no cambian para todo el grupo. Vemos que solamente C es igual a para los cuatro cuadros. Por lo tanto, la expresión final reducida es: F = C (4.3) Como ejemplo final, miremos un caso más complejo. En la figura 4.7 tenemos la tabla de verdad y el mapa K para un circuito de 4 entradas. CD AB Figura 4.7: La figura 4.7 ilustra cómo reducir ésta función. Según se ve, puede formarse un grupo de 4 partiendo del hecho de que los vértices extremos son considerados adyacentes. Nótese una segunda aplicación del enrollamiento al formar el grupo de los unos entre las filas superior e inferior. Finalmente, nótese el grupo de dos unos, uno usando un que ya había sido utilizado. El resultado constará de 3 términos puesto que tenemos tres grupos encerrados. Mirando el primer grupo de 4, vemos que B y D permanecen constantes. Para el grupo vertical de 2, B es, C es y D es. En el grupo final de 2, A es, B es y C es. Por lo tanto, el resultado es: F = BD + B CD + ABC (4.4) Condiciones No Importa Muchas funciones tienen varias combinaciones de entrada para las cuales no se define ninguna salida. Estas se denominan condiciones no importa. En un mapa K, una condición no importa puede usarse como o como, lo cual resulta en una expresión más simple.

28 28 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS Tomemos como ejemplo la red definida por la tabla de verdad que se muestra en la tabla 4.. Esta red toma un dígito BCD de 4 bits como entrada. La salida es si el dígito es mayor que 5; de otra forma, la salida es. Puesto que es BCD, las entradas válidas corresponden a los dígitos decimales entre y 9; por lo tanto, los mintérminos a 5 son considerados como condiciones no importa y los marcamos con una. A B C D F Cuadro 4.: El mapa K para esta tabla lo vemos en la figura 4.8 CD AB Figura 4.8: Observemos que en la figura se han encerrado dos grupos, para los cuales la expresión resultante es:

29 4.2. IMPLEMENTACIÓN CON UN TIPO DE COMPUERTA 29 F = A B C + A B C (4.5) Puesto que las las podemos tomar como. Así como el, podemos formar grupos según se muestra en la figura 4.9 CD AB Figura 4.9: Ahora tenemos un grupo de 8 y un grupo de 4. La única variable común a todos los términos del grupo de 8 es A; las variables comunes al grupo de 4 son B y C. Por lo tanto, la expresión resultante es: F = A + BC (4.6) El uso de condiciones no importa típicamente nos permite la reducción adicional tal como se ha demostrado. 4.2 IMPLEMENTACIÓN CON UN TIPO DE COMPUERTA MOTIVACIÓN En la industria, el costo es típicamente el factor de mérito en el diseño y la producción de bienes. En la producción de circuitos digitales, aun cuando pueda parecer que el departamento de compras es el responsable de reducir los costos buscando el proveedor más barato, los ingenieros que diseñan los circuitos digitales tienen varios métodos a su disposición para reducir el costo del diseño. En general, entre más pocas y más baratas sean las partes requeridas para construir un circuito, menor será el costo. Por lo tanto, un objetivo importante en el diseño de un circuito, es minimizar el número de elementos y su costo asociado.

30 3 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS Para ilustrar lo anterior, nos remitimos al capítulo dos en el cual se introdujeron algunas ideas para convertir una expresión POS a SOP en un diagrama lógico. Por ejemplo, dada la siguiente expresión SOP: F = AB + CD (4.7) La implementación de este circuito requiere dos compuertas AND y una compuerta OR. Los chips requeridos son el 748 (cuatro ANDs) y el 7432 (cuatro ORs). La implementación de las expresión dada utiliza sólo dos de los cuatro compuertas AND y sólo una de las cuatro compuertas OR. En la producción, este tipo de ineficiencia sería muy costosa. Para obviar la ineficiencia, se acostumbra implementar una expresión que use solamente un tipo de compuerta, compuertas NAND o NOR. La compuerta NAND es la función cuya implementación es más natural a nivel interno del chip. Esta cualidad hace que la compuerta NAND sea la más rápida y la más barata de los chips TTL. Además, las compuertas NAND y NOR pueden actuar como inversores, eliminando la necesidad de chips inversores separados. Cómo puede realizarse una expresión en términos de AND y OR utilizando solamente compuertas NAND o NOR? Existen dos métodos primarios para realizar esto. Primero, usando el algebra booleana. La expresión original puede ser manipulada y convertida en una expresión equivalente que utilice el tipo de compuerta deseada. Este método puede volverse extremadamente complicado, especialmente cuando se trata de expresiones extensas. El segundo método utiliza reglas de equivalencia de compuertas, las cuales permiten que cualquier compuerta desempeñe las funciones AND y OR MANIPULACIÓN ALGEBRAICA Las leyes del álgebra booleana nos permiten convertir una expresión booleana en una expresión equivalente que sea directamente implementable con el tipo de compuerta deseada. Por ejemplo, consideremos la implementación de la ecuación 4.7 utilizando solamente compuertas NAND. La función de la compuerta NAND sobre dos entradas, A y B, se representa como: F = AB (4.8) Por lo tanto, para implementar una expresión usando sólo compuertas NAND, el objetivo es reducir todas las operaciones lógicas a la forma anterior, es decir, a la de una compuesta NAND.

31 4.2. IMPLEMENTACIÓN CON UN TIPO DE COMPUERTA 3 De nuestra expresión original: aplicamos doble inversión y el teorema de DeMorgan F = AB + CD (4.9) F = AB + CD (4.2) F = (AB).(CD) (4.2) examinado esta expresión encontramos tres formas NAND:. (AB) 2. (CD) 3. Y en donde y Y corresponden a las expresiones y 2. Por lo tanto, la expresión puede realizarse como sigue: Figura 4.:?Cómo se puede implementar la ecuación 4.7 usando compuertas NOR? Recordemos que la función NOR sobre dos entradas es: si tomamos la ecuación original, F = A + B (4.22) si invertimos dos veces y aplicamos DeMorgan: F = AB + CD (4.23)

32 32 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS en esta expresión encontramos dos formas NOR: F = AB + CD (4.24) F = (A + B) + (C + D) (4.25). (A + B) 2. (C + D) Finalmente, la función lógica final entre y 2 es la función OR, la cual se puede obtener invirtiendo la salida de la NOR Figura 4.: Como puede observarse, este método puede llegar s ser muy complejo y en consecuencia, la probabilidad de error es alta EQUIVALENCIAS DE COMPUERTAS El álgebra booleana se compone solamente de tres operadores: AND, OR y NOT. Cualquier expresión puede implementarse usando las combinaciones de estas tres funciones. Para implementar un circuito con un solo tipo de compuerta se deben ejecutar tres operaciones de algún modo. Ejecutando la función NOT con NAND y NOR NAND y NOR pueden funcionar como inversores uniendo las entradas Ejecutando la función AND con NAND y NOR Por medio de las transformaciones booleanas podemos determinar cómo ejecutar la función AND con compuertas NAND o NOR.

33 4.2. IMPLEMENTACIÓN CON UN TIPO DE COMPUERTA 33 Figura 4.2: La función AND sobre dos entradas se ilustra en el algebra booleana como: La función NAND se expresa como: F = AB (4.26) G = AB F = G (4.27) Esta ecuación puede reducirse a la función AND complementando la ecuación para remover el NOT. Por lo tanto, la compuerta NAND ejecutará la función AND si invertimos la salida. La función NOR sobre dos entradas es: si aplicamos el teorema de DeMorgan, obtenemos F = A + B (4.28) F = A B A = C B = D (4.29) En resumen, una compuerta NAND ejecutará la función AND si invertimos la salida. Una compuerta NOR ejecutará la función AND si invertimos las entradas. Ejecutando la función OR con NAND y NOR La función OR sobre dos entradas la representamos como La función NAND se expresa como F = A + B (4.3) F = CD (4.3)

34 34 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS si aplicamos el teorema de DeMorgan: F = C D A = C B = D (4.32) Por lo tanto, una compuerta NAND ejecuta la función OR si se complementan las variables de entrada. La función NOR sobre dos entradas es: G = A + B F = G (4.33) La cual puede reducirse a la función OR complementando toda la ecuación. Por lo tanto, la compuerta NOR ejecuta la función OR si se complementa la salida. Definiciones simbólicas Para clarificar la doble naturaleza de las compuertas, se puede representar simbólicamente, de dos formas. En las figuras 4.3 y 4.4 se muestran dos representaciones de la compuerta NAND y dos representaciones de la compuerta NOR, respectivamente. Notamos que la presencia de un círculo a la entrada indica que la entrada debe ser invertida para ejecutar apropiadamente la función dictada por la forma del símbolo, es decir, la función AND y OR. Además, la presencia de un círculo a la salida indica que ésta debe invertirse para ejecutar apropiadamente la función dictada por la forma del símbolo. Figura 4.3: Representaciones de la compuerta NAND Figura 4.4: Representaciones de la compuerta NOR

35 4.2. IMPLEMENTACIÓN CON UN TIPO DE COMPUERTA 35 Entradas y Salidas activo alto y activo bajo Para definir aún más el significado de los círculos en los símbolos de las compuertas, podemos decir que una compuerta con un círculo a la salida tiene una salida ACTIVA BAJA. Una compuerta con círculos en la entrada tiene entradas ACTIVAS BAJAS. De igual manera, una compuerta sin círculo a la salida tiene salida ACTIVA ALTA y una compuerta sin círculos a la entrada tiene entradas ACTIVAS ALTAS. Por ejemplo, la forma AND de la compuerta NAND se puede pensar como una compuerta AND con entradas activas altas y la salida activa baja. La forma OR de la compuerta NAND se puede pensar como una compuerta OR con entradas activas bajas y la salida activa alta. oo El término activo alto se refiere a niveles lógicos como los que hemos mencionado hasta ahora: un verdadero se representa por un nivel lógico alto. Activo bajo indica que un verdadero es representado por un nivel lógico bajo en lugar de un nivel lógico alto. Para ilustrar esto, consideremos la ejecución de la función AND con la compuerta NAND. La función AND produce una salida verdadera solamente cuando todas las entradas son verdaderas. Si miramos la forma AND de la compuerta NAND, vemos que también ejecuta la función AND pero como tiene una salida activa baja, el valor verdadero será indicado por un nivel lógico bajo en lugar de un nivel lógico alto. Por lo tanto, para ver una salida activa alta normal, debemos invertir la salida de una compuerta NAND DISEÑO DE DIAGRAMAS LÓGICOS QUE UTILIZAN EQUIV- ALENCIAS DE COMPUERTAS Teniendo en mente el concepto de equivalencias de compuertas, veremos a continuación el diseño de diagramas lógicos. Según las guías del capítulo??, el diagrama lógico para implementar la ecuación 4.7 es como sigue: Figura 4.5:

36 36 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS Diseño de diagramas que utilizan compuertas NAND Este diagrama se convierte sólo a compuertas NAND reemplazando inicialmente todas las compuertas OR con la forma OR de la compuerta NAND y posteriormente, todas las compuertas AND con la forma AND de la compuerta NAND. No dibujar todavía ninguna conexión. Figura 4.6: Puesto que tratamos con entradas y salidas activas altas en el mundo real, las entradas iniciales y salidas finales generalmente deben ser activas altas. Si miramos la figura 4.6 vemos que esta condición ya está satisfecha. La siguiente etapa consiste en conectar los símbolos AND y OR. Puesto que la forma OR de la compuerta NAND requiere entradas activas bajas y que la salida de la forma AND ya es activa baja, no se necesita conversión de nivel y puede hacerse la conexión directa entre las salidas de las formas AND y las entradas de la forma OR. En general, puede hacerse una conexión directa entre una salida y una entrada, ambas activas bajas, o entre una salida y una entrada, ambas activas altas. Si una es activa baja y la otra es activa alta, debemos utilizar un inversor. Haciendo las conexiones como se ha descrito, el diagrama lógico final es como sigue: Figura 4.7: Nótese que al usar las formas AND y OR de las compuertas NAND, es mas obvia la función del circuito. Mirando la figura 4.7, vemos rápidamente que es una implementación SOP, mientras que si vemos el circuito equivalente de la figura 4., encontramos que la función real del circuito no es clara.

37 4.2. IMPLEMENTACIÓN CON UN TIPO DE COMPUERTA 37 El segundo ejemplo muestra un caso en el que se necesita una conversión de nivel. Tomemos la implementación de una compuerta OR de tres entradas usando solamente compuertas NAND de dos entradas. Si se dispone de compuertas OR de dos entradas, esta función se podría implementar como sigue: Figura 4.8: Para implementar solamente con compuertas NAND de dos entradas, procedemos como antes reemplazando las compuertas OR con la forma OR de la compuerta NAND, así: Figura 4.9: Para completar el diagrama debemos asegurarnos que hay entradas y salidas activas altas. Puesto que las entradas de las formas OR son activas bajas, debemos invertir las variables de entrada. Si suponemos entradas de doble riel, no mostramos los inversores de entrada. La salida final del circuito ya es activa alta, por lo cual no necesitamos conversión. La conversión final se realiza entre la primera y la segunda formas OR, en donde vemos que es necesario un inversor. Figura 4.2:

38 38 CAPÍTULO 4. SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS DISEÑO DE DIAGRAMAS LÓGICOS QUE UTILIZAN COMPUERTAS NOR Al igual que con las compuertas NAND, el primer paso para implementarlas usando solamente compuertas NOR, es reemplazar todas las compuertas OR con la forma OR de la compuerta NOR y todas las compuertas AND con la forma AND de la compuerta NOR. Con la figura 4.4 obtendremos: Figura 4.2: Si hacemos las mismas consideraciones de niveles activos alto y activos bajos, finalmente obtendremos: Figura 4.22:.

39 Capítulo 5 Aplicaciones Combinacionales Conceptos básicos Multiplexores Demultiplexores Sumadores Codificadores Comparadores Convertidores de Código Circuitos MSI Saber Hacer Conocer y saber utilizar las aplicaciones más importantes de tipo combinacional, tales como mux, demux, sumador, comparador, convertidores de código. 39

40 4 CAPÍTULO 5. APLICACIONES COMBINACIONALES 5. MULTIPLEORES Y DEMULTIPLEORES 5... Definición Nuestro estudio previo de las bases de la lógica digital y de diseño de circuitos, nos permitió entender y diseñar algunos circuitos importantes. En este capítulo estudiaremos dos de esos circuitos: el multiplexor y el demultiplexor. El multiplexor (mux) efectúa la función de un conmutador rotatorio, seleccionando una de varias entradas para conectar a una sola salida; por lo general, al multiplexor se le denomina selector. El demultiplexor (demux) realiza la función inversa, es decir, conecta una sola entrada a una de varias salidas. Al demultiplexor frecuentemente se le denomina decodificador. Estas dos funciones se usan intensamente en redes digitales. La combinación mux-demux se utiliza para la comunicación serial con el fin de reducir el número de cables requeridos para pasar los datos. Esta pareja puede ser usada de manera similar para manejar despliegues de dígitos múltiples tales como los que se encuentran en las calculadoras. Los mux se usan frecuentemente en los circuitos digitales para controlar el enrutamiento de los datos y las señales. Por ejemplo, se puede usar un multiplexor para seleccionar la entrada a un registro particular de varias fuentes. Los decodificadores son usados para efectuar decodificaciones de direcciones de memoria. Basados en ciertas líneas de dirección, el decodificador puede suministrar las señales de habilitación a los chips de memoria apropiados. Además, tanto los mux como los demux pueden utilizarse para evaluar expresiones booleanas sencillas usando menos hardware que si se usaran compuertas individuales. Existen muchas aplicaciones adicionales; las descritas, simplemente empiezan a ilustrar la flexibilidad de estas dos funciones El Multiplexor Como se mencionó previamente, un mux actúa como un conmutador rotatorio conectando una de varias entradas a una salida única. La selección de cuál entrada debe ser conectada a la salida, es determinada por medio de entradas adicionales llamadas líneas de control o de selección. La entrada seleccionada es determinada por el equivalente binario del valor colocado en las líneas de selección. Por ejemplo, consideremos un mux que selecciona una de cuatro entradas para conectar a la salida. A esto lo llamamos mux de 4 a. Para seleccionar una de cuatro entradas, deben existir cuatro combinaciones únicas de las líneas de selección. Para esto se necesitan dos líneas de selección que nos dan las cuatro combinaciones únicas,, y. La combinación seleccionará la línea, la combinación selecciona la línea y así sucesivamente. Esta función de multiplexor se ilustra en la tabla 5.. Esta tabla muestra la salida F como una función de las entradas de las líneas de selección. En lugar de enunciar los posibles estados de la entradas de datos, ésta forma simplificada de tabla de verdad muestra la salida como función de los datos de la línea de entrada O