1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática

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1 Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó e el couto de los úmeros eteros que se defe a partr de la dvsbldad; dados los eteros a, b y el atural (dstto de cero y de uo), defmos: a b ( mód m) a b m. Ua codcó ecesara y sufcete para la cogrueca es que las dvsoes eteras de a y b etre m de restos guales (vea la demostracó hecha e clase). De esto se deduce que la cogrueca es ua relacó de equvaleca e Z (auque se puede demostrar usado sólo la defcó, como lo hcmos e clase). Por ser de equvaleca, la cogrueca determa ua partcó de Z (revse el cocepto y propedades de couto cocete, que estudamos cuado vmos relacoes de equvaleca). A los elemetos de este couto cocete los llamamos clases resduales e alusó a la codcó ecesara y sufcete de cogrueca. També se deduce fáclmete que e el couto cocete Z/ hay tatas clases como lo dca el módulo de la cogrueca (ua clase por cada resto posble e la dvsó por el módulo m; es decr: Z C, C ; C C / ; m desde hasta m-): Notacó: al elemeto desgamos co Z m. ARITMÉTICA DE LAS CLASES RESIDUALES: C x (clase de x) lo deotaremos co el símbolo x y al couto Z/ lo Se trata ahora de dotar al couto Z m de estructura algebraca; como sempre, esto se hace defedo e él certas operacoes, de cuyas propedades depederá la estructura resultate. a) SUMA EN Z m. Def.: a b a b Observe que la defcó de suma de clases remte a la defcó de suma de úmeros eteros (a rgor, el símbolo de + que aparece e el prmer membro es el que correspode a la suma de clases resduales (suma e Z m. ) metras que el del segudo membro es el de la suma de úmeros eteros (suma e Z) y por lo tato deberíamos usar símbolos dsttos para ambas operacoes; alguos autores usa + y respectvamete, pero s se está ateto a estos hechos, o es ecesaro usar símbolos dsttos. Esta forma de defr la suma permte supoer que la suma e Z m. debe heredar las propedades de la suma e Z. E efecto eso ocurre (vea las demostracoes hechas e clase); por lo que el par ordeado (Z m., +) tee estructura de grupo abelao (se los llama abelaos a los grupos e que la operacó que los defe es comutatva) b) PRODUCTO EN Z m. Def.: a b a b Vale aquí las msmas cosderacoes que hcmos para la suma e Z/, pero ua rápda speccó e las tablas de multplcar respecto de alguos módulos os muestra algo ovedoso; veamos por eemplo las tablas de la multplcacó módulos, y 5:

2 Qué podemos observar e estas tablas?. Lo prmero que llama la atecó es la smetría respecto de la dagoal que empeza e el extremo superor zquerdo. Esa smetría o es más que la cosecueca de la propedad comutatva. Del msmo modo, que hay ua fla y ua columa de ceros es cosecueca de que la clase del cero se comporta e el producto de clases gual que el cero e el producto de úmeros eteros. També se observa que el uo es eutro ya que la fla (o columa) del uo repte la fla (o columa) cal. Pero hay algo ovedoso e estas tablas: observe que e cada fla (o columa), salvo la del cero, hay u uo. qué sgfca esto? Sgfca que dado a (a), exste b tal que axb=, o lo que es lo msmo, cada clase resdual dstta de la ula tee verso. Esto o ocurre e la multplcacó e Z, así que hemos obtedo ua estructura e certo setdo más rca que (Z,+,x). Qué tee de partcular los módulos,, 5? So úmeros prmos, pero será esa la razó de ta partcular comportameto? Veamos ua tabla de multplcar e la que el módulo sea compuesto; por e. Z Se observa e esta tabla que el o tee verso, pues el (eutro multplcatvo) o aparece como resultado e la tabla del (fla del dos), módulo. El sí tee verso y es el propo ya que X=. Otra peculardad de Z es que o vale la propedad hakelaa (a.b=a= b=); vea que X= pero ; e Z 6, x= pero y. Habría que demostrar (lo haremos e algú mometo) que s el módulo p es prmo, etoces todo elemeto o ulo de Z p tee verso; tedríamos así que, s p es prmo, (Z p, +, x) tee estructura de cuerpo comutatvo, como (R,+,x). Ua estructura así es be teresate, pues las ecuacoes del tpo a X b (llamadas ecuacoes de cogrueca ) sempre tee solucó; a saber: X a b. A modo de eemplo; e Z 5, la ecuacó X tee solucó X, que se puede ecotrar smplemete speccoado la columa cuya terseccó co la fla del es el. Claro que la codcó de que el módulo sea prmo o es ecesara para que exsta solucó; por eemplo e Z la ecuacó X b tee solucó e Z cualquera sea b (platee alguo eemplos dado valores partculares a b) pero X tee solucó vacía, ya que o tee verso (observe que e la fla del está todos los elemetos de Z, e cambo el y el o está e la fla del. Queda todavía ua preguta pedete de respuesta: s el módulo m es sufcetemete grade como para que la tabla de multplcar sea poco maeable (por ser demasado grade), cómo saber s ua ecuacó del tpo a X b tee solucó? Y s la tee; cuátas solucoes dsttas hay?.

3 Ua precsó o meor: las ecuacoes de cogrueca está defdas e Z m, o e Z, por lo que las solucoes, s las hay, debe perteecer a Z m (las solucoes o so úmeros eteros, so clases resduales módulo m). Pero e Z m hay sólo m elemetos, de modo que o podrá haber más de m solucoes. Será teresate determar de atemao s hay solucoes y cuátas so, para aseguraros de haber resuelto completamete ua ecuacó dada. Para cotestar esas cuestoes, será ecesaro recordar las propedades de las cogruecas estudadas e el curso: ) Las cogruecas se puede sumar membro a membro : ) a b mod m a c b d c d mod m mod m Las cogruecas se puede multplcar membro a membro : a b mod m ac bd c d mod m mod m (ver demostracoes hechas e clase) ) v) El teorema ateror tee u corolaro mportate: a b (mod m) N a b (mod m) (multplcar ua cogrueca por sí msmo veces) La dvsó membro a membro de cogruecas, e cambo, exge cudados especales: vea por eemplo que 8 (mod ) y que ambos membros se puede dvdr por, pero o es certo que (mod ). E cambo, s dvde a ambos membros y al módulo, es certo que de la cogrueca a b m a b (mod m) se puede deducr que ( mód ) (tete demostrarlo). RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN ax b ( mód m) a) EXISTENCIA DE SOLUCIONES: Observemos que, por defcó, ax b ( mód m) ax b m y Z / ax b my ax my b de modo que la ecuacó de cogrueca se reduce a ua dofátca. Ya demostramos e el curso que la ecuacó ax my b tee solucó sí, y sólo s, D ( a, m) b. Así, por eemplo, la ecuacó 6x 9 mód tee solucó vacía, pues D ( 6,) 6 y 6 o dvde a 9 (observe que la ecuacó 6x y 9 o puede teer solucoes ya que el prmer membro es ecesaramete u úmero par, metras que el segudo membro es mpar). E cambo la ecuacó 6x ( mód 9) sí tee solucoes (ua solucó medata es x=) pero veremos cómo hallar todas las solucoes: Dvdedo ambos membros y el módulo de 6x ( mód 9) etre D (6,9), se obtee x ( mód ), que geera la ecuacó dofátca x y. Los coefcetes de esta ecuacó dofátca so y -; la dvsó etera de - etre da cocete - y resto, de modo que -=-x+, o sea: x-=. Multplcado membro a membro por da:

4 x8-x=, de modo que teemos ua solucó partcular para la ecuacó x y ; a saber: x 8; y Sólo os teresa la solucó x 8, pues estamos resolvedo la ecuacó de cogruecas, cuya cógta es x (o olvde que, e este eemplo, xz 9 ). Ya hemos demostrado que la solucó geeral de la ecuacó dofátca ax my b se obtee a partr de ua solucó partcular: x x mt, de modo que la solucó geeral es x 8 t b) DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES Veamos ahora qué valores puede tomar t para obteer solucoes dsttas. s t x x 8 Observe que 8, y so elemetos dferetes de Z 9 (podríamos poer -, y 5, que també represeta a las clases del 8, y respectvamete, o, 5 y 8 que so los meores aturales de cada clase). Vamos a mostrar ahora que esas so las úcas clases que resuelve la ecuacó 6x ( mód 9) : S elegmos t ' Z, la dvsó etera de t etre da cocete t y resto r (< r<), de modo que t ' t r ( r ) x 8 t ' 8 (t r) 8 9t r. Dscutamos ahora las solucoes halladas para los posbles valores de r: s r x 8 9t 8 ( mód 9) x x s r x 8 9t 9t ( mód 9) x x s r x 8 9t 6 9t ( mód 9) x x Como o hay otro valor posble para r, llegamos a la coclusó que cualquer solucó es algua de las S ;5;8 tres clases halladas; de modo que el couto de todas las solucoes es Vea que el couto solucó tee elemetos y D(a,m)=; será esto ua casualdad?. Claro que o; a cotuacó (valédoos de las deas maeadas e el caso partcular) vamos a hacer la dscusó de las solucoes de la ecuacó ax b ( mód m). Sabemos que tee solucó o vacía s D ( a, m) b. Supogamos que ése es el caso, y sea D( a, m) d. Dvdedo ambos membros y el módulo de la ecuacó dada por d, obteemos a' x b' ( mód m' ); sabemos que esta ecuacó tee ua solucó x, de modo que a' x b' ( mód m' ). S x es cualquer otra solucó, se verfcará la cogrueca a' x b' ( mód m'). Restado membro a membro ambas cogruecas, se obtee: a' ( x x) ( mód m'), por lo tato, como ser cogruete co cero equvale a ser múltplo del módulo, se tee: m a'( x x ) ; pero a y m so prmos etre sí, así que por el teorema de Eucldes, ' m' x x, de dode deducmos que t Z : x x m' t ; así que x x ( ' mód m ). Cualquer solucó es, etoces, cogruete co x. Hay pues, ua sola solucó para la ecuacó a' x b' ( mód m' ). Volvamos ahora a cosderar la solucó geeral de la ecuacó a ' x b' ( mód m') : x x m' t y sea s s t x x t x x 8 8 T,; ;;, d (vea que T tee d elemetos). S elegmos dos elemetos dsttos t y t, ambos e T, las solucoes correspodetes a esos valores de t so: x x x x m' t m' t

5 5 m Restado membro a membro se tee: x x m' ( t t ) ( t t ) ; pero t t d y por d t t lo tato Z ; es decr: x x m. Las solucoes x y x so etoces dos solucoes dsttas d de la ecuacó ax b ( mód m) Sea ahora t u etero cualquera y t u elemeto de T. La dvsó etera de t -t etre d da u cocete q y u resto r de modo que t t dq r t t dq r, así que la solucó x correspodete a dcho valor de t es: x x mt x m( t dq r) x mt m( dq r) x mt m x x mt x x. Dcho de otro modo: cualquer solucó es cogruete co algua correspodete a u elemeto de T. Hemos resuelto el problema de cotar la catdad de solucoes de la ecuacó dada: tee exactamete d solucoes cogruetes módulo m.. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. S be las cogruecas umércas tee múltples aplcacoes (hay problemas teresates e la bblografía recomedada), ua muy útl para uestro curso es la determacó de crteros de dvsbldad (codcoes sufcetes, de fácl verfcacó, que asegure que u úmero admte u dvsor d). Ates de troducros e tema, debemos recordar qué es u sstema de umeracó, ya que los crteros de dvsbldad depede del sstema adoptado para represetar a los úmeros aturales. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Dados los úmeros aturales m y b (b>), demostraremos que exste úmeros aturales a meores que b (=, ), tales que m ab a b ab a (usado otacó sumatora podríamos: m a b ). Los úmeros a se deoma cfras del úmero m e la base b. S se hace u coveo de ordear los térmos de la sumatora e orde decrecete de las potecas de b, y además se sobreetede cuál es la base b, etoces ya o será ecesaro escrbr toda la sumatora, so solamete dcar cuáles so los coefcetes a correspodetes a cada poteca de la base. Así, e lugar de escrbr m ab a b ab a, poemos smplemete m aa aa. La poscó de cada cfra e el úmero dca cuál es la poteca de la base que la multplca; por eso estos sstemas se llama poscoales (Hay sstemas, como el romao -usado desde tempos del Impero Romao hasta fes de la Edad Meda-, e que certos símbolos represeta alguos úmeros aturales co los cuales se represeta cualquer catdad etera, pero el valor de dchos símbolos o depede de su poscó e el úmero represetado (o so poscoales so absolutos); así por eemplo, e el úmero XVII (7 e el sstema romao) el símbolo X represeta udades, lo msmo que e LX (6 e sstema romao); e cambo s escrbmos 7 e base, el represeta udades metras que e el úmero 7 el (la msma cfra) represeta udades. Moderamete, la base adoptada e geeral es (y al sstema resultate lo llamamos, por eso, sstema decmal) pero e computacó y ramas afes se adopta a meudo otras bases (, 8, 6 da lugar a los stemas baro, octal y hexadecmal respectvamete, que aparece e alguas calculadoras cetífcas de uso lceal). Cuado o se dca la base se sobreetede que es. A modo de eemplo, escrbmos.58 para expresar 5 8 (el puto sólo está para ayudar a leer el úmero); e cualquer otra base es ecesaro explctar e qué sstema se escrbe. Observe que el hecho de que a b es muy relevate, pues os permte expresar cualquer úmero atural co u úmero reducdo de símbolos (e el sstema decmal sólo ecestamos los símbolos,,,,,5,6,7,8,9, llamados dígtos, e alusó a la catdad de dedos que teemos e las

6 maos cas todos los humaos). Certo es que s la base es pequeña, dgamos por eemplo b= (sstema baro), los úmeros grades debe expresarse medate ua gra catdad de térmos; pero esto o es u problema s el úmero debe ser leído por ua computadora, pues las cfras sólo so y. Veamos ahora que la matemátca que está por detrás de esta forma de codfcacó de los úmeros es muy smple; sólo se trata de aplcar la propedad de la dvsó etera que deomamos propedad de las dvsoes sucesvas ; recordémosla usado los esquemas de dvsó etera: 6 b q b b b r q r q b r +r q S b =b =b, resulta =q b +r b+r. S q <b, las cfras de so q r y r, por lo que podríamos =q r r (base b) S q >b, volvemos a dvdr q etre b: q b r q q =bq +r =q b +r b +r b+r. S q <b, el proceso está cocludo y escrbmos =q r r r (base b). De lo cotraro, cotuamos co el proceso que será fto pues q <q - < < q <q <q. A modo de eemplo, covrtamos el úmero 7 (base ) al sstema baro: las dvsoes sucesvas etre da: 7=x7+ 7=x6+ 6=x8+ 8=x9+ 9=x+ =x+ =x+ =x+ Aplcado ahora los coceptos aterores teemos que 7= (la formacó codfcada dce que 7= cómo se escrbe 7 e base 8? qué úmero (base ), es 5 e base 8? (aímese a cotestar esas pregutas ates de segur) Ahora veamos cómo usar las cogruecas para decdr crteros de dvsbldad para úmeros escrtos e base. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD a) DIVISIBILIDAD POR LOS DIVISORES DE LA BASE (DOS, CINCO Y DIEZ) : Este crtero es muy secllo, pero gual vale la pea ver como etra e uego las cogruecas. Cosderemos u úmero escrto e base : =a +a a +a +a.

7 7 Observamos que todos los térmos, salvo el últmo, tee u factor que es poteca de co expoete mayor o gual que ; así que todos ellos (y e cosecueca su suma) so cogruetes co, 5 y mód(), de modo que el úmero será múltplo de, 5 o s lo es la últma cfra (a ); pero como < a <, el úco múltplo de es el y los úcos múltplos de 5 so el y el 5; de modo que la dvsbldad por se expresa así: es múltplo de s terma e ; y la dvsbldad por 5 se expresa: es dvsble por 5 s terma e o e 5. La dvsbldad por se expresa: es dvsble por dos s su últma cfra es par U poquto de hstora: Los Babloos (desgamos co ese ombre geérco a ua gra catdad de etas que poblaro la mesopotama - valles de los ríos Tgrs y Éufrates desde. A.C. hasta aproxmadamete el 5 A.C.), había logrado grades progresos e Artmétca. Su sstema de umeracó era poscoal de base 6 (sexadecmal); esto es: se ecesta 6 símbolos para represetar cualquer úmero atural. Esto, que parece ser u coveete pues hay que recordar muchos símbolos, tee la gra vetaa de que 6 tee muchos dvsores: 6= xx5, de modo que tee (+)(+)(+)= dvsores:,,,, 5, 6,,, 5,, y 6; usado el crtero ateror, se determa fáclmete s u úmero dado es múltplo de algú dvsor de la base; alcaza co mrar la últma cfra. c) DIVISIBILIDAD POR Y POR 9: Nuevamete cosderemos el úmero escrto e base : =a +a a +a +a y las cogruecas, váldas tato para módulo como módulo 9: y cosderemos el úmero z=a +a - + +a +a +a (z se obtee multplcado las cfras de por los correspodetes elemetos de la ª columa de la tabla de cogruecas y sumado dchos productos; e este eemplo z es la suma de las cfras de ). -z=a ( -)+a - ( - -)+a - ( - -)+...+a ( -). Observemos que e cada térmo el factor que está etre parétess es múltplo de y de 9 (por las cogruecas atedchas); por lo tato -z es múltplo de y de 9 y de ahí se deduce que es múltplo de (o de 9 ) sí y sólo sí z es multplo de (o de 9). Pero z es la suma de las cfras de, así que es múltplo de o de 9 s la suma de sus cfras es múltplo de o de 9 respectvamete. A modo de eemplo: 5.:5.7 es múltplo de pues =9 es múltplo de 5.:5. es múltplo de 9 pues =6 es múltplo de 9 (y també, claro, de ).

8 8 DIVISIBILIDAD POR Y POR 5: Cosderemos las cogruecas de las potecas de, (váldas para los módulos y 5: ( ) y sea z=a x+a. -z=a x +a - x - + +a x es múltplo de y de 5; luego es múltplo de (o de 5) sí y sólo sí, z es múltplo de (o de 5); pero z es smplemete el úmero formado por las dos últmas cfras de, etoces el crtero es: es múltplo de (o de 5) s el úmero formado por sus dos últmas cfras es múltplo de o de 5 DIVISIBILIDAD POR 7 Ahora debería ser fácl eucar u crtero de dvsbldad por 7; como sempre, empezamos por ua tabla de cogruecas de las potecas de (pues estamos trabaado e base ) co módulo 7: Observamos que acá empeza a repetrse los elemetos de la seguda columa, por lo que los úmeros cogruetes co las potecas de módulo 7 se repetrá peródcamete:,,, -, -, -,,,, -, -, -, El úmero z que os permtrá eucar el crtero de dvsbldad por 7 es: z a z 7 a a a a a5 Luego, será múltplo de 7 s z es múltplo de 7. Por eemplo: 9.9 es múltplo de 7 pues z=+x9+x-9=8 y 8 es múltplo de 7. Queda como eercco eucar crteros de dvsbldad por (es be fácl e teresate) y por.

9 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD EN SISTEMAS NO DECIMALES 9 DIVISIBILIDAD POR EN BASE (SISTEMA BINARIO) Razoado como e el caso de los crteros de dvsbldad e base, debemos hacer ahora ua tabla de cogruecas módulo de las potecas de : z a z a a a a Etoces es múltplo de sí y sólo sí a es múltplo de ; pero a es la últma cfra de y la úca cfra múltplo de e base es el cero, así que el crtero es: es múltplo de s terma e. No debería sorpreder que se euce gual que el crtero de dvsbldad por para úmeros escrtos e base ; a modo de eercco, demostrar lo sguete: ) U úmero escrto e base b es dvsble por b s terma e ) U úmero escrto e base b es dvsble por b s el úmero formado por sus dos últmas cfras es múltplo de b DIVISIBILIDAD POR EN EL SISTEMA BINARIO Observemos la tabla de cogruecas módulo de las potecas de : p p Sea z a a a a ) a z a ( ) a de dode resulta que ( es múltplo de sí, y sólo sí, z es múltplo de ; pero observemos que z es el úmero que resulta de sumar las cfras de multplcadas alteradamete por o -, de modo que el crtero de dvsbldad por para úmeros escrtos e sstema baro es gual al crtero de dvsbldad por para úmeros escrtos e sstema decmal. Observemos: es el sguete de y es el sguete de. Podremos geeralzar y afrmar que u úmero escrto e base b es dvsble por b+ s la suma de sus cfras multplcadas alteradamete por y - es múltplo de b+?. Itete demostrar esta coetura! EJERCICIOS:. Después de lo expuesto, o debería resultar dfícl eucar los crteros de dvsbldad por y por para úmeros escrtos e base 8 (sstema octal), y també los crteros de dvsbldad por, y 8 para úmeros escrtos e sstema hexadecmal (base 6).. Eucar el crtero de dvsbldad por para úmeros escrtos e base 7

10 . Decdr s el úmero e sstema octal es dvsble por, 5 o 7. Resposable: Hugo Brum Departameto de Matemátca Ce.R.P. del Norte

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