Capítulo I Aspectos generales de Probabilidades y Variables Aleatorias

Transcripción

1 Capítulo I Aspectos geerales de Probabilidades y Variables Aleatorias Probabilidades E este capítulo se itroduce el cocepto de la probabilidad, tópico ecesario para la compresió de temas a desarrollarse e los capítulos posteriores. Beroulli fue el primero e estudiar la teoría de la probabilidad e forma sistemática co u efoque cietífico; observado los resultados del lazamieto de ua moeda u úmero grade de veces, otó que el úmero de caras y el úmero de sellos tedía a ser iguales. Es decir, que la frecuecia relativa de la obteció de caras se acercaba más a la frecuecia relativa de sellos, cuato mayor era el úmero de lazamietos. O bie, ambas frecuecias relativas se parecía cada vez más a 0.5. Otro tato le ocurría e el lazamieto de dados: la frecuecia relativa de u 4 tedía a /6. Repitió ua y otra vez este tipo de experimetos co moedas, dados y cartas, y siempre llegaba a la misma coclusió. Imagió haber ecotrado u feómeo más geeral y así dio comiezo a la teoría de probabilidades. Sus resultados teóricos se correspodía razoablemete co la realidad. Si embargo, debe marcarse siempre ua clara distició etre los resultados empíricos y los teóricos. El uso de la teoría de la probabilidad se iició e los albores del siglo XVII, haciédose popular etre los geometras de aquel etoces, hoy se emplea e el campo de los seguros, cotrol de calidad, geética, mecáica estadística y muchos más. [5] 3

2 La teoría de la Probabilidad se costituye e el fudameto de la iferecia estadística, e este capítulo se estudiará sólo los coceptos básicos, co el objetivo de bridar al lector los métodos fudametales y ecesarios para compreder la iferecia estadística. Puede señalarse que el cocepto de probabilidad está implícito e distitas situacioes. Por ejemplo: e las ecuestas de opiió dode se idica las posibilidades que tedría determiado cadidato de gaar las eleccioes; e el campo de la educació primaria se puede afirmar que la deserció escolar es de u 65% e zoas margiales; la posibilidad de que u alimeto esté cotamiado es del 50%; la posibilidad de que ua estudiate de secudaria quede embarazada es del 0%, etc. Los ivestigadores del área de educació y de ciecias sociales cotiuamete se preguta si los resultados de sus ivestigacioes se debe a la casualidad o so el producto de la ifluecia de diversos factores. Por ejemplo, se emplea dos métodos de eseñaza, el método A y el método B co la fialidad de comparar el úmero de alumos desaprobados; al térmio del curso se cooce que el grupo que estudió co el método A, tres de cada diez estudiates desaprueba y el grupo que estudió co el método B uo de cada diez estudiates desaprueba. Puede afirmarse que el método A es mejor que el método B?. Esta y otras pregutas puede respoderse a través de la aplicació de los coceptos y leyes de la probabilidad. A cotiuació se defiirá alguos térmios importates: Experimeto aleatorio Es todo proceso que se puede repetir idefiidamete obteiédose resultados o previsibles. Por ejemplo, el experimeto de elegir u estudiate al azar y observar el grado de istrucció del padre. Espacio muestral El espacio muestral asociado a u experimeto aleatorio, es el cojuto de todos los posibles resultados de u experimeto. 4

3 El espacio muestral lo deotaremos por Ω. Por ejemplo, e el caso del experimeto de seleccioar u iño al azar y observar el grado de istrucció del padre los resultados posibles se puede represetar e el cojuto: Ω{si istrucció, primaria, secudaria, superior uiversitaria} Eveto o suceso Cada uo de los resultados de u experimeto aleatorio, es deomiado eveto o suceso. U eveto E es u elemeto o subcojuto de elemetos del espacio muestral Ω. Por ejemplo, al seleccioar u alumo y registrar el grado de istrucció del padre e este caso ua de las posibilidades es que el padre tega istrucció superior, e este caso se defie el eveto: E{padre co istrucció superior}. Evetos mutuamete excluyetes Dos o más evetos so mutuamete excluyetes, si la ocurrecia de u eveto implica la o ocurrecia de cualquier otro eveto. Por ejemplo, e el espacio muestral Ω, los evetos E{padre co istrucció superior} y E{padre co istrucció primaria}, so evetos mutuamete excluyetes. A cotiuació se presetará el cocepto de probabilidad e tres perspectivas: probabilidad clásica, probabilidad como frecuecia relativa, probabilidad subjetiva. Probabilidad clásica La probabilidad clásica se remota al siglo XVII e los trabajos de los matemáticos Pascal y Fermat, y se preseta a través de la siguiete defiició. Si u experimeto aleatorio produce N resultados igualmete probables y mutuamete excluyetes, y si detro de estos N resultados el eveto E ocurre m veces, la probabilidad de ocurrecia del eveto E es igual a m/n. 5

4 Esta defiició se expresa como ( E) P m N Se lee: la probabilidad de que ocurra el eveto E es igual a m etre N. Probabilidad segú el cocepto de frecuecia relativa El efoque de frecuecia relativa de probabilidad está relacioado a u úmero grade de veces que se repite u experimeto digamos, veces, y si algú eveto E ocurre u úmero m de veces la frecuecia relativa de la ocurrecia del eveto E m, estima la probabilidad de ocurrecia del eveto E. m La expresió es la siguiete: P ( E) Esta iterpretació de probabilidad como frecuecia relativa depede de la idea de regularidad estadística, que establece que las frecuecias relativas tiede a estabilizarse y a aproximarse a u valor fijo después de repetir el experimeto u gra úmero de veces. Por ejemplo, e u Cetro de Salud de Lima aciero,000 iños, ituitivamete puede decirse que la probabilidad de acimieto de u iño es igual a la probabilidad de acimieto de ua iña, es decir El experimeto cosiste e observar e forma secuecial los acimietos. E base a esta iformació se orgaiza la siguiete tabla, e la cual la seguda columa cotiee el úmero de iñas acidas e cada 00 acimietos. Se defie el eveto E:{acimieto de ua iña}. Puede observarse que las frecuecias relativas tiede a "estabilizarse" y a aproximarse a 0,50 después de u gra úmero de repeticioes de u experimeto, au cuado al iicio de la secuecia se observa ua cosiderable fluctuació. Este comportamieto de las frecuecias relativas se ha comprobado experimetalmete muchas veces. 6

5 Número de iñas observada e ua secuecia de,000 acimietos NÚMERO DE NÚMERO DE NÚMERO NACIMIENTOS NIÑAS ACUMULADO i/n X i , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4950 7

6 Probabilidad subjetiva Existe diversas situacioes e las cuales la probabilidad de ocurrecia de u eveto o puede ser calculada de acuerdo a los métodos ateriores. A través de estos métodos o es posible por ejemplo calcular la probabilidad de que e los próximos 0 años se reduzca la cotamiació ambietal e la Tierra o que se elimie la hepatitis B e los escolares de la selva peruaa. La magitud de la probabilidad que ua persoa asiga subjetivamete a u eveto está e relació al grado de seguridad que esa persoa tiee e la ocurrecia del eveto. La probabilidad subjetiva o depede de la posibilidad de repetició de u experimeto. Axiomas de probabilidad Los axiomas de probabilidad garatiza que las probabilidades asigadas a los evetos pueda iterpretarse como frecuecias relativas. Los axiomas o determia las probabilidades, estas se asiga de acuerdo al coocimieto del sistema estudiado. Los siguietes axiomas propuestos por Kolmogorov, facilita el cálculo de probabilidades de alguos evetos a partir del coocimieto de las probabilidades de otros evetos. Si Ω es el espacio muestral asociado a u experimeto y E es cualquier eveto del espacio muestral, se cumple: i) P(Ω) ii) 0 P(E) iii) Para dos evetos E y E defiidos e W, co E E φ, se cumple que: P(E E ) P(E)+P(E). Los axiomas de probabilidad y las propiedades derivadas de estos se limita a la asigació de probabilidades de maera tal que es cocordate iterpretar éstas como frecuecia relativa. Como cosecuecia de los axiomas ateriores se preseta las siguietes propiedades. 8

7 Propiedades. P(f)0, dode f es el cojuto vacío.. Para cualquier eveto E P(E c )-P(E), dode E c es el complemeto del eveto E. 3. Si el eveto E E P(E ) P(E ). Ejemplo. U cetro educativo covoca a cocurso la plaza de director del colegio y recibe 5 solicitudes para desempeñar este cargo. Quice de los postulates al cargo so hombres y diez so mujeres. Cico de ellos tiee el grado de doctor y veite el grado de magister. U postulate es elegido aleatoriamete etre los veiticico. Los evaluadores se formula las siguietes pregutas: a) Cuál es la probabilidad de que el postulate seleccioado sea ua mujer? b) Cuál es la probabilidad de que el postulate seleccioado tega el grado de doctor? c) Cuál es la probabilidad de que postulate seleccioado tega el grado de magister y sea hombre? Vamos a respoder las pregutas plateadas. Solució La iformació relacioada al sexo y grado académico de los postulates es la siguiete: Distribució de los 5 postulates al cargo de director por sexo y grado académico Sexo Magister Grado académico Doctor Total Femeio 8 0 Masculio 3 5 Total

8 a) El experimeto cosiste e seleccioar aleatoriamete a u postulate y observar su sexo, los posibles resultados so hombre o mujer. Etoces Ω { E, E } dode: E : Mujer y E : Hombre. La probabilidad de que el postulate seleccioado sea mujer es, ( E ) 0 P E ) 5 ( 0.4 b) El experimeto cosiste e seleccioar aleatoriamete a u postulate y observar su grado académico. Los posibles resultados so magister o doctor. Etoces Ω { F, F } dode: F : Magister y F : Doctor. La probabilidad de que el postulate seleccioado tega el grado de doctor es, ( F ) 5 P( F ) 5 0. c) El experimeto cosiste e seleccioar aleatoriamete a u postulate y observar sexo y grado académico simultáeamete. E F : Mujer co grado de magíster (E F )8 E F : Mujer co grado de doctor (E F ) E F : Hombre co grado de magíster (E F ) E F : Hombre co grado de doctor (E F ) 3 La probabilidad de que el postulate seleccioado sea hombre y tega el grado de magister es, P ( E F ) F ) 5 ( E

9 Variables aleatorias Dado u experimeto aleatorio al que se le asocia u espacio muestral Ω, ua fució X que asiga a cada elemeto de ω e Ω uo y sólo u úmero real X(ω)x es llamada variable aleatoria. Esa decir, el domiio de la fució es el espacio muestral Ω y el rago es el cojuto de úmeros reales. Las variables aleatorias puede ser clasificadas como discretas o cotiuas. Se dice que es discreta si tiee u rago fiito o ifiito umerable y es cotiua si tiee u rago que cotiee u itervalo de úmeros reales. Este itervalo puede ser fiito o ifiito Ejemplos de variables aleatorias discretas: X: Número de libros solicitados e ua biblioteca. X: Número de cursos a implemetarse e u semestre académico. X: Número de alumos matriculados e el curso de Filosofía. X: Número de computadoras e red del laboratorio de iformática. Ejemplos de variables aleatorias cotiuas: X: Tiempo dedicado a la revisió bibliográfica. X: Diámetro de u disco compacto. X: Tiempo de espera e el baco para efectuar el pago de matrícula. Ejemplo. U alumo es seleccioado aleatoriamete y se observa si está aprobado o desaprobado. El espacio muestral es Ω {apro-

10 bado, desaprobado} {A,D}. Cosideremos X como ua fució defiida sobre Ω tal que X(D) 0 y X(A). Así, X es ua fució real valorada que tiee como domiio al espacio muestral Ω y como rago al cojuto de úmeros reales {x: x0,}. Variable aleatoria discreta y su distribució de probabilidad La distribució de probabilidad de ua variable aleatoria discreta, X, es el cojuto de pares( x, p( x) ); dode: x represeta a u valor observado de la variable aleatoria y ( X x) p x) P ( represeta la correspodiete probabilidad y es la fracció de veces que puede esperarse que x ocurra y cumple co las siguietes propiedades: i) 0 p( x) ii) p( x) Ejemplo.3 Ua biblioteca que cueta co u total de 470 libros, clasifica estos libros segú el úmero de hojas deterioradas. E este caso la variable aleatoria e estudio es X: Número de hojas deterioradas ecotradas e u libro. Esta es ua variable aleatoria discreta y el rago de posibles valores de X puede ser { 0,,,...,} R si el úmero máximo de hojas deterioradas es x. Vamos a ecotrar la distribució de probabilidad del úmero de hojas deterioradas. E la siguiete tabla se preseta las frecuecias ecotradas segú el úmero de hojas deterioradas.

11 Número de hojas Número de deterioradas libros X TOTAL 4.70 f i Por ejemplo, puede decirse que de u total de 4.70 libros se ha ecotrado,.394 que o cotiee igua hoja deteriorada, 36 libros co 6 hojas deterioradas, etc. Solució Vamos a presetar la distribució de probabilidad de la variable aleatoria, úmero de hojas deterioradas. Las probabilidades p ( x) P( X x), so calculadas dividiedo sus respectivas frecuecias absolutas etre el total. Por ejemplo, p(0) P p() P.. p() P ( X 0) ( X ).394 0, , ( X ) 0, 000 3

12 Los resultados se preseta e la siguiete tabla E base Número al coocimieto de hojas de la distribució P( X x) de probabilidad, puede formularse deterioradas alguas pregutas, las que respodemos directamete. 0 0,365 0,306 i) Cuál es la probabilidad de que u 0,88 libro seleccioado aleatoriamete cotega 3 exactamete 40,0836 hojas deterioradas?. 4 0, , , , ,00 9 0,00 0 0,0007 0,0007 0,000 TOTAL,0000 Solució: Se observa la última tabla y la probabilidad es: P ( X 4 ) 0, 047 ii) Cuál es la probabilidad de que u libro seleccioado aleatoriamete cotega exactamete 6 hojas deterioradas?. Solució: Se observa la última tabla y la probabilidad es: P( X 6 ) 0, 0084 Fució de distribució La fució de distribució está defiida como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome u valor iferior o igual a x, es decir: F( x) P X x ( ) 4

13 A cotiuació se preseta la fució de distribució y su respectiva represetació gráfica para el Ejemplo.3. Fig.. Represetació gráfica de la fució de distribució Así, Número de hojas F( x) P( X x) deterioradas 0 0,365 0,647 0, , , , , , , , ,999 0,9998,0000 F(0) P( X 0) F() P( X.0000 ) P( X 0) + P( X ) Fució de distribució F(x) F() P( X ) P( X 0) + P( X )... + P( X ) º libros 5

14 La fució de distribució es expresada de la siguiete forma: F( x) P( X 0, 0.365, 0.647, 0.835, 0.988, , 0.985, x) , 0.995, 0.997, , 0.999, ,.0000, x < 0 0 x < x < x < 3 3 x < 4 4 x < 5 5 x < 6 6 x < 7 7 x < 8 8 x < 9 9 x < 0 0 x < x < x F( x ), tambié es llamada fució escalera. Ejemplo.4 E base a la distribució de probabilidad ecotrada vamos a respoder alguas pregutas. i) Cuál es la probabilidad de que u libro seleccioado aleatoriamete a lo más cotega dos hojas deterioradas? Solució: Observamos la tabla aterior y la probabilidad es: P ( X ) P( X 0 ) + P( X ) + P( X ) ii) Cuál es la probabilidad de que u libro seleccioado alea- 6

15 toriamete tega etre 4 y 7 hojas deterioradas iclusive? Solució: Para obteer la probabilidad se calcula: P ( 4 X 7) P( X 7) P( X 3) Media, variaza y desviació estádar La media de ua variable aleatoria discreta X (media de la distribució) se defie por: ì E( X ) xp( x) La variaza de ua variable aleatoria discreta X (variaza de la distribució) se defie por: ( ) σ Var( X ) E X µ La desviació estádar es la raíz cuadrada de la variaza, Ejemplo.5 [( ì) ] σ Var( X ) E X E relació al ejemplo.3 se obtedrá la media, la variaza y la desviació estádar. Solució Media: ì xp( x) 0(0.365) + (0.306) (0.000).3435 x 0 y puede decirse que el úmero promedio es de hoja dete- 7

16 riorada. Variaza: E la siguiete tabla se preseta los cálculos auxiliares para ecotrar el valor de la variaza σ 3.93 (.3435).8 y el valor de la desviació estádarσ A cotiuació se preseta las distribucioes especiales: Beroulli y Biomial. Distribució de Beroulli Número de hojas p(x) x p(x) deterioradas x x p(x) TOTAL La distribució de Beroulli caracteriza a ua variable aleatoria co dos posibles resultados y co probabilidad de ocurrecia costate. Típicamete cada uo de estos resultados, represeta u «éxito» (x) o u «fracaso» (x0). Defiició. Ua variable aleatoria X, tiee ua distribució 8

17 de Beroulli si su distribució de probabilidad está dada por: P( X p x ( p) x ; x 0, 0 x) 0 ;cualquier otro caso p dode p es la probabilidad de «éxito» y -p la probabilidad de «fracaso», es decir: P( X ) p ( p) 0 P( X 0 ) p ( p) 0 p p Ua variable aleatoria co distribució Beroulli puede ser utilizada para modelar situacioes como la siguiete: Ate ua promoció de becas de estudios de computació u idividuo puede aceptar o o la promoció. U aalista clíico evalúa a u paciete y podrá clasificarlo como imue o o a ua determiada efermedad. U artículo puede ser clasificado como defectuoso o o defectuoso después de haber sido sometido a u cotrol de calidad. Esperaza y variaza La media y variaza de ua variable aleatoria co distribució de Beroulli está defiidas por: E( X ) p, 0 p Var( X ) p( p) pq Distribució biomial La distribució Biomial es de importacia porque sirve para modelar muchas situacioes de la vida real. Se basa e esayos idepedietes de Beroulli, cada esayo co dos posibles resultados y la probabilidad de éxito p permaece costate e cada prueba o esayo. La variable aleatoria estudiada es el ú- 9

18 mero de éxitos e pruebas idepedietes. Formalizado, se dice que ua variable aleatoria, tiee ua distribució Biomial si su distribució de probabilidad está dada por: dode: P( X x x p ( p) ; x 0,..,, x) x 0 ;c.c X : represeta el úmero total de «éxitos» e los esayos. La media y variaza de la variable aleatoria so: E( X ) p Var( X ) pq Ejemplo.6 Históricamete, la probabilidad de que u alumo de maestría e educació desapruebe el curso de metodología de la ivestigació es p Se obtiee ua muestra aleatoria de 6 estudiates de maestría que lleva el curso de metodología de la ivestigació y vamos a ecotrar: a) El úmero esperado de alumos que desaprueba el curso. b) La probabilidad de que exactamete tres alumos desapruebe el curso. c) La probabilidad que a lo más dos alumos desapruebe el curso. d) Por lo meos cico alumos desapruebe el curso Solució 6 p X : úmero de alumos desaprobados{ 0,,...,6} y la distribució de probabilidad de la variable es: 30

19 P 6 x ( ) x 6 X x 0.45 ( 0.55) x x { 0,,...,6} Así: P P P P P P P ( X 0) 0.45 ( 0.55) 6 ( X ) 0.45 ( 0.55) 6 ( X ) 0.45 ( 0.55) 3 6 ( X 3) 0.45 ( 0.55) 4 6 ( X 4) 0.45 ( 0.55) 5 6 ( X 5) 0.45 ( 0.55) ( X 6) 0.45 ( 0.55) a) El úmero esperado de alumos desaprobados es: 6 E( X ) xp( X x) x 0 0p(0) + p() + p() + 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + 6p(6) 0(0.077) + (0.359) + (0.780) + 3(0.303) + 4(0.86) + 5(0.0609) + 6(0.0083) Se espera ecotrar aproximadamete tres desaprobados. b) P(X3) c) P(X ) P(X0)+P(X)+P(X) d) P(X 5) -P(X 4) -[ P(X0)+P(X)+P(X)+P(X3)+ P(X4)] - [ ]

20 0.069 Distribució de probabilidad de ua variable cotiua Ua variable aleatoria cotiua es aquella que puede asumir cualquier valor e u itervalo específico de valores. E cosecuecia, etre dos valores cualesquiera asumidos por la variable aleatoria cotiua existe u úmero ifiito de valores. Defiició Ua fució o egativa ƒ(x) se llama fució de desidad de probabilidad de la variable aleatoria X, sí el área total delimitada por su curva y el eje de las x, es igual a y sí la subárea delimitada por la curva, el eje de las x, y por las líeas perpediculares levatadas sobre dos putos cualesquiera a y b da la probabilidad de que X esté etre los putos a y b. Distribució ormal Ua de las distribucioes teóricas más estudiadas e los textos de estadística y más utilizada e la práctica es la distribució ormal, tambié llamada distribució gaussiaa. Su importacia se debe fudametalmete a la frecuecia co la que distitas variables asociadas a feómeos aturales y cotidiaos sigue, aproximadamete, esta distribució. Caracteres morfológicos (como la talla o el peso), o psicológicos (como el cociete itelectual) so ejemplos de variables de las que frecuetemete se asume que sigue ua distribució ormal. El uso extedido de la distribució ormal e las aplicacioes estadísticas puede explicarse, además, por otras razoes. Muchos de los procedimietos estadísticos habitualmete utilizados supoe ormalidad de los datos observados. La simple exploració visual de los datos puede sugerir la forma de su distribució. No obstate, existe otras medidas, gráficos de ormalidad y cotrastes de hipótesis que puede ayudaros a decidir, de u modo más riguroso, si la 3

21 muestra de la que se dispoe procede o o de ua distribució ormal. Cuado los datos o sigue ua distribució ormal, podremos o bie trasformarlos o emplear métodos estadísticos o paramétricos. Defiició Ua variable aleatoria cotiua, tiee ua distribució ormal si su fució de desidad de probabilidad está dada por: f ( x) ð e σ x µ σ < x <,, < ì <,ó > 0 que determia la curva e forma de campaa. Así, se dice que ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal co media µ y variaza σ. Notació: X ~ N ( µ, σ ) La distribució ormal posee ciertas propiedades importates destacado las siguietes: El área total bajo la curva y por ecima del eje horizotal es igual a. La distribució es simétrica respecto de su media. La media, mediaa y moda so iguales. 33

22 La distacia etre la recta x µ y el puto de iflexió de la curva es igual a σ. La distribució ormal costituye realmete ua «familia» de distribucioes, puesto que para cada valor de µ y σ existe ua distribució diferete. La curva de la distribució ormal se extiede de - hasta +. Si levatamos perpediculares etre: Si ua variable aleatoria X tiee ua distribució ormal, puede calcularse las probabilidades de que X tome valores etre a y b, P(a X b). Puesto que X es ua variable aleatoria cotiua P(a X b) P(a < X < b) Distribució ormal estádar µ - σ y µ - σ correspode aproximadamete al 68.3% del área total. µ - σ y µ - σ correspode aproximadamete 95.4% del área total. µ - 3σ y µ - 3σ correspode aproximadamete 99.7% del área total. Correspode a ua variable co distribució ormal co media 0 y variaza : f ( z) ð y cuyas probabilidades P(Z z) está tabuladas e la deomiada tabla ormal. e z Estadarizació de ua variable co distribució ormal Ua variable aleatoria X co distribució ormal co media µ y variaza σ puede ser trasformada e ua variable ormal estádar: 34

23 X X ì ~ N(ì, σ ) Z ~ N(0,) σ Las áreas de la distribució ormal estádar correspode a probabilidades que se ecuetra tabuladas. E la Tabla A del Apédice se preseta las áreas bajo la curva etre - y z 0, es decir P(Z z 0 ). Ejemplo.7 Vamos a determiar las siguietes probabilidades: a) P(Z<.45) b) P(-.< Z <.) c) P( Z >.75) d) Cuál es el valor de z 0 si P( Z < z 0 ) Solució a) E la Tabla A se ecuetra el área acumulada hasta.45, esta correspode al valor de la siguiete probabilidad P(Z<.45) Asimismo, el SPSS os proporcioa estas probabilidades: Igresar al EDITOR DATA y accesar a TRANSFORM y luego COMPUTE Muestra la patalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la fució CDF.Normal(zvalue) co parámetros media «0» y variaza. 35

24 Se obtiee la probabilidad requerida. Z.45 σ b) P(-.< Z <.) P(Z<.) - P(Z<-.) P(Z<.) + P(Z<.) µ c) P( Z >.75) - P( Z <.75)

25 d) E la Tabla A, para obteer z 0 dode P(Z< z 0 ) 0.965, se ubica el valor de la probabilidad e este caso y el cuatil correspodiete es.65. Ejemplo.8 Supogamos que se sabe que el peso de ua població de alumos que practica atació sigue ua distribució ormal, co ua media de 63 Kg y ua desviació estádar de 0 Kg. si se elige aleatoriamete u estudiate, vamos a respoder las siguietes pregutas: a) Cuál es la probabilidad que tega más de 69 Kg de peso?. b) Cuál es la probabilidad que tega meos de 58 Kg de peso?. c) Cuál es la probabilidad que u alumo elegido al azar, tega etre 60 y 65 Kg?. Solució La variable aleatoria e estudio es X : Peso y X ~ N( 63, 0 ), dode µ 63 σ 00 σ 0 X 63 Estadarizado la variable aleatoria Z ~ N(0,) 0 a) b) P ( X > 69) P( X 69) X P 0 0 P ( Z 0.6)

26 P ( X 58) X P 0 0 P ( Z 0.5) c) Normal P ( 60 < X 65) X P < X 63 P 0.3 < 0. 0 P P ( Z < 0.) P( Z < 0.3) ( Z < 0.) + P( Z < 0.3) Distribució Ji cuadrado, t de Studet y F de Sedecor Distribució Ji cuadrado Si la variable aleatoria tiee fució de desidad de probabilidad dada por, ( ) x f ( x) x e si x > 0 / Γ Se dice que la variable aleatoria tiee distribució ji cuadra- - 38

27 do co grados de libertad. La distribució ji cuadrado es ua distribució asimétrica y se deota como X χ ~ ( ) Fució de desidad de probabilidad de la distribució ji cuadrado Esperaza y variaza E(X) y Var(X). La distribució ji cuadrado y su relació co la distribució ormal Si S ( X X ) i Es la variaza de ua muestra aleatoria X, X,..., X de tamaño, seleccioada de ua població distribuida ormalmete co media µ y σ, etoces: ( ) S σ Tiee distribució ji cuadrado co - grados de libertad. 39

28 El úmero de grados de libertad e toda operació estadística es igual al úmero de observacioes meos toda restricció impuesta a tales observacioes. Ua restricció es cualquier valor que deba calcularse e base a dichas observacioes. La variable que sigue ua distribució ji cuadrado se represeta por la letra griega χ y toma solamete valores o egativos. E la tabla C del Apédice se tiee tabuladas las probabilidades para ua variable aleatoria ji cuadrado para diferetes grados de libertad. Ejemplo.9 U grupo de ivestigadores cooce que los coeficietes itelectuales de ua població de iños, sigue ua distribució ormal co variaza igual a 4. Seleccioa ua muestra aleatoria de tamaño 7 de esta població y desea coocer la probabilidad de que la variaza muestral sea a lo más Solució ( ) S E este caso: 7, σ 4 y ~ χ (6) σ ( ) S ( ) P( S 4.85) P 4.85 σ σ P P ) (6 ) ( Se igresa a la Tabla C co 6 grados de libertad y la abscisa 9.4 ecotrádose el valor de la probabilidad igual a 0.75, es decir: P( S 4.85) Propiedades 40

29 4 Si elevamos al cuadrado ua variable aleatoria co distribució N(0,) se geera ua variable ji cuadrado co u grado de libertad, es decir: ) ( ~ (0,) ~ i Z N i X i Z σ µ Si se tiee variables aleatorias idepedietes co distribució N(0,), la suma de los cuadrados de dichas variables tiee distribució ji cuadrado co grados de libertad. ) ( ~ i i X i i Z σ µ Distribució t de Studet Si la variable aleatoria X tiee fució de desidad dada por: ( ) < < + Γ Γ + Γ + x x x f, ð ) ( se dice que tiee distribució t de Studet co grados de libertad. Notació: X ~ ) t( Y los parámetros poblacioales so la media y la variaza:

30 E(X) 0 y Var(X) E 908, W.S. Goset, quie escribía bajo el seudóimo de Studet, describió la distribució de la variable: X µ t S Como ua variable co distribució t co - grados de libertad, cuado la muestra es seleccioada desde ua població ormal co media µ y variaza σ. Esta distribució permitirá realizar iferecias relacioadas a la medias poblacioales cuado la variaza es descoocida. Se debe otar que el deomiador de la variable t, cotiee la desviació estádar muestral S e lugar de σ. E la tabla B del aexo se tiee tabuladas las probabilidades para ua variable aleatoria t para diferetes grados de libertad. Ejemplo.0 Si X es ua variable aleatoria co distribució t co 0 grados de libertad se obtedrá las siguietes probabilidades: a) P(X (0).8) b) P(X (0).8) c) P( X (0).8) Solució a) E la fila 0 de la Tabla B se ecuetra que el valor de la probabilidad es 0.975, es decir P(X.8) b) P(X.8) - P(X.8) c) P( X.8) P(-.8 X.8) P(X.8) - P(X -.8) 4

31 P(X.8) [ - P(X -.8) ] P(X.8) - (0.975) 0.95 Utilizado el SPSS, ejecutar los comados Trasform/Compute/escoger la fució CDF.T(.8,0)/OK. e el Editor del SPSS: Fució de distribució Cuatil: q.8 Grados de libertad 43

32 44 Distribució F de Sedecor Si la variable aleatoria X tiee fució de desidad por 0, ) ( > + Γ Γ + Γ + x x m x m m m x f m m m Se dice que X tiee distribució F co m y grados de libertad. Notació: X ~ F(m, ) Ejemplo.

33 Se ecotrará alguas probabilidades para ilustrar el uso de la Tabla D del aexo. a) Si X tiee ua distribució F co m 9 y 0 grados de libertad, ecotraremos P(X 3.4). b) Si tiee ua distribució F co m 7 y 5 grados de libertad, ecotraremos P(X 4.57). c) Si tiee ua distribució F co m 8 y 5 grados de libertad, ecotraremos P(X 6.63). Solució a) E la Tabla D ubicamos la itersecció de la fila correspodiete a m 0 y la columa correspodiete 9 y se ecuetra el cuatil 3.4 al que le correspode ua probabilidad de Es decir, X ~ F(0, 9) P( 3.4) b) P(X 4.57) - P(X < 4.57) Es decir, X ~ F(5, 7) P(X 4.57) 0.05 c) Si X ~ F(5, 8) P(X 6.63) 0.99 Utilizado el SPSS para resolver el item a) ejecutar los siguietes comados: Trasform/Compute/escoger la fució CDF.F(3.4,9,0)/ 45

34 OK. Se obtiee la probabilidad deseada. Cuatil: 3.4 m 9 0 Distribucioes muestrales 46

35 El estudio de determiadas características de ua població se efectúa a través de diversas muestras que puede extraerse de ella y las estadísticas obteidas de las muestras permite estimar los parámetros de la població. Por ello, e el proceso de hacer iferecias respecto a ua població e estudio, basádoos e iformació muestral, es ecesario coocer la relació que se establece etre estadísticas y parámetros. Esta se realiza a través de la distribució muestral de ua estadística. Defiició La distribució muestral de ua estadística es la distribució de todos los posibles valores que puede tomar la estadística, calculada e base a muestras del mismo tamaño, seleccioadas aleatoriamete de ua misma població. El coocimieto de las distribucioes muestrales permite coocer míimamete la media y la variaza de la estadística. E el caso de cosiderar poblacioes fiitas y discretas, se puede costruir empíricamete ua distribució de probabilidad de la siguiete maera: Se seleccioa aleatoriamete todas las muestras posibles de tamaño de ua població fiita de tamaño N. Se calcula la estadística de iterés para cada ua de las muestras. Se orgaiza los valores observados de la estadística y se obtiee sus respectivas frecuecias. E aquellos casos e los cuales la població o es fiita, se obtiee u gra úmero de muestras del mismo tamaño de esta població y así se obtiee ua aproximació de la distribució muestral. Alguas estadísticas de importacia so la media mues- 47

36 tral( X ), la variaza muestral( S ), la diferecia de medias muestrales e el caso de dos muestras ( X X ), el cociete de variazas muestrales ( S ) S. Cabe establecer la diferecia etre la distribució poblacioal de la variable, la distribució muestral de la estadística y la distribució de la muestra observada, para lo cual se toma el siguiete ejemplo, que por razoes estrictamete metodológicas, la població es de tamaño 5. Ejemplo. E ua població coformada por 5 docetes dode la variable e estudio es el úmero de años de experiecia docete ( X ). Ecotraremos: a) la distribució poblacioal de la variable. b) La distribució muestral de la estadística media muestral ( X ). c) La distribució de ua de las muestras observadas. Solució a) La distribució de la variable aleatoria años de experiecia docete es la siguiete, dode se obtiee la media y la variaza poblacioal: DOCENTE AÑOS DE EXPERIENCIA DOCENTE (X) x x 3 3 x x x

37 µ N i σ N X N i i 5 i 5 4 N ( X ì) ( X 4) i N X i i i 5 b) Distribució muestral de la estadística: media muestral ( X ). A cotiuació se preseta todas las posibles muestras de tamaño seleccioadas desde la població de tamaño N5 y sus respectivas medias muestrales. Las muestras que aparece sombreadas idica que so muestras obteidas e base a u muestreo co reemplazamieto. Las restates so resultado de u muestreo si reemplazamieto Seguda selecció Primera selecció Muestra x Muestra x Muestra x Muestra x Muestra x (,) (,3).5 (,4) 3 (,5) 3.5 (,6) 4 3 (3,).5 (3,3) 3 (3,4) 3.5 (3,5) 4 (3,6) (4,) 3 (4,3) 3.5 (4,4) 4 (4,5) 4.5 (4,6) 5 5 (5,) 3.5 (5,3) 4 (5,4) 4.5 (5,5) 5 (5,6) (6,) 4 (6,3) 4.5 (6,4) 5 (6,5) 5.5 (6,6) 6 Se orgaizara el cojuto de todos los posibles valores obteidos e base a las muestras de tamaño dos, cosiderado el muestreo co reemplazamieto y el muestreo si reemplazamieto. Si el muestreo es co reemplazamieto el úmero total de posibles muestras es N, para este ejemplo N5 y obteiédose 5 5 muestras. 49

38 Se obtiee el valor ( x ) de la media muestral ( x ) para cada ua de las muestras. E ua tabla se orgaiza los valores ( x ) obteidos para las muestras de tamaño y sus respectivas frecuecias. E ua tabla se orgaiza los valores x obteidos para las 5 muestras de tamaño y sus respectivas frecuecias. x x Frecuecia Frecuecia absoluta Relativa f i.0 /5.5 / / / / / /5 5.5 /5 6.0 /5 Total

39 Para el muestreo co reemplazamieto: La media y la variaza de la media muestral x so: 8 xi f i 5 + (.5) (5.5) i ì X dode la media de la distribució muestral de x tiee el mismo valor que la media poblacioal. 8 xi 4 i 5 f i σ X dode la variaza de la distribució muestral de x es igual a la variaza poblacioal dividida etre el tamaño de la muestra, es decir σ σ X X Los resultados obteidos e este ejemplo coduce a señalar que cuado el muestreo se realiza co reemplazamieto desde ua població fiita: La media de la estadística x es igual a la media de la població. La variaza de la estadística x es igual a la variaza de la població dividida etre el tamaño de la muestra. σ x tiee media µ y variaza. c) Distribució de la muestra Esta distribució se refiere a la distribució de la variable X e la muestra observada. Si la muestra observada es el par (5,), etoces para el úmero de años e la docecia teemos: ( ) 5 + xi x su x 3. 5 y su variaza: i s ( ) ( ) , Valores co los que e la práctica estimamos la media poblacioal y la variaza poblacioal de la variable

40 Para el muestreo si reemplazamieto El úmero total de posibles muestras es: N N!!( N )! 5!!(5 )! Y para este ejemplo N5 y se obtiee ( ) 0 5 muestras. Se obtiee el valor ( x ) de la media muestral para cada ua de las muestras. E ua tabla se orgaiza los valores ( x ) obteidos para las 0 muestras de tamaño y sus respectivas frecuecias. x Frecuecia Frecuecia Absoluta relativa f i.5 /0 3.0 /0 3.5 /0 4.0 /0 4.5 /0 5.0 /0 5.5 /0 Total

41 Se deja como ejercicio obteer la media y la variaza de la media muestra. Distribució de la media muestral Formalizado la presetació hecha previamete teemos que: Si X es ua variable aleatoria co distribució ormal co media µ y variaza coocida σ y desde dicha població se toma ua muestra aleatoria X,..., X de tamaño ; se prueba que la variable estadarizada: X u Z σ tiee distribució N(0,) (.) dode es la media muestral. La expresió (.) será usada e el siguiete capítulo para costruir el itervalo de cofiaza y e el capítulo 4 para postular hipótesis para la media poblacioal. E el siguiete ejemplo vamos a ilustrar otro uso de la distribució muestral de la media muestral. Ejemplo.3 Se tiee coocimieto que el gasto semaal de los adolescetes que juega e la iteret sigue ua distribució ormal co me- 53

42 dia igual a S/ y ua desviació estádar igual a S/ Cuál es la probabilidad de que ua muestra aleatoria de 36 adolescetes tega u gasto semaal promedio etre S/ y S/. 0.00? Solució X: gasto semaal de los adolescetes e la iteret X : media muestral de los gastos semaales de los adolescetes e la iteret µ 8 σ 6 σ 36 µ / 36/36 P ( 6 < X < 0) P ( 6 8 < X < 0 8) ( X < ) P (0.977) Puede decirse que la probabilidad de que el gasto semaal promedio se ecuetre etre S/.6 y S/. 0 es de Distribució de la media muestral cuado la variaza poblacioal es descoocida Supogamos que la variable aleatoria X tiee distribució ormal co media µ y variaza σ descoocida. Si desde dicha població se toma la muestra aleatoria X,..., X, la variable X u aleatoria t S tiee distribució t-studet co - grados de libertad, dode X y S so la media muestral y la desviació estadar muestral respectivamete. E los siguietes capítulos la estadística: t X u S (.) se usará para costruir itervalos de cofiaza y postular hipótesis respecto a la media poblacioal, co el supuesto de que la variaza poblacioal es descoocida. 54

43 Distribució de la media muestral e poblacioes o ormales (muestras grades) E la práctica e diversas ivestigacioes os efretamos a aquellos casos e los cuales la variable aleatoria e estudio o sigue ua distribució ormal. Puede visualizarse los datos exploratoriamete y comprobar este hecho o aplicar ua prueba que os permita decidir co ua probabilidad de error si se puede afirmar que la variable sigue ua distribució ormal. E el caso de que la variable aleatoria o tega ua distribució ormal, se platea como solució: seleccioar ua muestra de tamaño grade desde la població e estudio y utilizar el teorema de límite cetral. Este teorema es uo de los más importates de la estadística y cumple u rol fudametal e las aplicacioes. Teorema de Límite Cetral: Si teer e cueta la forma fucioal de la població de dode se seleccioa la muestra, la media muestral calculada e base a ua muestra extraída desde ua població co media µ y variaza fiita σ, sigue ua distribució aproximadamete ormal co media µ y variaza σ /, cuado el tamaño de muestra es grade. Es decir, la media muestral X de ua muestra aleatoria procedete de cualquier distribució co media µ y variaza fiita σ, se distribuye aproximadamete como ua variable ormal co media µ y variaza σ /. Puede expresarse este resultado de la siguiete maera: X ~ f ( ì, ó ) X N ì, ó Así, cuado el tamaño de muestra que se toma es suficietemete grade (mayor que 30), aú cuado o se coozca la distribució de la variable X, por el teorema del límite cetral, las variables: Z X µ σ y t X S µ (.3) 55

44 Tiee distribució aproximadamete ormal, dode es ua muestra aleatoria de tamaño y X es la medial muestral. Cabe idicar que dichas estadísticas puede usarse para costruir itervalos de cofiaza para la media poblacioal o realizar pruebas de hipótesis para el mismo parámetro. Ejemplo.4 E ua població de jóvees alcohólicos co edades etre 6 y años se cooce que el tiempo promedio de cosumo de alcohol es de 4 años co ua desviació estádar de años. Cuál es la probabilidad de que e ua muestra aleatoria de 00 jóvees alcohólicos de esta població se obtega u tiempo medio que fluctúe etre y 6 años?. Solució X: tiempo ( años) de cosumo de alcohol σ 4 σ 4 σ σ / 4/ Z X 4 Z X tiee distribució y podemos calcular la siguiete probabilidad: P ( < X < 6) 4 X µ 6 4 P < < 0. σ 0. ( 0 < Z < 0) P. E base a ua muestra aleatoria de tamaño 00, la probabilidad de promedio de años de cosumo de alcohol e jóvees etre 6 y años es.0. Distribució de la proporció muestral P para u tamaño de muestra grade E alguas situacioes el parámetro sobre el que se trata de evaluar hipótesis es la proporció de elemetos co cierta caracte- 56

45 rística A (π)e ua població. Por ejemplo, la proporció de estudiates que llega temprao a la clase de estadística, la proporció de estudiates proveietes de colegios privados que postularo al proceso de admisió 004-I a la UNMSM, la proporció de estudiates motivados co la carrera profesioal que ha escogido, etc. Estas situacioes implica el uso de la distribució de la proporció muestral, P, a partir de la cual haremos iferecias. Si X,..., X es ua muestra aleatoria de tamaño desde ua població dode es la proporció de elemetos co cierta característica A (e la muestra aleatoria),etoces, e muestras grades tiee distribució aproximadamete N( π, ), dode: π ( π ) P X i i, X i 0 si el elemeto posee la característica si el elemeto o posee la característica. Luego, la estadística: P π Z tiee distribució aproximadamete N(0,) (.4) π ( π ) y se usará para costruir itervalos de cofiaza y postular hipótesis para el parámetro poblacioal π. Ejemplo.5 Se cooce que el 60% de los postulates a la Uiversidad Nacioal Mayor de Sa Marcos, procede de distitas provicia del país. Si se seleccioa aleatoriamete ua muestra de 50 alumos de esta població. Cuál es la probabilidad de que la proporció muestral de estudiates que procede de provicias se ecuetre etre 0.50 y 0.70 Solució Debido a que se cueta co ua muestra de tamaño grade puede afirmarse que la distribució de P se aproxima a ua distribució ormal co media p0.60 y desviació estádar: π ( π ) /. 57

46 La probabilidad de que la proporció muestral se ecuetre etre 0.50 y 0.70, puede ser obteida de la siguiete forma: P ( 0.50 < P < 0.70) P < 0.60( 0.60) P < Z < P < Z < P P (.5 < Z <.5) ( Z <.5) P( Z <.5) P( Z <.5) ( ) P 0.60 < 0.60( 0.60) ( 0.60) 50 La probabilidad que e ua muestra de 50 postulates, el porcetaje de postulates que procede de provicias esté etre el 50% y 705 es E muchos estudios educativos, es ecesario comparar ciertas características e dos o más grupos de sujetos; así por ejemplo, si pesamos aplicar u uevo método de eseñaza como aquel que puede teer u porcetaje mayor de alumos aprobados que otro método de eseñaza tradicioal, o cuado os plateamos la preguta si los iños de las distitas comuidades rurales tiee la misma estatura. Distribució de la diferecia de medias cuado las variazas poblacioales so coocidas Si X e Y so variables aleatorias idepedietes co distribucio- es N ( ) y N ( ) µ,σ µ,σ respectivamete; etoces, las medias muestrales X y X, correspodietes a las muestras aleatorias idepedietes X,..., X, y X,..., X, de tamaño y tie- e distribucioes N µ, σ y σ N µ, respectivamete. 58

47 Co los supuestos ateriores, la diferecia de medias muestrales X X tiee distribució σ σ N µ µ, + y luego la variable aleatoria estadarizada, Z ( X X ) ( µ µ ) σ σ +, tiee distribució (.5) que tambié se usará para obteer itervalos de cofiaza y pruebas de hipótesis para la diferecia de medias poblacioales: µ µ. Ejemplo.6 U psicólogo tiee coocimieto que los temas relacioados co la iteligecia emocioal ifluye e las expectativas profesioales de los jóvees. Este profesioal, recibe iformació que ua població de jóvees capacitados sobre este tema obtuviero ua ota promedio de 6 y ua variaza de 4, y que otra població de jóvees que o recibiero capacitació relacioada a este tema, obtuviero ua ota promedio de y ua variaza de 3. Posteriormete seleccioa dos muestras: ua muestra de tamaño 0 de la població de jóvees capacitados (muestra ) y otra muestra de tamaño de aquellos que o recibiero capacitació sobre este tema (muestra ) y se preguta por la probabilidad que la diferecia etre la ota promedio de la muestra co respecto a la de la muestra sea más de 5 putos. Solució 0 ì 6. 0 ì. 0 ó 4 ó 3 Z ( X X ) ( 6 ) ~ N( 0, ) 59

48 P ( X X > 5) P ( ) ( ) ( ) X X > P Z > P( Z <. 4) La probabilidad que la diferecia etre las otas promedios de aquellos jóvees que recibiero capacitació co respecto a los que o recibiero, supere los cico putos es de Distribució de la diferecia de medias muestrales cuado las variazas poblacioales so descoocidas e iguales Si X e Y so variables aleatorias idepedietes co distribucioes N ( µ,σ ) y N ( µ,σ ) respectivamete; etoces, las medias muestrales X y X correspodietes a las muestras aleatorias idepedietes X,..., X y, X,..., X, de tamaño y tiee distribucioes de tamaño y, tiee las siguietes distribu- σ cioes N µ, y σ N µ. Luego, la variable aleatoria, X y X ( X X ) ( µ µ ) estadarizada Z, tiee distribució ( 0,) σ σ + N. Como la variaza poblacioal es descoocida, tiee que ser estimada y e lugar de la variable estadarizada Z, se tiee la variable aleatoria: ( X t X S p ) + ( µ µ ) (.6) 60

49 cuya distribució es t-studet co ( + ) co t ( + ), dode ( ) S + ( ) + S y se deota S p es el estimador de la variaza poblacioal σ. Ejemplo.7 U psicólogo tiee coocimieto que los temas relacioados a la iteligecia emocioal ifluye e las expectativas profesioales de los jóvees. Este profesioal, recibe iformació que ua població de jóvees capacitados sobre este tema obtuviero ua ota promedio de 8, y que otra població de jóvees que o recibiero capacitació relacioada a este tema, obtuviero ua ota promedio de y descooce los valores de las variazas, pero cosidera razoable supoer que so iguales. Seleccioa muestras de tamaño 4 de cada ua de las poblacioes y e las muestras obtiee s. 98 s El psicólogo desea determiar la probabilidad que la diferecia etre las otas promedios sea meor que 6. Solució Se cueta co la siguiete iformació: 4 s. 98 s. 864 µ 8 descoocidos y se obtiee: t t S p ( X X ) ( 8 ) (. 5479) ( X X ) ~ ( 3). 98+ ( 3) t ~ 6 t µ σ σ 6

50 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ) (.709) ( < < < + < + < t P t P t P X X P X X P La probabilidad que la diferecia etre las otas promedios de aquellos jóvees que recibiero capacitació co respecto a los que o recibiero, sea iferior a 6 putos es de Distribució de la diferecia de medias cuado las variazas poblacioales so descoocidas y diferetes Si X e X so variables aleatorias idepedietes co distribucioes ( ) µ,σ N y ( ) µ,σ N respectivamete, etoces, las medias muestrales X y X, correspodietes a muestras de tamaño y, tiee las siguietes distribucioes, N σ µ y, N σ µ y la estadística ) ( + S S X X t tiee distribució ) (k t, dode: (.7) los grados de libertad de la estadística so S S k S S.

51 Si k 30, la estadística tiee distribució aproximadamete ormal. Si las muestras so suficietemete grade ( 30 y 30 ) e idepedietes, la estadística tiee dis- S S tribució aproximadamete ormal estádar. Z ( X X ) + Estos resultados se usará posteriormete para abordar el tópico de pruebas de hipótesis. Distribució de la diferecia de dos proporcioes muestrales E las poblacioes y, co respectivas proporcioes poblacioales π y π ( de estudiates, profesores, etc.,para ser más geéricos, de «uidades»), co determiados atributos. Los paráme- tros que so las proporcioes poblacioales tiee como estimadores e cada ua de las muestras: P A y B P, dode es el úmero de elemetos co el atributo de iterés e la primera muestra y es el úmero de elemetos co el mismo atributo e la seguda muestra. Cuado las muestras so suficietemete grades, la estadística ( P P P ) ( π π ) ( P) + tiee distribució aproximadamete N(0,) dode P P + P +. Ejemplo.8 Se cooce que el 50% de profesores de educació superior de la Regió Sur y el 33% de profesores de educació superior de la Regió Norte acredita teer ua maestría. De cada ua de estas 63

52 poblacioes se seleccioa muestras de tamaño 00 (o ecesariamete las muestras debe ser del mismo tamaño). Cuál es la probabilidad que la diferecia etre las proporcioes muestrales sea iferior al 30%?. Solució Població profesores de la Regió Sur muestra de tamaño 00 Població profesores de la Regió Norte muestra de tamaño 00 Característica de iterés: estudios de maestría. Proporció de profesores co estudios de maestría e la població 0.50 Proporció de profesores co estudios de maestría e la població 0.33 Se supoe que P P, sigue aproximadamete ua distribució ormal co media µ p p π π y variaza σ p p ( 0.50) 0.33( 0.33) + 00 ( P P ) 0.7 y Z N(0,) La probabilidad buscada es: P ( P P ) ( P P < 0.30) P < P Z ( <.8940)

53 65 Distribució muestral del cociete de variazas Si X e X so variables aleatorias idepedietes co distribucioes ( ) µ,σ N y ( ) µ,σ N respectivamete, la estadística F se costruye e base al cociete etre dos estadísticas ji cuadrados. ) ( ) ( F S S S S ~ ) ( ) ( ) ( ~ ) ( ó ó ó ó ), ( ~ f.8940 ( ) µ,σ N La estadística S S F tiee distribució F-Sedecor co ( ) y ( ) grados de libertad. Es decir, ), ( ~ f S S F ó ó (.9)

54 Fució de desidad de probabilidad F Ejemplo.9 U asesor supoe que la variabilidad e el úmero diario de horas de estudio es la misma e alumos del último año de la carrera profesioal de ligüística y los alumos del último de bibliotecología. El asesor seleccioa ua muestra aleatoria de 6 estudiates del último año de ligüística idepediete de ua muestra de estudiates de bibliotecología y se quiere coocer la probabilidad de que el cociete etre las variazas muestrales sea iferior a.84. Supoga variazas poblacioales iguales. Solució ( ) S (5) S ~ (6 ) σ σ ( ) (0) S S ~ ( ) σ σ ( ) S (5) S 5 σ σ S F ( ) S (0) S S 0 σ σ 66

55 E la tabla F_Sedecor co 5 y 0 grados de libertad para S P <. 84 se ecuetra el valor Es decir: S S P <. 84 P ( F.84) ( 5,0) <. S La probabilidad de que el cociete etre las variazas muestrales sea iferior a.84 es f(5,0) 0.90 Ejercicios.84.. Se cooce que 000 estudiates uiversitarios fuero clasificados de acuerdo co los putajes que obtuviero e el exame de igreso a la uiversidad y el colegio de procedecia. La iformació es la siguiete: Putaje Colegio de Procedecia Estatal Privado Total 50 o meos De o más Total

56 a) Calcular la probabilidad que u estudiate elegido al azar haya obteido u putaje etre 5 y 90. b) Calcular la probabilidad que u estudiate elegido al azar haya obteido u putaje de 90 o meos. c) Calcular la probabilidad que u estudiate elegido al azar proceda de u colegio estatal. d) Calcular la probabilidad que u estudiate elegido al azar que haya obteido u putaje de 9 o más y proceda de u colegio privado. e) Calcular la probabilidad que u estudiate elegido al azar que haya obteido u putaje de 50 o meos y proceda de u colegio estatal.. Usted es u ispector de escuelas públicas y realiza u experimeto para ivestigar si la habilidad e lectura de estudiates de primer año de secudaria ha mejorado o o. Las otas acioales sobre la habilidad e lectura, para los estudiates de primer año de secudaria muestra ua distribució ormal co media de 80 palabras por miuto y ua desviació estádar igual a palabras por miuto. E base a ua muestra aletoria de 85 estudiates de esta població: a) Determie la probabilidad de que la media muestral sea iferior a 8 palabras por miuto. b) Determie la probabilidad de que la variaza muestral sea superior a Años de experiecia ha demostrado que u exame de admisió a la Facultad de Educació de ua Uiversidad, los estudiates obtiee e media 40 putos co ua desviació estádar de 0 putos. E base a ua muestra aleatoria de 5 postulates a la Facultad de Educació se desea determiar las siguietes probabilidades: a) P( X < 45) b) P( 38 < X < 4) c) P( X > 43) 68