60 α α. 3 lados 2 lados 3 lados. α 1. (0 < α n. Rectángulo:

Transcripción

1 Personl Trinig for PSU nro.1. Prof. hef. Triángulos I: Propieddes ásics efinición dos los puntos,, ; se define triángulo como l reunión. P = punto interior Q = punto eterior ê 2 Q c P ê 1 φ b ê 3 Notción se lee: triángulo lementos Vértices:,, y Ldos:, y. el gráfico se observ Longitud de sus ldos: m internos:, y φ m eternos: ê, ê 1 2 y Perímetro: Semiperímetro:, b y c ê 3 2p = + b + c p = + b + c 2 lsificción I. Por l medid de sus ldos quilátero Isósceles scleno ldos 2 ldos 3 ldos II. Por l medid de sus ángulos blicuángulos cutángulo s quél que tiene sus tres ángulos internos gudos. btusángulo s quél que tiene un ángulo interno obtuso. (0 < n < 90º) (90º < < 180º) Rectángulo: 60 bse 90 c s quél que tiene un ángulo interno recto. y b: ctetos c: hipotenus b 1/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

2 Propieddes básics 1. istenci del triángulo b c b c < < b + c 2. Sum de medids de ángulos internos b b c = + b + c b + b = + y +b+c = 180º y c 10. Si: = l triángulo es 3. Sum de medids de ángulos eternos equilátero. y z 4. Medids de un ángulo eterno y b c z + y + z = 360º = b + c y = + c z = + b 5. myor ángulo se opone myor ldo y vicevers. c Si: > > φ > b > c b = 180º ( + ) φ Propieddes prticulres Si: 2 = 90º b y + b = + y y b + b = + y 2/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

3 Problems plictivos 1. n l figur, clcule. 2. n l figur, clcule. 3. n l figur, clcule. Si: m m = lcule. m = lcule ) 12 b) 22,5 c) 30 d) 15 e) 18 ) 36 b) 18 c) 24 d) 12 e) 15 ) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 ) 10 b) 40 c) 50 d) 25 e) 15 ) 20 b) 10 c) 30 d) 40 e) Según l figur, clcule el vlor entero de. ) 1 2 b) 2 c) 3 d) 4 2 e) 5 7. lcule el vlor entero de. ) b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 8. n l figur: b - q = 20 lcule. 9. lcule, en l figur n l figur, clcule. ) 45 b) 30 c) 60 d) 25 e) 10 ) 30 b) 40 c) 60 d) 70 e) 80 ) 9 b) 18 c) 15 d) 12 e) 22,5 3/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

4 11. Si los triángulos y PQR son equiláteros, clcule. P 2 R 3 ) 24 b) 12 c) 18 d) 15 e) n l siguiente figur, clcule. ) 20 2 b) 10 2 c) 15 d) e) n l figur, clcule. 3 4 ) 16 b) 15 c) 12 d) 10 e) lcule, si el triángulo equilátero y +q = 140. ) 20 b) 40 c) 60 d) 75 e) 80 Q 15. lcule el máimo vlor entero de. Si: y q son obtusos. ) 1 3 b) 2 16 c) 3 d) 4 12 e) 5 P roblems 1. n el gráfico, clcule. 2. lcule. 3. n el gráfico, clcule. 7 4 MÁS ) 25 b) 20 c) 30 d) 15 e) 37 ) 20 b) 30 c) 40 d) 10 e) 15 ) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Según l figur, clcule el myor vlor entero que puede tomr. ) 20 3 b) 14 c) 10 d) 15 4 e) /14 Prof. rlos H. sty Fuentes

5 5. n l figur, clcule ) 12 b) 30 c) 20 d) 15 e) lcule, si: =5 y =7 3 ) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) n el gráfico = y el triángulo PQ es equilátero, que firmción es correct. P ) =b b) 2=b c) 2=3b d) =2b e) =b n l figur, = y F=F. lcule /y. y ) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 3/4 e) 2/3 Q b 2 9. n l figur, el triángulo MN es equilátero y Q=M y QL=NL. lcule. F M Q ) 32 b) 62 c) 30 d) 60 e) n l figur, == y = lcule. ) 18 b) c) 30 d) 22 e) n l figur, =M+N, clcule ) 25 b) 60 M c) 30 d) 45 e) 35 2 N 12. n l figur, clcule. Si: -b=6 b 70 N ) 73 b) 72 c) 60 d) 62 e) 59 L 5/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

6 13. n su triángulo, se sbe que +=11, eterior y reltivo se tom el punto P, tl que: P=4 y P=5. lcule l diferenci entre el myor y menor vlor entero que tom P. ) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) n l figur, clcule. 5b 15. n l figur, clcule. Si: =P 2 n P n 3 ) 10 b) 18 c) 12 d) 16 e) 14 m m ) 110 b) 140 c) 150 d) 120 e) 130 b LVS 1.b b 5. 6.c 7.e 8.e 9.c 10.e e e 1.c 2. 3.c 4.b 5.b d 8.b 9.d 10.b 11.d b 14.d 15.b 6/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

7 Triángulos II: Línes y Puntos Notbles 1. ltur Segmento que prte de un vértice y cort en form perpendiculr l ldo opuesto o su prologción. t. Int. oincide con un cteto 2. Medin Segmento que une un vértice con el punto medio del ldo opuesto dicho vértice. Medin M M rtocentro s el punto donde se intersectn ls tres lturs de un triángulo. H : rtocentro H H PR RRR Todo triángulo tiene un solo ortocentro. s un punto interior si el triángulo es cutángulo. s un punto eterior si el triángulo es obtusángulo. Si es rectángulo está en el vértice del ángulo recto. H ricentro s el punto donde se intersectn ls tres medins de un triángulo. G : ricentro S G M Teorem G=2GM G=2GN G=2GS PR RRR Todo triángulo tiene un solo bricentro. ivide cd medin en relción como 1 es 2. l bricentro es siempre un punto interior. s llmdo tmbién grvicentro o centro de grvedd de l región tringulr. N 7/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

8 3. isectriz Segmento que divide un ángulo interior o eterior en dos ángulos de igul medid. interior eterior 4. Meditriz s un rect que ps por el punto medio de un ldo cortándolo en form perpendiculr. L Incentro s el punto donde se intersectn ls tres bisectrices interiores de un triángulo. γ γ PR RRR Todo triángulo tiene un solo incentro. l incentro equidist de los ldos del triángulo. l incentro es siempre un punto interior l triángulo. centro s el punto donde se intersectn dos bisectrices eteriores con un bisectriz interior en un triángulo. I I = incentro : centro reltivo PR RRR Todo triángulo tiene tres ecentros. Los ecentros son siempre puntos eteriores l triángulo. L : Meditriz de ircuncentro s el punto donde se cortn ls tres meditrices de un triángulo. : ircuncentro φ φ PR RRR Todo triángulo tiene un solo circuncentro. l circuncentro equidist de los vértices del triángulo. s un punto interior si el triángulo es cutángulo. s un punto eterior si el triángulo es obtusángulo. Si es rectángulo está en el punto medio de l hipotenus. 8/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

9 Propiedd Si: "" es circuncentro = 2 5. evin Segmento que une un vértice con un punto culquier del ldo opuesto o de su prolongción. interior eterior evcentro s el punto donde se intersectn tres cevins de un triángulo. : evcentro o punto cevino bservciones Pr ubicr un punto notble sólo es necesrio trzr dos línes notbles de l mism especie. n todos los triángulos isósceles, si se trz un de ls cutro primers línes notbles hci l bse, dich líne cumple ls misms funciones que ls otrs. n todo triángulo equilátero el ortocentro, bricentro, incentro y circuncentro coinciden. n todo triángulo isósceles, el ortocentro, bricentro, incentro y el ecentro reltivo l bse, se encuentrn linedos en l meditriz de l bse. Propieddes con línes notbles 1. Ángulo formdo por dos bisectrices interiores. = 90º Ángulo formdo por dos bisectrices eteriores = 90º 2 S M PR RRR Todo triángulo tiene infinitos cevcentros. N 3. Ángulo formdo por un bisectriz interior y un bisectriz eterior. = 2 9/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

10 4. 6. ω ω φ φ = 45º 4 = + b 2 b 5. b = + b 2 7. Ángulo formdo por un ltur y un bisectriz interior. H = 2 10/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

11 Problems plictivos 1. lcule. Si: I: Incentro 40 I 2. lcule. Si: : centro 80 ) 45 b) 35 c) 75 d) 65 e) 55 ) 60 b) 50 c) 70 d) 40 e) lcule. Si: : centro 40 ) 15 b) 25 c) 30 d) 60 e) lcule del myor vlor entero de. Si: : centro ) 3 3 b) 4 c) 5 4 d) 6 e) 2 3. lcule, si G es bricentro. ) 30 b) 60 c) 53 d) 45 G e) lcule. Si: es circuncentro del triángulo. ) b) 70 c) 60 d) 50 e) lcule. Si: H es ortocentro. ) 8 b) 9 2 c) 15 d) 12 e) 18 H 8. lcule. Si es circuncentro. ) b) c) 6 3 d) 18 e) lcule. Si es circuncentro. ) 12 b) c) 8 2 d) 16 e) lcule. Si: G es bricentro. =2GM ) 70 b) 80 c) 50 M d) 20 e) G 11/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

12 11. n l siguiente figur, clcule. Si: G es bricentro. 15. es un romboide. lcule, si es ecentro de. 4 3 G ) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 ) 130 b) 140 c) 160 d) 120 e) lcule, si I es incentro. I P MÁS roblems ) 25 b) 36 c) 72 d) 45 e) lcule. Si I es incentro y es ecentro del. I ) 8 b) 12 c) 13 d) 20 e) lcule, si es ecentro del n l figur, clcule. Si: es circuncentro. ) 10 b) 12 c) 15 d) 8 e) 9 2. n l figur, clcule. Si: H es ortocentro H ) 15 b) 12 c) 8 d) 9 e) 10 ) 45 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 Prof. rlos H. sty Fuentes 12/14 3. n l figur, clcule. Si: G es bricentro. 3m 8 2 2m G ) 9 b) 15 c) 12 d) 10 e) 18

13 4. n l figur, clcule. Si: I es incentro. 40 I 8. n l figur, clcule. Si: m =70 ) 24 b) 18 c) 15 d) 10 e) n l figur, clcule. Si: es ecentro del. 80 ) 30 b) 20 c) 40 d) 35 e) n l figur, clcule. ) 55 b) 65 c) 75 d) 60 e) lcule. Si: I es incentro del. I ) 71,5 b) 63,5 c) 22,5 d) 53,5 e) 27,5 7. n l figur, clcule. Si R es bisectriz del ángulo. ω ω R ) 10 b) 4 c) 8 d) 12 e) n l figur, clcule. Si: I es incentro del. I ) 71,5 b) 63,5 c) 53,5 d) 53,5 e) 27,5 11. n l siguiente figur, clcule. ω 2ω ) 19 b) 26 c) 13 d) 15 e) 18 ) 35 b) 18 c) 20 d) 30 e) 15 13/14 Prof. rlos H. sty Fuentes

14 12. n l siguiente figur, clcule ) 20 b) 25 c) 50 d) 40 e) n l siguiente figur, clcule. Si: es circuncentro del triángulo. 14. n un triángulo, donde m =78 y m =24. Si: es circuncentro e I es incentro. lcule l m I. ) 27 b) 14 c) 23 d) 32 e) n un triángulo, =, m =44. I : incentro H : rtocentro lcule l m IH. ) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 ) 120 b) 100 c) 96 d) 90 e) 80 LVS 1.e 2.c 3.e 4.b 5.e 6.b 7.b 8.c 9.c 10.b 11.c 12.e 13.c 14.d 15.e e 3.d 4.e 5.b 6.c 7. 8.c 9.e d 12.c 13.d e 14/14 Prof. rlos H. sty Fuentes