UNIDAD IV.- CÁLCULO INTEGRAL

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1 UNIDAD IV.- CÁLCULO INTEGRAL En la práctica e cualquier campo científico es frecuente que se presenten prolemas relacionaos con el cálculo e áreas, algunas veces e figuras regulares y muchas otras, con el cálculo e figuras irregulares; entro e las primeras se tiene el área e un rectángulo, un triángulo, un cuarao o un trapecio; entro e las segunas se tiene el área superficial e una piera, el área ajo una paráola cúica, etc. Calcular el área e figuras regulares no representa ningún prolema, más no así, calcular el área e figuras irregulares, las cuales se aora con el cálculo integral...- INTEGRAL DEFINIDA Consierano la siguiente gráfica, hagamos un análisis: Y y f() a X X X X X n- X n- X f( ) f( ) f( ) f( n ) f(i) es la altura el rectángulo y es la ase el mismo, la suma anterior se puee escriir como: n i f ( i ) i si esta suma tiene un valor límite cuano n tiene a infinito o tiene a cero, entonces este límite recie el nomre e la integral efinia que va ese a hasta, y se escrie e la siguiente manera: a f ( ) esto se lee así la integral que va ese a hasta e f e Así tenemos que la integral efinia e una función esta aa por: n Lim i f ( i ) i f ( ) a siempre que el límite e la erecha eista n M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 7

2 En la efinición anterior, a los números a y se les llama límites e integración inferior y superior respectivamente. El símolo e la integral es una s alargaa por su relación con la palara suma. En esencia el cálculo integral es un métoo para eterminar la istancia recorrio cuano se conoce la velocia. Esto es evientemente el prolema inverso e la erivaa, lo cual se interpreta geométricamente como el área que se escrie ajo la gráfica e una curva. Concepto e Antierivaa En el cálculo integral se estuia lo siguiente: Daa una función f, encontrar otra función g cuya erivaa sea la función f aa. Así que, para una función aa f, se esea encontrar otra función g para la cual g( ) f ( ) para too en cierto intervalo. Ejemplos Ejemplo No. Sea una función eterminaa f(). Encontrar una función g cuya erivaa sea igual a f() Sea f() entonces la función cuya erivaa sería igual a f() es g(). La anterior es la función uscaa puesto que Ejemplo No. g( ) Sea f la función eterminaa por f(). Encontrar la función g cuya erivaa sea igual a f() g() sería igual a puesto que g( ) En los ejemplos anteriores se encontraron os funciones g a las cuales al eterminar su respectiva erivaa se encuentra la primera función aa, es ecir, se encontró la antierivaa e la función f, e ahí que se está en posiiliaes e epresar una efinición que satisfaga lo anterior. Se ice que g es una antierivaa e una función f, si la erivaa e la función g es igual a la función f en algún intervalo. La integración es el proceso meiante el cual es posile otener la antierivaa e una función. Para eterminar la integral e n, se aplicaría la regla opuesta e la erivaa que ice aumentar el eponente en y iviir el valor resultante entre el nuevo eponente n, así tenríamos que la integral efinia para n en [,] está representaa por: toma el valor e n n n e tal manera que: M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 7

3 en toos los casos se oserva que el límite inferior es cero, sin emargo Qué pasa si este límite es istinto e cero? TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Si la función f() tiene una gráfica limitaa por el intervalo cerrao [a,] entonces: a f ( ) g( ) g( a) sieno g() cualquier integral para f() en el intervalo cerrao [a,] Ejercicios ) Evaluar la integral e la antierivaa es g ( ) y e acuero al teorema funamental el cálculo integral: Osérvese que para evaluar la función g ( ) se consieraron los valores límites [,] sustituyeno estos valores en la función g(). La resta quea sustituyeno el límite superior e la integral menos la sustitución el límite inferior (teorema funamental el cálculo integral). ) Evaluar la integral e La integral o antierivaa quearía: M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 7

4 Aplicano el teorema funamental el cálculo integral se realiza la evaluación ( ) ) Evaluar la integral e ( ) 6 La integral o antierivaa quearía: Aplicano el teorema funamental el cálculo integral se realiza la evaluación () ) Evaluar la integral e La integral o antierivaa quearía: Aplicano el teorema funamental el cálculo integral se realiza la evaluación () ( )..- INTEGRALES INDEFINIDAS En términos simples, poemos reconocer una integral inefinia como aquella que carece e límites e integración. Sea entonces si integral es C puesto que [ C] Si la erivaa e F() es igual a f() y la erivaa e G() es igual a g() entonces: [ f ( ) g( ) ] f ( ) ± g( ) F( ) ± G( ) ± C M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 7

5 Oserve el siguiente cuaro: f() Función primitiva Derivaa Antierivaa o integral f() - [ ] f() [ ] f() - [ ] F() C F() C F() C F() C Osérvese que las funciones primitivas sólo ifieren e una constante, por tanto, las funciones erivaas son iguales entre sí, o sea, tienen la misma erivaa, aemás e tener la misma antierivaa o integral. A este proceso se le enomina INTEGRAGRACION INDEFINIDA y a la función así otenia, INTEGRAL INDEFINIDA. Ejercicios Desarrolle las integrales inefinias e las siguientes funciones: c ) ( ) c ) ( ) ( ) ) ( ) c c ) ( ) c c M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 7