TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS
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- Aarón Maestre Contreras
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1 Frnisnos T.O.R. Cód. 867 TEMA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. INTEGRAL DEFINIDA El álulo de l integrl definid, que se denot por: f ( d, onsiste en lulr l integrl de l funión f( en el intervlo [, ]. Este método nos permite, geométrimente lulr el áre de l región limitd por l gráfi de f(, ontinu y positiv en [,], el eje OX y ls rets = y =. Propieddes:. ( g( d f ( d f g( d. f ( d k k f ( d. Signo de l integrl definid: Si f, f ( d y f ( d A ( Siendo A el áre del reinto limitdo por l gráfi de f, el eje de siss y ls rets = y =. Avd. de Sn Diego, 6 85 Mdrid Tel: F: 9789 E-mil: rldireion@plnlf.es de 6
2 Frnisnos T.O.R. Cód. 867 Si f, f ( d y f ( d A ( Siendo A el áre del reinto limitdo por l gráfi de f, el eje de siss y ls rets = y =. Si f( tom vlores positivos y negtivos en el intervlo [, ], no podemos determinr el signo de f ( d. En este so, represent l sum lgeri de ls áres de los reintos orrespondientes.. f ( d f ( d f ( d pr < < 5. f ( d 6. Si f( g( [,] f ( d g( d Oservión: L integrl definid f ( d tl y omo se h definido, sólo tiene sentido pr <. Sin emrgo en osiones onviene onsiderr integrles definids on límite inferior myor que el superior. Así, si > se define: f ( d f ( d Avd. de Sn Diego, 6 85 Mdrid Tel: F: 9789 E-mil: rldireion@plnlf.es de 6
3 Frnisnos T.O.R. Cód. 867 Regl de Brrow: Si f( es un funión ontinu en [,] y F( es un primitiv de f, entones f ( d F( F( ) F( ) Este resultdo es onoido omo regl de Brrow y proporion un método efetivo pr lulr integrles definids. Ejemplo:. d. d ( ) ( ) ( ) ( ).. 5. e d sen d e d sen os d. d d d os d Avd. de Sn Diego, 6 85 Mdrid Tel: F: 9789 E-mil: rldireion@plnlf.es de 6
4 Frnisnos T.O.R. Cód CÁLCULO DE ÁREAS Cso : Cálulo del áre limitd por l gráfi de un funión f( y el eje OX. Representmos l funión f(. Clulmos los límites de integrión: f ( d, es deir los vlores y reien el nomre de integrión inferior y superior. - Si el enunido me d demás ls rets = y =, y tengo los límites de integrión y que son y. = = - Si el enunido me d únimente l funión y el eje OX entones los límites de integrión serán los puntos de orte de l funión on el eje de siss. (es deir, tengo que resolver l euión f( = ). Por último, utilizndo l regl de Brrow, lulo l integrl o integrles definids que me hn queddo pr lulr el áre limitd que enierr mi funión y el eje OX Oservión: Qué ourre undo l áre qued por dejo del eje de siss? Como el resultdo de l integrl es negtivo y un áre nun puede ser negtiv, se pone un menos delnte de l integrl. Funión positiv en el intervlo [, ]: A f ( d = = Avd. de Sn Diego, 6 85 Mdrid Tel: F: 9789 E-mil: rldireion@plnlf.es de 6
5 Frnisnos T.O.R. Cód. 867 = = Funión negtiv en el intervlo [, ]: A f ( d f ( d L funión es positiv y negtiv en el intervlo [,]: A f ( d f ( d d f ( d; Ejemplos:. Clul el áre limitd por l funión f (, el eje OX y ls rets = y =.. Clulr el áre limitd por l funión f ( y el eje de siss.. Hll el áre de l figur determind por l funión f ( 6, el eje de siss y ls rets = - y =.. Clul el áre limitd por ls funiones f ( y f ( 8 on el eje OX. Cso : Cálulo del áre limitd por ls gráfis de dos funiones f( y g(.. Representmos ls funiones que intervienen e identifimos el áre pedid.. Busmos los límites de integrión: [, ] - Si en el enunido preen ls rets = y =, y tengo los límites de integrión y que son y. Avd. de Sn Diego, 6 85 Mdrid Tel: F: 9789 E-mil: rldireion@plnlf.es 5 de 6
6 Frnisnos T.O.R. Cód Si el enunido me d únimente ls funiones que intervienen, los límites de integrión serán los puntos de ortes de dihs funiones, es deir hy que resolver l euión f( = g( = =. Esriimos l integrl de áre y l lulmos. A f ( g( d (funión rri) - (funión jo)d A A e f ( g( d d e (funión rri) - (funión jo)d e u e e f( g( = f ( g( d g( f ( A ) d = = Ejemplo:. Clul el áre de l región otd por ls urvs y, e y =.. Hll el áre limitdo por ls gráfis de f ( 5 y g( 6 entre = - y =.. Hll el áre limitd por ls gráfis de ls funiones f ( 5 9 y g( 7 Avd. de Sn Diego, 6 85 Mdrid Tel: F: 9789 E-mil: rldireion@plnlf.es 6 de 6
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