LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA

Transcripción

1 LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Aterirmete se ha ich que la itegral efiia equivale a ectrar el valr el área cmpreia etre la gráfica e ua fució y el eje, la cual puee ser calculaa pr mei el mét cci cm Sumas e Riema que csiste e calcular el área e rectáguls c la misma meia e base, iscrits e icha área. Psterirmete al calcular el límite e la suma e las áreas e ts ls rectáguls cua el úmer e rectáguls tiee al ifiit, (equivalete a ecir que la base e ls rectáguls tiee a cer), c l cual se csiera que el errr es ifiitamete pequeñ, se btiee el área eacta. L aterir se represeta e la siguiete maera: a b f f( i )Δ E e: Δ = ; i = a + iδ 1

2 El aterir algritm a cm resulta la itegral efiia e ua fució. Ahra tratarems e establecer el ccept e la itegral iefiia e ua fució. Es alg atural pesar que si u e ls límites e itegració ( a b ) cambia, el valr el área e la itegral tambié cambiará, e la siguiete figura se trata e ejemplificar este hech: Cm se puee bservar, e la segua image el valr e b cambió, se esplazó u pc a la erecha c respect a la psició que tiee e la primer figura, est casia que evietemete el área etre la gráfica e la fució y el eje tambié cambie, es ecir, cambiaría el valr e la itegral efiia; e tras palabras, es atural pesar que puee eistir ua fució que escriba cóm varía el área baj la curva; esta tra fució, es la llamaa itegral iefiia. Ns plateams ahra etermiar la itegral iefiia para ua fució muy secilla, pr ejempl para ua fució cstate, pr ejempl para f = k; k R; cuya gráfica evietemete es ua recta paralela al eje que pasa pr y=k ; ls límites e itegració, es ecir el iterval e el que se esea calcular el área es [a,b], asigems a=0 cm u valr fij y b= cm u valr variable:

3 Apliquems el criteri e las sumas e Riema: Δ = = 0 = i = 0 + i = i A = k k k = k = k De e se ccluye que la itegral efiia e ua fució cstate, e este cas represetaa pr f = k es ua fució e tip lieal e la frma k. Plateems l mism para la fució lieal f =, busquems el área baj su curva ese cer hasta cualquier valr e su mii, es ecir la itegral e el iterval *0,+, que gráficamete se puee represetar así: De ueva cueta si prceems pr Sumas e Riema: Δ = = 0 = i = 0 + i = i i A = i + + = Recra que al platear la suma, se cmprta cm cstate, la variable es i El resulta aterir iica que el área baj la curva f()= se cmprta cm ua fució cuarática. 3

4 Aálgamete para la fució f = su itegral ese el rige hasta cualquier valr e se puee represetar gráficamete e la siguiete maera: El cálcul el área se puee platear uevamete pr sumas e Riema e la siguiete frma: Δ = = 0 = i = 0 + i = i A = i 3 3 i Que al sustituir el valr e la suma e ls cuaras e ls úmers aturales, arrja cm resulta que el área buscaa es 3 3. A maera e resume pems ecir: k = k; = ; = 3 3 Es ecir, el área baj la curva e ua fució cstate varía cm ua fució lieal; el área baj la curva e ua fució lieal varía cm ua fució cuarática y el área baj la curva e ua fució cuarática varía cm ua fució cúbica. Es fácil tar aemás: k = k; = ; 3 3 = 4

5 Es ecir, si se eriva el resulta e la itegral se regresa a la fució rigial, e tras palabras hay ua relació estrecha etre el prces llama itegració y el e la erivaa e ua fució: se cmprta cm peracies iversas y este hech l pems represetar así: F = f ; f = F() Es ecir, si la itegral e la fució F es tra fució f, se ebe cumplir que la erivaa e la fució f ebe ser F. A la fució f que cumple esta cició, se le llama la itegral iefiia e la fució F 5