Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

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1 Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos 1 Introducción

3 Outline Introducción 1 Introducción

4 Introducción: Ecuaciones diferenciales En temas anteriores hemos estudiado expresiones del tipo: dy dx = f(x) Este tipo de expresiones se denominan ecuaciones diferenciales. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario encontrar funciones y que cumplan que y = f(x). Si es posible encontrar dicha función, entonces existe una familia completa de funciones con esta propiedad. Todas ellas estarán relacionadas por una traslación vertical.

5 Introducción: Ecuaciones diferenciales Para seleccionar una de estas funciones, será necesario especificar una condición inicial, que consiste en un punto (x 0,y 0 ) de la gráfica de la función. Esta función seleccionada, se denominará solución del problema de valor inicial.. dy dx = f(x), con y = y 0 cuando x = x 0

6 Introducción: Definición Una función F se denomina primitiva de f en un intervalo l si F (x) = f(x) para x l. Corolario Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), con f (x) = 0 para todo x (a,b), entonces f(x) es constante en [a,b].

7 Introducción: Corolario Si F(x) y G(x) son primitivas de la función continua f(x) en un intervalo I, entonces existe una constante C, tal que G(x) = F(x)+C, x I

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9 Pequeña colección de primitivas Función Primitiva kf(x) kf(x) f(x)+g(x) F(x)+G(x) x n,n x e ax n 1 xn+1 ln x e ax sin(ax) 1 a cos(ax) 1 cos(ax) a sin(ax)

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11 Sumas finitas Definición Sean a 1,a 2,...,a n números reales y n un número entero positivo. Entonces, n a k = a 1 +a a n Propiedades k=1 1 Regla del valor constante: n k=1 1 = n. 2 Regla de la constante multiplicativa: n k=1 c a k = c n k=1 a k, siendo c una constante que no depende de k. 3 Regla de la suma: n k=1 (a k +b k ) = n k=1 b k + n k=1 a k

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13 Integral definida Introducción Definición Sea P = [x 0,x 1,x 2,...,x n ], n = 1,2,3,... una secuencia de particiones de [a,b] con P 0. Sea x k = x k x k 1 y c k [x k 1,x k ]. La integral indefinida de f entre a y b es, b a f(x)dx = ĺım P 0 k=1 n f(c k ) x k Si el ĺımite existe, en cuyo caso se dice que f es integrable (en el sentido de Riemann), en el intervalo [a, b].

14 Integral definida Introducción Teorema Todas las funciones continuas son integrables en el sentido de Riemann. Es decir, si f(x) es continua en [a,b], entonces existe. b a f(x)dx

15 Observaciones Si f es integrable en [a,b] y f(x) 0 en [a,b], entonces b a f(x)dx = el area de la región entre la gráfica de f y el eje x desde a hasta b. Si f es integrable en [a,b], entonces b a f(x)dx = [área por encima del eje x]-[área por debajo del eje x].

16 Propiedades de la integral de Riemann Si asumimos que f es integrable en el intervalo [a,b]. Entonces, Propiedades a a f(x)dx = 0 y a b f(x)dx = b a f(x)dx

17 Propiedades de la integral de Riemann Propiedades Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a,b] Si k es una constante, entonces b a kf(x)dx = k b a f(x)dx b a [f(x)+g(x)]dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx Si f es integrable en un intervalo que contiene los tres números a,b y c, entonces b a f(x)dx = c a b f(x)dx + f(x)dx c

18 Propiedades de la integral de Riemann Propiedades Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a,b] Si f(x) 0 en [a,b], entonces b a f(x)dx 0. Si f(x) g(x) en [a,b], entonces b a f(x)dx b a g(x)dx. Si m f(x) M en [a,b], entonces m(b a) b a f(x)dx M(b a)

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20 I Teorema Si f es continua en el intervalo [a,b], entonces la función F definida como F(x) = x a f(u)du, a x b Es continua en [a,b] y derivable en (a,b), y se cumple que d F(x) = f(x) dx

21 II Regla de Barrow Supongamos que f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces b a f(x)dx = F(b) F(a) Siendo F(x) una primitiva de f(x), es decir F (x) = f(x).

22 Regla de Leibniz Regla de Leibniz Si g(x) y h(x) son funciones derivables y f(u) es continua, con u entre g(x) y h(x), entonces d dx h(x) g(x) f(u)du = f[h(x)]h (x) f[g(x)]g (x)

23 Outline Introducción 1 Introducción

24 Cálculo de áreas Si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a,b] con f(x) > g(x), x [a,b], entonces el área de la región comprendida entre las curvas y = f(x) e y = g(x) desde a hasta b es igual a Área= b a [f(x) g(x)]dx

25 Cambio acumulativo Consideremos una población cuya dinámica de credimiento viene dada por el problema de valor inicial dn dt = f(t), con N(0) = N 0, de donde podemos decir que N(t) = t 0 f(u)du +C. Resolviendo el problema de valor inicial, obtenemos N(t) N(0) = t 0 dn du du, que podemos interpretar como el cambio acumulativo o neto del tamaño de la población entre 0 y t.

26 Valor Medio Supongamos que f(x) es una función continua en el intervalo [a,b]. El valor medio de f en el intervalo [a,b] es VM(f) = 1 b f(x)dx b a a Teorema del Valor medio para integrales definidas Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b]. Existe un número c [a,b], tal que f(c)(b a) = b a f(x)dx

27 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall.