Funciones de Bessel. Dr. Héctor René Vega-Carrillo

Transcripción

1 Funciones e Bessel Dr. Héctor René Vega-Carrillo 1

2 2 Ínice 1. Introucción Solución e la Ecuación iferencial e Bessel Caso n entero Caso n no entero Caso n = Funciones hiperbólicas Funciones esféricas e Bessel Propieaes

3 1 Introucción 3 1. Introucción La ecuación iferencial e Bessel tiene la siguiente forma, [1] 2 R r r R r ) (k 2 n2 r 2 R = 0 (1) one n es un número real y positivo, entero o fracción. La conición e que R(r) sea uni valuao requiere que n sea un entero. Esta ecuación es una ecuación iferencial orinaria con coeficientes variables [2] [3]. Hacieno un cambio e variable x = kr, la ecuación 1 toma la forma, 2 R x x R x ) (1 n2 x 2 R = 0 (2) La ecuación 2 tiene os soluciones que son linealmente inepenientes, J n (x) y Y n (x), que son, respectivamente, las funciones e Bessel e primera y seguna especie (tipo o clase), one n y k son reales y representa el oren. Las funciones e Bessel son parte e un conjunto e funciones enominaas especiales. [1] Otras os soluciones linealmente inepenientes e la ecuación 1, cuano k es imaginario, son las funciones I n (x) y K n (x), éstas son las funciones hiperbólicas e Bessel e primera y seguna especie e oren n. Existen funciones e Bessel e tercera especie, que también se conocen como funciones e Hankel. Éstas, están aas por, H (1) n = J n (x) + i Y n (x) (3)

4 1 Introucción 4 H (2) n = J n (x) i Y n (x). (4)

5 2 Solución e la Ecuación iferencial e Bessel 5 2. Solución e la Ecuación iferencial e Bessel 2.1. Caso n entero La ecuación 2 tiene un punto singular regular en x = 0, por lo tanto la solución por el métoo e series e potencia requiere e proponer una solución cuya expresión es, R(x) = x m j = 0 a j x j (5) Utilizano la ecuación 5 como solución, calculamos su primera y seguna erivaas, R y R, y las sustituimos en la ecuación 2. Aglutinano el resultao en torno a los valores e x obtenemos un conjunto e coeficientes, que se muestran en la ecuación 6 a j 2 = a j [(m + j + n)(m + j n)] (6) La ecuación 6 es una relación e recurrencia que relaciona los coeficientes, que aparecen en forma alternaa, e la expansión e la serie. Si hacemos j = 0, obtenemos, e la ecuación 7, a 2 = a 0 [(m + n)(m n)]. (7) Como el coeficiente e x 2 es cero (ya que e otra forma la serie, ecuación 5, tiene a infinito) en el origen, obtenemos la ecuación inicial, 0 = a 0 [(m + n)(m n)], (8)

6 2 Solución e la Ecuación iferencial e Bessel 6 e one concluimos que, si a 0 0 (lo cual no ocurre si a 2, a 4,..., a 2 j son iferentes e cero), m = ± n. (9) Si, en la expresión e la serie, ecuación 5, hacemos que m = 0, ya que n 0, en la ecuación 6, ebemos concluir que a 0,..., a 2 j son toas iguales a cero. Hacieno m = +n in la relación e recurrencia se obtiene, ano como resultao que la solución es, a j 2 = a j j (2 n + j), (10) 12, R(x) = 1 n! ( x ) { n 1 1 ( x ) n (n + 1)(n + 2) 1 ( x 2! 2 ) 4 }. (11) La ecuación 11 se convierte así en la función e Bessel aa en la ecuación J n (x) = j=0 ( 1) j ( x ) n+2j (12) j(n + j)! 2 Desafortunaamente, para valores enteros e n una seguna solución, linealmente inepeniente, a la ecuación e Bessel no se obtiene meiante J n (x); ya que, J n (x) = ( 1) n J n (x). La seguna solución inepeniente se ebe e encontrar en forma separaa proponieno otra serie e potencia, que a lugar a la función e Bessel e seguna especie Y n (x), también llamaa función e Weber o e Neumann N n (x) [4] y que se efine como,

7 2 Solución e la Ecuación iferencial e Bessel 7 Y n (x) = J n(x) cos(nπ) J n (x), (13) sin(nπ) one el valor límite e la ecuación 13 es tomao si n es cero o un entero. El primer conjunto e soluciones inepenientes, está formao por las funciones J 0 (x), Y 0 (x). Las funciones e Bessel J 0 (x) y J 1 (x) se muestran en la figura 1, mientras que las funciones e Bessel Y 0 (x) y Y 1 (x) se muestran en la figura 2. Fig. 1: Funciones orinarias e Bessel, e oren 0 y 1, e primera especie. Se puee observar que las funciones e seguna especie no están efinias en el origen y tampoco tienen valores para argumentos negativos; mientras que las funciones e primera especie son finitas en el origen y su rango varía e a+. Estas funciones e Bessel tienen raices a intervalos no regulares el argumento.

8 2 Solución e la Ecuación iferencial e Bessel 8 Fig. 2: Funciones orinarias e Bessel, e oren 0 y 1, e seguna especie Caso n no entero En el caso e que el oren no sea entero, la solución e la ecuación e Bessel se expresa en términos e la función gamma, Γ(x), como se puee ver en la ecuación 14. R(x) = j=0 ( 1) j ( x ) n + 2 j. (14) j! Γ(n + j + 1) 2 En este caso las funciones e Bessel J n, J n, one n no es entero, nos a soluciones linealmente inepenientes. Veamos el caso cuano n = aparecen los exponentes 1, 7, 13,...,; mientras que cuano n = 1 aparecen los exponentes , 5, 11,...,. Lo que a lugar a os funciones iferentes y la solución general e la ecuación iferencial e Bessel para valores no enteros e n es R(x) = AJ n + BJ n. En la figura 3 se muestran estas os funciones. Las funciones hiperbólicas e Bessel e primear y seguna especie, I n (x), K n (x), algunas veces enominaas funciones e Kelvin [4], se pueen separar en sus

9 2 Solución e la Ecuación iferencial e Bessel 9 Fig. 3: Funciones e Bessel, e oren 1 3 y componentes real e imaginaria. Así, I n (x) se puee escribir, a partir e la ecuación 11, utilizano valores enteros o cero para n; esto se muestra en la ecuación 15. I n (x) = J n(i x) i n. (15) 2.3. Caso n = 0 Para n = 0, la ecuación 11 se expresa como, I 0 (x) = { 1 + ( x 2 ) 2 1 ( x ) } (16) 2 2! 2 De la misma forma se etermina la función K n (x), que se expresa meiante la ecuación 17. Trazos e las función I n (x) y K n (x) se muestran en la figura 4. K n (x) = π i 2 in H (1) n (i x). (17) La función J n (x i i) se separa en su parte real e imaginaria, como se muestra en la ecuación 18.

10 2 Solución e la Ecuación iferencial e Bessel 10 Fig. 4: Funciones e Bessel I 0 (x), K 0 (x), I 1 (x) y K 1 (x). ( ) (ber n (x) + i bei n (x)) = e i n π 2 In x e i π 4. (18)

11 3 Funciones hiperbólicas Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas e seguna especie K n (x), se pueen expresar meiante la ecuación 19. ( ) (ker n (x) + i kei n (x)) = e i n π 2 Kn x e i π 4. (19) Una ecuación iferencial, la cual aparece con frecuencia en la solución raial e sistemas con simetría esférica, se muestra en la ecuación 20. Si hacemos la siguiente transformación ρ(r) = r 1 2 R(r), la ecuación 20 se convierte en la ecuación ρ r 2 2 R r r + 1 r ( R r + k 2 ρ r + ) l(l + 1) r 2 (k 2 (l )2 r 2 R = 0 (20) ) ρ = 0 (21) Ahora, sustituyeno x = kr en la ecuación 21, obtenemos la ecuación iferencial e Bessel e oren semientero, como se muestra en la ecuación ρ x x ρ r + (1 (l )2 x 2 ) ρ = 0 (22) Del análisis hecho previamente poemos establecer que la ecuación 22 tiene os soluciones linealmente inepenientes, por lo tanto su solución general está aa por la ecuación 23. ρ(x) = A J l+ 1 (x) + B J 2 (l+ 1 )(x) (23) 2

12 4 Funciones esféricas e Bessel Funciones esféricas e Bessel Si se expanen las funciones e Bessel e oren semi entero en la forma e series obtenemos las funciones j n (x) y y n (x), como se muestra en la ecuación 24, a estas funciones se le conoce como funciones esféricas e Bessel e primera y seguna especie respectivamente. ( π ) j n (x) = 2x ( π ) y n (x) = 2x J n+ 1 2 Y n+ 1 2 Estas expresiones an lugar a las ecuaciones 25. (x) (x) (24) j 0 (x) = sin x x y 0 (x) = cos x x j 1 (x) = sin x x 2 y 1 (x) = cos x cos x x sin x (25) x 2 x Las funciones esféricas e Hankel o funciones esféricas e Bessel e tercer especie se muestran en la ecuación 26. Los pares e funciones j n (x), y n (x) son soluciones linealmente inepenientes para caa n. h (1) n (x) = j n (x) + i y n (x) h (2) n (x) = j n (x) i y n (x) (26) Para valores semi enteros e n se tienen también soluciones linealmente inepenientes, j n (x) y j n (x). Ver ecuación 27.

13 4 Funciones esféricas e Bessel 13 y (1) n (x) = ( 1) n j n (x) (27)

14 5 Propieaes Propieaes Las funciones e Bessel tiene ciertas similariaes con las funciones trigonométricas. Así poemos establecer similitues entre la función cos x y J 0 (x) y la función sin x con J 1 (x); la primer semejanza se a en que tienen muchos ceros (o raíces) y que la erivaa e una e ellas conuce a la otra, por ejemplo x sin x = cos x. En el siguiente conjunto e ecuaciones se muestran algunas e las propieaes. J n 1 (x) + J n+1 (x) = 2n x J n(x) J n 1 (x) J n+1 (x) = 2 x J n(x) J n 1 (x) = n x J n(x) + x J n(x) J n+1 (x) = n x J n(x) x J n(x) Como J 1 (x) = J 1 (x), e este conjunto 28 se obtiene la ecuación 29. (28) x J 0(x) = J 1 (x). (29) Una variea e propieaes se puee obtener e relaciones como las mostraas. Una relación integral importante se obtiene meiante la tercera ecuación el conjunto e ecuaciones 28, one se puee observar que el lao erecho es la erviaa exacta el lao izquiero, esto conuce a la ecuación 30. x n J n 1 (x) = nx n 1 J n (x) + x n x J n(x) (30)

15 5 Propieaes 15 x n J n 1 (x)x = x n J n (x). (31) Las propieaes relacionaas con la erivaa e las funciones e Bessel se muestran en la ecuaciones 32 a 51. x J n(x) = 1 2 (J 1+n(x) J 1+n (x)) (32) x J n(ax) = 1 2 a (J 1+n(ax) J 1+n (ax)) (33) x J n(ax 2 ) = ax ( J 1+n (ax 2 ) J 1+n (ax 2 ) ) (34) x J n(ax 3 ) = 3 2 ax2 ( J 1+n (ax 3 ) J 1+n (ax 3 ) ) (35) x J n(ax b ) = 1 2 abx 1+b ( J 1+n (ax b ) J 1+n (ax b ) ) (36) x Y n(x) = 1 2 (Y 1+n(x) Y 1+n (x)) (37) x Y n(ax) = 1 2 a (Y 1+n(ax) Y 1+n (ax)) (38) x Y n(ax 2 ) = ax ( Y 1+n (ax 2 ) Y 1+n (ax 2 ) ) (39) x Y n(ax 3 ) = 3 2 ax2 ( Y 1+n (ax 3 ) Y 1+n (ax 3 ) ) (40)

16 5 Propieaes 16 x Y n(ax b ) = 1 2 abx 1+b ( Y 1+n (ax b ) Y 1+n (ax b ) ) (41) x I n(x) = 1 2 (I 1+n(x) + I 1+n (x)) (42) x I n(ax) = 1 2 a (I 1+n(ax) + I 1+n (ax)) (43) x I n(ax 2 ) = ax ( I 1+n (ax 2 ) + I 1+n (ax 2 ) ) (44) x I n(ax 3 ) = 3 2 ax2 ( I 1+n (ax 3 ) + I 1+n (ax 3 ) ) (45) x I n(ax b ) = 1 2 abx 1+b ( I 1+n (ax b ) + I 1+n (ax b ) ) (46) x K n(x) = 1 2 ( K 1+n(x) K 1+n (x)) (47) x K n(ax) = 1 2 a ( K 1+n(ax) K 1+n (ax)) (48) x K n(ax 2 ) = ax ( K 1+n (ax 2 ) K 1+n (ax 2 ) ) (49) x K n(ax 3 ) = 3 2 ax2 ( K 1+n (ax 3 ) K 1+n (ax 3 ) ) (50)

17 5 Propieaes 17 x K n(ax b ) = 1 2 abx 1+b ( K 1+n (ax b ) K 1+n (ax b ) ) (51) Algunas propieaes relacionaas con la integración e las funciones e Bessel se muestran en las ecuaciones 52 a 60 xj 0 (x)x = xj 1 (x) (52) x 2 J 0 (x)x = x 2 J 1 (x) + xj 0 (x) + J 0 (x)x (53) x m J 0 (x)x = x m J 1 (x)+(m 1)x m 1 J 0 (x) (m 1) 2 x m 2 J 0 (x)x (54) J 1 (x)x = J 0 (x) (55) xj 1 (x)x = xj 0 (x) + J 0 (x)x (56) x m J 1 (x)x = x m J 0 (x) + m x m 1 J 0 (x)x (57) x n J n 1 (x)x = x n J n (x) (58)

18 5 Propieaes 18 x n J n+1 (x)x = x n J n (x) (59) x m J n (x)x = x m J n 1 (x) + (m + n 1) x m 1 J n 1 (x)x (60) Otra propiea importante e las ecuaciones e Bessel es la ortogonalia, esta característica permite expresar los coeficientes en una expansión e Fourier.

19 5 Propieaes 19 Referencias [1] Ayant, Y. y Borg, M., Funciones Especiales. Eitorial Alhambra (1974). [2] Vega-Carrillo, H.R., Fenómenos Físicos, Moelos Matemáticos y Ecuaciones Diferenciales, Rev. Mex. Fís 34(1), (1988): [3] Vega-Carrillo, H.R., Las Ecuaciones Diferenciales. Euc. Matem. 1(2), (1989): [4] Croxton, C., Introuctory Eigenphysics: An approach to the Theory of Fiels, John Wiley & Sons (1974).