MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN TALLER 04 (MÍNIMOS CUADRADOS) Manizales, 28 de Abril de 2014

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1 1 de 6 jezasoft@gmail.com MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN TALLER 04 (MÍNIMOS CUADRADOS) Manizales, 28 de Abril de 2014 Con base en la información teorica y los ejercicios prácticos realizados e ilustrados en sesión de clase, deberan realizar la solución de los problemas sugeridos en el artículo publicado en el portal web. Las páginas de problemas han sido extraidas del libro:

2 22. Si estudió la sección 7.5, reescriba las ecuaciones para a y b utilizando la notación sigma. (15.8)(22.3) Sin mucha dificultad puede demostrarse que 2 E/ a 2 0, 2 E/ b 2 0, y (con ligeramente más dificultad) que 2 a E 2 2 b E 2 E 2 a2 b 0 Respuesta a n x 2 i b n x i n x i y i, i 1 a n i 1 i 1 i 1 y i i 1 x i nb n de modo que los valores de a y b encontrados haciendo E/ a E/ b 0 en realidad corresponden a un mínimo de E. Vale la pena mencionar que el método de mínimos cuadrados no se limita a ajustar mejores líneas rectas, sino que puede extenderse a muchos tipos de curvas. Por ejemplo, se utiliza a menudo en el ajuste de una función polinomial a un conjunto de datos puntuales. (Como ilustración véase el ejercicio 33 de los problemas de repaso). 22 EJERCICIOS 17-6 (1-4) Mediante el método de mínimos cuadrados determine la mejor línea recta a través de los siguientes conjuntos de datos x y x y x y x y (Crecimiento de ventas) Una tienda por departamentos advierte que la tendencia de las ventas de una nueva rasuradora eléctrica es como se da en la tabla 4. Halle la ecuación de la línea recta que mejor se ajuste a los datos. TABLA 4 Semana número (x) Unidades vendidas (y) (Utilidades y publicidad) Una empresa descubre que sus utilidades netas se incrementan al aumentar la cantidad gastada en la publicidad del producto. La empresa dispone de los registros dados en la tabla 5. TABLA 5 Gasto en publicidad (x) (miles de dólares) Utilidades netas (y) (miles de dólares) a) Determine la ecuación de la línea recta que mejor se ajuste a los datos. b) Estime el dinero que debería gastarse en publicidad para obtener una utilidad neta de $80, (Curva de demanda) Una empresa trata de determinar la curva de demanda de su producto. Vende el producto en varias ciudades a diferentes precios y determina el volumen de ventas. Después de un mes, se obtienen los datos mostrados en la tabla 6. a) Determine la línea que mejor ajusta los datos. 764 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3 TABLA 6 Precio (p) (dólares) Volumen de ventas (x) b) Mediante la curva de demanda de la parte a) determine el volumen de ventas si el precio es de $3. c) Utilizando el resultado de la parte a) determine el precio que maximiza el ingreso mensual. 8. (Utilidad y nivel de producción) El nivel de producción y las utilidades de cierta empresa en años recientes aparecen en la tabla 7. TABLA 7 Producción (x) (miles de unidades) Utilidades (y) (miles de dólares) a) Determine la ecuación de la recta que mejor ajusta los datos. b) Estime las utilidades cuando el nivel de producción se incremento a 120 mil unidades. 9. (Ventas y comerciales por TV) Una empresa de mercadotecnia desea determinar el efecto de los comerciales por televisión en las ventas de cierto producto. La empresa se retroalimenta de 6 grandes ciudades como se aprecia en la tabla 8. Halle la ecuación de la recta que mejor ajusta los datos. Estime el volumen de ventas que resultaría de 24 comerciales. 10. (Volumen de ventas y comisiones) Las comisiones de ventas pagadas y el volumen de ventas en 7 surcursales de una gran cadena de tiendas en años recientes fueron como se aprecia en la tabla 9. Determine la ecuación de la recta que mejor se ajuste a los datos. 11. (Crecimiento del PNB) Promedios sobre cuatrienios del producto nacional bruto (PNB) de cierto país, se dan en miles de millones de dólares en la tabla 10. Determine la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos. Estime el PNB para TABLA 10 Año (x) PNB (y) (Agricultura) La producción promedio y en bushels de maíz por acre en Estados Unidos varía de un año a otro. En la tabla 11 se dan los valores correspondientes al periodo , en los cuales t denota la fecha empezando con t 0 en 1960 e incrementándose hasta t 11 en De- TABLA 8 Ciudad A B C D E F Número de comerciales (x) Ventas (y) (cientos) TABLA 9 Tienda Comisiones (x) (miles de dólares) Ventas (y) (cientos de miles de dólares) SECCIÓN 17-6 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS 765

4 TABLA 11 t y muestre que durante este periodo, una ecuación lineal de la forma y at b ajusta estos datos bastante bien y determine los valores de a y b. 13. (Epidemia) Durante el periodo de propagación de cierto brote de cólera, el número de casos nuevos (y) en días sucesivos se dan en la siguiente tabla (x denota el día en cuestión). Encuentre la mejor línea recta que pasa por estos puntos y úsela para predecir cuantos casos nuevos brotarán en los días 6 y 7. (Este método de predicción se llama extrapolación lineal). TABLA 12 x y (Entomología) Cierta especie de insectos está extendiendo su hábitat gradualmente en la dirección norte. La siguiente tabla da la latitud y más al norte en la cual se ha encontrado al insecto durante el año x. TABLA 13 x y 30 N 35 N 38 N 42 N 45 N Encuentre la mejor línea recta que pasa por estos puntos y úsela para predecir cuándo el insecto llegará a la latitud 49 N. 15. (Química-física) La cantidad máxima y de cierta sustancia que se disolverá en 1 litro de agua depende de la temperatura T. Se obtienen los siguientes resultados experimentales. Determine la recta que ajuste mejor a estos datos. TABLA 14 T ( C): y (gramos) REPASO DEL CAPÍTULO 17 Términos, símbolos y conceptos importantes 17.1 Funciones de dos (o más) variables, dominio, rango. Coordenadas en tres dimensiones; ejes x, y y z Gráfica de una función z f(x, y) Línea de contorno (curva de nivel). Sección vertical. z 17.2 Derivadas parciales;, x z y Derivadas parciales de segundo orden; 2 z 2 z x2, y 2, Notación: z xx, z yy, z xy o 2z, x y 2z y x f xx (x, y), f yy (x, y), f xy (x, y) 17.3 Función de producción, factores de insumo de producción. Productividad marginal de capital y de mano de obra. Productos competitivos y complementarios. Elasticidad cruzada de la demanda Máximo local y mínimo local para un función de dos variables. Punto silla. Prueba de la 17.5 Restricción. Multiplicadores de Lagrange. Productividad marginal del capital Método de mínimos cuadrados. Error cuadrático medio. Fórmulas z f(x x, y) f(x, y) lím x x 0 x [ f x (x, y)] 766 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

5 la producción de una empresa está dada por P(L, K). El costo unitario de la mano de obra y del capital son de a y b dólares, respectivamente. Suponga que la empresa decide elaborar P 0 unidades de su producto, la combinación de mano de obra y capital abate el costo de estas unidades a un mínimo. Pruebe que la razón de las productividades marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de sus costos unitarios. 25. (Uso óptimo de materias primas) Una empresa emplea dos tipos de materias primas, A y B, en la elaboración de su producto. Usando x unidades de A y y unidades de B, la empresa puede elaborar T unidades de su producto, en donde T(x, y) 80x 300y 2xy 3x 2 4y 2 a) Cuántas unidades de cada materia prima deberá utilizar la empresa para maximizar su producción? Cuál es la producción máxima? b) Si a la empresa le cuesta $9 cada unidad de materia prima A y $12 cada unidad de materia prima B y la empresa puede vender todo lo que produce en $15 por unidad, qué cantidades de A y B maximizarían las utilidades de la empresa? 26. (Uso óptimo de capital y mano de obra) Si se emplean L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, en donde P(L, K) 60L 2/3 K 1/3 Los costos de la mano de obra y del capital son de $50 y $90 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 2000 unidades de su producto. Por medio del método de multiplicadores de Lagrange determine el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con el objetivo de minimizar el costo total. 27. (Producción máxima) Si se utilizan L unidades de mano de obra y K unidades de capital, la producción semanal total de una empresa está dada por P(L, K) 18K 24L 2KL 4K 2 L 2. Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe utilizar con el objetivo de maximizar su producción. 28. (Medicina) En el tratamiento de cierta enfermedad se utilizan de forma simultánea dos medicamentos. La reacción R medida en las unidades adecuadas para x unidades del primer medicamento y y unidades del segundo es R(x, y) 30 2x 6y x 2 2y 2 Determine los valores de x y y que hacen máxima la reacción, R. *29. (Difusión) El modelo de ecuación del ejercicio 48 de la sección 17-2 para la difusión de una sustancia a través del torrente sanguíneo no toma en cuenta el arrastre debido al movimiento de la sangre. Una ecuación más adecuada para ello es c C(x, t) e (x vt)2/at t donde v es la velocidad de la sangre. Muestre que para esta ecuación se cumple C t a 4 2 C x 2 C v x (Nota: Este ejercicio tiene una mayor grado de dificultad que los anteriores). 30. (Zoología) En un experimento se midió la longitud L de cierto tipo de insecto, para varios insectos de diferentes edades. Los resultados se dan en la tabla 15, L está en centímetros y la edad E en días. Muestre que los datos coinciden aproximadamente con la relación lineal L me b, y determine las constantes m y b. TABLA 15 E L (Población) De acuerdo con la Oficina de Censos de Estados Unidos, el total de miles de millones de dólares que importó Estados Unidos de México para cada año de 1996 a 2002 se proporciona en la tabla 16. Determine la recta que mejor ajuste los datos dados. Utilícela para estimar el monto de las importaciones para el año Compare su resultado con el valor proporcionado por la misma fuente. Haga x 0 para 1996, x 1 para 1997, etcétera. TABLA 16 Año Monto imp. (y) (Mano de obra) En la tabla 17 se muestra como el porcentaje de mujeres en la mano de obra, en Estados Unidos, ha cambiado desde 1955 a Determine la recta de mínimos cuadrados y utilice ésta para estimar el porcentaje en 1996; compare su resultado con el valor real que fue de 50.3%. Haga x 0 para 1955, x 5 para 1960, etcétera. TABLA 17 Año Porcentaje (%) PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO

6 33. (Mínimos cuadrados para funciones cuadráticas) A un conjunto de datos experimentales {(x i, y i )} se requiere ajustar una función cuadrática y ax 2 bx c. Definimos el error cuadrático medio como 1 E [(y 1 ax 2 1 bx 1 c)2 n (y 1 ax 2 1 bx 1 c)2 (y n ax 2 n bx n c)2] Plantee tres ecuaciones igualando a cero las derivadas parciales E/ a, E/ b y E/ c. Con base en estas ecuaciones, determine los valores de a, b y c en el caso de los datos dados en la tabla 18. TABLA 17 x y CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES