L O G A R I T M O S, E C U A C I O N E S E I N E C U A C I O N E S

Transcripción

1 L O G A R I T M O S, E C U A C I O N E S E I N E C U A C I O N E S. L O G A R I T M O S En los cálculos con potencias se pueden dar situaciones en las que se conozcan la base de la potencia y el resultado, pero no el eponente. Por ejemplo, X = 3. Observa que, en este caso, el eponente al que hay que elevar la base para obtener el resultado indicado es 5, es decir, 5 = 3. Este número se denomina logaritmo en base de 3 y lo representamos por log 3. Dado un número real a positivo y distinto de, se denomina logaritmo en base a de un número p, y se representa por log a p, al eponente al que hay que elevar la base para obtener p. Como a siempre es positivo, p también lo será. Por lo tanto, sólo están definidos los logaritmos de números positivos. Ejemplos: Solución: Propiedades: Los logaritmos cumplen las siguientes propiedades: a) El logaritmo en cualquier base de la unidad es 0: log a = 0. b) El logaritmo en cualquier base de la misma base es : log a a = Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones -

2 c) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: log a (p.q) = log a p + log a q d) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor: p log a ( ) = loga p - log a q p, q Î R + q e) El logaritmo de una potencia es igual al eponente por el logaritmo de la base: log a p m = m log a p f) Relación entre logaritmos de distintas bases: Si a, b y p son números reales positivos, con a, b, se cumpre: log p b log a p log a b Logaritmos decimales y logaritmos neperianos: En la práctica, los logaritmos más usados son los de base 0 (logaritmos decimales) y los de base el número e (logaritmos neperianos). El logaritmo decimal de un número p se escribe simplemente log p, mientras que el logaritmo neperiano de un número p se escribe ln p.. E C U A C I O N E S E X P O N E N C I A L E S Fíjate en la epresión X aparece en el eponente. = Se trata de una ecuación en la que la incógnita Denominamos ecuaciones eponenciales a las ecuaciones en las que la incógnita aparece en el eponente de una potencia. Para resolver una ecuación eponencial, además de la definición y las propiedades de las potencias y los logaritmos, usaremos: Si a = a y, entonces = y. Un cambio de variable: en general a = t. Este cambio permite convertir una ecuación eponencial, con incógnita, en otra ecuación equivalente, de incógnita t y de resolución más sencilla. Ejemplos:. Resuelve la ecuación = 3768 Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones -

3 Escribiremos en forma de potencias de la misma base los dos miembros de la ecuación. Para eso descomponemos en factores primos el número Obtenemos 3768= 5, de donde resulta = 5. Por lo tanto, =5.. Resuelve la ecuación 3 = Tomamos logaritmos decimales en los dos miembros de la ecuación: log 3 = log. Por las propiedades de los logaritmos: 3 log = log. Y despejando obtenemos,5. 3. Resuelve la ecuación = 8. Por las propiedades de las potencias la ecuación se puede escribir: Efectuamos el cambio de variable 3 = t, por lo que resulta la ecuación equivalente: Las soluciones de esta ecuación son t= 9 y t = -6 (no válida pues la eponencial es siempre un número positivo). Entonces 3 = 9, y =. 3. E C U A C I O N E S L O G A R Í T M I C A S Son aquellas en las que la incógnita está afectada por un logaritmo. Para resolverlas usaremos la definición de logaritmo, las propiedades, y si log a = log a y, entonces = y. Como no eiste el logaritmo de cualquier número, siempre hay que comprobar la solución para verificar que efectivamente es válida. Ejemplo:. Resuelve la ecuación log(+) + log5 = log (-3): Por la propiedad del logaritmo de un producto: log [(+) 5]=log (-3) (+) 5 = -3 =-. Sustituimos el valor = - en la ecuación del enunciado y aparecen los términos log(-) y log(-5), que no eisten. Por lo tanto, concluimos que la ecuación del enunciado no tiene solución.. Resuelve la ecuación log log5 Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones - 3

4 log +log5= log(5 )= log(5 )=log 0 5 =0 = 0 5 = Sustituimos el valor = en la ecuación del enunciado y obtenemos: log + log 5= log( 5) =log0 =. Por tanto, la solución de la ecuación es =.. E C U A C I O N E S P O L I N Ó M I C A S Llamamos ecuación polinómica de grado n a cualquier ecuación equivalente a P() = 0, siendo: P() = a n n + a n- n- + + a + a 0, donde, n es un número natural, a n, a n-,, a, a o son números reales, a n 0 si n 0. Las ecuaciones polinómicas se suelen clasificar según el grado del polinomio P(). Así, hablamos de ecuaciones de primer grado, de segundo grado, de tercer grado, Habitualmente, las ecuaciones polinómicas no se presentan en la forma de la definición, sino que es preciso efectuar una serie de transformaciones para llegar a ella. Una ecuación de segundo grado con una incógnita es toda ecuación que se puede reducir a la forma: a b c 0 con a 0, b y c números reales. Las soluciones de estas ecuaciones vienen dadas por la epresión: Ecuaciones bicuadradas b b ac a Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas de cuarto grado sin términos de grado impar; son, por lo tanto, de la forma a b c 0. Para resolverlas, efectúamos el cambio de variable y, obteniendo así, una ecuación de segundo grado en y: a +b +c=0 ay +by+c=0. Para cada valor positivo que obtengamos de y habrá dos valores de : Ejemplo: y 0 0 y y 9 0 y y Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos Como regla general, estas ecuaciones se resuelven utilizando la regla de Ruffini y/o sacando factor común si es posible. Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones -

5 ) = ( 3 +)=0 { =0 3 +=0 = 3± 9 8 ={ 3 ) ( 8 8 ) es solución Interpretación geométrica de las ecuaciones polinómicas Las soluciones de una ecuación polinómica son las abscisas de los puntos de corte con el eje X obtenidos al representar gráficamente el polinomio correspondiente. Si es una ecuación de segundo grado y representamos obtenemos una parábola, cuyos puntos de corte son las soluciones de la ecuación. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación 3 0 son = y =3. 5. E C U A C I O N E S C O N F R A C C I O N E S A L G E B R A I C A S Para resolver este tipo de ecuaciones eliminamos los denominadores multiplicando por su mínimo común múltiplo y, después, resolvemos la ecuación resultante. Al resolver estas ecuaciones debemos eliminar aquellos valores que anulen el denominador y comprobar que las soluciones obtenidas son verdaderas soluciones. Ejemplos: ) Resuelve la ecuación: Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones - 5

6 m.c.m., Comprobamos la solución: Obtemos una igualdad y, por lo tanto, la solución es válida. ) Resuelve la ecuación: Reducimos las fracciones a común denominador, calculando el m.c.m de los denominadores:... m c m 5 8 Como todos los denominadores son iguales, podemos igualar los numeradores siempre que y Al sustituir ambas soluciones en la ecuación comprobamos que las dos son válidas. 6. E C U A C I O N E S C O N R A D I C A L E S Las ecuaciones con radicales son ecuaciones en las que la incógnita aparece bajo el signo radical. Para resolverlas se aisla la raíz en uno de los miembros y se eleva toda la ecuación al índice del radical. Una vez obtenida la solución o soluciones, hay que verificar que son solución. Ejemplos: ) Resuelve la ecuación: 8 Como ya está la raíz aislada en un miembro, elevamos al cuadrado: Comprobamos la solución: La solución 68 es válida. Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones = 5

7 ) Resuelve la ecuación: Aislamos la raíz en uno de los miembros y elevamos al cuadrado: Resolvemos la ecuación resultante de segundo grado: = 3 0 ± + = ± 3 Comprobamos las soluciones:. La solución es válida La solución 3 no es válida. 3) Resuelve la ecuación: Cuando hay dos raíces se deja una raíz en cada miembro (en este caso ya están) y elevamos al cuadrado. Si sigue habiendo radicales repetimos el proceso: Resolvemos la ecuación de segundo grado: Comprobamos la solución: 0. La solución es válida I N E C U A C I O N E S Una inecuación es una desigualdad entre dos epresiones algebraicas. Una solución de una inecuación es el valor o conjunto de valores que verifican la desigualdad. 3 Por ejemplo, 7, 3 >0, 5 0, <0 es una solución de 7, pues 7 5 7, pero también 5 En general, el intervalo,3 es el conjunto de soluciones de esta inecuación. Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones - 7

8 Así, resolver una inecuación será encontrar todas sus soluciones. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Una inecuación de primer grado con una incógnita es toda inecuación reducible a: a b 0, a b 0, a b 0, a b 0, con a, b Î y a 0. Para resolver estas inecuaciones se utilizan casi las mismas reglas que para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Es decir:. Los números sumando en un miembro de la inecuación pasan al otro lado restando y los números restando pasan al otro miembro sumando.. Los números positivos multiplicando, pasan al otro miembro dividiendo y los números dividiendo pasan al otro miembro multiplicando, sin provocar ningún cambio en la desigualdad. 3. Los números negativos multiplicando, pasan al otro miembro dividiendo y los números dividiendo pasan al otro miembro multiplicando, provocando un cambio en la desigualdad ( e ). Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Una inecuación de º grado con una incógnita es toda inecuación reducible a: a b c 0, a b c 0, a b c 0, a b c 0, con a, b, c Î y a 0. Por ejemplo, 0. Para resolver esta inecuación tenemos dos métodos: Método gráfico: (Utilizando su interpretación geométrica) Calculamos los puntos de corte de la parábola con el eje X. Es decir, resolvemos la ecuación: =0 =, = Observamos el signo del coeficiente principal y esbozamos la gráfica de la epresión: Teniendo en cuenta que la inecuación nos pide el conjunto de puntos que es 0, tenemos que tomar como solución los puntos que en la gráfica están por encima del eje X incluidos los del eje. Por tanto, la solución es el intervalo,,. Método algebraico: En este método, construiremos una tabla de valores donde estudiaremos el signo de la epresión algebraica, después de resolver la ecuación: =0 =, = Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones - 8

9 Construimos una tabla teniendo en cuenta los puntos obtenidos y sin incluir los etremos:,,, sign ( ) La solución es el intervalo,, donde incluimos los etremos porque la desigualdad indica 0. NOTA: Para resolver inecuaciones de otros tipos, tendremos en cuenta el método algebraico descrito anteriormente donde tomaremos como puntos para formar los intervalos aquellos valores que anulen las epresiones algebraicas que integren las inecuaciones. Ejemplo: ,,3 3, sign( + 3 ) - La solución es [-,3). (En estas inecuaciones no podemos tomar nunca el valor o valores que anulen el denominador, pues en ese caso no eiste la epresión algebraica) Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones - 9

10 E J E R C I C I O S. Calcula los siguientes logaritmos: 5. Aplica la definición y las propiedades de los logaritmos para calcular el valor de en estas epresiones: 0 6. Resuelve las ecuaciones eponenciales: a) 6( 3 - ) = 9 Soluc:,03 b) ( - )- = 0 Soluc: 3,39 c) - = 0 Soluc: = d) 6 = 6 Soluc: = 3 e) 3- = 08 Soluc: = f) 6 + = 3 8 Soluc: = g) 3 = 8 +3 Soluc: = 3 h) ( - ) -² = 8 -² Soluc: =, -, ½ i) 3 +3 = Soluc: -,9 7. Resuelve las ecuaciones: a) log (+) + log (-3) = log (5-3) Soluc: = 5 b) log 0 = log (-) + Soluc: = 0/9 c) 3 + log = log 57 log 9 Soluc: = 0,003 d) log 5 = log log Soluc: = ½ e) log (7-9)² + log (3-)² = Soluc: =, 3/ f) log (²-00) / log (-) = Soluc: = 6 8. Resuelve las ecuaciones: Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones - 0

11 9. Calcula, sabiendo que log 5 A=,8 y log 5 B=,: a) log 5 3 A 5 B b) log 5 5 A 3 B 0.Averigua la relación que hay entre e y, sabiendo que se verifica: ln y = ln 5.Averigua la relación que hay entre M, e y, sabiendo que se verifica: ln M= ( ln+3lny 5 ln).resuelve las siguientes ecuaciones: a) +7²+3=0 b) ³-=0 c) +²=0 d) 5= 6 e) 6+ 3( +) = f) =0 g) (+)²-+=0 h) (-3)²= +6 3.Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales o logarítmicas: a) 3 = 9 b) = + c) =30 d) log + log50 = 3 e) 5log (+3) = log 3 f) ln= ln(+3) g) 3 =0,6 3 + h) 7 + =86.Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (Sol.: 0 y 9) 6 b) (Sol.: 0, - y ) 3 c) (Sol.: 0, / y -3/) d) (Sol.:, - y -3) 3 e) (Sol.: 0 y ) 3 f) 3 0 (Sol.: y -/) g) =0 (Sol.:, -, 3 y - 3 ) 3 h) 0 (Sol.: 0,, -) i) 5 0 (Sol.: -,, -3 y 3) j) 7 0 (Sol.: -,, - 3 y 3 ) Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones -

12 k) (Sol.: -,, e ) 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (Sol.: 3, /9 no válida) b) (Sol.: ) c) d) (Sol.:, 3 no válida) (Sol.:, 9/ no válida) e) (Sol.: - y /) f) (Sol.: 0 y ) 3 g) 0 (Sol.: ) h) i) 3 j) 3 3 (Sol.: -, /5) (Sol.:, -3/) (Sol.: -3, ½) k) l) (Sol.:, -/) (Sol.: Tiene infinitas soluciones) 6. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) ( ) b) 5( ) 3( ) 3 3 c) 5 < 3 8 d) 3( ) 3 e) ² f) ² 3-0 g) ² <0 h) ² + 7>0 7. Una empresa tetil fabricó 500 camisas con un coste de producción de 3 por unidad. Si vendiendo todas las camisas obtiene un beneficio de más de 6000, a qué precio vende cada unidad? (Sol.: A más de 7 ) Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones -

13 8. Cuántos metros de tela metálica se necesitan para rodear una parcela cuadrada con un área de 36 m? (Sol.: metros) 9. Una población sufre una fuerte emigración y en 0 años se ve reducida a la cuarta parte. Su decrecimiento es eponencial, del tipo P=P 0 e kt, donde k es la tasa de decrecimiento y t el tiempo medido en años. Calcula la constante k. (Sol: 0,38) 0. El ph de una disolución es el logaritmo decimal del inverso de la concentración de iones hidronio, [H 3 O + ], es decir, ph= log(/[h 3 O + ]). El ph máimo es y, evidentemente, siempre es positivo. Una disolución es ácida si su ph es menor que 7 y básica cuando es mayor que 7. Cuál es el ph de una disolución cuya concentración de iones hidronio es de mol/l? Es ácida o básica? (Sol: ph=,). Los beneficios de una empresa se reparten entre tres socios: uno recibe la mitad, otro el 60% de lo que queda y el tercero, A cuánto ascendían los beneficios? Qué porcentaje de capital había puesto cada uno de ellos, si suponemos que los beneficios se reparten de forma proporcional al capital invertido? (Sol: 8500, 50%, 30% y 0% respectivamente). Calcula cuatro números impares consecutivos tales que su suma es Calcula un número sabiendo que la suma de dicho número con el doble de su raíz cuadrada es inferior en 3 unidades al doble de dicho número.. Halla un número tal que la suma de su inverso y del cuadrado de su inverso sea 5/6. 5. Una empresa tiene unos costes de producción fijos de 00 más,0 por cada unidad de producto fabricada. Sabiendo que el precio de venta de cada unidad de producto es de,5, calcula a partir de cuántas unidades vendidas tiene beneficios. 6. El beneficio obtenido por una empresa cuando vende un producto viene dado por B()=(-7) 3(+5), siendo el número de unidades vendidas. A partir de cuántas unidades vendidas obtiene beneficios la empresa? 7. A un trabajador le suben el sueldo un 5% y al año siguiente un %. Después de esta segunda subida su nómina es de euros. Calcula el sueldo que cobraba antes de las subidas. Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones - 3

14 8. Queremos sembrar de césped una parcela rectangular de 7 m², de manera que uno de los lados de la misma sea el triple que el otro. Cuáles son las dimensiones de la parcela? 9. La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es 570. Calcula el valor del siguiente impar. 30. Macarena está estudiando el crecimiento de una población de insectos. Durante la primera semana hay 500 insectos, la segunda semana hay 500 y las semanas siguientes se sigue triplicando la población. Cuántas semanas han de pasar para que haya por lo menos cien mil insectos? 3. Una población de aves cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada años. Después de cuanto tiempo la población de aves será de 000 individuos? 3. Para describir los efectos de un terremoto se utiliza la escala de Richter. Según esta escala, la magnitud M de un terremoto viene dada por la epresión: E : energía liberada por el terremoto (J) E : constante de valor,5 0 J. 0 Calcula la energía liberada en el terremoto de San Francisco de 906 si su magnitud fue de 8,5 en la escala de Richter. 6 (Sol: 5,9 0 J) M 3 log E E 0 Matemáticas I Tema 3. Logaritmos, ecuaciones e inecuaciones -