1 Números reales. Actividades propuestas

Transcripción

1 Números reales LEE Y APRENDE Qué representan los números de los 0 primeros versos? Los números de los primeros versos son los primeros decimales del número Pi. Qué quiere decir la autora al afirmar Oh, qué corta es la cola del cometa!? La autora considera que la cola de un cometa es pequeña comparada con el número de decimales del número Pi. ANALIZA Y REFLEXIONA Qué características tiene el número Pi? A qué conjuntos de números pertenece? El número Pi tiene infinitos decimales que no siguen ningún patrón numérico. El número Pi pertenece al conjunto de los números irracionales. Conoces algún otro número con las mismas características? Respuesta libre. Actividades propuestas. Señala si los siguientes números son racionales o irracionales.,7 77 7, 0, d) 8, Racional Irracional Irracional d) Racional. Indica todos los conjuntos numéricos a los que puedan pertenecer estos números. ; ;,...;, ; ; 0,6 Enteros: Irracionales: ;, Racionales: ; ;, ; 0, 6 Reales: Todos. Di si estas frases son verdaderas o falsas. Todo número decimal es racional. El número pertenece al intervalo (, 8 ) El número. pertenece a,, y. d) Existe la fracción a,... b = Verdadera. Falsa, porque (, ) 8 = (, ) Verdadera, porque = d) Falsa, porque, es un número irracional. Unidad Números reales

2 . Calcula estos valores absolutos d) = = 8 = 8 = = 7 9 = 7 9 = = d) 9 + = 9 + = = 9 = 9. Aproxima 0 =, con tres cifras significativas y calcula el error absoluto y el error relativo., ,6 E A =, ,6 = 0, , E R = = 0, ,07 %, Actividad resuelta. 7. Encuentra todos los números x que verifican estas igualdades. x = x + = x = Como x = = d(x, ), se buscan los números que distan unidades de. x = + = y x = = Como x + = x ( ) = = d(x, ), se buscan los números que distan unidades de. x = + = y x = = 7 Como x = = d(, x) = d(x, ), se buscan los números que distan unidades de. x = + = 9 y x = = 8. Representa en la recta real los números 7,,. 9. Qué es mayor, 6 o 7? Para averiguarlo, representa estos números en la recta real. 7 6 > Números reales Unidad

3 0. Escribe como semirrectas o intervalos las siguientes desigualdades. x x < 7 y x > 8 e) 7 < x y x 9 x < 7 d) 8 > x f) x < y x [, + ) ( 8, 7) e) [9, + ) [, 7) d) (, 8) f). Expresa con desigualdades y gráficamente los siguientes intervalos y semirrectas. [, + ) (, ) (, 0] d) [, 8] [, + ) = {x / x } (, ) = {x / x < } (, 0] = {x / < x 0} d) [, 8] = {x / x 8}. Señala si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. E[, ] = [, ] E(, ) = (, 0) E(0, ) = [, ] d) E(, ) = (, ] Verdadera Falsa, porque E(, ) = (, ) Falsa porque E(0, ) = (, ) d) Falsa, porque E(, ) = (, 6). En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara aseguró que: 8 + = 8 Dibuja un segmento de longitud 8 + y otro de longitud 8, y compruébalo.. Responde en cada caso, expresando el resultado como un intervalo y como una desigualdad. Qué números reales están a la vez en los intervalos ( 7, ] y [ 6, ]? Qué números enteros están a la vez en las semirrectas (, ] y ( 6, + ]? [ 6, ] = {x / 6 x } {,,, } = { x / x }. Escribe los siguientes números como potencias cuya base sea un número primo. 8,,, 0, 0,,,, = ; = ; = ; 0 = 0 ; 0 = 7 8 = ; = 7 ; = ; = ; = Unidad Números reales

4 6. Haz estas operaciones con potencias. : () 9 8 : () = 0 = 6 9 = = = 6 8 = = = 7. Actividad resuelta. 8. Calcula x en cada una de estas igualdades. 6 7 = x 0 x = 0, = x d) 00 x 6 7 = 8 = 6 x = = 6 = 7 x = = 0, 0 x = 0,00 0x 0 = 0 0x + = 0 x + = 7 x = d) 00 x 000 = 0, 0x 0 = 0 0x = 0 x = x = 9. Simplifica al máximo estas expresiones = = = = = Expresa como potencia de 0 y opera. 0, , , , = = 0 0, = 0 0. Actividad resuelta.. Qué es mayor o 7? Ayuda: piensa en 6 y y ten en cuenta que < y 6 < 7. < = ( ) = = Por tanto, < 7 ( ) 6 6 = = < 6 < 7 Números reales Unidad 7

5 . Expresa en notación científica. La distancia media de Plutón al Sol: km La masa de un átomo de hidrógeno: 0, g km =,9 0 9 km 0, gr =,66 0 g. Copia en tu cuaderno y completa: Escritura Escritura n 0 p Notación Escritura Escritura n 0 p Notación decimal científica decimal científica , 0 7 0, , , ,09 9 0, ,8 0 7,8 0 0, ,8 0, , 0. María tiene que dar la respuesta de una actividad en notación científica, pero el profesor le dice que su respuesta no está bien. Cuál es la respuesta correcta en notación científica? La respuesta correcta sería 0, 0 6 =, Actividad resuelta. 7. Si a =, 0 8, b =, 0 7, c =,6 0, resuelve las siguientes operaciones y escribe el resultado en notación científica. a + b a b a c d) a + b =, 0 8 +, 0 7 =, , 0 8 =,8 0 8 a b = (, 0 8 ) (, 0 7 ) =,7 0 =,7 0 6 a c = (, 0 8 ) (,6 0 ) = 0,8 0 =,08 0 a c d) a c 8, 0 = = 0, 0 = 0, Actividad interactiva. 9. Calcula mentalmente y escribe en tu cuaderno el valor de los siguientes radicales. d) 0 g) 8 e) 000 h) 0, f) 6 i) d) No es real. g) ± e) 0 h) ±0, f) 6 i) No es real. 8 8 Unidad Números reales

6 0. Expresa los siguientes radicales como potencias y simplifícalos. 79 e) d) 6 8 f) = = = 9 = = e) 8 = = = = ( ) = = = d) = = f) 6 = = =. Calcula el valor de las siguientes potencias. 9 d) e) 0, 0, 6 g) 7 f) 0,7 8 h) 6 0, = ( ) = = ( 7 ) = 9 e) 0, 6 = = g) 0, 7 = = 9 = ( 7 ) = d) = ( ) = 6 f) 0,7 8 = = 7 h) 6 0, = =. Expresa como un solo radical. : 7 : 8 d) 6 6 = : 7 = : = : 8 = 6 = d) = = = =. Aplica las propiedades de los radicales y simplifica las siguientes expresiones. 8 6 d) 6 = = 8 = = 6 = d) 6 6 = = =. Explica cómo expresiones tan distintas como 0,, y , 8 = = = = = 6 8 pueden ser equivalentes.. Actividad resuelta. 6. Reduce a índice común y ordena de mayor a menor los siguientes radicales., 8 8, 6 6,, 0 0 = = =, 6 8 = 8 = y = 6 = < 6 < 0 = y 0 = 0 0 < < Números reales Unidad 9

7 7. Escribe las siguientes expresiones de la forma que se indica en cada caso. Con radicales: x, 8x y + a Con exponentes fraccionarios: a, x y a + b x = x, a = a, 8x = 8 x = 6 x 6 6 x = x = x y y + a = + a a + b = a + b 8. Cuál es el error en esta falsa igualdad? 8 = = = La propiedad fundamental no está bien aplicada en este caso, pues esta solo es válida si el radicando es mayor o igual que cero y, en este caso, no lo es. 9. Demuestra las propiedades de los radicales utilizando exponentes fraccionarios. m = = =.. n n n. ab ab a b a b n n n n a n a a a n = n = = n b b n b. Si a 0, b m n a = an mn mn m = a = a m m n n n m n n m a = a = a = a = a n m m n n m nm nm. a = a = a = a = a 0. Extrae factores y simplifica al máximo estos radicales = 0 0 = = 7 = 7 80 = = 0. Introduce factores dentro de cada radical. = = a a a a = a a = 8a 7 = = =. Efectúa las siguientes operaciones : 08 d) : ( : ) = = = = 9 = 7 = 7 = 7 = 7 = : 08 = 87 : 08 = : = : = = d) : : : : : : : : = = = = = 0 Unidad Números reales

8 . Opera y simplifica d) = + = ( + ) = 0 80 = = ( 6 8 ) = d) + = + = + = = 9 + = 9 +. Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones fraccionarias. 6 e) 0 d) 7 f) = = d) e) f) = = = = = = = = = = = = = = = = = + + ( ) ( ) = = = Calcula el valor de x en la siguiente expresión: 8 x = 0 x x = 0 x+ 7 x = x+ 7 x = x+ 7 x = 6. Si a = ( + 6) y b = 6 son los catetos de un triángulo rectángulo, halla la hipotenusa. h = a + b = ( ( + 6) ) + ( 6) = = = 6 h = 6 7. Actividad interactiva. Números reales Unidad

9 8. Calcula los logaritmos en base de los siguientes números. d) 0 e) 8 log : no existe d) f) log0 = log = 0 log = e) log = log = log log 8 log 8 6 = log = log = = = f) 9. Sin utilizar la calculadora, halla la primera cifra de los siguientes logaritmos. log 0 log 0,0 e) log 7 log 7 d) log 0 f) log Como log 00 = y log 000 =, la primera cifra de log 0 es. Como log 0 = y log 00 =, la primera cifra de log 7 es. Como log 0, = log 0 =, la primera cifra de log 0,0 es. d) Como log 9 = y log 7 =, la primera cifra de log 0 es. e) Como log = y log =, la primera cifra de log 7 es. f) Como log = y log =, la primera cifra de log es. 0. Actividad resuelta.. Calcula el valor de x en estas igualdades. log = x log ( 00) = x e) log7 = x 9 log x 0, = d) log x = f) = log7x x = log = log 0 6 = 6 log ( 00) no existe e) log7 = log77 x = 9 logx0, = logx = x = d) log x = x = = f) = log 7x x = 7 =. Actividad resuelta.. Tomando log 8 = 0,90, calcula: log 80 log e) log 6 log 0,8 d) log, f) log 800 log (80) = log (8 0) = log 8 + log 0 =,90 d) log, = log 0 8 = log 0 log 8 = 0,097 log 0,8 = log 8 0 = log 8 log 0 = 0,097 e) log 6 = log 8 = log 8 = 0,90 =, 806 log = log = log 8 = log8 = 0,0 f) = + = + = log 800 log8 log 0 log8 log0 0,968 Unidad Números reales

10 . Transforma los siguientes logaritmos en sumas y restas de log A y log B. log 0 B A B log log A A B log log B log 0A log B log 0 log A log B log A 0A = = = B log log A log B log A log A log B log A log A log B log A log A log B log A A = = = = log 7. Calcula y log9 9. x = log x = log log x = log 7 log x = 7 log 7 log 7 log 9 9 = log 9 9 = log9 9 = 6. Actividad interactiva. 7. Transforma las siguientes expresiones en sumas y restas. X a b = a Y a b = 00 c a b log X = log = log a+ log b log a = log a+ log b log a = log a+ log b a a b log Y = log = log a + log b log 00 log c = log a+ log b log c = log a+ log b log c 00 c 8. Calcula el valor de A sin usar la calculadora: log A = log 8 log + log 6 log A = log 8 log + log 6 = log 8 log + log 6 = log = log 8 9 luego A = Aplicando un cambio de base y usando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. log log log d) log 0 log log = =,807 log log log = =,80 log log log0 log = =,6 d) log 0 = =,07 log log 60. Halla x usando la calculadora para que se cumpla que x = 7. x = 7 log x = log 7 xlog = log 7 log7 x =, 77 log 6. En una bolsa hay 0 bolas blancas, 0 verdes y negras. Halla el porcentaje de bolas de cada color. Blancas: 0 0, % 9 = Verdes 0 0, % 9 = Negras 0,7 7 % 9 = Números reales Unidad

11 6. Indica el índice de variación porcentual y el porcentaje de aumento o disminución. Las ventas han pasado de 000 a ejemplares I = =, Aumento del 0 % Indica qué porcentaje aumenta o disminuye una cantidad al multiplicarla por los números siguientes. 0,9, 0,0 d),0 Disminuye un 0 % Aumenta un 0 % Disminuye un 98 % d) Aumenta un 0 % 6. Halla el capital final en que se convierten 60 en tres años a un interés simple del,%. C F, = 60 + = 69, La población de un país aumenta por término medio un 8 % anual. Si actualmente hay 0 millones de habitantes en dicho país y el ritmo de crecimiento se considera constante, qué población estimas que tendrá dentro de 0 años? Población en 0 años (en millones) = 0 (,08) 0 = 0,. Habrá 0, millones de habitantes. 66. Qué capital debe depositarse a un interés compuesto del % para convertirse en al cabo de un año? = C I ( + 0,0) C I = = 9 + 0,0 67. Un banco ofrece un interés compuesto del 6 % anual en su cuenta de ahorro con la condición de que cada año ingreses 000. Si aceptas la oferta y retiras tu dinero a los años, cuánto dinero deberá entregarte el banco? er año: 000,06 = 060 euros º año: 060,06 = 8,6 euros er año: 8,6,06 = 7,66 euros º año: 7,66,06 = 67,0996 euros º año: 67,0996,06 = 97, euros 68. Halla el capital final en que se convierten 70 en cuatro años a un interés simple del %. Y si el interés que se aplica es compuesto? Interés simple: C F = 70 + = 0 00 Interés compuesto: C F = 70 ( + 0,) = 80, 69. A qué tanto por ciento anual hay que colocar para que se conviertan en 8 euros al cabo de años? 8 = 0 000( + x) x = = 0,09 Al 9 % anual 70. Actividad resuelta. Unidad Números reales

12 7. Cuántos años debe estar impuesto un capital si a un interés compuesto del % anual se convierte en, veces el capital depositado inicialmente?,c I = C I ( + 0,0) t log, t = =,7 log,0 Cuatro años y medio, aproximadamente 7. A qué tanto por ciento debe colocarse un capital cualquiera para duplicarlo en años? C I = C I ( + r) Debe imponerse al,7 %. r = = 0,07 7. Halla durante cuántos años se ha colocado un capital de 800 a un interés simple del % para obtener al final del periodo 90. Y si se deposita a un interés compuesto del %? Qué observas? t t, 00 Interés simple: 90 = 800 +, = + t = = 8 años Interés compuesto: 90 = 800 ( + 0,0) t t log,, =,0 t = = 6,9 años log,0 Si se deposita a un interés compuesto se necesitan menos años para obtener el mismo beneficio. 7. Escribe tres fracciones que den lugar a números racionales con desarrollo decimal finito. Por ejemplo, =,; 7 =,7 y = 0,7 7. Escribe dos números irracionales cuya suma sea un número racional y dos números irracionales cuya suma sea otro número irracional. y son números irracionales y, su suma, + = es un número racional. 0,00000 y 0,00000 son irracionales y, su suma, 0, ,00000 = 0,00000 es irracional. 76. Encuentra un número racional y otro irracional comprendidos entre 7 6 y = 0,6 y 8 = 6 0, Un número racional comprendido entre 7 6 y 8 6 podría ser y uno irracional, 0, Indica todos los conjuntos numéricos a los que puedan pertenecer estos números.,77 ; 9 ; ; 7 ;, ; ;,0 Enteros: 9 ; ; Irracionales:, Racionales: 9 ; ; ;,77 ; 7 ;,0 Reales: Todos Números reales Unidad

13 78. En la siguiente cadena de contenidos, encuentra un número que pertenezca a cada conjunto, pero no a los anteriores. 79. Realiza las siguientes operaciones. 7 9 d) e) f) 9 : 7 9 = 7 9 = = d) + = + = = 8 0 = 8 0 = = e) 6 + = + = = + 7 = + 7 = = f) 9 : = 9 : = 8 = Encuentra todos los valores de x que verifican las siguientes igualdades. x = x + = e) x = x = d) x = 0 f) + x = Como x = = d(x, 0), se buscan los números que distan unidades de 0. x = 0 + = y x = 0 = No existe ningún número cuyo valor absoluto sea negativo. Como x + = x ( ) = = d(x, ), se buscan los números que distan unidades de. x = + = y x = = 7 d) Como x = 0 = d(x, ), se buscan los números que distan 0 unidades de. x = + 0 = y x = 0 = 8 e) Como x = = d(, x) = d(x, ), se buscan los números que distan unidades de. x = + = 6 y x = = f) Como, + x = x+ = x = = d x, se buscan los números que distan unidades de. x = + = y x = = 8. Redondea dejando dos cifras significativas y calcula el error absoluto y el error relativo cometido con la aproximación.,00 9 0,00 0,0 0, EA =,0 0, = 0,00 0 y E R = = 0,0 8,8%,0 0 0,00... = 0, 0, EA = 0,... 0, = 0,00... y E R = = 0,009 0,9% 9 0,... 0,06 08 =,96 07,9 EA =, ,9 = 0,06 08 y E R = = 0,00 7 0,7%, Unidad Números reales

14 8. Interpreta x = x + como una igualdad entre distancias y encuentra el único número x que la verifica. d(x, ) = x = x + = d(x, ) x = 0, 8. Representa en la recta real, y 0,. 8. Representa gráficamente los siguientes números reales y ordénalos de menor a mayor. π; ; ; ;,; 0,6 0 Representamos gráficamente los números: Por tanto,, < π < = 0, 6 < < 0 8. Qué intervalo equivale al entorno E[, 7]? E[, 7] = [, 0] 86. Representa estos entornos en la recta e indica los intervalos que determinan, su centro y su radio. E(, ) E[, ] E(, ) E(, ) = (, 6) Centro = y Radio = E[, ] = [, ] Centro = y Radio = E(, ) = (, ) Centro = y Radio = Números reales Unidad 7

15 87. Relaciona en tu cuaderno las diferentes expresiones de estos intervalos y semirrectas. [, ] x > (, + ) 0 < x < (, 6] x (0, ) < x 6 [, ] x (, + ) x > (, 6] < x 6 (0, ) 0 < x < 88. Representa en la recta real el intervalo [, ] y la semirrecta (, + ). Existe algún intervalo de puntos común a ambos? En caso afirmativo, hállalo. Sí existe intervalo común a ambos: (, ] 89. Marca en una recta numérica el conjunto de puntos cuya distancia al punto sea: Igual a Mayor que e) No menor que Menor que d) No mayor que f) Entre y d) e) f) 90. Actividad resuelta. 9. Encuentra aquellos números x tales que x <. Como x < d(x, ) <, se buscan los números cuya distancia al es menor que. Los números son los pertenecientes al intervalo (, 7). 9. Escribe el intervalo formado por los números x que verifican simultáneamente: x está en el entorno abierto de centro y radio. x Por la primera condición, x debe estar comprendido entre y 6. Por la segunda condición, x debe estar comprendido entre + = y =. Luego se trata del intervalo (, ]. 8 Unidad Números reales

16 9. Representa en la recta real 0 y Representa un segmento que mida Realiza estas operaciones con potencias. 9 9 : : 9 = 9 : (9 ) 8 : = : = : = (9 ) = 9 = ( ) = 8 = 96. Simplifica al máximo estas expresiones ( 8 ) = = = = = = = = Escribe en notación científica los siguientes números , d) 0, Cuál tiene un orden de magnitud superior?,8 0, , 0 d), 0 Tiene mayor orden de magnitud el número 8, 0. Números reales Unidad 9

17 98. Si a =, 0, b = 0, 0 7, c =,7 0, escribe a b, a c, a + b y a b en notación científica. a b = (, 0 ) (0, 0 7 ) = 0,8 0 =,8 0 a c = (, 0 ) (,7 0 ) =,8 a + b = (, 0 ) + (0, 0 7 ) = 0, =, 0 6 a b, 0 = = , A qué exponente hay que elevar para obtener ? = = = 0 Hay que elevar a Calcula el valor de k en cada caso. k = k = = 8 k = k = 7 k = ( ) k k = = 7 = 7 k = 0. Actividad resuelta. 0. Ordena de mayor a menor estos números., 0, 6,, = =, = = y 6 = 6 = > > = =, = = y 0 0 = = 0 76 > > Calcula los valores a, b, c y d en esta igualdad: 0 8 = 7 a b c d a b c d = = = a = b = c = d = ; ; ; 0. Expresa como un solo radical. : 6 8 d) : 00 = = = 7 = = = d) 6 : : 8 = 8 = = = : 00 = = = = 0. Tres de los siguientes seis números son iguales. Cuáles? A = + 00 B = C = D = 0 E = F = 0 A = + = C = = = 0 E = = 00 0 B = = = D = 0 = = F = 0 A, B y D son iguales, pues valen. 0 Unidad Números reales

18 06. Opera y simplifica d) = + = + 9 = = + = = 8+ 7 = + = 9 + = d) = + = Realiza las siguientes operaciones : 9 : d) = = = + = + 8 = : = 6 = 6 = 6 = 6 6 d) 6 8 : = : = 08. Opera y simplifica. ( ) 8 : ( ) = + 6 = + = 8 : = : = 09. Actividad resuelta. 0. Racionaliza las siguientes expresiones. 000 e) 8 = = = 8 9 = = = = d) = 0 = 0 = 0 = f) d) e) ( ) f) = = ( ) ( + ) = = = = = = + Números reales Unidad

19 . Racionaliza y simplifica x + y + x y x + y x y ( 6 + ) = = = + 6 x+ y + x y x+ x+ y x y x+ x y = = x+ y x y y y. Calcula = = = = = = = = Escribe como una expresión que no tenga raíces en el denominador. ( + )( + ) = = = = = = + +. Calcula los siguientes logaritmos. log log 79 e) log log d) log f) 6 8 log 000 log = log = log 79 = log 6 = 6 e) log = log 0 6 = 6 log = log = d) log = log = f) log = log0 = Calcula los siguientes logaritmos. log 8 log 7 log e) log d) log 00 f) log 00 0 log 8 = log = log = log = e) log = log = 7 log = log = d) log 00 = lo g0 = f) 0 0 log 00 = log = 0 6. Completa los huecos mentalmente usando la definición de logaritmo. log 8 = log = log = log 8 = log 8 = log = Unidad Números reales

20 7. Halla el valor de x en cada caso. logx 6 = log x = e) log x = 7 logx = 8 d) log = x f) log x = 6 x = 6 x = 7 = x x = = 7 e) x = x = = 6 = = d) x = x = f) x = x = x = 8 x x x 8. A qué número hay que elevar para que dé un millón? 6 x 6 6 log0 = 0 x = log 0 x = = 8,8 log 9. Si log 8 0,90, halla: log 800 log log 0,6 d) log 0 e) log f) log 8 log 800 = log 8 + log 00 =,90 d) log 0 = log 0 + log = + log =,60 log = log = log 8 = 0,0 e) log 0 = log 8 + log log = log 0 log 8 = 0,6989 log 0,6 = log 6 log 00 = log 8 = 0,98 f) log 8 = log8 = 0, Escribe como un único logaritmo. log 6 log + log log + log (log 8 log 9 log 8 log 7 log log 6 log + log = log 6 = log 6 log 8 log 7 log = log 8 = log 7 log + log (log 8 log 9) = log 9 8 = log. Ordena los siguientes logaritmos aplicando su definición y sus propiedades. log 0 = ; log log 0; log ; ln ; log e = ; ln e = ; log = ln e < log 0 < log < log a b c ay. Expresa log + log + log log como un solo logaritmo. b c d dx a b c a b c ay x log + log + log log = log b c d = log b c d dx ay y dx Números reales Unidad

21 . Utilizando las propiedades de los logaritmos y siendo log x 0,70 y log y,8, calcula: log(x y) log x y log (x y) = log x + log y = log x + log y = 0,70 +,8 =,8 x log y = log x log y = log x log y = 0,70,8 = 0,6 log( x y ) log x y = log x + log y = log x + log y = log x+ log y = 0,70 +,8 =, log A. Si log A = C, calcula log 8 A,, y log. A log A log A C log A C log A = = = = log 8 log 8 log = log A = log A = C A. Toma logaritmos en estas expresiones. xyz 00x y A = B = C = t t log A = log x + log y + log z log t = log x + log y + log z log t log B = log + log 00 + log x + log y log t = log + + log x + log y log t logc = log x + log y + log z log 0 logt = log x+ log y + logz logt x yz 0t 6. Expresa el segundo miembro de cada igualdad como un solo logaritmo y halla los valores de A y B. log A = log x + log y log z log B = log x + log y log z log A = log x + log y log z xy A = log B = log z x + log y log z y x B = 00 z 7. Demuestra las fórmulas de logaritmo de un cociente y logaritmo de una potencia. Cociente: x x logb M = x b = M y log N = y b = N entonces M b = = b y N b b M x y Y volviendo a usar la definición: logb = logbb = x y = logbm logbn N Potencia: x log M x b M b = = entonces r x y M = b = b r Y volviendo a usar la definición: logb r x r x M = r x = r log M b 8. Qué números positivos x verifican la siguiente igualdad? (log x) (log x ) = log log x log log log x logx = = = log Todos los números positivos distintos de verifican la igualdad. log log x log 9. Actividad resuelta. Unidad Números reales

22 0. Despeja x en estas dos expresiones. A = B( + C) x x log A = log B A log A A A log log log log log log B A B A = B + C + C = + C = x + C = x = = B B B log + C log( + C) x x x log B x log B log log = log log = log = = B A B x A B x = log A log A log A. Tomando log = 0,0 y log = 08, resuelve la ecuación x+ =. x+ x x x x log = = = = = x = x = log log log log log 0 log log log 0 log 0, x = = = = =,8 log log log 0,8. Actividad resuelta.. Qué relación ha de haber entre p y q para que se cumpla que log (p + q) = log p + log q? } log log log ( p+ q) = log p+ log q p p + q = p q p + q = pq p = pq q p = q p q = log ( p q) = log p+ log q p. Si log (xy ) = y log(x y) =, calcula log (xy). log ( xy ) ( xy ) ( xy ) log( x y ) log( xy x y ) log( xy ) log( x y ) log log + + = = = = = = =. Di si son ciertas o no estas afirmaciones. Entre dos números reales siempre hay otro. log a x nunca es negativo. log a x existe si x es negativo. d) En (, ) hay racionales, pero no enteros. e) x = x para ciertos valores de x. Verdadera Falsa e) Verdadera Falsa d) Verdadera 6. Cómo es el número +? Racional o irracional? + es un número irracional. 7. Ordena de menor a mayor los números 7 0, 00 y = = = ( ) ( ) < < < < < < 0 = = = Números reales Unidad

23 8. A, B y C son los vértices de un triángulo tales que AB =, BC = y AC = 6. Qué tipo de triángulo es? Como AB = 0, BC = y AC = 6, se verifica el teorema de Pitágoras y, por tanto, el triángulo es rectángulo. 9. Dos cuadrados de lado tienen un vértice común y el lado de uno de ellos está sobre la diagonal del otro, como se muestra en la figura. Cuál es el área sombreada? Por la simetría del dibujo deducimos que el triángulo pequeño de la derecha es rectángulo e isósceles. Así pues, el área de la zona sombreada es el área de medio cuadrado menos el área de un triángulo rectángulo isósceles de lado. Haciendo los cálculos obtenemos que Área = ( ) =. 0. Cuál es la última cifra de ? El cubo de los números que terminan en 0 acaba en 0, el cubo de los números que terminan en acaba en, el de los números que terminan en acaba en 8, el de los números que terminan en acaba en 7, el de los números que terminan en acaba en, el de los números que terminan en acaba en, el de los números que terminan en 6 acaba en 6, el de los números que terminan en 7 acaba en, el de los números que terminan en 8 acaba en y el de los números que terminan en 9 acaba en 9. Como del al 0 hay 0 números que acaban en 0, 0 en, 0 en, 0 en, 0 en, 0 en, 0 en 6, 0 en 7, 0 en 8 y 0 en 9, la última cifra de la suma será = Luego la última cifra de será un 0.. Completa la igualdad 0 = + +. Llamamos x a la cifra buscada. x = 0 = 6 7 = = = = = = = = = = x = Por tanto, 0 = Comprueba que a b = (a (a + ab + b ) y, utilizando esta expresión, racionaliza (a (a + ab + b ) = a + a b + ab ba ab b = a b = = = + +. b b. Si a, b y c son enteros positivos, qué relación ha de haber entre ellos para que a + y a c c sean el mismo número? b b b b a+ = a a+ = a a+ b = a b a = a b b a = b ( a ) a = b c c c c c c c c c a c 6 Unidad Números reales

24 . Si log b M = log c N = 9, cuál es el valor de log bc MN? ( bc ) log ( b 9log( b 9 log log log b M = 9 b = M MN 9 logbcmn 9 logc N 9 c N = = = = = = log bc log bc log bc log bc. En la diana de matemáticas, puntúas si clavas el dardo en la franja correspondiente al número del dardo. Estas son las tiradas de Ana y Quique. Quién ha obtenido más puntos? Ana: cero fallos. Quique: fallos 0 ; 6 π Gana Ana. 6. Un país invierte el 0,7 % del PIB en ayuda al desarrollo en vez del 0,7 % que recomienda la ONU para erradicar la pobreza. Si el PIB del país es de billones de euros al año, cuánto dinero deja de destinar a ayuda al desarrollo según las indicaciones de la ONU? (Opera en notación científica.) billones = Dinero invertido = 0 0, = = Dinero recomendado = 0 0, = = Dinero no destinado =, 0, 0 = 0,6 0 =, Cuando nació Sofía, sus padres depositaron euros a su nombre al 0 % de interés compuesto. Cuánto dinero tendrá Sofía cuando cumpla la mayoría de edad? C F = ( +0,) 8 = 00 Al alcanzar la mayoría de edad, Sofía tendrá Un profesor pide a la mitad de sus alumnos que operen 8 desarrollando por potencias, y a la otra mitad, por radicales. Qué resultado obtendrá cada mitad de la clase? = = = = = = Radicales: 8 = 8 = = = = Potencias: Se obtiene el mismo resultado, pues. 0 0 =. 9. Una cafetería incrementa cada año el precio de un café en un %. Si actualmente cuesta,0, podrías encontrar la fórmula que relaciona el precio del café con los años transcurridos? Cuánto costará el café dentro de años? Dentro de un año el precio será,0,0, dentro de dos años será,0,0, dentro de tres,0,0 Así, el precio del café dentro de x años, será,0,0 x. Aplicando dicha fórmula, dentro de años, el precio del café será,0,0 =,. 0. Cuánto tiempo hay que depositar un dinero al % de interés compuesto para triplicarlo? Sea x el dinero invertido al % anual a interés compuesto. x = x ( + 0,0) t, donde t son los años que hay que depositar el dinero. t t log Luego =,0 log = log,0 log = t log,0 t = = 8,0 8 años, aproximadamente. log,0 Números reales Unidad 7

25 . Las ondas sísmicas producidas por un terremoto son: longitudinales y de propagación rápida, P, y transversales y de menor velocidad, S. La escala de Richter mide la magnitud de un terremoto como: M = log A + log(8t),9 Donde A es la amplitud de las ondas S y t, el tiempo transcurrido, entre la aparición de las ondas P y las S. Copia y completa la tabla en tu cuaderno. t (s) A (mm) M 8 7 Calcula la relación entre las amplitudes de dos terremotos de magnitudes 6 y 9. (Supón el mismo valor para t.) t (s) A (mm) M 8,67,8 7, 7 Magnitud 9: log A = 9 log(8t) +,9 Magnitud 6: log A = 6 log(8t) +,9 A A Restando las expresiones anteriores: log A log A = log 0 A = A =. Dos capitales, uno doble del otro, se colocan a interés compuesto: el menor al 0 %, y el mayor, al 6 %. Al cabo de cuántos años se habrán igualado los capitales finales? Llamamos x al capital colocado al 0 % y x al capital colocado al 6 %. El capital colocado al 0 % se convertirá en C F = x(+ 0,0) t y, el colocado al 6 %, C F = x(+ 0,06) t. x(+ 0,0) t = x(+ 0,06) t, t =,06 t log, t = log (,06 t ) t log, = log + t log,06 t log, t log,06 = log t (log, log,06) = log 0,06t = 0,0 t = 8,8. Casi 9 años.. Si D = a + b + c con a y b enteros consecutivos y c = a b, D es: A. Siempre un entero par. B. Algunas veces un entero impar, otras no. C. Siempre un entero impar. D. Algunas veces un racional, otras no. Como a y b son enteros consecutivos, entonces b = a +. Luego D = a + (a + ) + a (a + ) = a + a + a + + a (a + a + ) = a + a + a + a + = (a + a + ). Como (a + a + ) > 0, entonces D = a + a +. D = a + a + = a(a + ) + y, como a(a + ) es siempre par, entonces a(a + ) + es entero impar. Por tanto, D es entero impar. La respuesta correcta es la C. 8 Unidad Números reales

26 . Si x verifica que x < y x >, entonces: A. x > o x < C. < x < B. < x < D. x > Si x > 0: Las condiciones x < y x > son equivalentes a < x y > x, respectivamente; es decir, < x y x >, que, al ser x > 0, se reducen a < x. Si x < 0: Las condiciones x < y x > son equivalentes a > x y < x, es decir, x < y x <, que, al ser x < 0, se reducen a x <. Así pues, los números x que verifican las desigualdades dadas son los que verifican x > y los que verifican x <. La respuesta correcta es la A.. A = 6 + y B = + verifican: A. A > C. A < B B. A = B D. A > B A = = + y B = + Como A = B y ambos son positivos, entonces A = B. La respuesta correcta es la B.. 6. Si log a + log b 6, el valor mínimo de a + b es: A. C. 8 B. 6 D. 6 log a + log b = log (a > 6, siendo a, b > 0. Por tanto, ab > 6 = 6. El valor mínimo de a + b se dará cuando ab = 6. Si dos números tienen producto constante, su suma será mínima cuando sean iguales, es decir, a + b = 6. La respuesta correcta es la D. Números reales Unidad 9

27 Encuentra el error 7. La profesora ha pedido resolver este problema por parejas: Si a y b son números reales positivos, simplifica la expresión E = a b ab a b ab a b ab a b ab Alicia y Pedro transforman la expresión teniendo en cuenta el cuadrado de un binomio. ( a+ + ( a a+ b a b a+ b a b b b E = = = = a+ b+ a b a a Pedro comprueba con a = y b = que el resultado es correcto: = = = En efecto, obtuvo el resultado esperado b a = Alicia comprueba el resultado con otros valores, a =, b = = = = b 7 realizado debería haber obtenido a =. Dónde está el error? Pero según esta simplificación que han La expresión no es cierta si b > a. En este caso ( a = b a y el desarrollo sería: a+ b b a a a E = = = a+ b+ b a b b 0 Unidad Números reales

28 PONTE A PRUEBA Como cuánto? Actividad resuelta Publicidad engañosa Un anuncio televisivo propone cuatro tipos de ofertas a los clientes de unos grandes almacenes.. Estudia cada una de las ofertas y di cuál es la mejor si quieres comprar,,, o 6 productos iguales. artículos artículos artículos artículos 6 artículos Descuento oferta x 0 %, % % 0 %, % Descuento oferta 0% % 6,66 % % 0 % % Descuento oferta 0% 0 %, % 0 % 6 % 0 % Descuento oferta 0% 0 % 0 %, % 8 % 0 %. La publicidad da a entender que la oferta descuento 0% es la más conveniente. Es cierto en todos los casos? Qué ventajas puede tener sobre las otras? No es cierto siempre. Por ejemplo, si se compran artículos iguales es la oferta menos conveniente. Esta oferta tiene la ventaja de que se hace un descuento del 0% únicamente comprando dos artículos. Aún así, incluso en este caso, hay otra oferta mejor (0%). El logaritmo del amoniaco Las siglas ph significan potencial de hidrógeno. Se trata de una escala que mide cómo de ácida o básica es una sustancia. Los ácidos fuertes, como el ácido sulfúrico, tienen altas concentraciones de iones de hidrógeno, y las soluciones alcalinas fuertes, como la sosa cáustica, tienen concentraciones bajas. La concentración de una sustancia se expresa como el número de moles por litro. Por ejemplo, el vinagre tiene 0,00 mol/l. Para evitar trabajar con números tan pequeños, en 909 el químico danés Sørensen construyó una escala logarítmica para medir las concentraciones: el ph. El ph es el opuesto del logaritmo de la concentración de moles de iones de hidrógeno. ph (vinagre) = log 0,00 = log(0 ) = Si el ph = 7, se dice que la sustancia es neutra. Si el ph < 7, es ácida. Si el ph > 7, es básica. Por ejemplo, el ph del amoniaco es, y el del vino,.. La concentración mínima es de 0 moles/litro. Cuál es el valor máximo que puede tomar el ph? El valor máximo que puede tomar el ph es log (0 ) =.. Considera el amoniaco, el vino y el vinagre. Cuáles de ellos son básicos y cuáles ácidos? Cuál es la concentración de moles por litro en cada uno de ellos? Cuántas veces es mayor la concentración de iones de hidrógeno en el amoniaco que en el vino? El amoniaco es básico y, el vino y el vinagre, ácidos. La concentración del amoniaco es 0 moles/litro, la del vino, 0, y la del vinagre, 0. La concentración del amoniaco es 0 : 0 = 0 8 veces mayor que la del vino. Números reales Unidad

29 . Cuántas veces es más ácida una sustancia cuyo ph es que una cuyo ph es? Como la acidez de la sustancia que tiene ph es 0 y de la que tiene ph es 0, es 00 veces más ácida.. Para el cuerpo humano son corrosivas las sustancias con un ph menor que,, y son cáusticas aquellas con un ph superior a,. Relaciona el ph con las sustancias e indica cuáles no son adecuadas para el cuerpo humano. Zumo de limón Café Leche Dentífrico Lejía ph = ph = 6, ph =, ph = 9,9 ph = ph limón =,; ph café = ; ph leche = 6,; ph dentífrico = 9,9; ph lejía = El amoniaco y la pasta de dientes no son sustancias adecuadas para el cuerpo humano. AUTOEVALUACIÓN. Representa en la recta real y. Son racionales o irracionales? = + es racional. es irracional.. Un número real x cumple x <. Describe los posibles valores de x gráficamente, con intervalos y mediante desigualdades. x < x (, ) < x <. Escribe en notación científica el resultado de: (0,6 0 ) (8, 0 9 ) + 7, 0 (0,6 0 ) (8, 0 9 ) + 7, 0 = (0,6 0 ) (7, ) + 7, 0 = 8, , 0 =, ,07 0 =, Realiza las operaciones y simplifica el resultado. : d) : = : = = = 8 6 = = = d) = = 6 Unidad Números reales

30 . Opera y simplifica. ( 8 0 ) ( ) ( + ) d) ( + 8) ( ) ( 8 0 ) ( ) = = 8 + = ( + ) = = 7 d) ( + 8) ( ) = = + 6. Calcula el valor de x en estas igualdades. x = ( ) x ( ) = 0,00 00 x = 0,0 d) 0, x = 6 x = ( ) x = x = 7, x = = x = d) x x x 0 0,00 00 = 0,0 0 0 = 0 x =, = = = x 0, 6 x x 7. Racionaliza estas expresiones = 8 = = = 8 8 = = = 6 7 = Sabiendo que log = 0,0., calcula: log log 0 log 6 d) log log = log 0 log = 0,699 log 6 = log =,0 log 0,0 log 0 = log + log 0 =,0 d) log = = = 0, log 0,699 7 x y z 9. Toma logaritmos en la expresión A =. t x y z x y z A = log A = log log A = log x + log y + logz logt t t 7 0. Elimina los logaritmos en la expresión log A = log x + log y 8log z log log log 8log log log log log log log x y x y A = x + y z A = x + y z A = A = z z 9 9 Números reales Unidad