(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO INTEGRAL FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL

Transcripción

1 (Apns n risión para orinar l aprndizaj) CÁLCULO INTEGRAL FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL Fnción logarimo naral S sa q n+ n d + C ; n n + S comnzará con la dfinición d na ingral indfinida pariclar d " " X. Rsla fácil porq s conina n 0, s sa dl orma fndamnal dl cálclo q la cación L dfin na fnción " L " al q Propidads d " L " Primro s pd osrar q: dl d d n 0,. L() d 0 dl Como > 0 para oda 0 d > d la gráfica d " L " s simpr posiia q " " crcindo a lo largo d s dominio. S noncs q " ", s concl q la pndin L sá L s incia por lo ano, si s icia, in fnción inrsa,

2 2 hcho q ris gran imporancia. Tamién s pd r L < si 0 q 0 L > si >. < < q 0 Por oro lado, para n alor fijo 0 L a sá dfinida para oda > 0. Y si s iliza la rgla d la cadna para driar sa fnción, s ndrá q: a >, la fnción D L( a) D( a) ; D L( a) a; D L( a) a a Pro sgún lo iso con anrioridad D L por lo q L( a) L( ) inn la misma driada noncs s sig q is na consan " C " al q: L( a) L + C Como sa cación s rdadra para oda > 0, lo s para, por lo q: () + ; () 0 + La L C L La C La La L q amién pd scriirs como: L L + L para odo alor posiio d " " ". Ahora, si s ssi " " por anriormn onida, s oin: " " n la cación L L L L L L () + ; () 0

3 3 Enoncs s pd scriir q: L L ; L L L + por lo q finalmn s llga a: L L L para odo alor posiio d " " " " Si s iliza la rgla d la cadna, s pd onr, para calqir alor racional d " r ", lo sigin: r r r r r r D L D D L r r r D L r D L D r L Enoncs is na consan " " C al q: r L rl + C ; L rl + C C 0 finalmn s in q: r rl L Si s comparan las propidads d " L " con las propidads d na fnción sada n álgra lmnal q s l logarimo d as posiia ariraria, s q:

4 () 0 ; log 0 + ; log log + log L L L L L L ; log log L L L ; log log log r r L rl ; log rlog Como s osra, con cpción d la noación, las dos colmnas son idénicas. s por llo q a la fnción " L " s dio por llamarla fnción logarímica. La fnción log s dfin como: n númro " n " al q dond a " " n s l conoc como la as. Y sa poncia sá dfinida, sin margo, solamn para alors racionals d " n "; s gráfica noncs sá llna d agjros no s difrncial ingral. Como fnción in noncs m poca ilidad n Cálclo. La fnción q s ha nido llamando " L ", no solamn in las mismas propidads q l logarimo lmnal sino q admás s difrncial ingral. Por sa oras razons s la naral fnción logarímica q s sa n l Cálclo s a la q s l llama logarimo naral. Para difrnciarlas s acosmra prsarlas como por lo ano s in q ln log d ln 4

5 5 Considérs ahora l alar a sa fnción ln para calqir alor arirario > 0. Si s ssi por + n la prsión anrior, s in: > ( + ) ln + d Si 0, sa ingral pd sr inrprada como l ára somrada d la figra sigin: f() Si s dsliza oda la gráfica na nidad hacia la izqirda, la gráfica d s conir n la gráfica d + aparc como: () f A () f + () f A + A A + 0 d la na ára d +

6 6 s pd dcir noncs q ( + ) 0 ln d + La driada d sa fnción logarimo naral ln s: D ( ln) q s posiia a lo largo dl dominio d la fnción pro s aproima a cro al incrmnar l alor d " ". Si s grafica sa na fnción, omando n considración lo q s ha prsado, s in q: ln f (,) (, 0 ) Como s osra n la figra, la fnción amna cada z más lnamn conform s incrmna la " ". Eso implica q la cra s cóncaa hacia aajo, lo q s apoa n l hcho d q la sgnda driada s simpr ngaia: D 2 ( ln) 2

7 >, noncs D( ln) Si 0 Si 0 <, noncs la fnción ln no sá dfinida, pro ln( ) is, a q s pd r q: D ln ( ) D( ) ; D ln( ) ( ); D ln( ) 7 Como la driada s para cada caso, s pdn cominar sos dos rslados dnro d la simpl fórmla: D ( ln ) Fnción ponncial Como la fnción ln s icia, admi fnción inrsa por l momno s l llamará "p". Lgo, s sig q: p ln p sí sólo si ln Por lo q s raó n la fnción ln lo q s sa d la fnción s inrsa, s posil afirmar q: ( 0, ) D R R D ln p ln p amién s posil scriir q: p ln > 0 ln p D la sgnda prsión s ddcn las sigins propidads d sa fnción p :

8 Para calqir : 8 por lo ano ln ( p)( p) ln ( p)( p) ln p( ) ln p p ln p + ln p + + D manra similar: por lo ano ( p)( p) p( + ) p ln ln p ln p p p ln p p ln ln p( ) p p p p ( ) Ahora, para calqir númro ral " " racional " ": ln p ln p ( p) ln ln p ln p

9 por lo ano ( p) p 9 Ahora s rá l porqé dl nomr d ponncial. Para calqir racional " ", la canidad sá dfinida por las rglas dl álgra lmnal, ln ln ; ln ; ln ln p por lo ano p para odo númro racional " ". Las poncias irracionals no sán dfinidas n l álgra lmnal. Enoncs no sá dfinida para alors irracionals d " " noncs s sá n lirad d insrmnar la sigin dfinición: p Las propidads anriormn isas, n noación ponncial, sán dadas por: ln ln > 0 ln + ( )

10 0 Para driar sa na fnción ponncial, s hac lo sigin: ln si s dria n forma implícia, ' ; ' D Así la fnción ponncial in la propidad m noal d sr igal a s driada. drial, noncs la driada anrior s pd gnralizar, mdian la rgla d la cadna, como: Si " " s na fnción d " " la ingral srá 2 Como D D d + C D D > 0, s pd dcir q la fnción ponncial s simpr crcin s gráfica cóncaa hacia arria. La gráfica d sa fnción s: (, ) ( 0, ) Esa gráfica pd onrs d la d ln mdian na rflión n la rca. Rsla connin r n na sola gráfica a amas fncions:

11 ln f 0 0 f ( 0, ) (, ) (,) (, 0 ) ln 0 0 Ahora s ralizarán jrcicios con amas fncions para onr ss fncions inrsas, así como los dominios, rcorridos gráficas d amas. Ejmplo. Dada la sigin fnción, drminar s fnción inrsa dar dominio, rcorrido gráfica d f f. ( ) ( ) 2 3 i) f ln 2 ; ii) f ln 3 iii) f ; i) f

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14 podrían prsnars con Las fncions ln difrns ass, por lo q s prsarían como log f. a dond S rá como s pdn driar ingrar. Primro s rán dos formas qialns para onr l alor d la fnción logarimo as " " n érminos dl alor d la fnción logarimo naral. ln ln w w w log wlog 4 log lnlog log log ln ln ln log ln log ln ln Driada d la fnción logarímica con as " ": log ; f lnlog d d d log d

15 log ; f d d d d ln ln ln 5 Driada d la fnción ponncial con as " ": d d ; f ln ln d ln d d d d d ln ln d d d d Driada d na fnción ponncial con na fnción como ponn: f ; ; ln ln g d d d d d + ln d d d d d + ln d d d d d + ln d d d

16 6 Fórmlas d ingración rspcias: d ln + C + d C d + C ln Noa. La única ingral q no s rsolrá hasa sdiar los méodos d ingración s la d la fnción logarimo. Ejmplo: Calclar las sigins driadas ingrals: cos i) ln ; ii) f logsc + cos 2 ( ) cos 2 cos ) ; ) 0 ; ) iii i f sn 6 i) f csc d ; ii) d ; iii) 5 d

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