REGLA DE L'HÔPITAL. En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e
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- Pedro Vega Cano
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1 REGLA DE L'HÔPITAL En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e y se aprenden los artificios necesarios para resolverlas. Generalmente, surgen en límites de funciones racionales, ya sean en un punto finito o en el infinito. Pero, cómo resolver la indeterminación lim sen x x?. En estos casos suele aplicarse la regla de L'Hôpital, que establece: Sean f y g dos funciones derivables tales que existe el lim f (x). xda g (x) Si el lim f(x) xda g(x) = ó, entonces lim f(x) xda g(x) = lim f (x) xda g (x) OBSERVACIÓN: Se derivan, simultáneamente, el numerador y denominador de la expresión. Un error muy frecuente es aplicar la derivada de un cociente. Ejemplo 38.3 Calcular los siguientes límites: a) lim sen x b) c) x lim sen 3x sen 4x lim tg x x APLICACIONES DE LA DERIVADA
2 DPTO. DE MATEMÁTICAS No olvidemos que, ante todo, debe comprobarse si se trata o no de una indeterminación. a) lim sen x x = = lim cos x b) lim = = sen 3x sen 4x = = lim 3cos3x 4cos4x = 4 3 $ $ = 3 4 c) lim tg x x = = lim + tg2 x = = OBSERVACIÓN : Puede ocurrir que al aplicar la regla de L'Hôpital nos encontremos nuevamente con una indeterminación. En este caso, volveremos a aplicarla. Ejemplo 39.3 Calcular por dos métodos el siguiente límite: lim x3 + 3x 2 + 3x + xd x 2 + 2x + Se trata de una indeterminación del tipo. Método.- Aplicando la regla de Ruffini lim x3 + 3x 2 + 3x + xd x 2 + 2x + = = = lim ( x + ) 3 xd (x + ) 2 = lim (x + ) = xd APLICACIONES DE LA DERIVADA 2
3 Método 2.- Aplicando la regla de L'Hôpital. lim x3 + 3x 2 + 3x + xd x 2 + 2x + = = lim 3x2 + 6x + 3 xd 2x + 2 = = lim 6x + 6 xd 2 = OBSERVACIÓN : La fórmula de L'Hôpital es válida tanto si a es finito como infinito. Ejemplo 4.3 Calcular por dos métodos el límite siguiente: lim x3 + 6x 2 2x 3 7x + 6 Método.- Recordemos que para el cálculo de límites en el infinito de funciones racionales, sólo había que tener en cuenta los términos de mayor grado. lim x3 + 6x 2 2x 3 7x + 6 = lim x3 2x 3 = 2 Método 2.- Con la regla de L'Hôpital. lim x3 + 6x 2 2x 3 7x + 6 = = lim 3x2 + 2x 6x 2 7 = = = lim 6x + 2 2x = = lim 6 2 = 2 6 = 2 OBSERVACIÓN : En algunos casos, tras aplicar la regla de L'Hôpital basta con sustituir x por el valor al que tiende para obtener el resultado del límite. Ejemplo 4.3 arc tg 2x Calcular lim. arc tg 3x APLICACIONES DE LA DERIVADA 3
4 lim arc tg 2x arc tg 3x = = lim + 4x 2 $ 2 + 9x 2 $ 3 = 2 3 OBSERVACIÓN : Otras veces interesa simplificar todo lo posible antes de sustituir. Ejemplo 42.3 Calcular lim ln (x 2 ). xd ln(x ) Y y = ln x X La función logarítmica neperiana no está definida para x =, pues su dominio es (, + ). Sin embargo, observando la gráfica vemos que Por lo tanto: lim ln x = + lim ln (x 2 ) xd ln(x ) = = lim xd 2x x 2 x = = lim 2x (x ) xd x 2 = lim xd 2x x + = Ejemplo 43.3 Calcular los siguientes límites: a) lim 5x x b) lim 3x 2 x x c) lim 3x 2 x APLICACIONES DE LA DERIVADA 4
5 a) lim 5x x = = lim 5x $ ln 5 = ln 5 b) lim 3x 2 x x = = lim 3x $ ln3 2 x $ ln2 = ln3 ln2 = ln 3 2 c) lim 3x 2 x = = lim 3x $ ln 3 2 x $ ln 2 = ln ln 3 2 OBSERVACIÓN : Si se aplica reiteradamente la regla de L'Hôpital sin asegurarse de que se trata de una indeterminación, se cometerá un grave error. Ejemplo 44.3 Hay un error en el siguiente cálculo. Encuéntralo y corrígelo. lim x2 5x + 6 xd2 x 2 3x + 2 = lim 2x 5 xd2 2x 3 = lim 2 xd2 2 = El error se comete en el segundo paso, pues no hay indeterminación. lim x2 5x + 6 xd2 x 2 3x + 2 = = lim 2x 5 xd2 2x 3 = = Existen un total de siete indeterminaciones:, [ ], [ ], [ $ ], [ ], [ ], [ ] APLICACIONES DE LA DERIVADA 5
6 La regla de L'Hôpital resuelve directamente las dos primeras. Mediante transformaciones algebraicas pueden reducirse las demás a los tipos o y, a continuación, aplicar la regla. INDETERMINACIÓN [ ] : Suele resolverse convirtiendo la diferencia en fracción. Ejemplo 45.3 Calcular: a) lim (sec x tg x) b) xd 2 lim xd x e x a) lim (sec x tg x) = [ ] = lim xd 2 xd cos x sen cos x = lim 2 xd cos sen x x = 2 = = lim xd sen cos x = = 2 b) lim xd x e x = [ ] = lim xd e x x (x )(e x ) = = = lim xd e x e x + (x )e = lim ex x xd xe x = = lim xd e x e x + xe x = 2 INDETERMINACIÓN [ $ ] : Un producto se puede transformar en cociente de dos formas: f(x)g(x) = f(x) g(x) = g (x) f(x) Utilizaremos la que sea más cómoda para derivar. APLICACIONES DE LA DERIVADA 6
7 Ejemplo 46.3 Calcular: a) lim x $ cot 2x b) lim (x )ln(x ) xd a) lim x $ cot 2x = [ $ ] = lim x cot 2x = lim x tg 2x = = = lim ( + tg 2 2x) $ 2 = 2 b) lim (x ) ln(x ) = [ $ ] = lim ln (x ) xd xd x = = = lim xd x = lim ( x ) 2 xd (x ) = lim ( x) = xd (x ) 2 INDETERMINACIÓN [ ] : Supongamos que vamos a calcular el lim f(x) g(x) y resulta que lim f(x) = xda xda = lim xda g(x) =. Llamamos L al límite buscado, es decir L = lim xda f(x) g(x) A continuación sacamos logaritmo y, recordando que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base, la indeterminación se convierte en [ $ ]. En efecto: ln L = lim xda ln f(x) g(x) = lim xda g(x) ln f(x) = [ $ ] APLICACIONES DE LA DERIVADA 7
8 Ejemplo 47.3 Calcular: a) lim x x b) lim x ln(e x ) Una vez comprobado que se trata de una indeterminación del tipo [ ], se procede así: a) Sea L = lim x x. Sacando logaritmos tendremos: ln L = lim ln x x = lim x $ ln x = [ $ ( )] = lim ln x = = x = lim x x 2 = lim x2 x = lim ( x) = Por último, aplicando la definición de logaritmo: ln L = e L = e = e lim x x = b) ln L = lim ln x ln(e x ) = lim ln(e x ) $ ln x = lim ln x ln(e x ) = = lim x e x $ex = lim ex xe x = = lim Al ser ln L =, entonces L = e = e. ex e x + xe x = INDETERMINACIÓN [ ] : Se resuelve con el mismo procedimiento que la indeterminación [ ]. APLICACIONES DE LA DERIVADA 8
9 Ejemplo 48.3 Calcular: a) lim tg x x b) lim x x 2 a) lim tg x x = [ ]. Sea L el valor de dicho límite, entonces ln L = lim ln x tg x = lim tg x $ ln x = [ $ ] = lim ln x tg x = = lim ln x cot x = = lim x $ x 2 sen 2 x = lim x sen 2 x = lim sen2 x x = = = lim 2sen x cos x = Aplicando la definición de logaritmo: ln L = e L = e = e lim x tg x = b) lim x x 2 lim x 2 x = [ ]. Sea L el valor del límite buscado, entonces: = ln L = lim ln x 2 x = lim 2 x $ ln x = lim 2lnx x = = lim 2 $ x = Por lo tanto, L = e =. INDETERMINACIÓN [ ] : Las tres indeterminaciones de tipo potencial se resuelven con el mismo procedimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA 9
10 Ejemplo 49.3 Calcular: 2x+3 a) lim + x b) c) x lim x + x lim ( + ax) b x Se comprueba que corresponden a indeterminaciones del tipo [ ]. a) ln L = lim ln + x x = lim x $ ln + x = [ $ ] = = lim ln + x = x = lim Por lo tanto, L = e. + x x 2 $ x 2 = lim + x = b) ln L = lim ln x x + lim ln x x + 2x + 3 = 2x+3 = lim (2x + 3) $ ln x x + = [ $ ] = = = lim = lim 4x2 + 2x + 9. x 2 = 4 e L = e 4 x x + $ 2 (x ) 2 = lim 2 (2x + 3) 2 2 2(x 2 ) = (2x + 3) 2 c) ln L = lim ln( + ax) b x = lim b = x $ ln ( + ax) = lim b ln ( + ax) x = lim b $ + ax $ a = = ba En definitiva, ln L = ba y, por lo tanto, el límite buscado es L = e ba APLICACIONES DE LA DERIVADA
11 Ejemplo 5.3 Calcular el valor de k para que el lim x + k x 3x = e 6 Se trata de una indeterminación del tipo [ ]. Sea L el valor del límite. ln L = lim ln x + x k 3x = lim 3x $ ln x + x k x = lim x + k $ k x 2. 3x = lim 3kx2 x 2 + kx = 3k 2 = [ $ ] = lim ln x + x k 3x = = Por lo tanto, ln L = 3k y, en consecuencia, L = e 3k. Como el resultado del límite debe ser e 6, entonces e 3k = e 6 g 3k = 6 g k = 2 **************************************** APLICACIONES DE LA DERIVADA
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