CAPÍTULO 2 RESPUESTA EN FRECUENCIA

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1 33 CAPÍTULO RESPUESTA EN FRECUENCIA.. GENERALIDADES. Introducción. Para el circuito de la figura., e encontrarán la funcione circuitale de aditancia de entrada y de ganancia de voltaje, la cuale e definen coo: I () Vo() Yin() G () Vi() Vi() Vi() I() Vo() Figura. Cualquiera que ea la función circuital, iere e oible exrearla coo el cociente indicado de do olinoio racionale entero, aí: F () b b b... b a a a... a n n Cuando la excitación e de tio enoidal, la frecuencia coleja: etá dada or: jω, iendo: ω la frecuencia de la excitación. Al reelazar: jω, la función circuital e de variable coleja y e odrá exrear ediante u arte real y u arte iaginaria, aí: F( jω ) R( ω ) jx ( ω ) La función e uede exrear en u fora olar, e decir, ediante u agnitud y u fae, de la iguiente anera: F( j ) F( j ) e j Θ( ω ) ω ω F j R X atan X ( ω ) ( ω) ( ω) ( ω) Θ ( ω) R( ω )

2 Magnitud de una función circuital en decibelio. 34 La agnitud en decibelio de una función circuital e define coo: Fdb( ω ) log F( jω ) La unidad de decibelio e uada uy a enudo en ingeniería. Con bae en lo anterior, teneo. Fdb F( ω ) 5 La iguiente tabla ilutra lo decibelio aociado a cierta cantidade. Cantidad decibelio DIAGRAMAS DE BODE DE MAGNITUD Y FASE. Introducción. El diagraa de Bode de agnitud de una función circuital e una gráfica de la agnitud en decibelio veru el logarito de la frecuencia: log( ω ). El diagraa de Bode de fae de una función circuital e una gráfica de la fae veru el logarito de la frecuencia. Toda función circuital tiene una frecuencia caracterítica:ω, la cual e toa coo referencia ara dibujar lo diagraa de Bode. Para dibujar lo diagraa de Bode de agnitud y fae e neceario hacer una artición del eje de frecuencia en década. Una década e el intervalo de frecuencia corendido entre do frecuencia: ω y ω de tal anera que: ω ω La figura.. uetra cuatro década alrededor de la frecuencia: ω.

3 35. ω. ω ω ω ω Figura.. Para ubicar una frecuencia interedia: ω x en la década corendida entre una frecuencia: ω y la frecuencia:ω, e rocede de la iguiente anera: x Se calcula la cantidad: d log ω y e ide la cantidad: d a artir de la ω frecuencia:ω. Por ejelo, la frecuencia: etá ubicada en la década:, a artir de la frecuencia:, e ide la cantidad: d log( 384. ), reultando: d 584. Diagraa de Bode de agnitud y fae de una contante. Dada la función circuital: F( jω ) K, la odeo exrear en la fora: Ke F( jω ) Ke j jπ K> K< La agnitud en decibelio e: Fdb( ω ) logk. El diagraa de Bode de agnitud conite de una recta horizontal que uede etar or encia del eje de frecuencia, obre el eje de frecuencia o or debajo del io, deendiendo de: K. Si K <, la recta etá or debajo. Si K >, la recta etá or encia. En cuanto a la fae, el diagraa de Bode correondiente e una recta horizontal que e igual a cero i K > y e igual aπ i K < Diagraa de Bode de agnitud y fae de un derivador. Un circuito derivador reenta una función de tranferencia de la fora: F( ) / ω. En adelante e hará el iguiente cabio de variable: S / ω, con lo cual, obteneo el derivador noralizado: FS ( ) Si haceo la utitución: S jω, e obtiene: F( jω) jω Ωe j La agnitud en decibelio de la función etá dada or: Fdb( Ω) log( Ω) π. El diagraa de Bode de agnitud e una recta que aa or la frecuencia caracterítica y tiene una endiente de decibelio or década. La figura.3. ilutra el diagraa de Bode de agnitud ara un derivador. En cuanto a la fae, el diagraa de Bode erá la recta horizontal: Θ( ω ) π

4 Diagraa de Bode de agnitud y fae de un circuito integrador. Un circuito integrador e caracteriza or la función de tranferencia: 36 F () ω FS ( ) S Puede otrare que la agnitud de la función en decibelio etá dada or: ω Fdb( ω ) log ω Claraente e oberva que el diagraa correondiente e una recta que aa or ω y tiene una endiente de eno veinte decibelio or década. 4 Fdb( ω ) 4. ω. ω ω ω ω Figura.3 E ertinente anotar que el integrador e el invero ultilicativo del derivador y, en conecuencia, el diagraa de Bode del integrador e el invero aditivo del diagraa de Bode del derivador. En cuanto a la fae, el diagraa de Bode correondiente e la recta horizontal: π Θ( ω ) La figura. 4. uetra el diagraa de Bode de agnitud ara el integrador. Diagraa de Bode de agnitud de una función lineal. Una función circuital lineal reenta la fora: F () FS ( ) S. Al efectuar ω la utitución: S jω, e obtiene: F( jω) jω. La agnitud en decibelio etá dada or: Fdb( Ω) log[ Ω ]

5 37 Para rereentar el diagraa de Bode correondiente e neceario dibujar do aíntota y el unto de la gráfica correondiente a la frecuencia caracterítica, el cual denoinareo coo la corrección. 4 Fdb( ω ) 4. ω. ω ω ω ω Figura.4 La aíntota del diagraa de Bode de agnitud on la recta que e obtienen ara frecuencia or debajo y or encia de la frecuencia caracterítica, aí:. Para frecuencia enore que: ω, obteneo: Fdb( Ω < ). Para frecuencia ayore que: ω, obteneo: Fdb( Ω > ) log( Ω) 3. Para la frecuencia ω obteneo: Fdb( Ω ) 3 La figura.5. ilutra el diagraa de Bode aintótico de agnitud ara la función lineal. La fae de la función lineal viene dada or: Θ( Ω) atan ( Ω). Para dibujar el diagraa de Bode de fae e neceario trazar tre aíntota, la cuale e deducen al analizar la exreión ateática, aí:. En el intervalo: < ω <. ω, la fae e rácticaente cero y en conecuencia obteneo la aíntota: ΘΩ ( ).. En el intervalo:. ω < ω < ω, la fae e rácticaente lineal en ecala logarítica, aí: π π π ΘΩ ( ) log( Ω). Se uede notar que: Θ(. ω ) y Θ( ω ) En el intervalo: ω > ω, la fae e rácticaente de noventa grado, eto e, la aíntota e la recta horizontal: Θ ( Ω ) π / La figura.6 ilutra el diagraa aintótico de fae de la función. Diagraa de Bode de agnitud y fae ara el invero ultilicativo de una función lineal. FS ( ) S. En ete cao la función de tranferencia e de la fora: ( )

6 38 4 Fdb( ω ) 4.ω. ω ω ω ω Figura.5 π Θ( ω ) π 4 El etudiante uede verificar que:. ω. ω ω ω ω Figura.6. Para frecuencia enore que: ω, obteneo: Fdb( ω < ω ). Para frecuencia ayore que: ω, obteneo: Fdb( ω > ω ) log( Ω ) 3. Para la frecuencia: ω, obteneo: Fdb( ω ω ) 3 Oberve que la figura.7. correondiente e el invero aditivo del diagraa de Bode de agnitud de la función lineal. La figura.8 uetra el correondiente diagraa de Bode aintótico de fae.

7 4 39 Fdb( ω ) 4. ω. ω ω ω ω Figura.7 π Θ( ω ) π 4. ω. ω ω ω ω Figura.8 Diagraa de Bode de agnitud y fae ara una función cuadrática. Una función cuadrática reenta la fora: FS ( ) zs S La cantidad: z e el coeficiente de aortiguaiento y e reonable de la corrección del diagraa de Bode. Al efectuar la utitución: S jω, e encuentra que la función circuital e uede exrear coo: ( Ω ) F( jω ) Ω j z Conecuenteente, la agnitud y la fae vienen dada or: ( ) ( z ) Fdb( Ω) log Ω Ω zω ΘΩ ( ) atan Ω Al igual que en el cao lineal, el diagraa de Bode de agnitud reenta do aíntota y una corrección a la frecuencia caracterítica, aí:

8 . Para frecuencia enore que: ω, obteneo: Fdb( ω < ω ) Fdb( ω > ω ) 4 log Ω. Para frecuencia ayore que: ω, obteneo: ( ) 3. Para la frecuencia: ω, obteneo: Fdb( ω ω ) log( z) 4 La corrección etará or encia del eje de frecuencia i e verifica que: z > La corrección etará or debajo del eje de frecuencia, i e verifica que: z < La figura.9 ilutra el diagraa de Bode aintótico de agnitud correondiente a la función cuadrática Para hacer la gráfica corregida a la frecuencia: ω, e conveniente uar un aquete graficador. La figura. ilutra el diagraa de Bode ara diferente valore del coeficiente de aortiguaiento, uando el aquete MATHCAD. 8 4 Fdb( ω ) 4 8. ω. ω ω ω ω Figura.9 En cuanto al diagraa de Bode de fae, e rocede de anera iilar a la función lineal. Si haceo el cabio de variable: Ω ω zω, teneo: ΘΩ ( ) atan ω Ω Priero calculao la tre aíntota del diagraa, aí:. En el intervalo: < ω <. ω, la aíntota e: Θ( Ω). En el intervalo: ω > ω, la aíntota e: Θ( Ω) π π π 3. En el intervalo:. ω < ω < ω, la aíntota e: ΘΩ ( ) log( Ω) En la figura.. e ilutra el diagraa aintótico de fae ara la función cuadrática. Si e oberva la exreión ara la fae e encuentra una dicontinuidad en: Ω, in ebargo, en ecala logarítica no hay tal dicontinuidad egún e derende del iguiente análii. Suongao que el coeficiente de aortiguaiento e ayor que la unidad, en tal cao, la función etá dada or: F () z ω ω

9 4 Figura. π Θ( ω ) π. ω. ω ω ω ω Figura. Si haceo el cabio de variable: S e tiene: FS ( ) zs S ω Si: z, la función e uede exrear coo el roducto de do funcione lineale, aí: S FS ( ) ( as)( ). donde: a z. a a La fae de la función erá la ua de la fae individuale, aí: Ω Θ( Ω) atan ( aω) atan a Se hizo la utitución: S jω. El valor de a viene dado or: a z z, en conecuencia, ara: z, la exreión ateática ara la fae e: ( ) ( ) ΘΩ ( ) atan z z Ω atan z z Ω. Evidenteente la fae e una función continua ara todo lo valore de la variable..

10 4 tan( α ) tan( β) Teniendo en cuenta la identidad trigonoétrica: tan( α β), e tan( α) tan( β) uede ecribir: Ω Ω a Ω ΘΩ ( ) atan a z atan Ω Ω Se uede concluir que la exreión de arriba e continua en: Ω, al eno ara: z. Vereo que i z <, la función deberá er continua. Suongao ahora que el coeficiente de aortiguaiento e enor que la unidad: z <. En ete cao odeo exrear la función circuital en la fora: F ( ) zs S zs zs ( z ) S ( zs) ( z ) S En fora factorizada, queda: Haciendo el cabio de variable: S ( zs j z )( ) S zs j z S jω, reulta: ( )( ) F( jω) z Ω jzω z Ω jzω La fae correondiente viene dada or: zω zω ΘΩ ( ) atan atan z Ω z A artir de la exreión anterior e llega al io reultado que e obtuvo ara: z >. Para evitarno un doble trabajo en la gráfica de la fae, uareo la iguiente exreión que e válida ara cualquier valor de: z. zω atan Ω Ω Θ( Ω) zω π atan Ω > Ω La figura. uetra el diagraa corregido de fae ara diferente valore del coeficiente de aortiguaiento, uando el io aquete. Ω

11 43 Figura. Diagraa de Bode de agnitud y fae ara cualquier función circuital. De acuerdo con lo etudiado reviaente, una función circuital e uede exrear coo el cociente indicado de do olinoio racionale entero y cada olinoio e uede exrear ediante factore lineale y cuadrático. Para dibujar el diagraa de Bode de agnitud ara una función cualquiera e neceario exrearla coo roducto de funcione lineale y cuadrática de anera tal que el diagraa definitivo e la ua algebraica de lo diagraa individuale. Para dibujar el diagraa de Bode de fae e rocede ediante la ua algebraica de lo diagraa individuale. Por ejelo, ara la función circuital F() dada a continuación, el etudiante uede verificar que e uede exrear en la fora factorizada indicada a continuación de la ia. 4 F () F () 4 El diagraa de Bode aintótico de agnitud e obtiene coo la ua algebraica de lo diagraa de Bode de cada una de la coonente de la función, aí:. El diagraa de Bode de agnitud del factor contante e la recta horizontal: log( ). El diagraa de Bode aintótico de agnitud del factor: F() / 4etá dado or: ω < 4 Fdb ( ω ) log( ω / 4) ω > 4 3. El diagraa de Bode aintótico de agnitud del denoinador etá dado or: ω < / Fdb( ω ) 4 log( ω) ω > /

12 44 La figura.3 ilutra lo diagraa de Bode aintótico de agnitud en lo tre cao y el reultado de uarlo algebraicaente. Oberve la oición relativa de la frecuencia caracterítica: ω / y ω 4. 4 Fdb( ω ) 4 / / 4 / / 4 / /4 Figura.3 El diagraa de Bode corregido de agnitud e rereenta uando el MATHCAD y e uetra en la figura 4. La figura ilutra tabién lo diagraa individuale. ω ω Fdb( ω ) log( ) log log ω 4 En cuanto a la fae, teneo: Θ ω) Θ ( ω) Θ ( ) ( ω ω Θ( ω) atan 4 zω / atan ω / Θ ( ω) zω / π atan ω / ω ω > z / Figura.4

13 45 Figura.5 Uando el aquete: MATHCAD, rereentao el diagraa de Bode de fae de la función la cual e ilutra en la figura.5. Lo diagraa de BODE de agnitud y fae de una función circuital e ueden obtener con el aquete: MATLAB, uando la iguiente intruccione: nu [,4] den [,,] boden( nu, den) La figura.6 ilutra lo diagraa de BODE de agnitud y fae ara nuetro ejelo. El etudiante uede verificar que lo reultado on lo io que e obtienen con MATHCAD. Figura.6

14 EJERCICIOS Un circuito tiene la función de tranferencia: G ( ) a) Dibuje el diagraa de Bode de agnitud. b) Dibuje el diagraa de Bode de fae.. Conidere la función de tranferencia: T ( ) 3 Dibuje lo diagraa de Bode de agnitud y fae, en lo iguiente cao:,,,3, 4 3. Dibuje lo diagraa de Bode de agnitud y fae ara la iguiente función circuital: 4. Para el circuito de la figura.7. (.69)(.54.5) G ( ).5( 5.5) R R V C α V C V Figura.7 a. Deterine la función de tranferencia. b. Ecoja valore ara lo eleento y dibuje lo diagraa de Bode de agnitud y fae ara tre valore diferente de:α 5. Para el circuito de la figura anterior e coloca una fuente ideal de voltaje a la entrada y un reitor R a la alida. Reita el rocediiento del ejercicio anterior. 6. La función de atenuación de un circuito etá dada or: 5( 6. ) A () (. 4)

15 a. Dibuje el diagraa de Bode de agnitud. b. Deterine la agnitud de la alida cuando la excitación e: i) en( 5. t ) ii) en( 5t ) Para el circuito de la figura.8, toe lo iguiente dato: R, L y C. Vi a. Deterine la función de atenuación: A () Vo b. Dibuje el diagraa de Bode de la agnitud. c. Dibuje el diagraa de Bode de fae. 8. Para el circuito de la figura.8, reita el roblea anterior i la bobina etán acolada y el factor de acole e un edio. Toe lo unto donde deee. 9. En el roblea 7, intercabie el reitor de entrada y el caacitor y reita el rocediiento.. En el roblea 8, intercabie el reitor de entrada y el caacitor y reita el rocediiento. 4 R L V i () C L R () V o Figura.8.3. ANÁLISIS FASORIAL. La inuoide. La inuoide e una cobinación lineal de la funcione eno y coeno, aí: f C co( ω C en( ω ) ( t En la exreión anterior, ω e la frecuencia angular y e ide en radiane/egundo. Una fora alternativa de exrear la inuoide e la iguiente: f ( Aco( ω t Φ)

16 A e la alitud de la inuoide Φ e la fae, e decir, e el ángulo de delazaiento de la eñal coeno. Puede vere que: A C ( C C ) C Φ tan / 48 Claraente e oberva que la eñal enoidal e una función eriódica cuyo eriodo π viene dado or: T y e ide en egundo. ω π π / 4 ωt Figura.9 π π / 4 ωt Figura. La figura.9 uetra la gráfica de la inuoide: x ( Aco( ωt π / 4), ientra que la figura. ilutra la gráfica de la inuoide: y ( Aco( ω t π / 4). Obérvee que en abo cao el eje horizontal e el ángulo: ω t Sinuoide defaada. Conidereo do inuoide de la ia frecuencia ero con fae diferente, aí: x ( A co( ω t Φ) x( A co( ωt Φ) El ángulo de defae viene dada or: Φ Φ Φ. Se dice que la inuoide x ( t ) etá en adelanto con reecto a la otra í el ángulo de defae e oitivo, e decir la riera inuoide alcanza el valor áxio riero que la otra. La inuoide ólida de la figura. etá en adelanto con reecto a la unteada.

17 49 Φ Figura. Valor efectivo de una inuoide. El valor efectivo o valor r de una función eriódica de eriodo T e define coo: f r t T f t T ( dt Para la inuoide : f ( Aco( ω t Φ), el valor efectivo viene dada or: Circuito de corriente alterna f r A Conidereo un circuito aivo RLC, inicialente en reoo tal coo lo uetra la figura.. De acuerdo con lo etudiado hata el oento, la reueta y ( del circuito etá relacionada con la excitación ediante una ecuación diferencial lineal de coeficiente contante, aí: n n ( a D a D a D a D a ) y( ( b D b D b D b D b ) e( )... t n n e ( RLC y ( Figura. Definio lo oeradore: P( D) a a n n n D an D... ad ad D D... bd b D Q( D) b b En tal cao odeo ecribir la ecuación diferencial de una anera á concia, aí: P ( D) y( f ( Q( D) e(

18 5 El térino indeendiente f ( de la ecuación diferencial deende de la excitación. La olución general de la ecuación diferencial reenta do arte, aí: y( y ( y ( c La riera arte de la olución e conoce coo olución coleentaria o reueta tranitoria del circuito y e una cobinación lineal de olucione linealente indeendiente de la hoogénea aociada, aí: y ( C y( C y(... ( ) c Cn yn t La olución coleentaria e deterina reolviendo la ecuación caracterítica: L ( λ). La egunda arte e conoce coo reueta forzada o reueta de etado etacionario o reueta de régien eranente y deende de la excitación. En rinciio e deterina or el étodo del oerador invero, aí: y ( f ( L( D) La técnica de olución en el doinio de tieo erán reelazada or técnica en el doinio de la frecuencia, e decir, uando la tranforada de Lalace. Recordeo breveente la fórula de tranforación. Conidereo un circuito RLC erie coo lo ilutra la figura.3. La ley de Kirchhoff ara voltaje etablece que: v ( v ( v ( v ( R L C i R L R L ( v i i ( I () C () V i C Figura.3 Figura.4 Con bae en lo rinciio circuitale, teneo: d t t v R ( Ri( v L ( L i( vc ( dt i( dt vc ( ) i( dt C C Suoniendo que el itea etá inicialente en reoo y alicando la tranforada de Lalace, teneo: V ( ) V ( ) V ( ) V ( ) R L C i

19 A artir de la relacione entre la corriente y el voltaje en lo eleento, e tiene: 5 V R ( ) RI( ) V L ( ) LI ( ) V C ( ) I( ) C El circuito de la figura.4 e el equivalente, en el doinio de la frecuencia, del circuito de la figura.3. Iedancia de un eleento circuital La relación entre el voltaje y la corriente en un eleento en el doinio de la frecuencia recibe el nobre de iedancia del eleento. Puede vere que: a. La iedancia del reitor e Z R ( ) R, e decir, la iedancia de un reitor e contante e igual a u reitencia. b. La iedancia del inductor e Z L ( ) L, e decir, la iedancia de un inductor e directaente roorcional a la frecuencia. c. La iedancia del caacitor e Z C ( ) / C, e decir, la iedancia de caacitor e inveraente roorcional a la frecuencia. Aditancia de un eleento circuital E la relación entre la corriente y el voltaje en el doinio de la frecuencia, e decir, la aditancia e el invero de la iedancia. Evidenteente, la aditancia de lo tre eleento circuitale báico on: a.. Para el reitor: Y R ( ) / R b. Para el inductor: Y L ( ) / L c. Para el caacitor: Y C ( ) C Técnica de ilificación de circuito Eleento en erie Do eleento circuitale con iedancia individuale: Z ( ) y Z ( ) conectado en erie, e ueden tratar, ara efecto de análii, coo un olo eleento cuya iedancia equivalente e la ua de la iedancia individuale, aí: Eleento en aralelo Ze ( ) Z( ) Z ( ) Do eleento circuitale con aditancia individuale: Y ( ) y Y ( ) conectado en aralelo, e ueden tratar, ara efecto de análii, coo un olo eleento cuya aditancia equivalente e la ua de la aditancia individuale, aí: Ye ( ) Y( ) Y ( )

20 Tranforación de fuente reale 5 Para efecto de análii, una fuente real de voltaje: V e () en erie con una iedancia: Z() e equivalente a una fuente real de corriente: I e () en aralelo con la iedancia: Z (). La equivalencia de la fuente ilica que: Equivalente Thévenin V ( ) Z( ) I ( ) e e a b V e () () Z e a b Figura.5 Figura.6 El itea de la figura.5 e un circuito cualquiera y e tiene acceo a lo terinale a y b. El circuito de la figura.6 e el equivalente Thévenin entre a y b i e verifica que ) V e () e el voltaje de circuito abierto entre lo terinale dado. ) Z e () e el cociente entre el voltaje de circuito abierto y la corriente de cortocircuito. Para encontrar el equivalente Thévenin entre do unto dado de un circuito e rocede de la ia fora que i fueran circuito reitivo, e decir, haciendo la do rueba o alicando la técnica de ilificación. Análii de circuito en el doinio de la frecuencia. Un circuito en el doinio de la frecuencia e uede analizar or el étodo de la corriente de alla o or el étodo de lo voltaje de nodo, de la ia fora que ara circuito reitivo. Para el itea de la figura.7, al tranforar la ecuación diferencial reulta: n n ( a a a a a ) Y( ) ( b b... b b b ) E( )... n n La alida del circuito e uede exrear en la fora: Y ( ) b b n n an an n... b b b E( ) n... a a a Se define la función de tranferencia del circuito coo el cociente entre la alida y la entrada en el doinio de la frecuencia, aí:

21 H ( ) b a b a n n n n n n... b... a b b a a n 53 En el doinio de tieo, la alida e la tranforada invera, aí: y( L { Y ( )} L { H ( ) E( ) } Circuito con excitación inuoidal. Cuando la excitación e ( circuito de la figura. e una inuoide de la fora: e( Aco( ω, la tranforada de Lalace viene dada or: E ( ) A ω En tal cao la alida e: y ( L { Y( ) } L Q( ) P( ) A ω Suoniendo que P () no tiene factore de la fora ω, la decooición en fraccione arciale de Y () tendrá do térino correondiente a la reueta de etado etacionario, aí: y ( t a ( ω )co( ω a ( ω) en( ω ) E claro que lo coeficiente deenden de la frecuencia y que la reueta de etado etacionario e uede exrear en la fora: y [ ω Φ( )] ( C( ω)co t ω Se concluye que i la excitación e una inuoide de frecuencia ω entonce la reueta de etado etable e otra inuoide de la ia frecuencia con alitud y fae deendiente de la frecuencia. En lo que igue no intereará únicaente la reueta de etado etacionario ante excitacione de tio inuoidal. Ejelo 3.. Conidereo el circuito de la figura.7. a. Deterine el voltaje en el reitor en el doinio de la frecuencia. b. Aigne valore a lo aráetro y deterine la reueta ante la eñal: e ( co(4

22 54 L C e ( i( R v ( Figura.7 Solución. a. Al alicar la Ley de Kirchhoff ara voltaje en el doinio de la frecuencia, reulta: V ( ) R L R L LC E( ) b. Toando lo dato: R Ω L H C. F, e tiene: V ( ) E( ) ( )( Decooniendo en fraccione arciale e tiene: 4 Y ) ( 6) La reueta de etado etacionario e la invera de Lalace de egundo térino de la derecha, e decir: y ( L y ( co(4 en( La reueta de etado etacionario e uede ecribir coo: y ( 8co t ( 4 tan (3/ 4) ) La excitación exonencial coleja. Heo encontrado que í la excitación de un circuito e: e( E co( ω, la reueta e una inuoide de la ia frecuencia ero cuya alitud y fae deenden de la frecuencia. Se abe que la función coeno e la arte real de una función exonencial coleja, eto e:

23 co( ω Re[ e jωt ] 55 Conecuenteente la alida erá la arte de real de la correondiente función exonencial coleja, e decir: jωt y( Re[ C( ω) e ] jφ( ω ) En la exreión anterior e tiene que: C ( ω) C( ω) e, e decir e un núero colejo con agnitud y fae deendiente de la frecuencia. Uualente e utiliza la jφ( ω ) iguiente ibología ara el núero colejo: C( ω) C( ω) e C( ω) Φ( ω). Dicho núero colejo recibe el nobre de faor. Lo faore tiene un trataiento iilar al de lo vectore. Claraente e oberva que la agnitud de la alida etá relacionada con la función de tranferencia tal coo e indica en la figura.8. Ejelo.. Uando la técnica faorial verifique el reultado del ejelo anterior. Solución. Reecribio el circuito de la anera ilutrada en la figura.9. Teniendo en cuenta que: 5 ω 4 ZL jωl j4 ZC j Z R jωc E co( ω E H( jω) co( ωt Φ( ω)) jφ( ω ) H( jω) H( jω) e Figura.8 j4 j5/ ω 4 I V Figura.9 Alicando el divior de voltaje e tiene:

24 V j4 j5/ 4 8 tan 4 j3 (3/ 4) 56 De acuerdo con lo etudiado e tiene que: v ( 8co(4t.644). Coo uede vere, el reultado e idéntico al encontrado reviaente. A artir del reultado uede vere que el voltaje de alida etá atraado con reecto al voltaje de entrada un ángulo de o.644 Radiane, equivalente a La figura.3 uetra la fora de onda tanto del voltaje de entrada coo del de alida. Por otro lado, la figura.3 ilutra el diagraa faorial correondiente. La ventaja de lo diagraa faoriale etriba en la facilidad ara uar y ultilicar or ecalare, tal coo e hace con lo vectore. Puede vere que la técnica dearrollada reduce el análii al anejo de la aritética de lo núero colejo. 4t Figura.3 o Φ 36.9 o Figura.3 Ejelo.3. a. Deterine el equivalente Thévenin entre lo unto a y b ara el circuito de la figura.3 b. Deterine el voltaje en una carga de Ohio conectada entre dicho unto. Solución. a. ara hallar el equivalente Thévenin e tranforan la fuente de voltaje a fuente de corriente, tal coo e uetra en la figura j La corriente I de la figura.33 viene dada or: I, ientra que la j 5 iedancia aociada e: Z j.

25 57 Ω jω Ω j Ω a 4 ω ω ω b Figura.3 j Ω I Θ Z 4 Ω Figura.33 Al ilificar el circuito e tiene: 4 j 34 j I Equiv Por otro lado, la iedancia equivalente e: Z Equiv j 7 j 3 j j Finalente, el voltaje Thévenin viene dado or: V Th 34 j 7 j 5 j 6 tan (/5) 5 La iedancia Thévenin viene dada or: 7 j 7 j9 Z Th j

26 b. Al colocar una carga de Ω, el voltaje en la carga e: 58 V L (5 j) (5 j)(7 j9) 38 j36 ( 5 j) 7 j9 7 j9 9 9 El voltaje en la carga e uede exrear coo: V tan ( 36/38) L Aí la coa, í la frecuencia e: ω, el voltaje en la carga e: v L ( 3.889co(t.458) o Ejelo.4. Para el circuito de la figura.34, deterine el voltaje en el reitor de Ω que etá en erie con el inductor uando la técnica de la corriente de alla. Ω jω Ω I ω 4 jω I I3 Ω Figura.34 Solución. Del circuito e derende que: I I Al recorrer la úer alla de la izquierda e tiene: ( j ) I ( I I3) 4 Al recorrer la alla de la derecha reulta: ( I I ) ( j) I El itea organizado en fora atricial e el iguiente: j I I 3 j I 3 8 4

27 Al reolver el itea reulta: I I 38 j4 6 9 j j68 I j36 En conecuencia, el voltaje edido e: V L I 3. Coarando con el 9 ejelo anterior e oberva que lo reultado on idéntico. La rutina en Matlab ara reolver el itea e: Se definen la atrice A y b La olución e: inv(a)*b Potencia en etado etable. Conidereo una cobinación de eleento aivo en el doinio de tieo, tal coo lo uetra la figura v( i( Figura.35 La otencia intantánea aborbida or la cobinación de eleento aivo viene dada or: ( v( i( Cuando la variable circuitale on inuoide, la otencia intantánea e otra inuoide de frecuencia ω, tal coo e deuetra a continuación. Suongao que la eñale de corriente y voltaje on la iguiente: v( V co( ω i( I co( ωt Φ) La otencia intantánea e: ( V I co( ω co( ωt Φ) Haciendo uo de la identidad trigonoétrica: co( a)co( b) co( a b) co( a b) e uede ecribir: ( VI { co(ω t Φ) co( Φ) }

28 La otencia roedio. 6 T La otencia roedio de una eñal de eriodo T e define coo: P ( dt. T Con bae en lo anterior, la otencia roedio ara el cao enoidal viene dada or: P V I co( Φ) Obérvee que la otencia iere e oitiva indeendienteente de i el ángulo de defae entre el voltaje y la corriente ea negativo o oitivo ya que la función coeno e ar. Ahora bien, dado que el valor efectivo de una inuoide e el cociente entre el valor V I áxio y, e decir: V E I E, e tiene: P V E I E co(φ). En la ráctica, ara calcular la otencia roedio o otencia activa e deterinan lo faore de corriente y voltaje, aí: Faor de voltaje: V V Φ Faor de corriente: I I Φ Potencia activa: P V I co( Φ Φ ) V Φ Z( jω) I Φ Figura.36 Factor de otencia. Un conceto de fundaental iortancia en el análii de circuito e el de factor de otencia. Con bae en el circuito de la figura.36, e tiene que la iedancia viene dada or: Z V I V I Φ Φ El factor de otencia e un núero adienional definido coo: f co( Φ ) Φ Se dice que el factor de otencia e en atrao i Φ Φ >, e decir, i la cobinación de eleento e de tio inductivo. En cao contrario el factor de otencia e en adelanto.

29 Potencia coleja. 6 Para el circuito de la figura.36, la otencia coleja en la cobinación de eleento otrada e define coo: S VI, dónde I e el conjugado del faor de corriente. De hecho, la otencia coleja e uede exrear en la fora: S P jq VI co( Φ Φ) j VI en( Φ Φ Haciendo Uo de lo valore efectivo de voltaje y corriente, e tiene: S P jq VEI E co( Φ Φ) jvei Een( Φ Φ) La agnitud de la otencia coleja recibe el nobre de otencia aarente y e ide en volta-aerio. La arte real de la otencia coleja e la otencia activa y e ide en vatio La arte iaginaria de la otencia coleja e la otencia reactiva y e ide en voltaaerio reactivo. Ejelo.5. Una fuente de Voltio r e conecta a una carga caacitiva dada or: Z j. Deterine la corriente, la otencia coleja, la otencia aarente, la otencia activa, la otencia reactiva y el factor de otencia. Solución. El faor de voltaje e: V. Por tanto, el faor de corriente e: ( j) I tan (.) j 4 4 La otencia coleja e: S tan (.) 4 En conecuencia e tiene: () Potencia aarente: S VI VA 4 El factor de otencia e: f co(tan (.)). 898 en adelanto 4 () La otencia activa e: P S f Vatio 4 () La otencia reactiva e: Q S f 4 )

30 EJERCICIOS Para el circuito de la figura.37. a. Uando la técnica de la corriente de alla deterine el voltaje de alida v ( b. Uando la técnica de lo voltaje de nodo deterine el voltaje de alida v ( ) v ( t Ω jω 4Ω j3ω ω 4 5 Ω V x Figura.37 5 KΩ j5kω 5KΩ jkω ω π 4 4 V x 6KΩ KΩ Figura.38. Para el circuito de la figura.38 a. Uando la técnica de la corriente de alla deterine el voltaje de alida v ( ) t ( t b. Uando la técnica de lo voltaje de nodo deterine el voltaje de alida v ) 3. Para el circuito de la figura.39 e tienen lo iguiente dato y deterine el voltaje de alida. R 5Ω C.F L H vi ( co(

31 63 R L L ( v i C R C v o ( R Figura Reita el roblea anterior ara el circuito de la figura.4. Toe α 3 ( v i R C αv ( R C R v o ( C Figura.4 5. Para lo circuito de la figura.39 y.4 calcule la otencia activa en la fuente indeendiente y el correondiente factor de otencia.