Aplicaciones de las derivadas

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1 11 Aplicaciones de las derivadas 1. Representación de funciones polinómicas Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) lím ( 3 3) b) lím ( 3 3) a) b) Aplica la teoría Representa las siguientes funciones polinómicas completando el formulario de los diez apartados. 1. y = y' = y'' = 6 1 y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) Eje : O(0, 0), A(3, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, 3) U (3, Negativa (): 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: B(1, 4) Mínimo relativo:a(3, 0) Creciente ( ): U (3, Decreciente ( ): (1, 3) 9. Puntos de infleión: D(, ) Convea ( ): (, Cóncava ( ): Im(f) = = ( 344 SOLUCIONARIO

2 . y = y' = 3 6 y'' = 6 6 y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) Eje :A( 3 1, 0),B(1,0),C( 3 1, 0) Eje : D(0, ) Positiva (+): 3 1) U (1, 3 1) Negativa (): ( 3 1, 1) U ( 3 1, 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: D(0, ) Mínimo relativo: E(, ) Creciente ( ): (, 0) Decreciente ( ): U (0, 9. Puntos de infleión: F( 1, 0) Convea ( ): Cóncava ( ): ( 1, 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) Eje : O(0, 0),A(, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): U (, Negativa (): (0, ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: B(3/, 7/16) Creciente ( ): (3/, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: O(0, 0), C(1, 1) Convea ( ): U (1, Cóncava ( ): (0, 1) Im(f) = [ 7/16, 4. y = 4 + Im(f) = = ( 3. y = 4 3 y' = y'' = 1 1 y''' = 4 1 y' = y'' = y''' = 4 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 345

3 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje Eje : A(, 0),O(0,0),B(, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (, 0) U (0, ) Negativa (): ) U (, 8. Máimos y mínimos relativos: a) Máimo relativo: C( 1, 1), D(1, 1) b) Mínimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): U (0, 1) Decreciente ( ): ( 1, 0) U (1, 9. Puntos de infleión: E( 3/3, 5/9),F( 3/3, 5/9) Im(f) = 5. De una función polinómica se sabe que tiene un máimo relativo en el punto A(3, 4), un mínimo relativo en el punto B(1, ),otro máimo relativo en el punto C(,1), y que lím f() lím f() + Con esta información, dibuja la gráfica a mano alzada. Convea ( ): ( 3/3, 3/3) Cóncava ( ): 3/3) U ( 3/3, A(3, 4) C(, 1) B(1, ). Representación de funciones racionales Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) + 1 lím b) a) SOLUCIONARIO

4 Aplica la teoría Representa las siguientes funciones racionales completando el formulario de los diez apartados. 6. y = y' = ( 1) y'' = ( 1) 3 6 y''' = ( 1) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {1} = U (1, 3. Continuidad: es discontinua en = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) Verticales: = 1 Oblicuas: y = Eje : no lo corta. Eje : A(0, 3) Positiva (+): (1, Negativa (): 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(0, 3) Mínimo relativo: B(, 1) Creciente ( ): U (, Decreciente ( ): (0, 1) U (1, ) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): (1, Cóncava ( ): 7. y = 1 1 y' = ( 1) 6 + y'' = ( 1) y''' = ( 1) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = { 1, 1} = = U ( 1, 1) U (1, 3. Continuidad: es discontinua en = 1 y = 1, donde tiene discontinuidades de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es par ò simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : A(0, 1) Positiva (+): U (1, Negativa (): ( 1, 1) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(0, 1) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): U ( 1, 0) Decreciente ( ): (0, 1) U (1, 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): U (1, Cóncava ( ): ( 1, 1) Im(f) = U [1, Im(f) = U (0, TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 347

5 8. y = 9. y = y' = + ( + 1) y'' = ( + 1) 3 1( ) y''' = ( + 1) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del eje origen de coordenadas O(0, 0) Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa (): 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(1, 1) Mínimo relativo: B( 1, 1) Creciente ( ): ( 1, 1) Decreciente ( ): U (1, 9. Puntos de infleión: C( 3, 3/),O(0,0), D( 3, 3/) Convea ( ): ( 3, 0) U ( 3, Cóncava ( ): 3 ) U (0, 3 ) y' = + 1 y'' = 3 6 y''' = 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {0} = U (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del eje origen de coordenadas O(0, 0) Verticales: = 0 Oblicuas: y = Eje : A( 1, 0), B(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): ( 1, 0) U (1, Negativa (): U (0, 1) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): U (0, Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): Cóncava ( ): (0, Im(f) = [ 1, 1] Im(f) = = ( 348 SOLUCIONARIO

6 3. Problemas con condiciones Piensa y calcula Halla y representa la función derivada de cada una de las siguientes funciones polinómicas. Qué relación hay entre el grado de cada una de ellas y el de su derivada? y = y = 4 y = y = y = y = 4 La función derivada de una función polinómica es otra función polinómica de un grado menor. Aplica la teoría 10. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la función: f() = 3 + a + b tenga un mínimo relativo en el punto P(1, 4) Pasa por P(1, 4) y = 3 + a + b 1 + a + b = 4 Por ser P(1, 4) un mínimo: y'(1) = 0 y' = 3 + a + b 3 + a + b = 0 Resolviendo el sistema: a = 6, b = 9 y = P (1, 4) 11. Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la recta siguiente: f () Resuelve los siguientes apartados: a) Estudia la monotonía. b) Calcula la pendiente de la recta tangente para = 3 c) Razona si tiene un máimo o mínimo relativo y halla su abscisa. d) Haz una aproimación de una gráfica de la función f() a) La función f() es creciente en: La función f() es decreciente en: (, TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 349

7 b) f'(3) = 1 c) Tiene un máimo relativo en = d) 13. Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la recta siguiente: f () Resuelve los siguientes apartados: a) Estudia la monotonía. 1. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la función: f() = a 4 + b 3 tenga un punto de infleión en el punto P(1, 1) Pasa por P(1, 1) y = a 4 + b 3 a + b = 1 Por ser P(1, 1) un punto de infleión: y''(1) = 0 y' = 4a 3 + 3b y'' = 1a + 6b 1a + 6b = 0 Resolviendo el sistema: a = 1, b = y = 4 3 b) Calcula la pendiente de la recta tangente para = c) Razona si tiene un máimo o mínimo relativo y halla su abscisa. d) Haz una aproimación de una gráfica de la función f() a) La función f() es creciente en: ( 3, La función f() es decreciente en: b) f'( ) = c) Tiene un mínimo relativo en = 3 d) P (1, 1) 4. Aplicaciones de las derivadas a otras áreas Piensa y calcula En una ciudad hay una epidemia de gripe, y la función que define el número de enfermos es: f() = donde se mide en días, e y, en miles de personas. Calcula mentalmente cuántos enfermos de gripe hay el día en que se detecta la epidemia, es decir, en el momento = personas. 350 SOLUCIONARIO

8 Aplica la teoría 14. Un movimiento está definido por la función: e(t) = t 3 3t t + 3 donde t se mide en segundos, y e, en metros. Calcula: a) el espacio recorrido al cabo de 5 s b) la velocidad. c) la velocidad al cabo de 5 s d) la aceleración. e) la aceleración al cabo de 5 s a) e(5) = 48 m b) v(t) = e'(t) = 3t 6t 1 c) v(5) = 44 m/s d) a(t) = v'(t) = e''(t) = 6t 6 e) a(5) = 4 m/s 16. Los beneficios de una empresa, en función del número de piezas producidas, vienen dados por: B() = donde se mide en miles de piezas. Calcula el número de piezas que tiene que producir para que los beneficios sean máimos. B'() = B'() = 0 = 1, =, = 4 B''() = Máimos relativos: A(1, 1), B(4, 39) Mínimo relativo: C(, 7) El mayor máimo relativo se obtiene en unidades. 15. La resistencia de una viga, en función del peso que soporta, viene dada por: R() = 3 donde se mide en toneladas. Calcula el peso máimo que soporta. R'() = 3 R'() = 0 = 3/ R''() = < 0 () máimo = kg es el máimo peso soportado. 17. La concentración en la sangre de un medicamento puesto mediante una inyección intravenosa viene dado por: C(t) = 4 t /16 donde t es el número de horas que transcurren desde que se inyecta el medicamento en la sangre. Calcula la velocidad de la concentración. C'(t) = t/8 5. Problemas de optimización Piensa y calcula Un rectángulo tiene 1 m de perímetro; luego el ancho más el largo es 6 m. Completa la siguiente tabla: Largo = Alto = y Superficie Calcula las dimensiones del rectángulo que tiene mayor superficie. Largo = Alto = y Superficie El rectángulo de mayor superficie es un cuadrado de lado = y = 3 m TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 351

9 Aplica la teoría 18. Calcula dos números cuya suma sea 60 y de forma que sea mínimo el cuadrado del primero más el doble del cuadrado del segundo. a) Incógnitas, datos y dibujo. = primer número. y = segundo número. + y = 60 b) Función que hay que minimizar. f(, y) = + y Sujeto a: + y = 60 y = 60 c) Se escribe la función con una sola variable. f(, y) = + y f() = + (60 ) f() = d) Se calculan los máimos y mínimos relativos. f'() = 6 40 f'() = 0 = 40 Si = 40 y = 0 e) Se comprueba en la segunda derivada. f''() = 6 > 0 (+) Mínimo relativo. El primer número es = 40, y el segundo, y = 0 b) Función que hay que maimizar. S(, y) = y Sujeta a las condiciones: Perímetro = 1600 m + y = 800 c) Se escribe la ecuación con una sola variable. S(, y) = y + y = 800 y = 800 S() = (800 ) S() = 800 d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. S'() = 800 S'() = 0 = 400 Si = 400 y = 400 e) Se comprueba en la a derivada. S''() = < 0 () Máimo relativo. f) El recinto es un cuadrado que mide 400 m de lado. 0. Se quiere construir un recipiente en forma de prisma cuadrangular tal que el volumen sea máimo. Si la superficie es de 4 m, qué dimensiones debe tener la caja? 19. Un ganadero quiere cercar un recinto de forma rectangular en un prado para que puedan pastar las vacas. Si dispone de m de cerca, cuánto medirá de largo y de ancho el recinto para que la superficie del recinto sea máima? a) Incógnitas, datos y dibujo: = longitud de la base. y = altura. Perímetro = 1600 m a) Incógnitas, datos y dibujo. = longitud de la base. y = altura. Superficie = 4 m y S(, y) = y y 35 SOLUCIONARIO

10 b) Función que hay que minimizar. V(, y) = y Sujeta a las condiciones: Superficie = 4 m 4y + = 4 y + = 1 c) Se escribe la función con una sola variable. V(, y) = y y + = 1 y = 1 (1 ) V() = 1 V() = (1 3 ) d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. V'() = 1 (1 3 ) V'() = 0 = y = (La solución negativa no tiene sentido). Si = y = e) Se comprueba en la segunda derivada. V''() = 3 V''() = 6 < 0 () Máimo relativo. f) La caja es un cubo de arista m y tendrá un volumen de 8 m 3 TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 353

11 Ejercicios y problemas 1. Representación de funciones polinómicas 1. Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = y' = / y'' = y''' = 1 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del origen O(0, 0) Eje : O(0, 0), A( 3,0),B( 3,0) Eje : O(0, 0) 3 6 Positiva (+): ( 3,0) U ( Negativa (): 3 ) U (0, 3 ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: C(, 8/3) Mínimo relativo: D(, 8/3) Creciente ( ): U (, Decreciente ( ): (, ) 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Convea ( ): (0, Cóncava ( ): Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = y' = y'' = 6 y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del origen O(0, 0) Eje : O(0, 0), A( 3,0),B( 3,0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 3 ) U (0, 3 ) Negativa (): ( 3,0) U ( 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: C(1, ) Mínimo relativo: D( 1, ) Creciente ( ): ( 1, 1) Decreciente ( ): 1) U (1, 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Convea ( ): Cóncava ( ): (0, Im(f) = = ( Im(f) = = ( 354 SOLUCIONARIO

12 3. Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = 4 4 y' = y'' = 1 8 y''' = 4 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje Eje : O(0, 0), A(, 0), B(, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): U (, Negativa (): (, 0) U (0, ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: C(, 4),D(, 4) Creciente ( ): (, 0) U (, Decreciente ( ): ) U (0, ) 9. Puntos de infleión: E( 6/3, 0/9),F( 6/3, 0/9) Convea ( ): 6/3) U ( 6/3, Cóncava ( ): ( 6/3, 6/3) 4. Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = y' = y'' = y''' = 4 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje Eje : A( 5, 0),B(1,0),C(1,0),D( 5, 0) Eje : E(0, 5) Positiva (+): ( 5, 1) U (1, 5 ) Negativa (): 5 ) U ( 1, 1) U ( 5, 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: F( 3, 4),G( 3, 4) Mínimo relativo: E(0, 5) Montonía: Creciente ( ): 3 ) U (0, 3 ) Decreciente ( ): ( 3,0) U ( 3, 9. Puntos de infleión: B( 1, 0), C(1, 0) Convea ( ): ( 1, 1 ) Cóncava ( ): U (1, Im(f) = [ 4, Im(f) = TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 355

13 Ejercicios y problemas 5. De una función polinómica se sabe que tiene un máimo relativo en el punto A(,4),un mínimo relativo en el punto B(, ), un punto de infleión en el punto C(0, 1) y que: lím f() lím f() = Con esta información, dibuja la gráfica a mano Verticales: = 0 Oblicuas: y = / Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, Negativa (): 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(, ) Mínimo relativo: B(, ) Creciente ( ): U (, Decreciente ( ): (, 0) U (0, ) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): (0, Cóncava ( ): Representación de funciones racionales 6. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = + 4 Im(f) = U [, y' = 4 4 y'' = 3 1 y''' = 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {0} = U (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del origen O(0, 0) 7. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = 1 y' = + 3 ( 1) 4 y'' = ( 1) 3 1 y''' = ( 1) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {1} = U (1, 356 SOLUCIONARIO

14 3. Continuidad: es discontinua en = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) Verticales: = 1 Oblicuas: y = Eje : A( 1, 0), B(, 0) Eje : C(0, ) Positiva (+): U (1, ) Negativa (): ( 1, 1) U (, 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): U (1, 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): (1, Cóncava ( ): y''' = ( + 3) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : A(0, ) Positiva (+): = ( Negativa (): Ö 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(0, ) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, 9. Puntos de infleión: B( 1, 3/), C(1, 3/) Convea ( ): U (1, Cóncava ( ): ( 1, 1) Im(f) = = ( 8. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = y' = 1 ( + 3) y'' = ( + 3) Im(f) = (0, ] 9. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = y' = +1 ( 1) 1 TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 357

15 Ejercicios y problemas y'' = ( 1) 3 6( ) y''' = ( 1) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = { 1, 1} = = U ( 1, 1) U ( 1, 3. Continuidad: es discontinua en = 1 y = 1, donde tiene discontinuidades de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del origen O(0, 0) Verticales: = 1 y = 1 Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 1, 0) U (1, Negativa (): U (0, 1) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): U ( 1, 1) U (1, 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Convea ( ): ( 1, 0) U (1, Cóncava ( ): U (0, 1) 3. Problemas con condiciones 30. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la función: f() = a 3 + b 5 tenga un máimo relativo en el punto P(3, 4) Pasa por P(3, 4) 7a + 9b 5 = 4 y' = 3a + b Máimo en (3, 4) y'(3) = 0 7a + 6b = 0 Resolviendo el sistema, se obtiene: a = /3, b = 3 y = 3 / Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la recta siguiente: f () P(3, 4) Calcula para f(): a) la monotonía. b) la pendiente de la recta tangente para = 1 c) Razona si tiene un máimo o mínimo relativo y halla su abscisa. d) Haz una aproimación de una gráfica de la función f() Im(f) = = ( a) La función f() es creciente en: La función f() es decreciente en: (, b) f'(1) = c) Tiene un máimo relativo en = 358 SOLUCIONARIO

16 d) a) La función f() es creciente en: (1, La función f() es decreciente en: b) f'(4) = 3 c) Tiene un mínimo relativo en = 1 d) 3. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la función: f() = a 4 + b 3 b tenga un máimo relativo en el punto P(1, 1) Pasa por P(1, 1) a + b b = 1 a = 1 y' = 4a 3 + 3b b Máimo en (1, 1) y'(1) = 0 4a + 3b b = 0 Resolviendo el sistema, se obtiene: a = 1, b = 4 y = Aplicaciones de las derivadas a otras áreas 34. Un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) es: e(t) = t 4 a) Calcula el espacio recorrido al cabo de 5 segundos. b) Calcula la velocidad. c) Representa en los mismos ejes el espacio y la velocidad. Qué tipo de gráficas son? P(1, 1) a) e(5) = 6 m b) v(t) = e'(t) = m/s c) e e = t Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la recta siguiente: e = t f () El espacio es una función afín y la velocidad es una función constante. Calcula para f(): a) la monotonía. b) la pendiente de la recta tangente para = 4 c) Razona si tiene un máimo o mínimo relativo y halla su abscisa. d) Haz una aproimación de una gráfica de la función f() 35. La longitud de un feto a lo largo del embarazo viene dada por la función: f() = donde se mide en semanas, e y, en centímetros: a) Si el embarazo dura 40 semanas, cuánto mide el niño? b) En qué momento crece más rápidamente; es decir, cuándo es máima la derivada? TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 359

17 Ejercicios y problemas a) f(40) = 160/3 = 53,33 cm b) f'() = /5 /00 f''() = 1/5 /100 f''() = 0 1/5 /100 = 0 = 0 semanas. f'''() = 1/100 < 0 () Máimo relativo. 36. Los beneficios anuales de una empresa siguen la función: 100 B() = + 5 donde es el número de años que lleva funcionando y B() se mide en millones de euros. a) En qué momento los beneficios son máimos? b) Calcula los beneficios en el momento en que sean máimos. B() = B'() = ( + 5) B'() = 0 = 5, = 5 (El valor negativo no tiene sentido). B''() = ( + 5) 3 B''(5) = /5 < 0 () Máimo relativo. Los beneficios son máimos a los 5 años. b) B(5) = 10 millones de euros. 37. Los valores de las acciones de una determinada empresa, a lo largo de los 1 meses de un año, están definidos por la función: f() = donde es el número del mes y f() es el valor de cada acción en euros. Calcula: a) el valor de las acciones al comenzar el año. b) el valor de las acciones al final del año. c) el valor máimo y mínimo de las acciones a lo largo del año. a) f(0) = 15 b) f(1) = 447/5 = 17,88 c) f'() = f'() = 0 =, = 8 f''() = f''() = 9/5 < 0 () Máimo relativo. Alcanza el máimo relativo en el º mes y valen a 397/5 = 15,88 Como el máimo relativo es menor que el valor de las acciones al final del año, el mayor valor lo alcanzan al final del año y vale 17,88 f''(8) = 9/5 > 0 (+) Mínimo relativo.alcanza el mínimo relativo en el 8º mes y valen a 343/5 = 13,7 5. Problemas de optimización 38. Calcula dos números e y tales que su producto sea máimo, sabiendo que suman 60 a) Incógnitas, datos y dibujo. = primer número. y = segundo número. + y = 60 b) Función que hay que minimizar. f(, y) = y sujeto a: + y = 60 y = 60 c) Se escribe la función con una sola variable. f(, y) = y f() = (60 ) f() = 60 d) Se calculan los máimos y mínimos relativos. f'() = 60 f'() = 0 = 30 Si = 30 y = 30 e) Se comprueba en la a derivada. f''(30) = < 0 () Máimo relativo. El primer número es = 30 y el segundo y = Se quiere construir un depósito abierto, es decir, sin tapa, con forma de prisma cuadrangular tal que el volumen sea máimo. Si la superficie es de 48 m, qué dimensiones debe tener el depósito? 360 SOLUCIONARIO

18 a) Incógnitas, datos y dibujo. = longitud de la base. y = altura. Superficie = 48 m y 40. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo mide 1 m. Halla las longitudes de los catetos para que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa sea mínima. a) Incógnitas, datos y dibujo. = cateto mayor. y = cateto menor. Suma de los catetos = 1 m y b) Función que hay que minimizar. V(, y) = y Sujeta a las condiciones: Superficie = 48 m 4y + = 48 c) Se escribe la función con una sola variable. V(, y) = y 4y + = 48 y = 48 4 V() = 1/4(48 3 ) d) Se calculan los máimos y mínimos derivando. V'() = 1/4(48 3 ) V'() = 0 = 4 y = 4 (La solución negativa no tiene sentido). Si = 4 y = e) Se comprueba en la a derivada. V''() = 3/ V''(4) = 6 < 0 () Máimo relativo. f) El depósito tiene de base un cuadrado de lado 4 m y altura m, y tendrá un volumen de 3 m 3 b) Función que hay que minimizar. A(, y) = + y Sujeta a las condiciones: + y = 1 c) Se escribe la función con una sola variable. A(, y) = + y + y = 1 y = 1 A() = + (1 ) A() = d) Se calculan los máimos y mínimos derivando. A'() = 4 4 A'() = 0 = 6 Si = 6 y = 6 e) Se comprueba en la a derivada. A''() = 4 A''(6) = 4 < 0 () Mínimo relativo. f) El triángulo es isósceles y sus catetos miden 6 m Para ampliar 41. Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = y' = y'' = 6 1 y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 361

19 Ejercicios y problemas Eje : A(1, 0) Eje : B(0, 7) Positiva (+): (1, Negativa (): 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): = ( Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: C(, 1) Convea ( ): (, Cóncava ( ): Eje : A(, 0) Eje : B(0, 4) Positiva (+): Negativa (): (, 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): = ( 9. Puntos de infleión: C(1, ) Convea ( ): Cóncava ( ): (1, Im(f) = = ( Im(f) = = ( 4. Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = y' = y'' = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) 43. Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = 4 + y' = y'' = y''' = 4 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje 36 SOLUCIONARIO

20 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): U (0, Negativa (): Ö 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): = ( Cóncava ( ): Ö Eje : O(0, 0), A(8/3, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): U (8/3, Negativa (): (0, 8/3) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: O(, 16/3) Creciente ( ): (, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: O(0, 0), B(4/3, 56/81) Convea ( ): U (4/3, Cóncava ( ): (0, 4/3) Im(f) = [0, Im(f) = [ 16/3, 44. Representa la siguiente función polinómica completando el formulario de los diez apartados. y = De una función polinómica de tercer grado se sabe que 3 tiene un punto de infleión en el punto O(0, 0), no tiene ni máimos ni mínimos relativos, y que: y' = lím f() = lím y'' = 1 16 Con esta información, dibuja una gráfica a mano alzada. y''' = 4 16 Halla una fórmula para esta gráfica. 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0). TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 363

21 Ejercicios y problemas y = Halla una función racional que tenga dos asíntotas verticales =, = 1 Por ejemplo, y = ( )( + 1) = De una función polinómica de cuarto grado se sabe que tiene un solo mínimo relativo en el punto O(0,0),no tiene ni máimos relativos, ni puntos de infleión, y que: lím f() = lím f() = Con esta información, dibuja una gráfica a mano alzada. Halla una fórmula para esta 49. Halla una función racional que tenga como asíntota horizontal la recta y = 3 Por ejemplo, y = 1 +3 = y = 4 1 y = Halla una función racional que tenga dos asíntotas: una vertical, = 1, y otra horizontal, y = 47. Halla una función racional que tenga como asíntota vertical la recta = Por ejemplo, y = 1 Por ejemplo, y = 1 1 = 1 = 51. Halla una función racional que tenga como asíntota oblicua y = y = 364 SOLUCIONARIO

22 Por ejemplo, y = + 1 +, 1 es decir, y = Puntos de infleión: C(3/, 8/9) Convea ( ): (3/, Cóncava ( ): U (0, 3/) y = Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y' = y'' = 4 y = y''' = Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {0} = U (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje : A(1/, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): (1/, Negativa (): U (0, 1/) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: B(1, 1) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): (0, 1) Decreciente ( ): U (1, Im(f) = 53. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = + 3 y' = 6 ( + 3) y'' = ( + 3) y''' = ( + 3) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = = ( 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje Horizontales: y = 1 Eje : O(0, 0) Eje :O(0,0) Positiva (+): U (0, Negativa (): Ö 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: O(0, 0) TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 365

23 Ejercicios y problemas Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: A( 1, 1/4), B(1, 1/4) Convea ( ): ( 1, 1) Cóncava ( ): U (1, Positiva (+): ) U (0, ) Negativa (): (, 0) U (, 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): ) U (, ) U (, Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Convea ( ): ) U (0, ) Cóncava ( ): (, 0) U (, Im(f) = [0, 1) 54. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = 4 Im(f) = = ( + 4 y' = ( 4) 3 4 y'' = ( 4) 3 6( ) y''' = ( 4) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {, } = = U (, ) U (, 3. Continuidad: es discontinua en = y =, donde tiene discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del origen. 55. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = y' = 4 ( + 1) y'' = ( + 1) y''' = ( + 1) 4 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = = ( Verticales: =, = Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje Horizontales: y = SOLUCIONARIO

24 Eje : A( 1, 0), B(1, 0) Eje : C(0, 1) Positiva (+): 1) U (1, Negativa (): ( 1, 1) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: C(0, 1) Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: D( 3/3,1/),E( 3/3,1/), Convea ( ): ( 3/3, 3/3) Cóncava ( ): 3/3) U ( 57. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la función: f() = 3 + a + b tenga un mínimo relativo en el punto P(1, 3) Pasa por P(1, 3) y(1) = a + b = 3 y' = 3 + a Mínimo relativo en P(1, 3) y'(1) = a = 0 Resolviendo el sistema, se obtiene: a = 3, b = 5 y = P(1, 3) 58. Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la parábola siguiente: Im(f) = [ 1, 1) 56. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la función f() = a 4 + b 3 tenga un punto de infleión en el punto P(, 3) f'() Pasa por P(, 3) y() = 3 16a + 8b = 3 y' = 4a 3 + 3b y'' = 1a + 6b Punto de infleión en P(, 3) y''() = 0 48a + 1b = 0 Resolviendo el sistema, se obtiene: a = 3/16, b = 3/4 y = 3 4 / /4 P(, 3) Calcula para f(): a) la monotonía. b) las abscisas del máimo y del mínimo relativos. c) la curvatura. d) la abscisa del punto de infleión. e) Haz una aproimación de una gráfica de la función f() a) La función f() es creciente en: 1) U (3, La función f() es decreciente en: ( 1, 3) b) Tiene un máimo relativo en = 1 y un mínimo relativo en = 3 c) Convea ( ): (1, Cóncava ( ): d) Punto de infleión en = 1 TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 367

25 Ejercicios y problemas e) a) e(7) = 1/ m b) v(t) = e'(t) = t 4 v(7) = e'(7) = 3 m/s c) a(t) = v'(t) = 1 a(7) = 1 m/s d) e e = t 4t + 4 e = t Sea una función f() tal que la gráfica de su ª derivada f''() es la recta siguiente: e = 1 t f () La gráfica del espacio es una parábola; la de la velocidad, una recta inclinada, y la de la aceleración, una recta horizontal. Calcula para f(): a) la curvatura. b) la abscisa del punto de infleión. c) Haz una aproimación de una gráfica de la función f() a) Convea ( ): ( 1, Cóncava ( ): b) Punto de infleión en = 1 c) 61. Un agente de seguros cobra una comisión que viene dada por la función: C() = 0, , Calcula cuántos seguros debe hacer para que la comisión sea máima. C'() = 0,00 + 0,05 C'() = 0 = 5 C''() = 0,00 < 0 () Máimo relativo. Para = 5 seguros, obtiene la máima comisión. 60. Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) está definido por la función: 6. De todos los cilindros de volumen 16π m 3,halla el de superficie mínima. a) Incógnitas, datos y dibujo. = longitud del radio. y = altura. Volumen = 16π m 3 t e(t) = 4t + 4 a) Calcula el espacio recorrido al cabo de 7 segundos. b) Calcula la velocidad al cabo de 7 segundos. c) Calcula la aceleración al cabo de 7 segundos. d) Representa en los mismos ejes el espacio, la velocidad y la aceleración. Qué tipo de gráficas son? y 368 SOLUCIONARIO

26 b) Función que hay que minimizar. A(, y) = π + πy Sujeta a las condiciones: Volumen = 16π m 3 π y = 16π c) Se escribe la función con una sola variable. A(, y) = π + πy π y = 16π y = y 3π A() = π + d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. A'() = 4π 3π A'() = 0 = Si = y = 4 e) Se comprueba en la a derivada. A''() = 4π + 64π 3 A''() = 1π > 0 (+) Mínimo relativo. f) El cilindro tiene un radio de m y una altura de 4 m con una superficie mínima de 4π m 63. Calcula las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir en una circunferencia de radio 0 cm a) Incógnitas, datos y dibujo. = base del rectángulo. y = altura del rectángulo. Radio de la circunferencia circunscrita = 0 cm b) Función que hay que maimizar. A(, y) = y Sujeta a las condiciones: + y = 40 c) Se escribe la función con una sola variable. A(, y) = y + y = 40 y = A() = A() = d) Se calculan los máimos y mínimos derivando. A'() = A'() = 0 = 0, = 0 (La solución negativa no tiene sentido). Si = 0 y = 0 e) Se comprueba en la segunda derivada A''() = (1 600 ) A''(0 ) = 4 < 0 () Máimo relativo. f) El rectángulo es un cuadrado de lado 0 cm con un área de 800 cm Problemas 64. De una función polinómica se sabe que tiene un máimo relativo en el punto A( 1, 3), un mínimo relativo en el punto B(1, 1) y un punto de infleión en el punto C(0, 1), y que: lím f() = f() Con esta información, dibuja la gráfica a mano alzada. A(1, 3) C(0, 1) B(1, 1) TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 369

27 Ejercicios y problemas 65. Estudia si en el punto O(0, 0) la siguiente función polinómica tiene un punto de infleión: y = 4 y' = y'' = 1 y''(0) = 0 y''' = 4 y'''(0) = 0 y IV = 4, es de orden par. En el punto O(0, 0) no hay punto de infleión. D(3, 1) A(1, ) C(3, 1) O(0, 0) B(1, ) 66. Estudia el punto P(0, 1) de la siguiente función polinómica: y = 4 1 y' = 4 3 y' = 0 y'' = 1 y''(0) = 0 y''' = 4 y'''(0) = 0 y IV = 4 > 0 (+) La función tiene un mínimo relativo en P(0, 1) 68. Estudia el punto P(0, 3) de la siguiente función racional: 9 y = + 3 y' = 18 ( + 3) y'(0) = 0 y'' = ( + 3) 3 y''(0) = < 0 () El punto P(0, 3) es un máimo relativo. 67. De una función racional se sabe que tiene como asíntota y = 0, tiene un máimo relativo en el punto A(1, ), un mínimo relativo en el punto B(1, ), puntos de infleión en O(0, 0), C(3, 1) y D(3, 1), y que: lím f() = 0 + lím f() = Con esta información, dibuja la gráfica a mano alzada. 69. Estudia el punto O(0, 0) de la siguiente función racional: y = y' = ( + 1) y'(0) = SOLUCIONARIO

28 y'' = ( + 1) 3 y''(0) = 0 18( ) y''' = ( + 1) 4 y'''(0) = 18? 0 En el punto (0, 0) hay un punto de infleión. y' = a + b Tiene un máimo relativo en P(, 4) y'() = 0 4a + b = 0 Resolviendo el sistema: a = 1,b = 4,c = 0 y = 4 P(, 4) O(0, 0) 70. Aplicando el cálculo de derivadas, halla la función cuadrática que pasa por el origen de coordenadas O(0, 0) y tiene un mínimo relativo en el punto P(, 4) 7. Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la parábola siguiente: y = a + b + c Pasa por O(0, 0) y(0) = 0 c = 0 Pasa por P(, 4) y() = 4 4a + b = 4 y' = a + b Tiene un mínimo relativo en P(, 4) y'() = 0 4a + b = 0 Resolviendo el sistema: a = 1, b = 4, c = 0 y = 4 O(0, 0) 71. Aplicando el cálculo de derivadas, halla la función cuadrática que pasa por el origen de coordenadas y tiene un máimo relativo en el punto P(, 4) y = a + b + c Pasa por O(0, 0) y(0) = 0 c = 0 Pasa por P(, 4) y( ) = 4 4a b = 4 P(, 4) f () Calcula para f(): a) la monotonía. b) las abscisas del máimo y del mínimo relativos. c) la curvatura. d) la abscisa del punto de infleión. e) Haz una aproimación de una gráfica de la función f() a) La función f() es creciente en: (, 0) La función f() es decreciente en: U (0, b) Tiene un mínimo relativo en = y tiene un máimo relativo en = 0 c) Convea ( ): Cóncava ( ): (1, d) Punto de infleión en = 1 e) TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 371

29 Ejercicios y problemas 73. Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la recta siguiente: f () Calcula la fórmula de f() sabiendo que pasa por el origen de coordenadas. y' = + La función debe ser de º grado y = a + b + c Como pasa por el origen: c = 0 y' = a + b a + b = + a = 1, b = y = Sea una función f() tal que la gráfica de su derivada f'() es la recta siguiente: f () 75. Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) está definido por la función: e(t) = 5t a) Calcula el espacio recorrido al cabo de 3 segundos. b) Calcula la velocidad al cabo de 3 segundos. c) Calcula la aceleración al cabo de 3 segundos. d) Representa en los mismos ejes el espacio, la velocidad y la aceleración. Qué tipo de gráficas son? a) e(3) = 45 m b) v(t) = 10t v(3) = 10 3 = 30 m/s c) a(t) = 10 a(3) = 10 m/s d) e e = 5t e = 10t e = La gráfica del espacio es una parábola; la de la velocidad, una recta inclinada, y la de la aceleración, una recta horizontal. t Calcula la fórmula de f() sabiendo que pasa por el origen de coordenadas. y' = + La función debe ser de º grado y = a + b + c Como pasa por el origen: c = 0 y' = a + b a + b = + a = 1, b = y = Las funciones que definen los ingresos y gastos de una empresa en millones de euros vienen dadas por: I() = 6 G() = donde es el número de miles de unidades vendidas. Halla la función que obtiene los beneficios y calcula cuántas unidades tiene que producir para que los beneficios sean máimos. 37 SOLUCIONARIO

30 B() = I() G() B() = ( 6 + 6) 3 B'() = 4 ( 3) 3 B'( ) = 0 = 3 B''() = 4 < 0 () máimo relativo. 3 Se obtiene el máimo en unidades producidas. 79. Una finca está al lado de una carretera y se quiere vallar el mayor rectángulo posible. El metro de valla al lado de la carretera cuesta 5, y el resto, a. Halla el área del mayor recinto que se puede vallar con Una entidad financiera saca al mercado unos fondos de inversión que se rentabilizan anualmente,de acuerdo con la fórmula: R() = 0, , donde es la cantidad depositada en miles de euros y R() es el tanto por ciento. Calcula: a) La cantidad que se debe invertir para obtener la mejor rentabilidad. b) Calcula el tanto por ciento en el mejor de los casos. a) Incógnitas, datos y dibujo. = base del rectángulo. y = altura del rectángulo y + y = 800 y a) R'() = 0,00 + 0,08 R'() = 0 = 40 R''() = 0,00 < 0 () Máimo relativo. Con euros se alcanza la máima rentabilidad. b) R(40) = 6,6% 78. La población de una ciudad a partir del instante inicial (t = 0) sigue la función: t P(t) = + 400t (t + 40) donde t es el número de años, y P(t), la población en millones de habitantes. a) En qué año tendrá la ciudad el mayor número de habitantes? b) Cuántos habitantes tendrá en ese momento? a) P'(t) = 30t (t + 40) 3 P'(t) = 0 t = 40 P''(t) = 640t (t + 40) 4 P''(40) = 1/1600 < 0 () Máimo relativo. Se alcanza la máima población a los 40 años. b) P(40) = habitantes. b) Función que hay que minimizar. A(, y) = y Sujeta a las condiciones: 7 + 4y = 800 c) Se escribe la función con una sola variable. A(, y) = y 7 + 4y = 800 y = A() = d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. A'() = A'() = 0 = 00 Si = 00 y = 350 e) Se comprueba en la a derivada. A''() = 7/ A''(00) = 7/ < 0 () Máimo relativo. f) El rectángulo tendrá al lado de la carretera 00 m y al otro lado 350 m, con un área de m 80. Un jardinero quiere construir un parterre (jardín pequeño) con forma de sector circular de área máima. Halla el radio del parterre, sabiendo que el perímetro mide 4 m TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 373

31 Ejercicios y problemas a) Incógnitas, datos y dibujo. R = Longitud del radio. L = Longitud del arco. Perímetro = 4 m A(, 4) C(4, 1) R B(1, 4) b) Función que hay que minimizar. A(L, R) = 1 LR Sujeta a las condiciones: L + R = 4 c) Se escribe la función con una sola variable. A(L, R) = 1 LR L + R = 4 L = 4 R A(R) = 1R R d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. A'(R) = 1 R A'(R) = 0 R = 6 Si R = 6 L = 1 e) Se comprueba en la a derivada. A''(R) = A''(6) = < 0 () Máimo relativo. f) El jardín tendrá un radio de 6 m y una longitud de arco de 1 m, con un área de 36 m Para profundizar 81. De una función polinómica se sabe que tiene un máimo relativo en el punto A(, 4), un mínimo relativo en el punto B(1, 4),otro máimo relativo en el punto C(4, 1), y que: lím f() lím f() Con esta información, dibuja la gráfica a mano alzada. 8. Estudia el punto P(0, 1) de la siguiente función polinómica: y = y' = 4 3 y'(0) = 0 y'' = 1 y''(0) = 0 y''' = 4 y'''(0) = 0 y IV = 4 > 0 (+) Mínimo relativo. 83. Estudia si en el punto O(0, 0) de la siguiente función polinómica tiene un punto de infleión: y = 4 y' = y'' = 1 y''(0) = 0 y''' = 4 y'''(0) = SOLUCIONARIO

32 y IV = 4 < 0 () En O(0, 0) no hay punto de infleión. 86. Representa la siguiente función racional completando el formulario de los diez apartados. y = 1 y' = 3 6 y'' = 4 4 y''' = De una función racional se sabe que tiene como asíntotas = 0 e y =, corta al eje en los puntos A(1, 0) y B(1, 0), y que: lím lím 0 + f() = f() f() f() = Con esta información, dibuja una gráfica a mano alzada. 85. Estudia el punto P(0, 1) de la siguiente función racional: y = lím 0 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {0} = U (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es par simétrica respecto del eje Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): U (0, Negativa (): Ö 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): U (0, Cóncava ( ): Ö y' = 4 ( 1) y'(0) = 0 y'' = ( 1) 3 y''(0) < 0 () (0, 1) máimo relativo. Im(f) = (0, TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 375

33 Ejercicios y problemas 87. Halla la función polinómica de 3 er grado que pasa por el origen de coordenadas O(0, 0), tiene un máimo relativo en el punto P(,4) y un punto de infleión en Q(1,) y = a 3 + b + c + d Pasa por O(0, 0) d = 0 Pasa por P(, 4) y() = 4 8a + 4b c + d = 4 Pasa por Q(1, ) y(1) = a + b c + d = y' = 3a + b + c Máimo relativo en P(, 4) y'() = 0 1a 4b + c = 0 y'' = 6a + b Punto de infleión en Q(1, ) y''(1) = 0 6a + b = 0 Resolviendo el sistema: a = 1, b = 3, c = 0, d = 0 y = P(, 4) Q(1, ) O(0, 0) 89. Los gastos en euros de una empresa,en función del número de objetos que produce, vienen dados por la función: G() = Se define el gasto medio como el gasto que cuesta producir un objeto, es decir: G() GM() = Calcula: a) el número de objetos que tiene que producir para que el gasto medio sea mínimo. b) el coste de cada pieza cuando el gasto medio sea mínimo. a) GM() = GM'() = Sea una función f() tal que la gráfica de su ª derivada f''() es la recta siguiente: f () GM'() = 0 = 30, = 30 (El valor negativo no tiene sentido). GM'' () = GM''(30) = 1/15 > 0 (+) Mínimo relativo. b) GM(30) = 63 euros. Calcula para f(): a) la curvatura. b) la abscisa del punto de infleión. c) Haz una aproimación de una gráfica de la derivada f'() a) Convea ( ): 1) Cóncava ( ): ( 1, b) Tiene punto de infleión en = La función que halla el número de personas que visitan un parque de atracciones en verano,desde las 8 hasta las 0 horas, viene dada por: f() = Calcula: a) a qué hora hay más personas en el parque de atracciones. b) a qué hora hay menos personas en el parque de atracciones. f'() = f'() = 0 = 10, = 0 f''() = 6 90 f''(10) = 30 < 0 () Máimo relativo. 376 SOLUCIONARIO

34 f''(0) = 30 > 0 (+) Mínimo relativo. a) Hay más personas a las 10 horas. b) Hay menos personas a las 0 horas. 91. En una isla de Australia hay una plaga de conejos que sigue la función: f() = donde representa el número de días. Calcula: a) en qué día hay más conejos y cuántos hay. b) Con el paso del tiempo, hacia dónde tiende a estabilizarse el número de conejos? (5 ) a) y' = ( ) y' = 0 = ( ) y'' = ( ) 3 y''(5) = < 0 () Máimo relativo. b) lím f() = 0 Por tanto, se etinguen. d) Se calculan los máimos y mínimos derivando. 3 15(0 ) A'() = 15 A'() = 0 = 0 Si = 0 y = 0 e) Se comprueba en la a derivada. 3 15(10 ) A''() = ( 15) 15 A''(0) = 3 3 < 0 () Máimo relativo. f) El triángulo de área máima es el equilátero de 0 cm de lado. 93. Calcula un punto P(, y) de la parábola y = tal que su distancia al punto A(0, 3) sea mínima. a) Incógnitas, datos y dibujo. Punto incógnita: P(, y) Punto fijo: A(0, 3) Parábola: y = 9. De todos los triángulos isósceles de perímetro 60 cm, halla el de área máima. A(0, 3) P(, y) a) Incógnitas, datos y dibujo. = lado desigual del triángulo. y = lado igual. Perímetro = 60 cm b) Función que hay que minimizar. A(, y) = 1 y h Sujeta a las condiciones: + y = 60 y h = ( ) c) Se escribe la función con una sola variable. A() = (30 ) h y b) Función que hay que minimizar. d(a, P) = d(, y) = + (y 3) Sujeta a las condiciones: y = c) Se escribe la función con una sola variable. d(y) = y + (y 3) d(y) = y 5y + 9 d) Se calculan los máimos y mínimos derivando. y 5 d'(y) = y 5y + 9 d'(y) = 0 y = 5/ Si y = 5/ = ± 10/ e) Se comprueba en la a derivada. 11 d''(y) = 4(y 5y + 9) y 5y + 9 d''(5/) = 11 > 0 (+) Mínimo relativo. 11 f) Los puntos son: P( 10/, 5/) y Q( 10/, 5/) TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 377

35 Linu/Windows Paso a paso 94. Dibuja la siguiente función y completa el formulario de los diez apartados: y = + 1 Resuelto en el libro del alumnado. 95. Dentro de un prado se quiere colocar una cerca rectangular de 30 m de longitud para que pueda pastar una cabra. Calcula las dimensiones para que la superficie sea máima. Resuelto en el libro del alumnado. 96. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso y tema. Practica Dibuja las siguientes funciones y completa para cada una de ellas el formulario de los diez apartados: 97. y = Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = 3. Continuidad: es continua. 5. Simetrías: es impar, simétrica respecto del origen O(0, 0) Eje : A( 3, 0), O(0, 0), B( 3, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 3, 0) U ( 3, Negativa (): 3 ) U (0, 3 ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: C(1, ) Mínimo relativo: D(1, ) 98. y = Creciente: 1) U (1, Decreciente: (1, 1) 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Convea ( ): (0, Cóncava ( ): 0) Im(f) = = Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {1, 1} = 1) U (1, 1) U (1, 378 SOLUCIONARIO

36 Windows Derive 3. Continuidad: es discontinua en = 1, = 1, donde tiene discontinuidades de 1ª especie, de salto infinito. 5. Simetrías: es par, es simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : A(0, 1) Positiva (+): 1) U (1, Negativa (): (1, 1) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(0, 1) Mínimo relativo: no tiene. Creciente: 1) U (1, 0) Decreciente: (0, 1) U (1, 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea ( ): 1) U (1, Cóncava ( ): (1, 1) Im(f) = 1] U (0, 99. y = Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0). Es simétrica respecto del punto B(1, 0) Eje : A( 3 1, 0), B(1, 0), C( 3 1, 0) Eje : D(0, ) Positiva (+): 3 1) U (1, 31) Negativa (): ( 3 1, 1) U ( 3 1, 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: D(0, ) Mínimo relativo: E(, ) Creciente: (, 0) Decreciente: ) U (0, 9. Puntos de infleión: F(1, 0) Convea ( ): 1) Cóncava ( ): (1, Im(f) = = y = Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = = 3. Continuidad: es continua. 5. Simetrías: es impar simétrica respecto del origen de coordenadas O(0, 0) TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 379

37 Linu/Windows Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa (): 0) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(1, 1) Mínimo relativo: B(1, 1) Creciente: (1, 1) Decreciente: 1) U (1, 9. Puntos de infleión: C( 3, 3/), O(0, 0), D( 3, 3/) Convea ( ): ( 3, 0) U ( 3, Cóncava ( ): 3) U (0, 3) Im(f) = [1, 1] Eje : O(0, 0), A(, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 0) U (, Negativa (): (0, ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: B(3/, 7/16) Creciente: (3/, Decreciente: 3/) 9. Puntos de infleión: O(0, 0), C(1, 1) Convea ( ): 0) U (1, Cóncava ( ): (0, 1) Im(f) = [7/16, 101. y = y = 1 1. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0) 1. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {1} = 1) U (1, 3. Continuidad: es discontinua en = 1 donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto del origen O(0, 0). Es simétrica respecto del punto P(1, 1) 380 SOLUCIONARIO

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