Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

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1 Técicas Cuatitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

2 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 2 / 20

3 Ídice Cocepto de muestra y Muestra Estadístico Estadístico y parámetro poblacioal Alguos ejemplos de Cocepto de muestra y variaza de la media variaza y cuasivariaza TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 3 / 20

4 Muestra Ídice Cocepto de muestra y Muestra Estadístico Estadístico y parámetro poblacioal Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza U problema fudametal e la estadística cosiste e estudiar algua característica descoocida de ua distribució de probabilidad de ua variable aleatoria. Auque dicha cuestió será estudiada e los próximos temas, se preseta a cotiuació coceptos ecesarios para realizar dicho estudio. Muestra: Subcojuto de elemetos de la població. Es fudametal elegir adecuadamete los elemetos de la muestra y el tamaño. Normalmete trabajaremos co lo que se cooce como muestreo aleatorio simple, que cosiste e que todos los elemetos de la població tiee la misma probabilidad de estar e la muestra y so idepedietes etre ellos. Parámetro poblacioal: Características estocásticas de la població. Los más usados, y por tato coocidos, so la esperaza matemática o media y la variaza 1, es decir, E[X] yvar(x). El coocimieto del parámetro poblacioal permite describir parcial o totalmete la distribució de probabilidad de la variable que estamos ivestigado. 1 Por ejemplo, e la distribució Biomial so py p (1 p), e la Poisso esλ y e la Normal soµyσ 2. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 4 / 20

5 Estadístico Ídice Cocepto de muestra y Muestra Estadístico Estadístico y parámetro poblacioal Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza U es cualquier fució real de las variables aleatorias que itegra la muestra, la cual o cotiee igú valor o parámetro descoocido. E geeral, el se represeta como fució de las observacioes es y, por tato, para cada muestra cocreta el tomará u valor diferete. Es de la forma T(X 1,...,X ) dodex 1,...,X so las v.a. de las muestras. A medida que vamos tomado muestras distitas se obtiee distitos valores para el, resultado que efectivamete el es tambié ua variable aleatoria y, por cosiguiete, tedrá su propia distribució a la que llamaremos distribució del y que se estudiará e el siguiete capítulo. El objetivo es por tato usar determiados es (fucioes de uestra muestra) para estimar parámetros poblacioales. Notaremos co letras mayúsculas (X 1,...,X ) las v.a. de la muestra y co letras miúsculas (x 1,...,x ) a los valores cocretos que pudiera tomar cada ua de ellas. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 5 / 20

6 Estadístico Ídice Cocepto de muestra y Muestra Estadístico Estadístico y parámetro poblacioal Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza Ejemplo 1 Supogamos que se quiere coocer el salario medio de la població femeia graadia. Cosultado los datos del Istituto Nacioal de Estadística ( se sabe que el 1 de eero de 2009 dicha població asciede a idividuos. Dada la dificultad para recabar iformació sobre el salario de cada uo de los elemetos, os plateamos obteer ua muestra, por ejemplo, de elemetos. De dicha muestra se obtedrá u salario medio, pero es evidete que para cada realizació de la muestra se obtedrá u salario medio distito, lo que evidecia el carácter aleatorio del. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 6 / 20

7 Estadístico y parámetro poblacioal Ídice Cocepto de muestra y Muestra Estadístico Estadístico y parámetro poblacioal Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza Resumiedo, se etiede por parámetro poblacioal a las características descoocidas de las distribucioes de probabilidad, mietras que el es u resume de la iformació existete e la muestra. E el siguiete cuadro teemos alguos parámetros poblacioales juto a sus correspodietes es. Parámetros Poblacioales Media: E[X] Variaza: Var(X) Proporció poblacioal: p Estadísticos Muestrales Media : X Variaza : S 2 Cuasivariaza : S 2 1 Proporció : ˆp = { 1, ocurrei dodea i = A i 0, e otro caso TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 7 / 20

8 Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de Media Variaza y cuasivariaza Variaza y cuasivariaza variaza de la media Alguos ejemplos de : media, variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 8 / 20

9 Media Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de Media Variaza y cuasivariaza Variaza y cuasivariaza variaza de la media variaza y cuasivariaza Dada ua muestra aleatoria simplex 1,X 2,...,X de tamañode ua variable aleatoriax, se defie la media como X = 1 X i = X 1 +X 2 + +X Ejemplo 2 Sea X la variable aleatoria defiida como tiempo (e horas) trascurrido e realizar el exame fial de cierta asigatura. Durate la última covocatoria se aotó el tiempo que tardó cada alumo e realizar dicho exame, obteiédose la siguiete muestra: 1, 1 7, 1 8, 1 5, 1 85, 1 3, 2, 1 9, 1 6, 1 75, 1 8, 1 9. E este caso, la media será: x = = = Es decir, la media de la muestra obteida e realizar el exame es de 1 hora y 40 5 miutos. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 9 / 20

10 Variaza y cuasivariaza Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de Media Variaza y cuasivariaza Variaza y cuasivariaza variaza de la media variaza y cuasivariaza Dada ua muestra aleatoria simplex 1,X 2,...,X de tamañode ua variable aleatoriax, se defie la variaza como S 2 = 1 ( Xi X ) 2, mietras que la cuasivariaza será S 2 1 = 1 1 ( Xi X ) 2. Es evidete que la variaza y cuasivariaza se relacioa mediate la siguiete idetidad: S 2 = ( 1) S 2 1. Luego coocida la variaza y el tamaño de la muestra se puede obteer la cuasivariaza y viceversa. Adviértase que los programas iformáticos especializados e estadística calcula siempre la cuasivariaza, ya que como veremos e futuros temas, tiee mejores propiedades. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 10 / 20

11 Variaza y cuasivariaza Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de Media Variaza y cuasivariaza Variaza y cuasivariaza variaza de la media variaza y cuasivariaza Ejemplo 3 Para la muestra aterior se obtiee que S 2 = = y que S 2 1 = = ya que: x i x i x (x i x) TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 11 / 20

12 Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media media Variaza de la media Variaza de la media Variaza de la media variaza de la media variaza y cuasivariaza TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 12 / 20

13 media Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media media Variaza de la media Variaza de la media Variaza de la media variaza y cuasivariaza Dada ua variable aleatoriax, co mediae[x] y variazavar(x), y dada ua muestra aleatoria simple, X 1,...,X, de tamaño procedete de dicha població, se puede demostrar que la esperaza de la media es igual a la media de la població, E[X]. Esto es: E efecto, E [ X ] = E = 1 [ E[X] = E[X]. 1 ] X i = 1 E[X i ] E[X] = 1 E[X] = E[X], dode se ha usado que E[X i ] = E[X], para i = 1,...,, ya que partimos de ua muestra aleatoria simple. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 13 / 20

14 Variaza de la media Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media media Variaza de la media Variaza de la media Variaza de la media variaza y cuasivariaza Dada ua variable aleatoriax, co mediae[x] y variazavar(x), y dada ua muestra aleatoria simple, X 1,...,X, de tamaño procedete de dicha població, se puede demostrar que la variaza de la media es igual a la variaza poblacioal,var(x), dividida por. Es decir: Var(X) = Var(X). E efecto, partiedo de la defiició de variaza y usado la expresió de la media, se tiee que: ( Var( X) = E[ X E[ X] ) ] [( [ = E X i E [ ( )] 1 = E X 2 i E[X i ] [( = 1 ) 2 ] 2E (X i E[X i ]). ]) 2 ] X i TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 14 / 20

15 Variaza de la media Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media media Variaza de la media Variaza de la media Variaza de la media variaza y cuasivariaza Por otro lado, el cuadrado de ua suma deelemetos respode a la siguiete expresió: ( 2 (X i E[X i ])) = = ( ) ( ) (X i E[X i ]) (X i E[X i ]) (X i E[X i ]) 2 + i,j=1 i j (X i E[X i ])(X j E[X j ]), si más que desarrollar la sumatoria, multiplicar los dos parétesis y agrupar de forma coveiete. E tal caso, teiedo e cueta que al partir de ua muestra idepediete se verifica que Cov[X i,x j ] = 0, i j, i,j = 1,...,, se tiee que TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 15 / 20

16 Variaza de la media Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media media Variaza de la media Variaza de la media Variaza de la media variaza y cuasivariaza Var( X) = 1 2E (X i E[X i ]) 2 + (X i E[X i ])(X j E[X j ]) ( = 1 E[X 2 i E[X i ]] 2 = 1 2 dode se ha usado + i,j=1 i j i,j=1 i j E[(X i E[X i ])(X j E[X j ])] Var(X i )+ i,j=1 i j = 1 Var(X) Var(X) =, 2 Cov[X i,x j ] Var(X 1 ) = = Var(X ) = Var(X), por ser u cojuto de variables idéticamete distribuidas. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 16 / 20

17 Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 17 / 20

18 variaza y cuasivariaza Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Dada ua variable aleatoria X, co valor esperado E[X] y variaza Var(X), y dada ua muestra aleatoria simple,x 1,...,X, de tamañoprocedete de dicha població, la esperaza de la cuasivariaza es igual a la variaza de la població, V ar(x). Es decir: Además, tambié se verifica que E[S 2 1] = Var(X). variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza E[S 2 ] = 1 Var(X). TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 18 / 20

19 variaza y cuasivariaza Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza S 2 = = (X i X) 2 Xi 2 X 2 ( ) 2 = Xi 2 1 X i ( = Xi 2 1 ) 2 X i = Xi 2 1 Xi 2 + X i X j i j = 1 Xi 2 1 X i X j i j (1) TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 19 / 20

20 variaza y cuasivariaza Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza Tomado esperazas: S 2 = 1 E[S 2 ] = E = 1 = 1 = 1 LuegoE[S 2 ] = 1 Var(X). [ 1 Xi 2 1 X i X j i j X2 i 1 i j X ix j ] E[X2 i] 1 i j E[X ix j ] (3) E[X 2 ] 1 E[X i ]E[X j ] (4) i j E[X2 ] 1 i j E[X]2 (5) = ( 1) ( E[X 2 ] E[X] 2) (6) (2) = ( 1)Var(X) (7) TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 20 / 20

21 variaza y cuasivariaza Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza variaza y cuasivariaza Tomado esperazas: S 2 = 1 E[S 2 ] = E = 1 = 1 = 1 LuegoE[S 2 ] = 1 Var(X). [ 1 Xi 2 1 X i X j i j X2 i 1 i j X ix j ] E[X2 i] 1 i j E[X ix j ] (3) E[X 2 ] 1 E[X i ]E[X j ] (4) i j E[X2 ] 1 i j E[X]2 (5) = ( 1) ( E[X 2 ] E[X] 2) (6) (2) = ( 1)Var(X) (7) E[S 2 1] = E[ 1 S2 ] = 1 E[S2 ] = 1 ( ) 1 Var(X) = Var(X) TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 20 / 20

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