Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I

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1 Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo II Unidad 4. Probabilidad Conceptos básicos de probabilidad: experimento aleatorio, espacio muestral y evento. Probabilidad. Definición. Enfoques de la probabilidad: clásico, de la frecuencia relativa y subjetivo. Probabilidad simple. Cálculo de probabilidades: regla de la adición y de la multiplicación. Conceptos de exclusión e independencia. Probabilidad condicional. Teorema de Bayes. Unidad 5. Variables Aleatorias y continuas. Función de probabilidades. Indicadores de posición y dispersión. Esperanza matemática. Varianza y desviación estándar. Interpretación y aplicaciones de la esperanza y la desviación estándar. Unidad 6. Algunas distribuciones de probabilidad especiales Distribuciones discretas. Ensayos Bernoulli. Distribución Binomial, hipergeométrica y Poisson Distribuciones continuas. Distribución Normal. Distribución estandarizada. Aproximación Normal de las distribuciones Binomial y Poisson. Distribución t de Student, Chi-cuadrado y F de Fisher. Aplicaciones. Unidad 7. Muestreo y Estimación Nociones básicas de muestreo. Distribuciones muestrales en poblaciones infinitas y finitas. Teorema central del límite. Estimación y estimador. Estimación puntual. Propiedades deseables de los estimadores. Principales estimadores puntuales. Estimación por intervalos. Intervalos de confianza para la media, proporción y varianza. Cálculo del tamaño muestral. Aplicaciones. Unidad 8. Prueba de hipótesis Conceptos básicos. Hipótesis estadística. Hipótesis nula y alternativa. Estadígrafo de contraste. Región crítica y región de aceptación. Error de Tipo I y de Tipo II. Nivel de significación y potencia. Tipo de contraste. p-valor. Contrastes de hipótesis referentes a media, proporción y varianza poblacional. Aplicaciones. Mag. María del Carmen Romero 1

2 Variable aleatoria Contenidos y continuas. Función de probabilidades. Indicadores de posición y dispersión. Esperanza matemática. Varianza y desviación estándar. Interpretación y aplicaciones de la esperanza y la desviación estándar. Variable aleatoria Mag. María del Carmen Romero 2

3 Variable aleatoria Variable aleatoria Variable: característica que desea observarse. Aleatoria: no puede predecirse con certeza cuál es el valor que puede tomar. Son cuantitativas (pueden ser discretas o continuas). Surgen de un proceso de medición Surgen de un proceso de conteo Variable aleatoria Variable aleatoria Definición: si S es un espacio muestral con probabilidad p y f una función real: f:s R, entonces: X = f(s) es una variable aleatoria. Funciones de variables aleatorias son también variables aleatorias. Ejemplo: Cantidad de lluvia es una variable aleatoria, el rinde de un lote de trigo que depende de la cantidad llovida también lo es. En general se escribe la variable aleatoria con X (mayúscula) y el resultado de la variable aleatoria con x (minúscula). Mag. María del Carmen Romero 3

4 Variables aleatorias discretas Ejemplo 1 Experimento aleatorio: Tirar una moneda 4 veces S = {CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS} Variable aleatoria X: Cantidad de caras Ejemplo 2 Experimento aleatorio: Elegir un número natural al azar entre los números arbitrarios (0,M] S = (0,M] Variable aleatoria X: Número natural elegido Mag. María del Carmen Romero 4

5 Tabla de distribución de probabilidades p(x=x) Lista mutuamente excluyente de todos los posibles resultados de la variable aleatoria y de la probabilidad asociada a cada uno. Función masa de probabilidad (p(x)) Función que a cada posible valor de variable aleatoria le hace corresponder un valor de probabilidad p(x) = Prob (X=x) 1. 0 p(x) 1 x S 2. p(x) = 1 x S Ejemplo 3 Variable aleatoria X: Cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local X p(x) P (X=0) = 0.10 P (X=2) = 0.20 Mag. María del Carmen Romero 5

6 Función de distribución o acumulada Función que a cada posible valor de variable aleatoria x le hace corresponder un valor que indica la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que x F(x) = P(X x) = p(x) para < x< Condiciones t x 1. F( ) = 0 y F( ) = 1 2. sia< b,entoncesf(a) F(b) Ejemplo 1 Variable aleatoria X: Cantidad de caras p(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 F (x) 1/16 5/16 11/16 15/16 16/16 P (X=0) = 1/16 P (X=2) = 6/16 P (X<0) = 0 P (X 0) = 1/16 P (X 1) = P(X=0) + P(X=1) = 5/16 P (X N) = 16/16 para todo N>4 Mag. María del Carmen Romero 6

7 Esperanza matemática Promedio a largo plazo N µ= E(X) = x p(x= x) i= 1 Varianza y desviación estándar i i 2 2 V(X) = E(X ) (E(X)) N 2 2 i i= 1 E(X ) = x p(x= x) i Promedio ponderado (por su probabilidad) de la distancia cuadrática entre la media y el valor de x Ejemplo 3: X: Cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local X p(x) µ= E(X) = 2.8 hipotecas 2 V(X) = 2.46 hipotecas Mediana? Moda? σ (X) = 1.57 hipotecas Mag. María del Carmen Romero 7

8 Se propone el siguiente juego: se apuesta $1 a un número de la ruleta. Si sale el número, se ganan $35, caso contrario, se pierde el peso apostado. Conviene jugar? Se asegura un diamante de $50000 por su valor total pagando una prima D (en pesos). Si la probabilidad de un robo en un año es de 0.01, qué prima tendría que cobrar la compañía de seguros si espera ganar $1000? Variables aleatorias continuas Mag. María del Carmen Romero 8

9 Variable aleatoria continua Los conceptos desarrollados anteriormente para variables aleatorias discretas se extienden naturalmente a variables aleatorias continuas. Ejemplos: Tiempo de descarga para la página principal de un sitio web Distancia recorrida por un camión en un año Costo de la electricidad durante el mes de agosto Función de densidad de probabilidades (f(x)) Expresión matemática que define la distribución de los valores para una variable aleatoria continua. Concepto similar al de función masa de probabilidad, excepto que no indica una probabilidad para un valor dado de variable. Prob (X=x) = 0 La cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria es infinito. Mag. María del Carmen Romero 9

10 Variable Aleatoria Discreta Función masa de probabilidad Variable Aleatoria Continua Función de Densidad Valor de la función en x indica probabilidad: P (X=x) Valor de la función en x indica densidad Función de densidad de probabilidades (f(x)) Ejemplo: Sea x una variable aleatoria que denota la cantidad de minutos que dura una conversación telefónica dada por la siguiente función de densidad: 1/8 0 < x 2 f (x) = 3/8 2 < x 4 0 otro caso Mag. María del Carmen Romero 10

11 Función de densidad de probabilidades (f(x)) Para cualquier número real a y b, tal que a<b = P ( a X b) f ( x) dx Si X es una variable aleatoria continua y a y b son números reales tal que a b, entonces: P(a X b) = P(a X< b) = P(a< X b) = P(a< X< b) b a Ya que a p( X = a) = fx( x) dx= 0 a Función de densidad de probabilidades (f(x)) Condiciones: f ( x ) dx = 1 P( X ) = f(x)dx = 1 Mag. María del Carmen Romero 11

12 Función de distribución (acumulada) Propiedades de la Función de Distribución (F) 1) F (x i ) 0 2) F (x i ) F (x k ) para todo x i x k 3) x F(x) p(x X) f(y)dy para limf( x) = F( ) = 0 x limf( x) = F( + ) = 1 x = = < x< Función de densidad Función de distribución (acumulada) Mag. María del Carmen Romero 12

13 Variables aleatorias Propiedades de la Esperanza matemática Propiedades de la Varianza Funciones de densidad conjunta Variables aleatorias Para n variables (dependientes o no) la función de probabilidad conjunta se define como: f ( x1,, xn ) = Pr(X1= x1,, X n = xn ) Para variables continuas: Pr[(X 1,, Xn ) A] = f ( x1,, xn ) A d d 1 n Mag. María del Carmen Romero 13

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