CUERPOS EN EL ESPACIO

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1 CUERPOS EN EL ESPACIO 1. Poliedros. 2. Fórmula de Euler. 3. Prismas. 4. Paralelepípedos. Ortoedros. 5. Pirámides. 6. Cuerpos de revolución Cilindros Conos Esferas Coordenadas geográficas. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 2º ESO citados en el Decreto 69/2007, de , por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM ). El apartado de esferas y coordenadas geográficas también se ajusta a los contenidos del Bloque de Geometría de 3º ESO citados en dicho Decreto. Poliedros y cuerpos de revolución. Elementos característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. Coordenadas geográficas y husos horarios. Resolución de problemas asociados (3º ESO) Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1

2 1. POLIEDROS. Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos planos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras. El lado común a dos caras se llama arista. El punto común a tres o más aristas se llama vértice. Un poliedro se llama regular cuando cumple estas dos condiciones: a) Sus caras son polígonos regulares idénticos. b) En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras. Solo hay cinco poliedros regulares. Tetraedro (4): Formado por cuatro triángulos equiláteros. Cubo (6): Formado por seis cuadrados. Octaedro (8): Formado por ocho triángulos equiláteros. Dodecaedro (12): Formado por doce pentágonos regulares. Icosaedro (20): Formado por veinte triángulos equiláteros. APM Página 2

3 2. FÓRMULA DE EULER. Vamos a observar la relación que existe entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro. Para ello, vamos a llamar C al número de caras, V al número de vértices y A al número de aristas de un poliedro cualquiera. APM Página 3

4 Comencemos con un cubo. Vemos que: C = 6, V = 8, A =12 Si observamos estos números detenidamente, vemos que cumplen que: C + V A = = 2 Ahora bien, si hacemos un corte en una esquina obtenemos un nuevo poliedro irregular que guarda la misma relación entre sus caras, aristas y vértices. condición: En este caso, C = 7, V = 10, A = 15. Pero estos números cumplen la misma C + V A = = 2 De hecho no importa cuántos cortes se le apliquen y lo irregular de la forma final la igualdad anterior seguirá siendo válida. Por tanto, la fórmula de Euler para Poliedros es la siguiente: C + V A = 2 Sería muy interesante que los alumnos realizasen una tabla y comprobasen la fórmula de Euler para todos los poliedros regulares. APM Página 4

5 3. PRISMAS. Un prisma es un poliedro limitado por: a) Dos caras iguales y paralelas que son polígonos, llamados bases. b) Varios paralelogramos, llamados caras laterales. Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales. Los vértices del prisma son los vértices de la base. La altura del prisma es la distancia entre las bases. Si todas las caras laterales son rectángulos, serán perpendiculares a las bases y, entonces, se llama prisma recto. Si las caras laterales no son perpendiculares a las bases, se llama prisma oblicuo. PRISMA RECTO PRISMA OBLICUO APM Página 5

6 Dependiendo de que las bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos, el prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. Los prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares se llaman prismas regulares. 4. PARALELEPÍPEDOS. ORTOEDROS. Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas bases son paralelogramos, iguales y paralelos dos a dos. Los paralelepípedos, por ser prismas, pueden ser oblicuos (rojo) o rectos (azul). ortoedro. Un paralelepípedo en el que la totalidad de sus caras son rectángulos se llama Un ortoedro queda determinado conociendo las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice. Se llaman las dimensiones del ortoedro: longitud, profundidad y altura. APM Página 6

7 Un cubo es un ortoedro en el que las tres dimensiones son iguales. Es decir, las seis caras son cuadrados iguales. 5. PIRÁMIDES. Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que se llama vértice o cúspide de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Una pirámide es regular cuando la base es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de ese polígono. En una pirámide regular todas las aristas laterales son iguales y las cara laterales son triángulo isósceles iguales. Las alturas de los triángulos se llaman apotemas de la pirámide. APM Página 7

8 La apotema de una pirámide regular es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura de la pirámide y la apotema del polígono de la base. Las pirámides se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales, según que el polígono de la base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono, etc. Si cortamos una pirámide por un plano paralelo al de la base, el cuerpo comprendido entre los dos planos se llama tronco de pirámide. Un tronco de pirámide tiene dos bases que son polígonos semejantes. La distancia entre ellas es la altura del tronco. Si la pirámide es regular, al tronco de pirámide correspondiente también se le llama regular. Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales. La altura de cada uno de ellos se llama apotema del tronco de pirámide. APM Página 8

9 6. CUERPOS DE REVOLUCIÓN. Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje CILINDROS. Cilindro recto o, simplemente, cilindro es el cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Los elementos de un cilindro son: Bases: dos círculos iguales y paralelos. Radio: el radio de las bases. Generatriz: el lado del rectángulo opuesto al eje que genera la superficie cilíndrica. Eje: el lado fijo del rectángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra al cilindro. Altura: la longitud de la generatriz (distancia entre las dos bases). Superficie lateral: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un rectángulo. APM Página 9

10 Si cortamos una superficie cilíndrica por dos planos paralelos no perpendiculares al eje, obtenemos un cilindro oblicuo. OBSERVACIÓN: Sus bases no son círculos, sino elipses CONOS. Un cono es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. APM Página 10

11 Los elementos del cono son los siguientes: Base: el círculo sobre el que se apoya el cono. Radio: el radio de la base. Generatriz: el segmento que une el vértice con un punto cualquiera de la circunferencia (coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo que genera el cono). Eje: el cateto del triángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra el cono. Altura: la distancia desde el vértice a la base. Superficie lateral: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un sector circular. Si cortamos una superficie cónica por un plano no perpendicular al eje, obtenemos un cono oblicuo. OBSERVACIÓN: Su base no es un círculo, sino una elipse. Si cortamos un cono por un plano paralelo al plano de la base, el cuerpo geométrico comprendido entre los dos planos se llama tronco de cono. APM Página 11

12 El troco de cono es un cuerpo de revolución que se genera al girar un trapecio rectángulo alrededor de su altura. Tiene dos bases circulares. La altura es la distancia entre las bases. La generatriz es el segmento que ha generado la superficie lateral. La altura, h, la generatriz, g, y la diferencia de los radios, R-r, forman un triángulo rectángulo 6.3.ESFERAS. Si hacemos girar un semicírculo alrededor de su diámetro se genera una esfera. APM Página 12

13 Sus elementos notables son el radio y el centro. Al cortar una esfera por un plano secante, la sección es un círculo y cada una de las partes en que queda dividida la esfera se llama casquete esférico. La mayor sección que se puede obtener se consigue con un plano que pasa por el centro. Se llama círculo máximo. Cada una de las partes de la esfera en que queda dividida se llama semiesfera. APM Página 13

14 6.4. COORDENADAS GEOGRÁFICAS. Si consideramos que la Tierra es una esfera, mira cómo queda dividida: Como sabes, la esfera terrestre gira sobre sí misma. Esto trae como consecuencia que existan en ella dos puntos destacados, los polos, por los que pasa el eje polar de giro. Los círculos máximos que pasan por los polos se llaman meridianos. Los círculos que se obtienen como secciones de planos perpendiculares al eje de giro se llaman paralelos, salvo el círculo máximo, correspondiente a un plano perpendicular al eje en el centro de la Tierra, que se llama ecuador. Por cada punto de la Tierra para un paralelo y un meridiano. Se designan por la posición que ocupan respecto a dos círculos máximos: El ecuador. Un cierto meridiano. Concretamente el que pasa por Greenwich, localidad próxima a Londres en la cual había un importante observatorio astronómico APM Página 14

15 Las coordenadas geográficas son: Longitud: Es el ángulo que forma el plano que determina el meridiano del lugar con el plano que determina el meridiano de Greenwich, indicando si están al este (E) o al oeste (O). Latitud: Es el ángulo al que se encuentra el paralelo que pasa por ese lugar respecto al ecuador, indicando si están al norte (N) o al sur (S). Por ejemplo, las coordenadas de Moscú son 37º E, 57º N. APM Página 15

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