153 ESO. La mayoría de los hombres nacen como originales y terminan como copias. Oriental

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Pedro Torres Carrizo
hace 7 años
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1 L myorí de los omres ncen como originles y terminn como copis 15 ESO Orientl ÍNDICE: MILLA NÁUTICA PISTA DE ATLETISMO 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES PARA CÁLCULO DE LONGITUDES, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES. POLIEDROS REGULARES 4. PRISMAS Y PIRÁMIDES 5. PITÁGORAS EN PRISMAS Y PIRÁMIDES 6. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 7. ÁREAS DE POLIEDROS, CILINDROS Y CONOS 8. VOLÚMENES DE CUERPOS SIMPLES 9. ESFERA Figurs y cuerpos geométricos 15. 1

2 MILLA NÁUTICA Con ojeto de simplificr los cálculos que requerí l nvegción, se estleció un unidd de longitud que estuviese relciond con medids de ángulos y sí provecr l informción que podín scr de l vrición en l posición de ls estrells. A est unidd se le dio el nomre de 1' mill náutic que es l longitud de un rco de meridino terrestre cuyo ángulo centrl mide 1. Cuántos Km. represent? PISTA DE ATLETISMO Tenemos un pist de tletismo con ls siguientes dimensiones: Un corredor d vuelts l rectángulo centrl. Otro lo ce l recorrido totl (es decir, los lterles y ls dos semicircunferencis). Por fin, otro ce del rectángulo centrl los dos ldos menores y ls dos digonles: Qué diferenci y entre ls tres distncis? Si quisiérmos cer un pist cuyo recorrido totl fuese de dos lrgos de 100 metros y otrs dos semicircunferencis de 100 metros, de cuánto tendrí que ser el nco de l pist? Figurs y cuerpos geométricos 15.

3 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES PARA CÁLCULO DE LONGITUDES, SUPERFICIES Y VOLÚMENES LONGITUDES Pr el cálculo de longitudes son importntes en el cso de Polígonos El teorem de Pitágors. Circunferenci c = + c r L longitud de un circunferenci. L = π r Apotem de un triángulo equilátero: = 1 En el diujo están ls clves de l demostrción. 60º Apotem: En un polígono, l perpendiculr desde el centro uno de sus ldos. Ángulo interior de un polígono regulr Deducción de su vlor es sencillo prtir de l (n ) 180 tringulción de l figur: α = n α SUPERFICIES Rectángulo: S = Prlelogrmo: S = Triángulo: S = Trpecio: ( + B) S = Polígonos regulres: S = p l l B l l l l Figurs y cuerpos geométricos 15.

4 Circunferenci: p r r S = = π =π r Trpecios Se clsificn sí según su form: Rectángulo Isósceles Escleno VOLÚMENES Del ortoedro. Prism recto de ses rectngulres. c V = c. LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES SECTOR CIRCULAR O TRIÁNGULO CIRCULAR Y TRAPECIO CIRCULAR Longitud: π r α 60 r Superficie: π r α α 60 r R Triángulo circulr: S = α Coron circulr: π ( R r ) B B + Trpecio circulr: S = Deducciones longitud Del triángulo circulr: π Del trpecio circulr: superficie π π x = = π x Figurs y cuerpos geométricos 15. 4

5 π ( R r ) α π ( R + r) ( R r) α El áre del trpecio circulr es = = 60 π ( R + r) α πrα + πrα = = = B +. POLIEDROS REGULARES Poliedro: Cuerpo o sólido limitdo por crs poligonles. Pr "cerrr" un vértice necesitmos l menos tres crs. Con dos crs tenemos un diedro, determinn un rist. Cortndo dic rist con un plno secnte los otros dos y se cerrrí el sólido en ese vértice. Sus elementos son: vértices (punto en el que concurren tres o más rists), rists (intersección de dos crs) y crs (polígonos que limitn l figur). Se dice regulr si tods sus crs son polígonos regulres igules y en cd vértice concurren el mismo número de crs (dos tetredros unidos por un cr cumplirín el estr formdo por polígonos regulres igules pero no serí un poliedro regulr). Se denominn poliedro convexo todo quel cuys superficies no pueden tener más de dos puntos comunes con un rect exterior sus crs. Est crcterístic tmién l cumplen tods sus rists. Un poliedro convexo qued por entero de un ldo de sus crs; el cso contrrio lo constituyen los poliedros cóncvos. Sólo existen 5 poliedros regulres: tetredro, exedro, octedro, dodecedro, icosedro. FÓRMULA DE EULER PARA UN POLIEDRO CONVEXO: c + v = + (Crlos V, Austri º). Crs más vértices es igul rists más dos. Prtiendo de Euler se pueden deducir los 5 sólidos regulres. Triángulos equiláteros: triángulos por vértice: número de crs: c número de vértices número de rists + n n (cd triángulo port vértices que en el poliedro se grupn de en ) De est mner nos quedrí l ecución: n (Cd triángulo port rists que en el poliedro se grupn de en ) n n n + = +. Cuy únic solución es n = 4. Tetredro. 4 triángulos por vértice: número de crs: c número de vértices número de rists + n n n 4 De est mner nos quedrí l ecución: Figurs y cuerpos geométricos 15. 5

6 n n n + = +. Cuy únic solución es n = 8. Octedro. 4 5 triángulos por vértice: número de crs: c número de vértices número de rists + n n n 5 De est mner nos quedrí l ecución: n n n + = +. Cuy únic solución es n = 0. Icosedro. 5 6 triángulos por vértice: Imposile. Cudrdos: cudrdos por vértice: número de crs: c número de vértices número de rists + n 4n (cd cudrdo port 4 vértices que en el poliedro se grupn de en ) De est mner nos quedrí l ecución: 4n (Cd cudrdo port 4 rists que en el poliedro se grupn de en ) 4n 4n n + = +. Cuy únic solución es n = 6. Hexedro o cuo. Con más crs por vértice es imposile. pentágonos regulres por vértice: número de crs: c número de vértices número de rists + n 5n (cd pentágono port 5 vértices que en el poliedro se grupn de en ) De est mner nos quedrí l ecución: 5n (Cd pentágono port 5 rists que en el poliedro se grupn de en ) 5n 5n n + = +. Cuy únic solución es n = 1. Dodecedro. Con más crs por vértice es imposile. Con poliedros de orden superior es imposile porque el exágono y tiene de ángulo interior 10º. Ejercicio: Hcer un tl que recoj el número de crs, vértices y rists de los cinco sólidos pltónicos. Figurs y cuerpos geométricos 15. 6

7 4. PRISMAS Y PIRÁMIDES PRISMAS Prism: Poliedro formdo por dos ses que son polígonos igules y prlelos y ls restntes crs prlelogrmos limitdor por rists que unen los vértices correspondientes de ls dos ses. Clsificción según el polígono de ls ses: tringulr, cudrngulr, pentgonl, exgonl. Clsificción según l form: regulr (lo son ls ses), recto (rists lterles perpendiculres ls ses) y olicuo (en cso contrrio). Prlelepípedo: Prism cuys ses son prlelogrmos. PIRÁMIDES Poliedro en el que un cr es un polígono y ls restntes son triángulos con un vértice común (vértice de l pirámide). Clsificción según el polígono de l se: tringulr, cudrngulr, pentgonl, exgonl. Clsificción según l form: regulr o rect si lo es su se (polígono regulr) y tods ls rists lterles son de igul longitud. En este cso l ltur ce en el centro de l se. Olicu en cso contrrio. Apotem: En un polígono, l perpendiculr desde el centro uno de sus ldos. En un pirámide, l perpendiculr que une el vértice con uno de los ldos de l se. 5. PITÁGORAS EN PRISMAS Y PIRÁMIDES Digonl de un ortoedro: d = x + y + z z x y Apotem y ltur de un pirámide Tenemos ls siguientes relciones pr ls pirámides regulres: A r L L A l/ A ; L r ; L A l = + = + = + F H G I K J A: potem; L: rist lterl; : potem de l se; : ltur; r: rdio de l se. 6. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Son los cuerpos que se otienen l girr un recinto plno lrededor de un eje situdo en el mismo plno descriiendo cd punto un circunferenci complet. Se llm eje del sólido l eje de giro. Figurs y cuerpos geométricos 15. 7

8 CILINDRO CONO Se llm genertriz del sólido cd un de ls rects que lo genern. Sólido de revolución producido por el giro de un rectángulo sore un ldo. Sólido de revolución producido por el giro de un triángulo rectángulo que gir sore un cteto. Tmién se pueden usr los resultdos nteriores (Pitágors, longitud circunferenci, áre círculo, ) pr llr sus elementos. 7. ÁREAS DE POLIEDROS, CILINDROS Y CONOS Hciendo su desrrollo plno y llndo l superficie de cd cr. Hlremos de S L = superficie de ls crs lterles. Hlremos de S B = superficie de ls ses o de l se. Hlremos de S T = superficie totl: S L + S B. 8. VOLÚMENES DE CUERPOS SIMPLES VOLÚMENES DE PRISMAS Y CILINDROS V = B VOLÚMENES DE PIRÁMIDES Y CONOS 9. ESFERA B V = Ls fórmuls ásics pr l esfer son ls siguientes. 4 V = πr ; S = 4πr L esfer tiene l mism superficie lterl que un cilindro que tuviese el mismo rdio y ltur que l se. De quí se podrín scr consecuencis sore l superficie de un zon esféric (superficie comprendid entre dos "prlelos") y l de un csquete esférico (superficie comprendid entre un polo y un "prlelo") El uso (superficie comprendid entre dos meridinos) y l cuñ (volumen comprendido entre dos meridinos) se ll por proporcionlidd con el ángulo que define el uso o l cuñ. Figurs y cuerpos geométricos 15. 8

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