Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Transcripción

1 Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 9 de febrero de Índice..Introducción Ejemplo Ejemplo Motivación a la formalización del método Formalización del método de solución Introducción En esta lectura veremos una aplicación del álgebra lineal a la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales. Los conceptos involucrados son valores vectores propios de una matriz, así como el concepto de diagonalización de una matriz. La lectura está organizada de la siguiente manera. Primeramente, se verán dos ejemplos de la aplicación del método. En estos ejemplos se muestra cómo utilizar una calculadora avanzada de las que obtienen valores vectores propios de una matriz. Seguidamente, viene una sección donde se motiva el método de solución. Finalmente, la lectura termina con una sección donde se formaliza el método... Ejemplo Veamos un primer ejemplo que ilustra el método de solución. En este todos los valores propios son diferentes así la matriz que resulta es diagonalizable. Ejemplo. Determine la solución al sistema x x + 3 x + Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: x( 3 (. Solución:( método de solución. El sistema se escribe en forma matricial: ( x [ 3 ]( x. Se determinan los valores propios de la matriz de coeficientes. El polinomio característico es: Los valores propios son entonces: p A (λ λ 3λ 4 λ, λ 4 3. Se determinan los vectores propios correspondientes son: ( ( 3/ v, v

2 Figura : Ejemplo : Matriz del sistema sus valores vectores propios. El método que describiremos aplica cuando todos los valores característicos son reales cuando la totalidad de los vectores propios determinados es n: v,v,...,v n, siendo la matriz de coeficientes n n. En este caso la solución general se escribe: n x C i v i e λ it 4. Se forma la solución general al sistema: ( ( x(t C (t i e t +C ( 3/ 5. Se determina la solución particular: determinación de C C usando x( 3 ( : ( ( ( 3 C e 3/ +C e 4 e 4t Para determinar las constantes resolvemos el sistema cua matriz aumentada es: [ ] [ ] 3/ 3 /5 /5 O bien: ( x ( x 5 ( ( /5 /5 e t + 5 ( 3/ ( e t 3/5 + /5 Hagámos los cálculos con una calculadora TI Voage. En la figura : se define la matriz del sistema A; se determinan los valores propios; se obtienen los vectores propios correspondientes; se introducen las condiciones iniciales. Cabe observar que debe respetarse el orden de aparición de cada valor propio de cada vector propio: e 4t e 4t Para el valor propio 4, el vector <.83,.554 > genera el espacio invariante. Para el valor propio, el vector <.77,.77 > genera el espacio invariante. Así la solución general quedaría: ( x C ( e 4t +C ( e t La constantes C C de la solución particular pueden ser determinadas resolviendo el sistema: VC C i donde V es la matriz formada por los vectores propios C i es el vector de condiciones iniciales. Para obtener

3 Figura : Ejemplo : cálculos para las condiciones iniciales. Figura 3: Ejemplo : cálculos para x(t. (t.. c i V i hacemos el truco del producto V diag(c,c. Estos cálculos se ilustran en la figura. Por tanto, la solución particular es: ( ( ( x.6 e 4t.4 + e t.4.4 Suponga que se desea determinar x(. (.. En este caso, las operaciones pueden hacerse en forma sencilla utilizando la matriz V diag(c,c el vector con los datos, como se ilustra en la figura Ejemplo Ahora veamos un ejemplo donde la matriz tiene valores propios diferentes pero la matriz es diagonalizable debido a que la dimensión algebraica coincide con la dimensión geométrica. Ejemplo. Determine la solución al sistema x x + z x + z z x + z Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: x( 3, ( z(. Solución:. El sistema se escribe en forma matricial: x z. Se determinan los valores propios de la matriz de coeficientes. El polinomio característico es: p A (λ (λ 3 3λ 9λ 5 (λ+ (λ 5 x z Los valores propios son entonces: λ, λ, λ 3 5 3

4 3. Se determinan los vectores propios correspondientes a λ : v, v a λ 3 5: 4. La solución general al sistema es entonces: x(t (t C z(t v 3 e t +C e t +C 3 5. Determinación de la solución particular usando las condiciones iniciales x( 3, ( z( : 3 C e +C e +C 3 e 5 Para determinar las constantes resolvemos el sistema cua matriz aumentada es: 3 Por tanto, la solución particular es: x z O simplemente, x z e t e t + e t + La figura 4 ilustra los valores vectores propios propios de la matriz de coeficientes. La figura 5 muestra los valores de las constantes C, C C 3 relativas a las condiciones iniciales. La figura 6 muestra los vectores que acompañan a las exponenciales en las conidiciones iniciales la figura 7 muestra los valores de x(.5 de (.5. De los cálculos de la figura 6 se deduce que la solución particular es: x z e 5t + e 5t e 5t e t + e t e 5t e 5t e t Para determinar los valores de x(t.5, (t.5 z(.5 podemos recurrir de nuevo a cálculos cons matrices como se ilustra en la figura 7. 4

5 Figura 4: Ejemplo : vectores propios para la matriz de coeficientes. Figura 5: Ejemplo : cálculo referente a las condiciones iniciales. Figura 6: Ejemplo : cálculo referente a las condiciones iniciales. Figura 7: Ejemplo, Posición en t.5. 5

6 .4. Motivación a la formalización del método Veamos dos ejemplos de sistemas de ecuaciones: uno fácil de resolver uno más complejo que puede reducirse a uno fácil. La transformación está relacionada con el concepto de diagonalización como veremos posteriormente. Suponga que x(t (t son dos funciones dependientes de t consideradas como funciones incógnitas supongamos que ellas satisfacen un sistema que tiene la forma: ( x (t (t ( a x(t a (t el sistema estaría representando a las dos ecuaciones diferenciales x (t a x(t (t a (t Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden cuas soluciones generales son: x(t C e a t (t C e a t Si ahora queremos regresar a la forma de vector lo anterior, lo podríamos escribir como: ( ( x(t C e a t (t C e a t de allí a: ( x(t (t ( C e a t +C ( e a t El sistema anterior es un sistema mu fácil de resolver comparado con un sistema en apariencia más difícil como: ( x ( (t 5x(t 6(t (t 3x(t 4(t Suponga que se nos ocurre genialmente combinar las ecuaciones en la siguiente forma: La ecuación menos la ecuación : x (t (t x(t (t La cual podemos escribir como: (x(t (t (x(t (t Dos veces ecuación menos la ecuación : La cual podemos escribir como: Si ahora hacemos el cambio de variables: x (t+ (t x(t (t ( x(t+(t ( x(t+(t z(t x(t (t w(t x(t+(t 6

7 esto transforma al sistema en: ( z (t w (t ( z(t w(t Este sistema se resuelve como el primero dándonos como solución general: ( ( ( z(t C w(t e t +C e t Para regresar a las variables originales el cambio de variables hecho lo describimos en forma matricial como: ( [ ] ( z(t x(t w(t (t Digamos que así la solución queda: A x Ax C ( [ ] ( x(t (t e t +C ( e t al multiplicar por A la solución queda x C A ( e t +C A ( e t Como la solución finalmente queda: [ A x C ( ] e t +C ( e t Ha varios comentarios sobre estos cálculos. El primer tipo de sistema de ecuaciones es uno mu simple debido a que el sistema representa varias ecuaciones diferenciales en una función incógnita son fáciles de resolver. Este tipo de sistemas se llaman sistemas desacoplados: cuando cada ecuación está en una función incógnita las restantes incógnitas no aparecen en ella. Mientras que el segundo tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales son llamados sistemas acoplados: cuando ha al menos una ecuación diferencial donde aparencen dos o más funciones incógnitas. Este último ejemplo muestra que cuando el sistema puede desacoplarse, puede resolverse fácilmente. Por otro lado, la sustitución que permite desacoplar las ecuaciones no es fruto de un golpe de inspiración sino resultado de un método..5. Formalización del método de solución Veamos ahora la formalización de un método de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Este método requiere los conceptos de valor vector propio asociado así como el concepto de diagonalización. Supongamos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de la forma x Ax 7

8 donde x x (t x (t. x n (t es el vector de funciones incógnitas A es la matriz de transferencia del sistema. Suponga que la matriz A es diagonalizable que A PDP donde D es una matriz diagonal diag(λ,λ,...,λ n P es una matriz cuadrada cuas columnas forman una base de vectores propios v i asociados a los valores propios λ i de A. Así, el sistema podría escribirse como x PDP x si multiplicamos por P asociamos obtenemos ( P x P x D ( P x si definimos el nuevo vector de incógnitas P x entonces el sistema queda: el cual representa al sistema desacoplado: al resolver cada una de estas ecuaciones se obtiene: que escrita en forma vectorial queda D (t λ (t (t λ (t. n(t λ n (t (t C e λ t (t C e λ t. n (t C n e λnt C e e λ t +C e e λ t + +C n e n e λnt donde e i representa al vector de ceros con un en la coordenada i. Si multiplicamos por P: x P C Pe e λ t +C Pe e λ t + +C n Pe n e λnt recordando que Pe i es la i-ésima columna de P o sea v i, la solución general queda: x n C i v i e λ it i 8