ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 2013

Transcripción

1 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Se trata de una ecuación con coeficientes variables cua solución general siempre se puede epresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas eponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada. Ecuación de Cauch-Euler llamada también ecuación Equidimensional tiene la forma Donde, los coeficientes a n,a n-,,a, a,a, son constantes reales. La ecuación de Cauch Euler tiene la característica de que el grado de las potencias coincide con el orden k de la diferenciación, Son ejemplos de ecuaciones de Cauch d k d k (k ). MÉTODO DE SOLUCIÓN Para la solución de la ecuación diferencial de Cauch, se supone que dicha solución tiene la forma donde m será una variable por determinar en la cual dependiendo de los valores que resulten viene dada la solución. Al aplicar esta solución se deben encontrar las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial, realizar las respectivas sustituciones proceder a resolver la ecuación polinómica en función de m que resulte. Un método similar al anterior se puede considerar al suponer que las soluciones tiene la forma. ESP. DANIEL SAENZ C Página

2 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 Veamos como se aplica cauch de tercer orden. el método para resolver una ecuación diferencial de Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial Consideremos que las soluciones tienen la forma: Como la ecuación diferencial es de tercer orden, se debe determinar la tercera derivada. Al realizar las sustituciones en la ecuación diferencial, se tiene Realizando las multiplicaciones de términos semejantes en, se llega Aplicando factor común Como, se tiene que Agrupando términos semejantes Lo cual corresponde a una ecuación cúbica en términos de m. ESP. DANIEL SAENZ C Página

3 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial Consideremos que las soluciones tienen la forma: Como la ecuación diferencial es de tercer orden, se debe determinar la tercera derivada. Al realizar las sustituciones en la ecuación diferencial, se tiene Realizando las multiplicaciones de términos semejantes en, se llega Aplicando factor común Como, se tiene que Agrupando términos semejantes Al resolver la ecuación polinómica resultante, se pueden presentar los siguientes casos, en función de si las raíces de esta ecuación son reales distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas. ESP. DANIEL SAENZ C Página 3

4 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 CASO : raíces reales distintas Sean m m las raíces reales, con m m. m m Entonces forman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es: m m c c RESOLVER Sea la solución general, Reemplazando en la ecuación diferencial Dividiendo por ( ) Luego la solución general es: c c c c ESP. DANIEL SAENZ C Página 4

5 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 RESOLVER Sea la solución general, Reemplazando en la ecuación diferencial Dividiendo por ( ) Luego la solución general es: c c c 3 c c c 3 ESP. DANIEL SAENZ C Página 5

6 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 CASO : raíces reales repetidas Si las raíces son repetidas (esto es, si m l = m ), la solución general es de la forma m c c m ln Caso 3: Si la ecuación característica de () tiene las raíces complejas conjugadas, entonces m = + i m = - i, donde, > entonces la solución general es ln c sen ln c cos. EJEMPLO. RESOLVER Sea la solución general, Reemplazando en la ecuación diferencial ( ) Dividiendo por de donde Luego la solución general es: ln c sen ln c cos. ln c sen ln c cos. ESP. DANIEL SAENZ C Página 6

7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 ln c sen ln c cos EJAMPLO. Solucionar la siguiente ecuación diferencial Sea la solución general, Reemplazando en la ecuación diferencial Dividiendo por ( ) Luego la solución general es: c c ln c3 c c ln c3 ESP. DANIEL SAENZ C Página 7

8 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) ESP. DANIEL SAENZ C Página 8

9 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 CAMBIO A COEFICIENTES CONSTANTES Ha ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables que pueden transformarse, mediante cambio de variables, en ecuaciones con coeficientes constantes. Consideramos la ecuación diferencial de Cauch Euler caso homogéneo, de d d segundo orden, es decir. a a a (3) d d donde a, a, a son constantes reales a. Verificamos que si hacemos t e diferencial lineal con coeficientes constantes. En efecto : Suponiendo, tomando, la ecuación (3) se convierte en una ecuación t e ó t = ln. d d d Entonces: ; d dt dt d d Sustituendo en (3): a a a obtenemos: d d a d dt d dt d dt a a d d Es decir: a ( a a) a (4) ecuación diferencial lineal con dt dt coeficientes constantes. Finalmente, resuelta esta ecuación (4), se deshace el cambio por sustitución se obtiene la solución del problema dado. d d El caso no homogéneo a a a f ( ), requiere el uso de variación d d de parámetros. ESP. DANIEL SAENZ C Página 9

10 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 3 ESP. DANIEL SAENZ C Página