Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden: la ecuación de Bernouilli

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden: la ecuación de Bernouilli"

Transcripción

1 de aplicación económica Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden: la ecuación de Bernouilli Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 1 / 63

2 de aplicación económica Introducción Modo 1 Modo 2 de aplicación económica Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 2 / 63

3 de aplicación económica Introducción Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de Bernouilli, las denotaremos α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, (1) donde r R junto con que r 0, 1 y α 0 (x) 0 para todo x, i.e. la ecuación 5y 3xy = 2y 0.5. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 3 / 63

4 de aplicación económica Nótese que, si r = 0, tenemos la ecuación diferencial lineal α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x), i.e. la ecuación 5xy + (x + 3)y = 2xy 0. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 4 / 63

5 de aplicación económica Si r = 1, tenemos la ecuación diferencial lineal α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y, simplificando α 0 (x)y + (α 1 (x) f(x)) y = 0. i.e. la ecuación 2xy + 3x 2 y = 2xy 1, simplificando 2xy + ( 3x 2 2x ) y = 0. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 5 / 63

6 de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63

7 de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63

8 de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63

9 de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63

10 de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Solución de la ecuación α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r. (2) Modo 1: Hacemos el cambio z = y (1 r). r 1 Sabemos que y = z 1 r, y = r z 1 r 1 z = z r 1 1 r z. Sustituyendo en (2) resulta r α 0 (x) z 1 r r 1 1 r z + α 1 (x)z 1 r = f(x)z 1 r. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 7 / 63

11 de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Simplificando α 0 (x) 1 r z + α 1 (x)z = f(x). Volviendo a simplificar, obtenemos z + α 1(x)(1 r) z = α 0 (x) f(x)(1 r). α 0 (x) Resultando una ecuación diferencial lineal de primer orden que se resuelve por el método estudiado. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 8 / 63

12 de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Modo 2: Hacemos y derivamos y(x) = u(x)v(x) (3) y = u v + uv. Sustituimos en la ecuación (2) resultando α 0 (x)u v + α 0 (x)uv + α 1 (x)uv = f(x) (uv) r Reordenando ( α0 (x)u + α 1 (x)u ) v + α 0 (x)uv = f(x) (uv) r. (4) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 9 / 63

13 de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Para determinar la función u exigimos que de donde Resolviendo, tenemos que α 0 (x)u + α 1 (x)u = 0, u u = α 1(x) α 0 (x). α 1(x) u(x) = e α 0 (x) dx. (5) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 10 / 63

14 de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Sustituyendo (5) en (4) y reordenando obtenemos v v r = f(x)ur α 0 (x)u. Que es una ecuación de variables separables y su solución es v 1 r f(x)u r 1 r = α 0 (x)u dx, reordenando v(x) = ( ) 1 f(x)u r (1 r) α 0 (x)u dx 1 r. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 11 / 63

15 de aplicación económica Modo 1 Modo 2 La solución general será α 1(x) y(x) = e α 0 (x) dx ( ) 1 f(x)u r (1 r) α 0 (x)u dx 1 r con α 1(x) u(x) = e α 0 (x) dx. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 12 / 63

16 de aplicación económica Hallar la solución general de 3(1 + x 2 ) dy dx = 2xy(y3 1). Simplificamos y reordenamos los términos y + 2x 3(1 + x 2 ) y = 2x 3(1 + x 2 ) y4. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 13 / 63

17 de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 3. El cambio implica dz dx = z = 3y 4 y, por tanto, 1 3 z = y 4 y. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y 4 resultando la expresión y 4 y 2x 2x + 3(1 + x 2 ) y 3 = 3(1 + x 2 ), en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 14 / 63

18 de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z 2x 1 + x 2 z = 2x 1 + x 2. La ecuación homogénea asociada es z La solución de la homogénea es 2x 1 + x 2 z = 0. z h = C(1 + x 2 ). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 15 / 63

19 de aplicación económica Proponemos como solución particular Derivamos y obtenemos z (x) = C (x) (1 + x 2 ). z = 2xC (x) + (1 + x 2 )C (x). Sustituimos z y z en la ecuación completa 2xC (x) + (1 + x 2 )C (x) 2x 1 + x 2 C (x) (1 + x2 ) = 2x 1 + x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 16 / 63

20 de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = 2x (1 + x 2 ) 2, C (x) = (1 + x 2 ) 1. Por tanto, la solución particular es La solución completa es z p = 1. z = z h + z p = C(1 + x 2 ) + 1. (6) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 17 / 63

21 de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 3, y obtenemos como solución y 3 = C(1 + x 2 ) + 1, finalmente y = 1 C(1 + x 2 ) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 18 / 63

22 de aplicación económica Hallar la solución general de 2 dy dx = y x x y 2, con y(1) = 1. Operamos y reordenamos los términos y 1 2x y = x 2 y 2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 19 / 63

23 de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 3. El cambio implica dz dx = z = 3y 2 y, por tanto, 1 3 z = y 2 y. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y 2 resultando la expresión y 2 y + 1 2x y3 = x 2. en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 20 / 63

24 de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z 3 2x z = 3x 2. La ecuación homogénea asociada es z 3 2x z = 0. La solución de la homogénea es 3 z h = Cx2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 21 / 63

25 de aplicación económica Proponemos como solución particular 3 z (x) = C (x) x2. Derivamos y obtenemos z = C (x) x 2 + C (x) x2. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (x) x 2 + C (x) x x Cx 2 = 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 22 / 63

26 de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = 3 2 x 1 2, 1 C (x) = 3x2. Por tanto, la solución particular es z p = 3x 2. La solución completa es 3 z = z h + z p = Cx2 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 23 / 63

27 de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 3, y obtenemos como solución 3 y 3 = Cx2 3x 2, finalmente 3 3 y = Cx2 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 24 / 63

28 de aplicación económica Si aplicamos la condición y(1) = 1 obtenemos: 3 3 y(1) = C(1) 2 3(1) 2 = 3 C 3 = 1, dándonos C = 4. Por tanto, la solución es 3 3 y = 4x2 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 25 / 63

29 de aplicación económica Resolver la ecuación diferencial 1 y 2 dy 3 dx + y 2 = 1, con y(0) = 4. Operamos y reordenamos los términos y + y = y 1 2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 26 / 63

30 de aplicación económica 3 Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 2. El cambio implica dz dx = z = 2 y 2 y, por tanto, 3 2 z = y 2 y. 1 Para resolver, multiplicamos la ecuación por y2 resultando la expresión 1 3 y 2 y + y 2 = 1. en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 27 / 63

31 de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z z = 3 2. La ecuación homogénea asociada es z z = 0. La solución de la homogénea es z h = Ce 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 28 / 63

32 de aplicación económica Proponemos como solución particular Derivamos y obtenemos z (x) = C (x) e 3x 2. z = C (x) e 3x 2 + C (x) ( 3 3x 2 )e 2. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (x) e 3x 2 + C (x) ( 3 3x 2 )e C (x) e 3x 2 = 3 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 29 / 63

33 de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = 3 2 e 3x 2, C (x) = e Por tanto, la solución particular es La solución completa es z p = 1. 3x 2. z = z h + z p = Ce 3x Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 30 / 63

34 de aplicación económica 3 Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 2, y obtenemos como solución despejando 3 y 2 = Ce 3x 2 + 1, y = (Ce 3x ) 3. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 31 / 63

35 de aplicación económica Si aplicamos la condición y(0) = 4 obtenemos: y(0) = (Ce ) 3 = 4, luego C = 7. Por tanto, la solución es y = (7e 3x ) 3. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 32 / 63

36 de aplicación económica Hallar la solución general de e x (y y) = y 2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 33 / 63

37 de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 1. El cambio implica dz dx = z = y 2 y, por tanto, z = y 2 y. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y 2 resultando la expresión y 2 y y 1 = e x., en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 34 / 63

38 de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z + z = e x. La ecuación homogénea asociada es z + z = 0. La solución de la homogénea es z h = Ce x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 35 / 63

39 de aplicación económica Proponemos como solución particular z (x) = C (x) e x. Derivamos y obtenemos z = C (x) e x C (x) e x. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (x) e x C (x) e x + C (x) e x = e x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 36 / 63

40 de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = e 2x, luego C (x) = 1 2 e2x. Por tanto, la solución particular es z p = 1 2 ex. La solución completa es z = z h + z p = Ce x 1 2 ex. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 37 / 63

41 de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 1, y obtenemos como solución y 1 = Ce x 1 2 ex, y, de aquí y = (Ce x 1 2 ex ) 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 38 / 63

42 de aplicación económica Resolver la ecuación diferencial y 2 dx + (xy x 3 )dy = 0. Operamos y reordenamos los términos y 2 dx dy + (xy x3 ) = 0, y 2 x + yx = x 3, x + 1 y x = 1 y 2 x3. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 39 / 63

43 de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: w = x 2. El cambio implica dw dy = w = 2x 3 x, por tanto, 1 2 w = x 3 x. Para resolver, multiplicamos la ecuación por x 3 resultando la expresión en la que aplicamos el cambio. x 3 x + 1 y x 2 = 1 y 2, Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 40 / 63

44 de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal w 2 y w = 2 y 2. La ecuación homogénea asociada es w 2 y w = 0. La solución de la homogénea es w h = Cy 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 41 / 63

45 de aplicación económica Proponemos como solución particular w (y) = C (y) y 2. Derivamos y obtenemos w = C (y) y 2 + C (y) 2y. Sustituimos w y w en la ecuación completa C (y) y 2 + C (y) 2y 2 y C (y) y2 = 2 y 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 42 / 63

46 de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (y) = 2y 4, luego C (y) = 2 3 y 3. Por tanto, la solución particular es La solución completa es w p = 2 3y. w = w h + w p = Cy y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 43 / 63

47 de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era w = x 2, y obtenemos como solución por tanto x 2 = Cy y, x = (Cy y ) 1 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 44 / 63

48 de aplicación económica El modelo Solow considera, en el sentido macro, que la producción (Q), el capital (K) y la mano de obra (L) se combinan teóricamente con Q = f (K, L) con K, L > 0. Se supone que f f > 0, K L > 0 2 f K 2 < 0, 2 f L 2 < 0 (productos marginales positivos). (retornos decrecientes para cada factor). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 45 / 63

49 de aplicación económica La función de producción f (K, L) se considera homogénea de grado 1, es decir, con retornos constantes a escala, por tanto ( ) L 1 1 ( K f (K, L) = L f (K, L) = Lf L L L, L ) ( ) K = Lf L L, 1, pudiendo transformarse en Q = f (K, L) = Lf ( ) K L, 1 = LΦ (r). (7) Donde r = K ( ) K L y Φ (r) = f L, 1 para simplificar. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 46 / 63

50 de aplicación económica Las hipótesis de Solow son dk dt = sq, (8) donde s es constante llamada propensión marginal al ahorro. dl = λl λ > 0, (9) dt y λ es llamada tasa de crecimiento de la mano de obra. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 47 / 63

51 de aplicación económica Si (9) la vemos como dl dt L = λ, nos indica que la fuerza laboral crece exponencialmente. (i.e. al resolver la EDO da L = Ce λt ). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 48 / 63

52 de aplicación económica Vamos a construir el modelo completo a partir de las ecuaciones (7), (8) y (9). Sustituyendo (7) en (8) resulta dk dt = slφ (r). (10) Como r = K L K = rl, diferenciando dk dt = Ldr dt + r dl dt. Sustituyendo (9) en esta ecuación obtenemos dk dt = Ldr + λlr. (11) dt Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 49 / 63

53 de aplicación económica Igualamos (10) y (11), slφ (r) = L dr dt + λlr, simplificando L, reordenando, sφ (r) = dr dt + λr, dr + λr = sφ (r). (12) dt Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 50 / 63

54 de aplicación económica Recordando la notación de clase para las EDO esta ecuación se puede escribir al hacer r = y y t = x como y + λy = sf(y). (13) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 51 / 63

55 de aplicación económica Si consideramos la función de producción de Cobb-Douglas y aplicamos el modelo Q = f (K, L) = K α L 1 α (1 > α > 0), Q = L ( ) K α = Lr α (r = K L L ), en este caso y recordando (10), Φ(r) = r α. Sustituimos en (12) dr dt + λr = srα. (14) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 52 / 63

56 de aplicación económica Resolvemos la ecuación haciendo el cambio r = uv. Derivamos el cambio y sustituimos en la ecuación (14) resultando u v + v u + λuv = su α v α. Simplificando ( u + λu ) v + v u = su α v α. Resolvemos u + λu = 0, Resultando u(x) = e λt. Sustituyendo en la ecuación y reordenando v e λt = se λαt v α, Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 53 / 63

57 de aplicación económica integrando v α v = se (1 α)λt, v α dv = s e (1 α)λt dt, resulta v α+1 α + 1 = se(1 α)λt (1 α)λ + C 1 v(x) = y la solución generale es r(t) = e λt ( se (1 α)λt λ ( se (1 α)λt λ + C 1 ) 1 1 α + C 1 ) 1 1 α. (15) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 54 / 63

58 de aplicación económica Si consideramos la condición inicial de que r o es el capital per capita para t = 0 Cuál es la solución? Si en (15) sustituimos t = 0 resulta r(0) = r 0 = ( s λ + C 1 ) 1 1 α. Despejando C 1 y sustituyendo en la solución general C 1 = r 1 α 0 s λ. Finalmente obtenemos la solución del problema r(t) = e λt ( se (1 α)λt λ + r 1 α 0 s λ ) 1 1 α. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 55 / 63

59 de aplicación económica Calculamos la expresión resultante cuando t : ( s λ) 1 1 α. Obtenemos que el equilibrio varía directamente con la propensión marginal al ahorro e inversamente con la tasa de crecimiento de la mano de obra λ. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 56 / 63

60 de aplicación económica Ejemplo numérico Función de producción de Cobb-Douglas: ( ) K α Q = L = Lr α (r = K L L ). Las hipótesis del problema son: (a) λ = 0.1 como tasa de crecimiento de la población. (b) s = 0.15 como tasa de ahorro. (c) α = 0.3. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 57 / 63

61 de aplicación económica Sustituimos los valores dados en la ecuación (14): dr dt + 0.1r = 0.15r0.3. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en r. Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = r 0.7. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 58 / 63

62 de aplicación económica El cambio implica dz dt = z = 0.7r 0.3 r, por tanto, z = r 0.3 r. Para resolver, multiplicamos la ecuación por r 0.3 resultando la expresión r 0.3 r + 0.1r 0.7 = 0.15, en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 59 / 63

63 de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z z = La ecuación homogénea asociada es z z = 0. La solución de la homogénea es z h = Ce 0.07t. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 60 / 63

64 de aplicación económica Proponemos como solución particular z (t) = C (t) e 0.07t. Derivamos y obtenemos z = C (t) e 0.07t 0.07C (t) e 0.07t. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (t) e 0.07t 0.07C (t) e 0.07t C (t) e 0.07t = Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 61 / 63

65 de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante luego C (t) = 0.105e 0.07t, C (t) = e0.07t. Por tanto, la solución particular es La solución completa es z p = 1.5. z = z h + z p = Ce 0.07t Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 62 / 63

66 de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = r 0.7, y obtenemos como solución r 0.7 = Ce 0.07t + 1.5, por tanto r (t) = (Ce 0.07t + 1.5) Calculamos la expresión en el equilibrio (cuando t ): r e = (1.5) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 63 / 63

Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales

Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales Análisis Dinámico: Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: 1 / 51 Introducción Solución genérica Solución de

Más detalles

2 Métodos de solución de ED de primer orden

2 Métodos de solución de ED de primer orden CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/y r ; con r 0; : se denomina

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS.

LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS. 160 LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS. JUSTIFICACIÓN En esta lección centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones diferenciales homogéneas mediante

Más detalles

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. PROBLEMA DEL VALOR INICIAL Definición 1.1. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y

Más detalles

Noviembre 2006, Versión 1.1. Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias. 1. 4y 00 + y 0 =0. 2. y 00 y 0 6y =0.

Noviembre 2006, Versión 1.1. Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias. 1. 4y 00 + y 0 =0. 2. y 00 y 0 6y =0. E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 006/07

Más detalles

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4. educción de orden allar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro trabajo en las siguientes secciones.

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales. Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Juan Jesús Pascual ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES A. Introducción teórica B. Ejercicios resueltos A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Más detalles

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales .3 Ecuaciones diferenciales lineales 45.3 Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Tema 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Introducción Estudiaremos en este tema varios tipos de E.D.O. de primer orden que es posible resolver de forma exacta. 2.1 Ecuaciones en variables

Más detalles

Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea

Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Ampliación de matemáticas urso 2008-2009 Ecuación diferencial lineal de orden n (x dn y n + P (x dn y n + + P n (x dy + P n(xy = G(x ( donde, P,...,

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 7 Ecuaciones diferenciales de primer orden

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 7 Ecuaciones diferenciales de primer orden E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 7 Ecuaciones diferenciales de primer orden Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de

Más detalles

Modelos Estocásticos I Tercer Examen Parcial Respuestas

Modelos Estocásticos I Tercer Examen Parcial Respuestas Modelos Estocásticos I Tercer Examen Parcial Respuestas. a Cuál es la diferencia entre un estado recurrente positivo y uno recurrente nulo? Cómo se define el período de un estado? Demuestre que si el estado

Más detalles

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas

Más detalles

1 Ecuaciones diferenciales

1 Ecuaciones diferenciales 1 Ecuaciones diferenciales La solución a una ecuación algebraica es un número, o un conjunto de números que satisfacen la ecuación. Por ejemplo las soluciónes de x 2 4x + 3 = 0 son x 0 = 1 y x 1 = 3. Las

Más detalles

x = t 3 (x t) 2 + x t. (1)

x = t 3 (x t) 2 + x t. (1) Problema 1 - Considera la siguiente ecuación de primer orden: x = t 3 (x t + x t (1 (a Comprueba que x(t = t es solución de la ecuación (b Demuestra que si x = x(t es la solución que pasa por el punto

Más detalles

Métodos Matemáticos 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Métodos Matemáticos 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Métodos Matemáticos 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior L. A. Núñez * Centro de Astrofísica Teórica, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela

Más detalles

2 Deniciones y soluciones

2 Deniciones y soluciones Deniciones y soluciones Sabemos que la derivada de una función y(x) es otra función y (x) que se determina aplicando una regla adecuada. Por ejemplo, la derivada de y = e 3x es dx = 6xe3x. Si en la última

Más detalles

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: problemas resueltos

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: problemas resueltos Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: problemas resueltos BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M.

Más detalles

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales. Operador Diferencial Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una

Más detalles

CAPÍTULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n.

CAPÍTULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n. April 15, 2009 En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n. 1. Introducción Definición 1.1. Dada una aplicación f : D R, definimos la derivada parcial segunda de f como D ij f = 2 f = ( ) x

Más detalles

1 Funciones de Varias Variables

1 Funciones de Varias Variables EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3,

Más detalles

Modelización por medio de sistemas

Modelización por medio de sistemas SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Modelización por medio de sistemas d y dy Ecuaciones autónomas de segundo orden: = f ( y, ) Una variable independiente. Una variable dependiente. La variable

Más detalles

Regla de la Potencia para la Integración

Regla de la Potencia para la Integración Regla de la Potencia para la Integración Ejercicios. Calcule cada integral y compruebe los resultados derivando 1. Si comparamos con la definición entonces y Si derivamos obtenemos 2. Para que tenga la

Más detalles

TEMA 3 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

TEMA 3 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 1 TEMA ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones: 1 1 1 a) b) + = 0 c).(

Más detalles

APLICACIONES INFORMATICAS EN EL AULA PARA LAS ASIGNATURAS DE ANALISIS MATEMATICO 2. POSIBILIDADES DE APLICACION DEL PROGRAMA DERIVE

APLICACIONES INFORMATICAS EN EL AULA PARA LAS ASIGNATURAS DE ANALISIS MATEMATICO 2. POSIBILIDADES DE APLICACION DEL PROGRAMA DERIVE APLICACIONES INFORMATICAS EN EL AULA PARA LAS ASIGNATURAS DE ANALISIS MATEMATICO 1. INTRODUCCION Alonso Durán María Castro Uceda José Antonio Herrero Gonzalez Josué Para transmitir el mensaje matemático

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p

Más detalles

La transformada de Laplace como aplicación en la resistencia de materiales

La transformada de Laplace como aplicación en la resistencia de materiales Docencia La transformada de Laplace como aplicación en la resistencia de materiales Agustín Pacheco Cárdenas y Javier Alejandro Gómez Sánchez Facultad de Ingeniería, UAQ; Depto. Ciencias Básicas, ITQ Facultad

Más detalles

2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-41: Ecuaciones Diferenciales Lectura # Profesor: Victor Segura Flores Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.1 Ecuaciones Diferenciales

Más detalles

Análisis Dinámico: Integración

Análisis Dinámico: Integración Análisis Dinámico: Integración Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 1 / 57 Integración indefinida

Más detalles

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Ecuaciones diferenciales de orden superior CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4.7 Variación de parámetros El método de variación de parámetros es un procedimiento útil para la obtención de una solución particular y p.x/ de la

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Introducción y métodos elementales de resolución 7.1. Generalidades Llamamos ecuación diferencial a toda ecuación que relacione una o más variables independientes,

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales 1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x + y -4) dx + (5y -1) dy=0.- Obtener la solución general de la ecuación diferencial (x-1) y dx + x (y+1) dy = 0. Hallar la solución particular que pasa

Más detalles

1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-841: Ecuaciones Diferenciales Lectura #6 Profesor: Victor Segura 1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.3.4 Factores Integrantes Dentro

Más detalles

Ejercicios de Integrales resueltos

Ejercicios de Integrales resueltos Ejercicios de Integrales resueltos. Resuelve la integral: Ln Ln Llamemos I Ln u du Aplicamos partes: dv v I Ln t t 4 t t t 4 t t 4 t 4 4 4t 4 t t t A t B t A( t) B( t) A ; B 4 t t Ln t Ln t t C Deshaciendo

Más detalles

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x

Más detalles

4.3 Problemas de aplicación 349

4.3 Problemas de aplicación 349 4. Problemas de aplicación 49 4. Problemas de aplicación Ejemplo 4.. Circuito Eléctrico. En la figura 4.., se muestra un circuito Eléctrico de mallas en el cual se manejan corrientes, una en cada malla.

Más detalles

TEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II

TEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II TEM 4: Sistemas de ecuaciones lineales II ) Teorema de Rouché-Frobenius. ) Sistemas de Cramer: regla de Cramer. 3) Sistemas homogeneos. 4) Eliminación de parámetros. 5) Métodos de factorización. 5) Métodos

Más detalles

1. Estudio de la caída de un puente.

1. Estudio de la caída de un puente. 1 1. Estudio de la caída de un puente. A. Introducción Las oscilaciones de un puente bajo la acción de una fuerza externa pueden estudiarse a partir de la resolución de una ecuación a derivadas parciales

Más detalles

Problema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y),

Problema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y), Problema. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x + y cos(xy), (b) f(x, y) = x x + y, (c) f(x, y) = log x + y x y, (d) f(x, y) = arctan x + y x y, (e) f(x, y) = cos(3x)

Más detalles

COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN *

COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN * 40 CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5. Determine la solución general de y 6y y 34y 0 si se sabe que y e 4x cos x es una solución. 52. Para resolver y (4) y 0, es necesario encontrar

Más detalles

Ejercicios de inecuaciones y sistemas de inecuaciones

Ejercicios de inecuaciones y sistemas de inecuaciones Ejercicios de inecuaciones y sistemas de inecuaciones 1) Resuelve la siguiente inecuación (pag 67, ejercicio 4a)): 3(x 5) 5 > 7(x + 1) (2x + 3) Si nos fijamos se trata de una inecuación de primer grado

Más detalles

Métodos de solución de ED de primer orden

Métodos de solución de ED de primer orden CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.3 Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos

Más detalles

Capítulo 12. Sistemas de control

Capítulo 12. Sistemas de control Capítulo 12 Sistemas de control 1 Caso estacionario En un sistema de control el punto de equilibrio se determina resolviendo las ecuaciones que definen el sistema simultáneamente. Supondremos dos procesos

Más detalles

Fabio Prieto Ingreso 2003

Fabio Prieto Ingreso 2003 Fabio Prieto Ingreso 00. INECUACIONES CON UNA VARIABLE.. Inecuación lineal Llamaremos desigualdad lineal de una variable a cualquier epresión de la forma: a + b > 0 o bien a + b < 0 o bien a + b 0 o bien

Más detalles

Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma

Más detalles

7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes

7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes 7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes La ecuación lineal homogénea de coecientes constantes de orden n es: donde a 1, a 2,..., a n son constantes. a n y (n) + a n 1 y n

Más detalles

Funciones de varias variables: problemas resueltos

Funciones de varias variables: problemas resueltos Funciones de varias variables: problemas resueltos BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ

Más detalles

2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).

2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores). Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).

Más detalles

Bloque 1. Aritmética y Álgebra

Bloque 1. Aritmética y Álgebra Bloque 1. Aritmética y Álgebra 12. Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático

Más detalles

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj 1 / 18 Jesús Getán y Eva Boj 2 / 18 Un Programa lineal consta de: Función objetivo. Modeliza

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas

S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas 1 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas Ahora vamos a generalizar el procedimiento que hemos utilizado para resolver sistemas de una ecuación con una incógnita y de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Para

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales José Vicente Romero Bauset jvromero@mat.upv.es Tema 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1 Ecuaciones diferenciales separables EDO separable Una EDO de orden 1 F (t,y,y ) se dice separable si

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

INGENIERÍA VESPERTINA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL. APUNTE N o 1 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA

INGENIERÍA VESPERTINA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL. APUNTE N o 1 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA INGENIERÍA VESPERTINA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL APUNTE N o 1 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES MATEMÁTICA II PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA 2004 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile

Más detalles

Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales a coeficientes constantes. Búsqueda de la solución particular.

Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales a coeficientes constantes. Búsqueda de la solución particular. Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales a coeficientes constantes. Búsqueda de la solución particular. 1. Definiciones previas 1.1. Wronskiano Diremos que el Wronskiano de un conjunto

Más detalles

Sistem as de ecuaciones lineales

Sistem as de ecuaciones lineales Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. Nacho Jiménez

SISTEMAS DE ECUACIONES. Nacho Jiménez SISTEMAS DE ECUACIONES Nacho Jiménez 1. Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones. 1.1 Representación gráfica. Sistemas de ecuaciones. Sistemas equivalentes..1 Sistemas compatibles determinados. Sistemas

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo de año 200 [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función a maximizar A (/2)(x)(y)

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: a11xa1 y b1 a1xa y b donde a11, a1,

Más detalles

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni. Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni www.exapuni.com.ar Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ARIEL M. SALORT asalort@dm.uba.ar Marzo de 2016 1. Teoría general Una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser escrita

Más detalles

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.

Más detalles

Introducción a Ecuaciones Diferenciales

Introducción a Ecuaciones Diferenciales Introducción a Ecuaciones Diferenciales Temas Ecuaciones diferenciales que se resuelven directamente aplicando integración. Problemas con condiciones iniciales y soluciones particulares. Problemas aplicados.

Más detalles

VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.

VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)

Más detalles

log a A B = log a A + log a B

log a A B = log a A + log a B TEMA 5: LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. ECUACIONES Y SISTEMAS 5.1 DEFINICIÓN Si a es un número real positivo y distinto de 1, el logaritmo en base a de un numero N es el exponente al que hay que elevar a la

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior al primero

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior al primero Tema 5 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior al primero Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es de manera general una expresión del tipo: F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 o bien,

Más detalles

LOGARITMOS Y APLICACIONES

LOGARITMOS Y APLICACIONES LOGARITMOS Y APLICACIONES.- LOGARITMOS El logaritmo en base a > 0 y ( ) de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para que dé dicho número: log a N = x a x = N Los logaritmos de base

Más detalles

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Ma1010 Departamento de Matemáticas ITESM Álgebra - p. 1/31 En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores. Se establece la

Más detalles

Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales 5 Ecuaciones diferenciales 5.1. Qué es una ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación en la que la incógnita a despejar no es un número sino una función. Las operaciones que intervienen

Más detalles

Trabajo y energ ia/j. Hdez. T p. 1/10. Trabajo y energía. Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM

Trabajo y energ ia/j. Hdez. T p. 1/10. Trabajo y energía. Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM Trabajo y energ ia/j. Hdez. T p. 1/10 Trabajo y energía Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM Definición de trabajo Trabajo y energ ia/j. Hdez. T p. 2/10 En mecánica clásica, se define

Más detalles

La cuerda vibrante. inicialmente se encuentra sobre el eje de abscisas x la posición de un punto de la cuerda viene descrita por su posición vertical

La cuerda vibrante. inicialmente se encuentra sobre el eje de abscisas x la posición de un punto de la cuerda viene descrita por su posición vertical la cuerda es extensible La cuerda vibrante inicialmente se encuentra sobre el eje de abscisas x la posición de un punto de la cuerda viene descrita por su posición vertical y(x, t) la posición depende

Más detalles

Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa

Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto

Más detalles

TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES

TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas PÁGINA 156 Actividades 1. Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de la ecuación x 4y 8 x f) y

Más detalles

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

2 Métodos de solución de ED de primer orden

2 Métodos de solución de ED de primer orden CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.9 Ecuaciones diferenciales reducibles a primer orden.9.1 Introducción En el siguiente ejemplo aparece una ecuación diferencial de orden mayor que uno.

Más detalles

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1. Polinomios Un monomio es el producto de un número real por una o más letras que pueden estar elevadas a exponentes que sean números naturales. La suma de los exponentes de

Más detalles

MANUAL DE FRACCIONES PARCIALES

MANUAL DE FRACCIONES PARCIALES Universidad Politécnica Salesiana MANUAL DE FRACCIONES PARCIALES Xavier Espinoza Xavier Espinoza MANUAL DE FRACCIONES PARCIALES 2012 MANUAL DE FRACCIONES PARCIALES Xavier Espinoza 1era. edición: c Editorial

Más detalles

Matemáticas. Tercero ESO. Curso 2012-2013. Exámenes

Matemáticas. Tercero ESO. Curso 2012-2013. Exámenes Matemáticas. Tercero ESO. Curso 0-03. Exámenes . 9 de octubre de 0 Ejercicio. Calcular: 3 5 4 + 3 0 3 7 8 5 3 5 4 + 3 0 5 + 6 0 3 0 3 7 8 5 3 56 0 3 8 0 84 74 5 5 5 Ejercicio. Calcular: 5 6 [ ( 3 3 3 )]

Más detalles

UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL

UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que en forma reducida se puede expresar de la siguiente forma:

Más detalles

Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Sistemas Lineales pueden ser de No lineales Gráficamente Ecuaciones se clasifican se resuelven Algebraicamente Compatible determinado Compatible indeterminado

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

Ecuaciones diferenciales lineales: definición y método general de solución. Modelos de un compartimento.

Ecuaciones diferenciales lineales: definición y método general de solución. Modelos de un compartimento. : definición y método general de solución. Modelos de un compartimento. 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Contenidos 1 Introducción 2 3 4 Índice 1 Introducción 2 3 4 Introducción

Más detalles

Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue:

Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue: MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES Juan Jesús Pascual SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A. Introducción teórica B. Ejercicios resueltos A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA Sistemas de ecuaciones lineales

Más detalles

T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA MATEMATICAS T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon

Más detalles

Unidad IV: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Unidad IV: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Unidad IV: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4.1 Teoría preliminar 4.1.1 Sistemas de EDL Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples variables.

Más detalles

MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS El método de variación de parámetros es aplicado en la solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden superior de las cuales sabemos que la solución de la

Más detalles

1. Sistemas de ecuaciones lineales

1. Sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemática Aplicada CÁLCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Química (Curso 25-6) Sistemas de ecuaciones lineales Práctica 2 En esta práctica vamos a ver cómo se pueden resolver sistemas

Más detalles

TEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas

TEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas TEMA 6 Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas 1. Ecuación de Primer grado con dos incógnitas Vamos a intentar resolver el siguiente problema: En una bolsa hay bolas azules y rojas,

Más detalles

Integrales dobles. Integrales dobles

Integrales dobles. Integrales dobles Integrales dobles Integrales iteradas b g2 (x) a g 1 (x) f(x, y) dydx ó d h2 (y) c h 1 (y) f(x, y) dxdy Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración,

Más detalles

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto

Más detalles

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CUADRÁTICA LA FUNCION DE PRODUCCION CUADRATICA lorenzo castro gómez 1 CARACTERISTICAS: 1. Al menos una de las variables independientes está elevada al cuadrado. 2. Tiene rendimientos decrecientes. 3. El PM y PMg

Más detalles

Capitulo IV - Inecuaciones

Capitulo IV - Inecuaciones Capitulo IV - Inecuaciones Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o

Más detalles