TAREA # 5B OPTICA OPTICA GEOMETRICA (ESPEJOS) Prof. Terenzio Soldovieri C.

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1 cuerpo libre. La ausencia de éstos tendrá como consecuencia la anulación de la solución del problema correspondiente. Todos los sistemas de coordenadas a usar deben tener el eje +x apuntando hacia el Este y el +y hacia el Norte. FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA TAREA # 5B OPTICA OPTICA GEOMETRICA (ESPEJOS) Prof. Terenzio Soldovieri C. Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 5B. Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 5B. Sin prórroga. 1. Contruya un diagrama de rayos para el caso mostrado en la figura 1. URL: s: tsoldovieri@luz.edu.ve; tsoldovieri@fec.luz.edu.ve; tsoldovieri@hotmail.com (contacto messenger); tsoldovieri@digitel.blackberry.com Texto guía: Hecht E. Optica. 3era ed. Pearson, Addison Wesley, Ultima actualización: 17/02/14. Indicaciones: Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con F plasmando en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCULOS DIREC- TOS. El resto de los problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar. Puede usar tablas de integrales, pero especificando en cada caso la integral utilizada. La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene que anexar la presente hoja ni reescribirla en su tarea. La tarea y el examen son inseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total será cero. Establezca, en los casos que sea necesario, los sistemas de referencia y los diagramas de Figura (1): Problema Cuál es la menor longitud de un espejo plano vertical en el cual tu puedes ver tu cuerpo entero y cómo debe estar posicionado?. Resp.: un espejo que tenga la mitad de tu altura y que su parte superior esté posicionada a la mitad de la distancia entre la parte superior de tu cabeza y tus ojos. 3. Dos espejos planos puestos entre sí en ángulo recto son puestos sobre una mesa frente a una pequeña rana verde como se muestra en la figura 2. Cuántas imágenes ve la rana de sí misma?. Resp.: tres imágenes. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 1 / 8

2 ángulo, = 2 ( i + ) Figura (2): Problema F Mostrar que la ecuación para un espejo esférico, = 2 s o s i R = 1 f es aplicable a una superficie reflectante plana. 5. F Imagínese un rayo en un plano perpendicular a los dos espejos mostrados en la figura 3. Probar que el rayo será desviado un ángulo = 2 no importando cuál es su ángulo de incidencia. Figura (4): Problema La figura 5 representa un reflector elipsoidal cuyos focos son F 1 y F 2. La lente positiva delgada tiene una longitud focal f y un filamento de tungsteno es colocado en F 1. Trace el progreso de los rayos emitidos desde el filamento. Figura (3): Problema 5. Figura (5): Problema F Es bastante frecuente encontrar un pequeno espejo plano sujeto al sistema de suspensión de dispositivos tales como péndulos de torsión y galvanómetros. Mostrar que si el espejo rota un ángulo (ver figura 4), el rayo será reflejado por un 8. Un espejo cóncavo esférico tiene un radio de magnitud jrj y está centrado en C. Un objeto derecho real de altura 1 6 jrj está localizado a Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 2 / 8

3 una distancia 3 2 jrj del vértice del espejo (ver figura 6). a) Dibuje un diagrama de rayos mostrando la formación de la imagen. b) Calcule la localización de la imagen y el aumento. Resp.: s i = 3 4 jrj; M T = 1 2 Figura (6): Problema F Una vela de 1 pulg de altura es situada a 3 pulg frente a un espejo esférico cóncavo que tiene 1 pie de radio (ver figura 7). Describa la imagen resultante y dibuje el diagrama de rayos mostrando la formación de la imagen. Resp.: s i = 6 pulg; M T = +2, imagen virtual derecha y de mayor tamaño. a) Dónde debe ser colocada la vela?. Resp.: s o = +11 cm. b) Cómo es la imagen resultante?. Resp.: M T = 10, invertida. c) Dibuje el diagrama de rayos mostrando la formación de la imagen. 11. F (a) Cómo debe ser un espejo esférico para que forme una imagen derecha y de la mitad del tamaño de un objeto colocado a 100 cm de su vértice?. (b) Dónde se localizará la imagen?. Resp.: (a) el espejo debe ser convexo de R = +200 cm; (b) s i = 50 cm. 12. F Un objeto es colocado a 300 cm de un espejo esférico cóncavo genera una imagen real a 150 cm del vértice del espejo. Hacia dónde debe moverse el objeto si la nueva imagen debe formarse en la posición original del mismo?. Resp.: s o = 150 cm. 13. Un objeto de 1 cm de altura es colocado a 12 cm frente a un espejo esférico cóncavo cuyo radio de curvatura es 8 cm. Describa completamente la imagen resultante y dibuje el diagrama de rayos mostrando la formación de la misma. Resp.: s i = 6 cm; M T = 0; 5 (imagen invertida, real y de 0; 5 cm de altura). 14. Un objeto de 4 cm de altura es colocado a 200 cm frente a un espejo esférico convexo cuya longitud focal es 400 cm. Describa completamente la imagen resultante y dibuje el diagrama de rayos mostrando la formación de la misma. Resp.: s i = 133; 3 cm; M T = +0; 66 (imagen derecha, virtual y de menor tamaño). Figura (7): Problema F Un espejo esférico cóncavo de 20 cm de radio es usado para proyectar una imagen de una vela sobre una pared que se encuentra a 110 cm. 15. F Un objeto de 3 cm de altura es colocado a 180 cm frente a un espejo esférico convexo cuyo radio de curvatura es 90 cm. Describa completamente la imagen resultante y dibuje el diagrama de rayos mostrando la formación de la misma. Resp.: s i = 36 cm; M T = +0; 2 (imagen derecha, virtual y de 0; 6 cm de altura). 16. Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo cóncavo. Efectuar la construcción geométrica de la imagen, indicando su naturaleza, Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 3 / 8

4 si el objeto está situado a una distancia igual (en valor absoluto) a: a) la mitad de la distancia focal del espejo. Resp.: la imagen es derecha y virtual (está situada detrás del espejo), es el doble del tamaño del objeto y se forma a una distancia igual al valor absoluto de la distancia focal. b) el triple de la distancia focal del espejo. Resp.: la imagen es invertida y real (está situada delante del espejo), es la mitad del tamaño del objeto y se forma a una distancia igual a una vez y media el valor absoluto de la distancia focal. 17. F Un objeto de 0; 8 cm de altura está situado a 15 cm del vértice de un espejo esférico de radio 20 cm. Determinar la posición, tamaño y naturaleza de la imagen tanto si es (a) convexo como (b) cóncavo. Dibuje el diagrama de rayos mostrando la formación de la imagen en cada caso. Resp.: (a) s i = 6 cm, y i = 0; 32 cm, siendo la imagen virtual, derecha y de menor tamaño; (b) s i = +30 cm, y i = 1; 6 cm, siendo la imagen real, invertida y de mayor tamaño. 18. F Un espejo plano está colocado frente a otro espejo esférico cóncavo, de 0; 5 m de distancia focal, de tal forma que es perpendicular al eje óptico del mismo y dista 1; 5 m del vértice. Un punto luminoso está situado en el eje a 10 cm del espejo plano. Determinar la posición de la imagen del mismo si consideramos primeramente la reflexión de los rayos luminosos en el espejo plano. Dibuje el diagrama de rayos apropiado. Resp.: s 00 i = 0; 73 m. 19. F Tres espejos planos iguales forman entre sí sendos ángulos de 120, como muestra la figura 8. Un rayo de luz incide en el punto medio del primer espejo, formando un ángulo de 30 con él. Dibuja la trayectoria seguida por el rayo en el sistema de espejos y comprueba que el rayo abandona dicho sistema paralelo a la dirección en la que ha incidido. 20. F Un objeto está posicionado a una distancia s o de un espejo esférico de radio R. Demuestre Figura (8): Problema 19. que la imagen resultante se aumentará en una cantidad, R M T = 2s o + R 21. En un espejo cóncavo, la imagen real es m veces el tamaño del objeto y se forma a una distancia n veces la distancia focal. Hallar la relación entre n y m. Dibuje el diagrama de rayos mostrando la formación de la imagen. Resp.: n = m Dos espejos planos forman un ángulo como se muestra en la figura 9. Un rayo de luz parte del punto A formando un ángulo de 90 y se refleja sucesivamente en cada uno de los espejos. Mostrar que los valores que debe tener para que en una de las reflexiones el rayo salga paralelo a uno de los espejos vienen dados por, = 90 n + 1 donde n 2 N es el número de reflexiones sufridas por el rayo de luz. Figura (9): Problema 22. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 4 / 8

5 23. Un espejo esférico, que actúa de retrovisor de un coche parado, proporciona una imagen virtual de un vehículo que se aproxima con velocidad constante. El tamaño de dicha imagen es 1n10 del tamaño real del vehículo cuando éste se encuentra a 8 m del espejo. a) Cuál es el radio de curvatura del espejo?. Resp.: 1; 78 m. b) A qué distancia del espejo se forma la correspondiente imagen virtual?. Resp.: 0; 8 m. c) Un segundo después la imagen observada en el espejo se ha duplicado a qué distancia del espejo se encuentra ahora el vehículo?. Resp.: 3; 5 m. d) Cuál era su velocidad?. Dibuje el(los) diagrama(s) de rayos apropiado(s). Resp.: 4; 4 m=s. Figura (10): Problema Los odontólogos usan, para inspeccionar las piezas dentales, una varilla metálica terminada en un espejito cóncavo de radio de curvatura 5; 0 cm. Si se coloca a 2; 0 cm de una posible caries de 1; 0 mm: a) De qué tamaño se verá ésta?. Resp.: 5; 0 mm. b) Y si usase una lente convergente delgada de 5; 0 cm de focal?. Resp.: 1; 7 mm. 25. Un joven de altura H ve todo su cuerpo reflejado en un espejo plano vertical, situado a una distancia CD = d (ver figura 10). Los ojos del joven se hallan a h 0 del suelo. Determine: a) La longitud mínima AB = L que debe tener el espejo. Resp.: L = H 2 (la mitad de la altura de la persona). b) La distancia BC = h del borde inferior del espejo al suelo. Resp.: h = h0 2 (La mitad de la altura de los ojos a los pies), haciéndose notar que este resultado no depende de la distancia al espejo. 26. Una persona de 1; 80 m de altura se encuentra de pie frente a un espejo plano vertical ( Suponer que los ojos están situados a 10 cm del extremo superior de la cabeza). a) Cuál debe ser el mínimo tamaño del espejo para que la persona se pueda ver el cuerpo completo?. Resp.: 0; 90 m. b) Depende el tamaño del espejo de la distancia de la persona al espejo?. Resp.: No. c) A qué altura debe situarse el espejo anterior?. Resp.: 0; 85 cm del suelo. 27. Una persona mira el fondo de un recipiente lleno de agua a una altura de 10 cm sobre la superficie de la misma. El fondo plano del recipiente es un espejo y su altura de agua es 20 cm. A qué distancia ve su imagen en el espejo la persona?. Resp.: 51; 3 cm. 28. F Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamaño 1 cm sobre una pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamaño 3 cm. Sabiendo que la pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto, calcula: a) Las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construcción geométrica. Resp.: s o = 1 m ; s i = 3 m. b) El radio del espejo y la distancia focal. Resp.: R = 1; 5 m ; f = 0; 75 m. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 5 / 8

6 29. En la figura 11 se ilustra un hombre delante de un espejo plano S, vertical de espaldas hacia un árbol P, de altura igual a 4 m. Cuál deberá ser la longitud mínima L del espejo para que el hombre pueda ver en él la imagen completa del árbol?. Resp.: L = 1 m ( no depende de la altura del observador). 31. A 35 cm de un espejo esférico cóncavo E 1 de 60 cm de radio se encuentra un objeto. Determinar a qué distancia hay que colocar un espejo plano E 2 normal al eje del sistema para que la imagen, después de reflejarse los rayos en este espejo, quede situada en el centro de curvatura de E 1. Dibuje el(los) diagrama(s) de rayos apropiado(s). Resp.: 135 cm. 32. A una distancia de 60 cm de un espejo cóncavo E 1 de 80 cm de radio y sobre su eje óptico, existe una fuente luminosa puntual P ( ver figura 12). A qué distancia d del vértice del espejo E 1 deberá situarse un espejo plano E 2 para que los rayos converjan en P nuevamente?. Resp.: 90 cm. Figura (11): Problema Cuando dos espejos planos forman un ángulo recto se forman tres imágenes. Si el ángulo entre los espejos varía, el número de imágenes que se obtiene también varía. a) Muestre que el número n de imágenes formadas se puede obtener por medio de la expresión, n = 360 b) Dos espejos planos forman entre sí un determinado ángulo. Calcule sabiendo que, reduciéndolo en 10, el número de imágenes de un determinado objeto producidas por el sistema aumenta en 6. Resp.: = 30. c) Un director de cine, desea obtener una escena con 15 bailarinas. Para el efecto él dispone de 3 bailarinas y de dos espejos planos. Para la obtención de tal escena, los espejos planos deben estar dispuestos formando entre sí un ángulo. Determine el valor de. Resp.: = 60. Figura (12): Problema Considerando la operación de un espejo esférico, demuestre que las posiciones del objeto y de la imagen son dadas por, s o = f (M T M T 1) s i = f (M T 1) 34. Un hombre se mira en el cuenco de una cuchara sopera que dista 25 cm de su rostro y ve su imagen con un aumento de 0; 064. Determine el radio de curvatura de la cuchara. Resp.:. 35. En un parque de atracciones un espejo esférico convexo y vertical se encuentra frente de un espejo plano a una distancia de 10 m. Una muchacha de 1 m de altura, que se encuentra Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 6 / 8

7 a mitad de camino entre los dos, nota que su imagen reflejada en el espejo plano es dos veces más alta que la del espejo esférico. Dicho de otro modo, el ángulo subtendido en el observador por la imagen del espejo plano es dos veces el de la imagen del espejo esférico. Cuál es la distancia focal del espejo convexo?. Resp.:. 36. En un espejo esférico cóncavo (centro de curvatura C y radio R) se refleja la imagen de un objeto lejano. La figura 13 muestra los rayos incidentes. Figura (14): Problema 37. que se forma en un espejo cóncavo esférico cuando el objeto se halla: a) Situado a una distancia superior al radio de curvatura. b) Situado entre el foco y el centro de curvatura. c) Situado entre el foco y el espejo. Figura (13): Problema 36. a) Sitúa el foco del espejo. Resp.: el foco del espejo se encuentra situado a una distancia R=2 del vértice del espejo. b) Dibuja la imagen que se forma. Resp.: la imagen se forma a una distancia, es decir, sobre el foco. c) Describe la imagen que se forma. Resp.: es real, invertida y de menor tamaño que el objeto. 37. Resuelve de nuevo el problema 36 para el caso del espejo esférico convexo que se muestra en la figura 14. Resp.: (a) el foco del espejo se encuentra situado a una distancia R=2 del vértice del espejo.; (b) la imagen se forma a una distancia, es decir, sobre el foco.; (c) es virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto. 38. Realizando las construcciones gráficas oportunas deduce qué características tiene la imagen 39. Un objeto de 4 cm de altura se coloca delante de un espejo cóncavo de 40 cm de radio de curvatura. Además de dibujar los diagramas de rayos apropiados, determina la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen en los dos casos siguientes: a) Cuando el objeto se encuentra a 60 cm del espejo. Resp.: s i = 30 cm; y i = 2 cm; la imagen que se forma es real, invertida y de menor tamaño que el objeto. b) Cuando se encuentra a 10 cm. Resp.: s i = 20 cm; y i = 8 cm; la imagen que se forma es virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto. 40. F Determina gráfica y analíticamente la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 0; 03 m de altura, situado sobre el eje óptico a 0; 4 m del centro óptico de un espejo convexo de distancia focal 0; 1 m. Resp.: y i = 0; 006 m. 41. F Un objeto situado a 8 cm de un espejo esférico cóncavo produce una imagen virtual 10 cm detrás del espejo. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 7 / 8

8 a) Si el objeto se aleja hasta 25 cm del espejo, dónde estará la imagen?. Resp.: s i = 66; 67 cm. b) Qué puedes decir de ella?. Resp.: la imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 8 / 8