LAS MATEMATICAS Y LA SUPREMA BELLEZA

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1 LAS MATEMATICAS Y LA SUPREMA BELLEZA Enviado por Julio Antonio Gutiérrez Samanez.- La Divina Proporción, Sección Dorada o Proporción Aurea.. El rectángulo giratorio y la espiral logarítmica. 3. La Proporción Dorada entre polígonos cuadrados y el Teorema de Corazao. 4. Una nueva explicación para la serie de Fibonacci.. Relación entre la serie de Fibonacci y la Sección Dorada. 6. Espirales de Arquímedes en la Tabla Periódica Armónica de Gutiérrez Samanez. 7. La Sección Dorada, Cuadratura y Rectificación en la figura humana. Las matemáticas cuando se las comprende bien poseen no solamente la verdad, sino, también, la suprema belleza Bertrand Russell RESUMEN La matemáticas son el cimiento de la idea de belleza en la naturaleza y en el Arte; presidida por la divina proporción o proporción dorada está relacionada con la serie de Fibonacci, las formas espirales, que a su vez están relacionadas con la serie periódica de los elementos químicos y los problemas de la cuadratura del círculo y la rectificación de la circunferencia que el autor trata analítica y gráficamente, como continuación de su monografía destacada: LA DIVINA PROPORCION, SECCION DORADA O PROPORCION AUREA. Como una extensión de mi trabajo presento al lector algunas disquisiciones matemáticas, más propiamente geométricas, de las aplicaciones del método para la cuadratura, en torno al conocimiento e interpretación de la sección dorada o divina proporción y los números de Fibonacci, pues he encontrado poca información sobre este tema tan árido e importante para el artista plástico y el naturalista. Mis primeros contactos con el tema fueron en mis años de estudiante de la Escuela de Bellas Artes, en las clases de Historia del Arte que dictaba mi padre, luego en los talleres de dibujo del profesor Hugo Béjar y de Pintura del Profesor Edgar Torres Calderón. Un día visitamos al director, el gran pintor cusqueño Mariano Fuentes Lira, en su taller; él nos mostró, entre sus instrumentos, un compás áureo de madera, que le había obsequiado su maestro, Cecilio Guzmán de Rojas, en Bolivia. Compás de proporciones áureas

2 LA SECCION DORADA. Se define así a la proporción única (Fig...) según la cual, en un segmento AB dividido en dos partes AE y EB, el segmento menor EB es proporcional al segmento mayor AE, como éste es a la suma de ambos segmentos AB = AE + EB. Es decir, el segmento mayor AE es medio proporcional entre el segmento menor EB y la suma de ambos segmentos AB. EB AE = ; Ó EB = AE. AE EB + AE AE AB Si el valor del segmento mayor es igual a la unidad, AE =, entonces se cumplen las tres condiciones siguientes: a) (EB) x (AB) = (AE) = b) EB + AE = AB c) EB = AB, ó AB = EB METODOS GRAFICOS. Para dividir el segmento AB, de acuerdo con la sección dorada, se toma la mitad de AB en el punto O y se traza el segmento BC perpendicular a AB; luego con centro en C se traza un arco de radio CB que corta al segmento CA en el punto D; luego, haciendo centro en A, se traza el arco de radio AD y se corta AB, en el punto E. Los segmentos EB, AE y AB estarán en proporción áurea. a) A partir de un triángulo. D C A o E B FIG... b) A partir de un cuadrado. D ½ ½ A C E B FIG... + AB = + = = AE = EB = = = X ½ ( ) X = + = + = 4 4 X =, de donde c) A partir de un cuadrado inscrito en la semicircunferencia

3 D ½ ½ A C E B + - FIG..3. D B E ½ C ½ A FIG..4. Aplicación a la construcción de un pentágono La proporción dorada será: EB AE 0.68 = = = = = AE AB +.68 Se cumple con las tres condiciones:

4 a) ( EB )( AB) = ( AE)( AE) = ; x. 68 = b) EB + AE = AB = =.68 c) EB = = 0.68 = AB.68 Según el teorema de la altura de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia, se cumple: Y.68 Y= + X X FIG... FIG..6. Y Y= X TEOREMA: La relación áurea entre dos segmentos, uno mayor y otro menor es constante e igual a ó X FIG..7. Desarrollo de proporciones de la sección dorada o divina proporción: = = = = = = = = = = El número , es una de las dos raíces de la ecuación X X = 0, ésta referencia se encuentra en el libro Números de Fibonacci de N.N.Vorobiof. Edit. Mir, Moscú, 974.

5 . EL RECTÁNGULO GIRATORIO Y LA ESPIRAL LOGARÍTMICA. Sea el área de un cuadrado (c), y x, el área de un rectángulo (a+b) como se ve en las figuras. y. y en la tabla de valores, se cumple: Primero.- Que el cuadrado (c) de área es medio proporcional entre las áreas del rectángulo menor (a+b) y otro rectángulo cuya área es la suma del cuadrado y el rectángulo menor (a+b+c). Esto sólo ocurre cuando el área del rectángulo menor es x =. Y el área del rectángulo mayor = + + x = Segundo.- El área 3 + del cuadrado (d) de lado + entre el rectángulo (a+b+c) de área resultante de la suma ambas figuras (a+b+c+d). Comprobación: + es medio proporcional y el área ( + ) del rectángulo + Área del cuadrado = = 3 + La suma de las áreas del rectángulo y el nuevo cuadrado es: = +. La proporción será: =, donde se cumple que el producto de los medios es igual al de los extremos. Del mismo modo 3 +, lado del rectángulo (a+b+c+d), de área + pasará a ser el lado de un nuevo cuadrado mayor (e) medio proporcional al rectángulo (a+b+c+d) y a la suma de ambas figuras (a+b+c+d+e). De esta manera se genera el rectángulo giratorio en el cual se dibuja de modo natural la espiral de Durero muy semejante a la espiral logarítmica. Fig. (.0) f c b a e d + Los valores corresponden a los lados de los polígonos cuadrados. FIG... FIG..

6 Tabla de valores de lados y áreas de los cuadrados y rectángulos giratorios. Rectángulo a Cuadrado b Rectángulo a+b Lado Lado Área 3 3 Cuadrado c Rectángulo c+b+a + + Cuadrado d Rectángulo d+c+b+a Cuadrado e Rectángulo e+d+c+b+a Cuadrado f Rectángulo f+e+d+c+b+a Proporciones doradas en el rectángulo giratorio = = = = = = = = = = a b a + b c a + b + c d = = = = = = b a + b c a + b + c d a + b + c + d a + b + c + d e a + b + c + d + e f = = = e a + b + c + d + e f a + b + c + d + e + f Expresión de la función áurea o dorada. (Fig..7)

7 + Y = X = X Ángulo de la sección dorada en el rectángulo giratorio. tan α = α = arc tan = 8. 89º 8.8º Diseño de la Espiral Dorada o espiral de Durero b c a d f e FIG..3 Diseño de la espiral Logarítmica ESPIRAL EQUIANGULAR FIG La espiral logarítmica en el caracol Nautilus

8 FIG... FIG..6. Fuente 3. LA PROPORCION DORADA ENTRE POLÍGONOS CUADRADOS Y EL TEOREMA DE CORAZAO. 90/teoremas-eusebio-corazao-90.pdf El área de un polígono B es media proporcional entre el área de un polígono A y otro mayor C tal que el área del polígono C sea la suma de las áreas del polígono menor A y el polígono B. a b =, de modo que c = a + b. b c Como ya sabemos estos serán: + a =, y c = + Y = X, y el ángulo α = Si en estas condiciones obtenemos los lados de los cuadrados A, B, C, nos encontraremos una relación cercana con el teorema de Corazao. Área Lado Cuadrado A Cuadrado B Cuadrado C + ( ) + ( )

9 Observando los valores de estas relaciones encontraremos las semejanzas entre ( ) = = ( + ) 4 Y el lado del cuadrado C: =.7096 =.7339 Esta semejanza nos conduce a la proporción: = = = = Que es la expresión que ya hemos estudiado con el Teorema de Corazao, cuya 4 función es Y = X y el ángulo θ = º Finalmente podemos plantear lo proporción siguiente: 4 = ; donde 4 4 = y 4 = Que son valores muy cercanos a los de la proporción áurea ( y ) 4 La función será Y = X y el ángulo ϕ = Como se verá, las diferencias fundamentales entre estas proporciones comparadas son las pendientes o ángulos de las funciones. 4. UNA NUEVA EXPLICACIÓN PARA LA SERIE DE FIBONACCI En la serie de Fibonacci: 0,,,,3,,8,3,,34,,89,44,33,377,60,... cada término resulta de la suma de los dos términos que le preceden: Sea a, el primer término, b el segundo término y c el tercer término se cumple las siguientes propiedades: El segundo término (b) es medio proporcional entre el primero y el tercero. El tercer término es la suma de los dos primeros c = a + b. La proporción será a = b.que es la Proporción Dorada b a + b Luego: La primera proporción será: 0 = ; es decir: 0 = ; de donde salen los primeros tres términos: 0,,, Con este análisis el autor ha encontrado que se trata de una Tautología matemática. Puesto que se explica el significado de algo valiéndose de un argumento basado en la cosa misma. Pues se lee: cero es a uno como uno es a uno; es decir que uno es idéntico a sí mismo. En la lógica matemática una tautología es lo mismo que una enunciación idénticamente verdadera como las leyes de la lógica formal.

10 Esta es pues la razón profunda por la cual la serie de Fibonacci, partiendo de 0 muestra dos veces el término uno. Continuando tenemos: = ; + es decir: = ; 0,,,,... = ; + es decir: = ; 0,,,, 3, = ; es decir: = 3 ; 0,,,, 3,, = ; 3 + es decir: 3 = ; 0,,,, 3,, 8..., etc. 8. RELACION ENTRE LA SERIE DE FIBONACCI Y LA SECCION DORADA Hemos visto que la sección dorada es un caso específico y único en que un segundo término de una proporción es medio proporcional entre los términos primero y tercero de la misma, de modo que este tercer término sea la suma de los primeros y que el primer término sea, también, el inverso del tercero, así: a b =, que es la misma proporción que origina la serie de Fibonacci. b a + b Esto explica porqué la razón entre dos términos de la serie de Fibonacci, principalmente con valores altos, se acerca al valor del número de la proporción áurea. En el libro Paradojas Matemáticas de Northrop (Pág. 7) encontramos la tabla siguiente: () / = () / = (3) /3 = (4) 3/ = () /8 = (6) 8/3 = (7) 3/ = (8) /34 = (9) 34/ = (0) /89 = () 89/44 = () 44/33 = R= = R= = Las flechas indican que la sucesión de números de la columna de la izquierda es decreciente y se va acercando al valor de R conservándose siempre mayores que R, mientras la sucesión formada por los números de la columna de la derecha, es creciente y, también, se aproximan al valor R. de la sección áurea. Para este autor el Nro. R = , que otros llaman φ, es una constante universal en la naturaleza. De la misma manera en un libro de reciente publicación Geometría del Diseño de Kimberly Elam, se muestra la tabla que sigue, en la cual cualquier número más allá del quinceavo en la serie, cuando es dividido por el número anterior se aproxima a.68.

11 / 3/ /3 8/ 3/8 /3 34/ /34 89/ 44/89 33/44 377/33 60/377 = =.0000 = = =.600 =.638 =.690 =.676 =.688 =.6798 =.6806 =.6803 =.6804 cercano a la sección dorada = Northrop en la página 73 de su libro explica cómo en la flor del girasol se muestra la mejor aproximación que la naturaleza parece presentar a la razón R de la sección áurea.

12 esto también lo vemos en una página web de Internet FIG... FIG... En la primera flor las curvas espirales contadas en sentido horario son y en sentido anti horario 34 haciendo la razón de Fibonacci = /34. En la segunda flor (Girasol) las curvas contadas en sentido horario son 89 y en sentido anti horario, haciendo la razón 89/. Finalmente sumando cuadrados cuyos valores de sus lados sean la serie de Fibonacci, se dibuja una espiral que es semejante a la espiral de Durero y a la espiral Logarítmica FIG..3. FIG..4. Fuente:

13 6. ESPIRALES DE ARQUÍMEDES EN LA TABLA PERIÓDICA ARMONICA DE GUTIERREZ SAMANEZ. Presentados en mi libro: Sistema periódico armónico y leyes genéticas de los elementos químicos Cusco 004, y en las páginas web: Allí muestro las siguientes configuraciones espirales para los elementos químicos: / 3 /4 /4 Mg 3Al Na B 4Be 4Si 6C H 3Li He 0N Ar 0 7N 9F P 8O 7Cl /4 6S 7 /4 3 / FIG.6.

14 6Sm /9 4 /9 6 /9 3 /9 8 /9 0 /9 7 /9 4Rh /9 44Ru 46Pd 47Ag 43Tc 48Cd /9 7Co 8Ni 6Fe 4Mo 9Cu 30Zn 49In 4Nb 4Cr 3V Mn 3Ga Ti 3Ge 0Sn 40Zr Sc 0Ca 9K 8Ar 3 /9 4 /9 39Y 33As 34Sc Sb 38Sr 37Rb 36Kr 3Br /9 Te /9 4Xe 6 /9 /9 0 3 I 7 /9 FIG. 6. 0/6 /6 9 /6 8 /6 7 /6 6 /6 /6 /6 4 /6 3 /6 97Bk 96Cm 9Am 94Pu 93Np 9U 3 /6 4 /6 99Es 98Cf 9Pa 90Th /6 /6 7 /6 8 /6 00Fm 0Md 0No 03Lr 04Rd 0Db 06Sg 69Tm 70Yb 7Lu 7Hf 67Ho 68Er 66Dy 6Tb 64Gd 63Eu 6Pm 60Nd 9Pr 8Ce 6Ba Cs 4Xe 89Ac 88Ra 73Ta 84Po 74W 83Bi 7Re 8Pb 76Os 77 Ir 78Pt 79Au 80Hg 8Tl 7La 87Fr 86Rn 8At Uup 8Pe 7Uus 6Uuh /6 0 3 /6 30 /6 9 /6 07Bh 4Uuq 9 /6 0 /6 08Hs 09Mt 0Uum Uuu Uub 3Uut 8 /6 /6 7 /6 /6 3 /6 4 /6 /6 6 /6 FIG. 6.3 La primera figura representa la distribución de elementos en el sistema GS-A para los periodos, y 3; la segunda figura a los periodos 4 y, y la tercera a los periodos 6 y 7. La ecuación polar es la siguiente: Z = R = [ / Φ ]; / Φ + ; / Φ + 0 ; 3 / Φ + 8 ; 3 / Φ + 36 ; 4 / Φ + 4 ; 4 / Φ + 86 ;... Donde Z es numero atómico del elemento y es igual a R radio de la espiral. Hay una segunda disposición Sistema G.S.-B, cuya ecuación es: [ ] [ ] ; Z = R = / Φ ; / Φ + ; / Φ + 4 ; / Φ + ; 3 / Φ / Φ + 38 ; 4 / Φ + 6 ;...

15 7. LA SECCION DORADA, CUADRATURA Y RECTIFICACIÓN EN LA FIGURA HUMANA. Basándose en la ideas de Vitruvius, Leonardo Da Vinci dibujó al hombre ideal, para ello utilizó una circunferencia y un cuadrado cuyo radio y altura están en proporción áurea L =. 68 r. La altura del cuadrado corresponde a la altura del hombre dibujado de pie y ésta es igual a la longitud con sus brazos extendidos. La misma figura con sus pies separados posa sobre la circunferencia y, con los brazos extendidos ligeramente levantados, toca con los extremos de sus dedos la intersección entre el cuadrado y la circunferencia áureos. El punto medio de la circunferencia corresponde al ombligo del hombre. Igualmente, si los brazos estuvieran extendidos y juntos sobre la cabeza del hombre, los extremos tocarían la circunferencia. De esa misma manera he dispuesto al hombre dibujado por Leonardo dentro del cuadrado y circunferencias que están en proporción de la cuadratura del círculo y de la rectificación de la circunferencia. 7.. Proporción Áurea r,00 mm L L = r ; L =. 68r. FIG. 7..

16 7.. Proporción de la Cuadratura del Círculo. Los dedos de los brazos extendidos tocan las intersecciones de las figuras. r.04 L 9.3 r L = ; L =. 774 FIG. 7.. r Proporción de la Rectificación de la Circunferencia. La circunferencia supera las proporciones del hombre; pero, si las figuras geométricas se hacen concéntricas, los brazos ligeramente levantados tocarán las intersecciones.

17 r.04 L 8.7 L = r ; L =.7079r. FIG r.04 L 8.7 FIG. 7.4.

18 DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA SECCIÓN ÁUREA Y Y= + X +.68 X FIG. 7..

19 DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y Y = X Lado = Radio = -/4 -/4 +/4 D /4 F /4 X FIG DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON Y Y= X X FIG. 7.7.

20 DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON EL TEOREMA DE CORAZAO Y 4 Y = 4 _ X 3 4_ X FIG LA CHACANA ANDINA A PARTIR DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y X FIG. 7.9.

21 Links del autor El texto es parte de la obra del autor: La Cuadratura del Círculo, Sí, es posible! (Con una aproximación gráfica del número Pi a 6 decimales) (Cusco Perú, 006) ISBN X AUTOR: Julio Antonio Gutiérrez Samanez, (Cusco, Perú, 9) ingeniero químico, investigador y artista plástico. jgutierrezsamanez[arroba]yahoo.com; kutiry[arroba]hotmail.com Dirección Calle Inca 37, Santiago, Cusco Perú. Telf