MATE 3013 LA REGLA DE LA CADENA
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- Francisco Javier Castro Cuenca
- hace 7 años
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1 MATE 3013 LA REGLA DE LA CADENA
2 La composición e funciones DEFINICION: La composición función f g, e f con g, se efine f g f ( g( x))
3 La composición e funciones Ejemplo : Para Hallar f (x) x 3 y g(x) 1 x 2, ( f g)( x ) y ( g f )( x). ( f g)( x) f ( g( x)) ( g f )( x) g( f ( x)) f 2 (1 x ) 2 3 (1 x ) 1 3x 3x x gx ( ) 1 ( x ) 6 1 x 3 2
4 La composición e funciones Ejemplo : Para Hallar f (x) x an g(x) x 1, ( f g)( x ) y ( g f )( x). ( f g)( x) f ( g( x)) f( x 1) ( f g)( x) x 1 ( g f )( x) g( f ( x)) g( x) ( g f )( x) x 1
5 La composición e funciones Práctica aicional Para las funciones en el Ejemplo anterior, hallar: a.) f f x ( f f )( x) f ( f ( x)) f( x) x 4 x b.) g g x g g x g g x x gx ( 1) 1 1 x 2
6 La regla para potencias - extenia Suponer que g(x) es una función en x iferenciable. Entonces, para cualquier número real k, x g x k k g x k 1 x g x Dicho en palabras, la erivaa e una función cualquiera elevaa a una potencia es la erivaa e la potencia multiplicaa por la erivaa e la función que se eleva a la potencia.
7 La regla para potencias - extenia Ejemplo 1: Derivar f(x) = 1 + x 3 f x 1 x f (x) = x 1 + x3 = x x 2 3x x 3
8 La regla para potencias - extenia Ejemplo 2: Derivar: f x = 1 3x 3 Si no existiera otra forma tenríamos que expanir el binomio y aplicar la regla para sumas e términos y potencias. El éxito epene e que te acueres e como expanir un cubo, o en este caso multiplicar 1 3x 1 3x 1 3x = 1 9x + 27x 2 27x 3 f x x 81x 2 Hallar la erivaa e esta forma es fácil si somos buenos en álgebra básica. Sino
9 La regla para potencias - extenia Ejemplo 2: (continuación) f x = 1 3x 3 Derivar: Usano la regla e caena tenemos que: f x = (1 3x) 3 1 3x En palabras ecimos, la erivaa e la potencia por la erivaa e la base. f x = 3(1 3x) 2 3 f x = 9(1 6x + 9x 2 ) f x = x 81x 2 Llegamos al mismo resultao que anterior.
10 La regla para potencias - extenia Ejemplo 2: Derivar: f x = x 3 5 2x 5 Primero aplicaremos primeramente la regla el proucto. f x f x = x 3 5 2x 5 + x 3 [ 5 2x 5 ] Ahora, en caa término en el que hay que erivar, usaremos la regla para potencias o la regla extenia para potencias, según sea necesario. f x = x [x3 ] 5 2x 5 + x 3 x [ 5 2x 5 ](5 2x) = 3x 2 5 2x 5 + x x 4 ( 2) f x = 3x 2 5 2x 5 10x 3 5 2x 4 f x = x 2 5 2x 4 [3 5 2x 10x] f x = x 2 5 2x 4 (15 16x) Aquí, buscamos la erivaa e la potencia, ejano la base igual, y luego erivamos la base. Respuesta correcta sin simplificar. Respuesta completamente simplificaa.
11 La regla para potencias - extenia Ejemplo 3: Derivar: f x = 3x x 2 Primero aplicaremos la regla el proucto. f x = 3x x 2 + 3x x 2 Ahora, en caa erivaa que vamos a buscar, usaremos la regla para potencias - extenia. f x = x [ 3x 5 3 ] 3x 5 7 x 2 + 3x 5 3 x [ 7 x 2 ](7 x) f x = 3 3x x 2 + 3x x 1 f x = 9 3x x 2 2 3x x f x = 3x x [9 7 x 2 3x 5 ] Respuesta correcta sin simplificar. f x = 3x x 73 15x Respuesta completamente simplificaa.
12 La regla para funciones exponenciales - extenia Parte 1: Suponer que g(x) es una función en x iferenciable. Entonces, para cualquier número real k, x eg x = e g x x g(x) Dicho en palabras, la erivaa e una función cualquiera función exponencial natural es la función exponencial multiplicaa por la erivaa el exponente.
13 La regla para funciones exponenciales - extenia Ejemplo: Derivar: f x = 5e 4x x eg x = e g x x g(x) f (x) = 5e 4x x (4x) f (x) = 5e 4x 4 f (x) = 20e 4x
14 La regla para funciones exponenciales - extenia Ejemplo: Derivar: f x = 2e3x 2 x eg x = e g x x g(x) f (x) = 2e 3x 2 x (3x 2) f (x) = 2e 3x 2 3 f (x) = 6e 3x 2
15 La regla para funciones exponenciales - extenia Ejemplo: Derivar: f x = ex3 x 4 Aplicaremos os reglas, primeramente la regla para cocientes y luego la regla para potencias - extenia. f (x) = ex3 x 4 e x3 (x 4 ) (x 4 ) 2 f (x) = ex3 (3x 2 ) x 4 e x3 (4x 3 ) x 8 f (x) = ex3 3x 6 4x 3 x 8
16 La regla para funciones exponenciales - extenia Parte 2: Suponer que g(x) es una función en x iferenciable. Entonces, para cualquier número real k, x ag x = ln (a)a g x x g(x) Dicho en palabras, la erivaa e una función cualquiera función exponencial es la función exponencial multiplicaa por el logaritmo natural e la base multiplicaa por la erivaa el exponente.
17 La regla para funciones exponenciales - extenia Ejemplo: Derivar: g x = 3 x2 x ag x = ln (a)a g x x g(x) g (x) = ln (3) 3 x2 x (x2 ) g (x) = ln (3) 3 x2 (2x) g x = 2x ln 3 3 x2
18 La regla para funciones exponenciales - extenia Ejemplo: Derivar: g x = 4(3 x2 9x ) x ag x = ln (a)a g x x g(x) g (x) = 4 ln (3) 3 x2 9x x (x2 9x) g (x) = 4 ln (3) 3 x2 9x (2x 9) g x = 4 ln 3 (2x 9) 3 x2 9x
19 La regla e la caena - general La erivaa e una composición, f g está aa por ( f g)( x) f ( g( x)) f '( g( x)) g '( x) x x y y u o lo que es igual, x u x En otras palabras la erivaa e una composición es la erivaa e la función que está afuera por la erivaa e la función e aentro.
20 La regla e la caena Ejemplo : Hallar f (x) para f x = x x x y y u x u x Dice: la erivaa e una composición es la erivaa e la función externa multiplicaa por la erivaa e la función interna. x = x [x 3 + 1] x = 1 2 x x 2 f (x) = 3x2 2 x 3 + 1
21 La regla e la caena - generalizaa Ejemplo : Hallar h (z) para h z =. y y u x u x Si cambiamos h(x) e forma h z = 3(4z 5) 3 entonces poemos aplicar la regla e la caena. h (x) = 3 4z 5 3 (4z 5) h (x) = 3 3 4z h (x) = 36 4z 5 4 h (x) = 36 4z (4z 5) 3 Dice: la erivaa e una composición es la erivaa e la función externa multiplicaa por la erivaa e la función interna.
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(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)
![(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)](/thumbs/24/2434623.jpg "(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)")
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