Derivadas Parciales (parte 2)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Derivadas Parciales (parte 2)"

Transcripción

1 40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y. Determinar Solución: Consideraremos ahora la situación en la que, pero cada una de las variables e es función de dos variables y. En este caso tiene sentido el problema de determinar TEOREMA (Regla de la Cadena ) Sean funciones que admiten primeras derivadas parciales en y sea diferenciable en. Entonces tiene primeras derivadas parciales dadas por : i) ii) EJEMPLO Si, en donde determinar Usando la Regla de la Cadena, se tiene : y

2 41 z s s s Análogamente : OBSERVACION árbol Ejercicio Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el diagrama del z 2 1 z Demuestre que ( r ) + ( r 2 si con e Solución Entonces Justifique! La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier número de variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización. TEOREMA (Regla de la Cadena Caso General) Supóngase que es una función diferenciable y que cada una de las variables,..., es una función de variables,..., de tal manera que todas las derivadas parciales existen (,,... y. Entonces es función de,,... y para cada

3 42 EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que y Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la correspondiente derivada parcial. En este caso Entonces EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que ) y En este caso el diagrama de árbol está dado por La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de un argumento. Por ejemplo : Sea probar que

4 43 Aquí el diagrama de árbol corresponde a : Lo importante de distinguir aquí es que puede ser cualquier función diferenciable : etc Se probará que independiente de la selección de, se mantiene el resultado En efecto : 2 Por lo tanto : El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales de un número infinito de funciones formadas de la misma manera. Esta situación tiene aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas parciales. EJEMPLO 4.8 Si demostrar que Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una función de tres variables y que puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer explícitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitución, esto es :, donde,, Por consiguiente el diagrama de árbol que queda

5 44 Entonces : Análogamente : ( 1) Finalmente : EJEMPLO La ecuación diferencial parcial constante es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios de la luz o el sonido. En este caso es una función diferenciable de y. Demostrar que cualquier función diferenciable de la forma satisface la ecuación de la onda. Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos diagrama de árbol queda de modo que el

6 45 Entonces : En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado Recordemos que pero, tomándose como una función de y. Entonces : En este caso el diagrama de árbol queda : Entonces Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente reemplazando por en la expresión obtenida anteriormente. En efecto Luego : Para calcular recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar por en la expresión Entonces

7 46 Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que 2 Se propone al alumno verificar que de la onda, de modo que también es solución de la ecuación sigue siendo solución DERIVACION IMPLICITA Aunque en la II Unidad de Cálculo I se introdujo la técnica para derivar funciones ( ) definidas implícitamente por la ecuación, ahora es posible describir más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto, definamos la función compuesta por con entonces De la definición de función implícita, se tiene que de modo que. Además como entonces para todo Por lo tanto : Si entonces Este análisis se puede resumir en TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una función derivable ( ) tal que, entonces

8 47 EJEMPLO Encontrar suponiendo que satisface la ecuación Supongamos, entonces Aplicando el Teorema se tiene : En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de la forma que define implícitamente a una función, por ejemplo,. Esto significa que para todo ( ). Si es diferenciable y las derivadas parciales y existen entonces es posible usar la regla de la cadena para determinar las derivadas parciales y, sin que sea necesario despejar de la ecuación. El siguiente teorema garantiza tal situación : TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una función diferenciable tal que en el dominio de entonces : EJEMPLO Encontrar y suponiendo que satisface la ecuación Supongamos, entonces Aplicando el Teorema se tiene : y DERIVADA DIRECCIONAL

9 48 Recuérdese que si entonces las derivadas parciales y, se definen como : lim lim y representan las razones de cambio de en direcciones paralelas a los ejes coordenados e, es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j. Interesa ahora estudiar la razón de cambio de en cualquier dirección, esto debe conducir al concepto de derivada direccional que está íntimamente relacionado con el concepto de gradiente. Usando la notación p y algebra de vectores se pueden escribir las derivadas parciales anteriores del siguiente modo p lim p i p p lim p j p Notar que para conseguir nuestro propósito, bastará reemplazar los vectores i y vector unitario arbitrario u de dirección arbitraria. Se tiene entonces. j por un DEFINICION 6.1 Sea una función y u un vector unitario arbitrario contenido en. Se llama DERIVADA DIRECCIONAL de en p en la dirección de u, que se denota por u p, al límite p lim p u p si es que este límite existe En la Figura se presenta la interpretación geométrica de p p

10 49 Notar que el vector u determina una recta en el plano que pasa por (, ). El plano que contiene a y es perpendicular al plano intersecta a la superficie en una curva. Entonces la pendiente de la tangente a en el punto ( coincide con. OBSERVACION i) Se confirma facilmente que i p p y que j p p ii La definición se puede generalizar en forma directa para una función de 3 o más variables. El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante el concepto de gradiente y se entregará en su expresión más general. TEOREMA Sea una función con derivadas parciales continuas en una vecindad de p. Entonces tiene una derivada direccional en p en la dirección de un vector unitario u dada por p p u El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables. En efecto a) Si entonces p mientras que si la dirección de u está dada por una recta que forma un angulo con la parte positiva del eje (Ver Figura 6.2) entonces u es un vector unitario en la dirección de (también es posible obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto

11 50 EJEMPLO Dado hallar la derivada direccional de en Cuál es el valor de esta derivada en el punto (2, 1)? Calculamos primero Enseguida calculamos el vector unitario u Por lo tanto u u En particular si ( ) (2, ), se tiene : u EJEMPLO Encontrar la derivada direccional de en el punto (, ) en la dirección del vector a i j En este caso :, entonces Además el vector unitario u en la dirección de a está dado por u, esto es : u i j a a Por lo tanto : 1,4 u, b) Si entonces p mientras que si la dirección de u está dada por la de una recta cuyos ángulos directores son y entonces el vector unitario u en la dirección de está dado por u analogamente al caso se puede obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto u EJEMPLO Dada la función direccional en el punto (1,0,2), en la dirección que va a (5,3,3) hallar la derivada

12 51 En este caso, como se tiene que, Entonces Por otra parte la dirección está dada por a luego u a a Por lo tanto : (1 u En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en que la función aumenta más rapidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente Teorema proporciona esta información : TEOREMA Sea una función diferenciable en un punto p entonces i) El valor máximo de la derivada direccional en p es p el valor mínimo es p ii) La razón de cambio máxima de en p se alcanza en la dirección de p ( la tasa mínima en p EJEMPLO Suponga que la temperatura en un punto ( ) del espacio tridimensional está dada por en donde se mide en C y en metros En qué dirección aumenta más rapidamente la temperatura en el punto (1,1, 2)? Cuál es el valor de la máxima razón de aumento? Como, entonces

13 52 Por lo tanto, la temperatura aumenta más rapidamente en la dirección del vector gradiente (1,1, 2), lo que equivale a la dirección del vector (. Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por : MAXIMOS Y MÍNIMOS TEOREMA (CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES) Supóngase que ( ) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de (, ) y que ( ) Sea i) Si > y (, ) < (, ) es un valor máximo relativo ii) Si > y (, ) > (, ) es un valor mínimo relativo iii) Si < (, ) es un punto de silla de iv) Si el criterio no proporciona información EJEMPLO Determinar los valores extremos relativos de la función ( ) Primero se localizan los puntos críticos estacionarios. En efecto ( ) ( ) O sea : (

14 53 De la segunda ecuación o Reemplazando en la primera se tiene : ( ) o + o Por lo tanto los puntos críticos estacionarios son : ( ), (, ( ) y ( ) Enseguida se calculan las segundas derivadas parciales de y ( ). En efecto :,,, Luego : Por lo tanto : Para ( ) : ( ) >, ( ) < ( ) es un valor máximo relativo Para ( ) : ( ) >, ( ) > ( ) es un valor mínimo relativo. Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE En el ejemplo anterior se resolvió el problema de maximizar la función de distancia desde el plano al origen. En los problemas de aplicación de máximos y mínimos para funciones de una variable también aparecieron situaciones similares, esto es, optimizar una función (función objetivo) sujeta a una condición (ecuación de restricción ). En lo sucesivo centraremos nuestra atención en la resolución de problemas de valores extremos restringidos, esto es, determinar el valor extremo de una función sujeta a cierta restricción. Es conveniente considerar que este tipo de problemas fue manejado anteriormente despejando la variable adecuada de la ecuación de restricción y reemplazándola en la función a optimizar, esta situación es aplicable para funciones de

15 54 una o dos variables, sin embargo, existe un método más práctico, conocido como el método de los Multiplicadores de Lagrange, cuya fortaleza radica en el hecho que se puede aplicar a funciones de dos, tres o más variables sujetas a una o más condiciones restrictivas. Mostraremos solamente el fundamento geométrico del método de los Multiplicadores de Lagrange, para el caso de funciones de dos variables, en este caso el problema a resolver es : Determinar los valores extremos de la función ( ) sujeto a la condición ( ) El método de los Multiplicadores de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico para determinar los puntos (, ) y (, ). En efecto como en estos puntos la curva de nivel de y la curva de restricción son tangentes, esto es, tienen una recta tangente común, entonces las curvas también tienen una recta normal común. Pero ( ) es siempre perpendicular a la curva de nivel de que pasa por. Por otra parte ( ) es siempre normal a. (Debiera ser claro que este análisis también es válido para.) Por lo tanto, los vectores y son paralelos en y, esto es : ( ) ( ) y ( ) ( ) para algún Aunque es posible desarrollar una demostración formal solamente entregaremos el enfoque intuitivo anterior como fundamento de este método.

16 55 TEOREMA (Método de los multiplicadores de Lagrange) Para maximizar o minimizar (p) sujeta a la restricción (p) debe resolver el sistema de ecuaciones (p) (p) (p Cada punto p es un punto crítico estacionario del problema de valor extremo restringido y el correspondiente se llama Multiplicador de Lagrange. EJEMPLO Encontrar los valores extremos de la función ( ) restringidos a la circunferencia En este caso la ecuación de restricción es ( ) Calculamos entonces ( ) y ( ), siendo p ( ) el punto crítico a precisar. En efecto : ( p) (, ) ( p) (, ) Formamos el sistema de ecuaciones contemplado en el Teorema Se obtiene entonces i) ii) iii) ( p) ( p) (, ) (, ) ( p) De i) ( ) entonces o Si entonces de iii) resulta + Si entonces de ii) resulta 1/2 y reemplazando este valor en iii) se obtiene + Por lo tanto los puntos críticos son ( ), ( ), y (

17 56 Evaluando en estos cuatro puntos se tiene : ( ), ( ), ( ) 5/4, ) 5/4 Por lo tanto el valor máximo de en los puntos de la circunferencia es ( ) 5/4 y el valor mínimo es ( )

SESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS.

SESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS. SESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS. I. CONTENIDOS: 1. Interpretación geométrica de la derivada 2. Regla general

Más detalles

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA LA CIRCUNFERENCIA CONTENIDO. Ecuación común de la circunferencia Ejemplos. Ecuación general de la circunferencia. Análisis de la ecuación. Ejercicios Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia aplicaciones

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Sistemas de ecuaciones Nivel: 2 Medio Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones lineales En distintos problemas de matemáticas nos vemos enfrentados

Más detalles

Función lineal Ecuación de la recta

Función lineal Ecuación de la recta Función lineal Ecuación de la recta Función constante Una función constante toma siempre el mismo valor. Su fórmula tiene la forma f()=c donde c es un número dado. El valor de f() en este caso no depende

Más detalles

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p

Más detalles

ƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.

ƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}. SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f

Más detalles

La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones

La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones 58 Sociedad de Matemática de Chile La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones Miguel Bustamantes 1 - Alejandro Necochea 2 El propósito

Más detalles

Lección 4. Ecuaciones diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales.

Lección 4. Ecuaciones diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Traectorias ortogonales. Muchas aplicaciones problemas de la ciencia, la ingeniería la economía se formulan en términos

Más detalles

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253 Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían

Más detalles

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre

Más detalles

SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS I. CONTENIDOS: 1. Función inversa, conceptos y definiciones 2. Derivación de funciones trigonométricas inversas 3. Ejercicios resueltos 4. Estrategias

Más detalles

Elementos de Cálculo en Varias Variables

Elementos de Cálculo en Varias Variables Elementos de Cálculo en Varias Variables Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 5 de octubre de 009 Índice Introducción Derivada parcial El Jacobiano de una Función 5 Derivadas Superiores 5 5 Derivada

Más detalles

3. 2. Pendiente de una recta. Definición 3. 3.

3. 2. Pendiente de una recta. Definición 3. 3. 3.. Pendiente de una recta. Definición 3. 3. Se llama Angulo de Inclinación α de una recta L, al que se forma entre el eje en su dirección positiva y la recta L, cuando esta se considera dirigida hacia

Más detalles

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante

Más detalles

TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR

TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR 5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 Definición de derivada Definición: Sea I in intervalo abierto, f : I y a I. Diremos que f es derivable en a si existe y

Más detalles

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto

Más detalles

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.

Más detalles

Volumen de Sólidos de Revolución

Volumen de Sólidos de Revolución 60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido

Más detalles

SESIÓN 10 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS

SESIÓN 10 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS SESIÓN 0 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS I. CONTENIDOS:. Derivadas de funciones trigonométricas directas. Ejercicios resueltos. Estrategias Centradas en el Aprendizaje: Ejercicios propuestos

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles

Matemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.

Matemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior. Derivadas parciales y direccionales

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior. Derivadas parciales y direccionales Derivadas parciales y direccionales 1 Derivadas parciales 2 Derivadas direccionales 3 Derivadas parciales de orden superior Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) Sea A = [a 1, b 1

Más detalles

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto» TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento

Más detalles

Unidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas

Unidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas Unidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas 2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta. La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Capítulo 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 1.1 INTRODUCCIÓN Este libro trata del álgebra lineal. Al buscar la palabra lineal en el diccionario se encuentra, entre otras definiciones, la siguiente:

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas

Más detalles

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos . Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas

Más detalles

VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.

VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)

Más detalles

DERIVADA DE LAS FUNCIONES BÁSICAS SENO Y COSENO

DERIVADA DE LAS FUNCIONES BÁSICAS SENO Y COSENO DERIVADA DE LAS FUNCIONES BÁSICAS SENO Y COSENO Sugerencias para quien imparte el curso: Un inconveniente que se podría conjeturar de inicio, es la existencia de estudiantes que aún no logran comprender

Más detalles

Matemáticas para estudiantes de Química

Matemáticas para estudiantes de Química Matemáticas para estudiantes de Química PROYECTO EDITORIAL BIBLIOTECA DE QUÍMICAS Director: Carlos Seoane Prado Catedrático de Química Orgánica Universidad Complutense de Madrid Matemáticas para estudiantes

Más detalles

Curso de Inducción de Matemáticas

Curso de Inducción de Matemáticas Curso de Inducción de Matemáticas CAPÍTULO 1 Funciones y sus gráficas M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO Programa del Curso 1. Funciones y sus gráficas. 2. Límites. 3. Cálculo Analítico de Límites. 4. Derivación.

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar

Más detalles

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Cálculo III.

Ejercicios Resueltos de Cálculo III. Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como

Más detalles

Ángulos complementarios Un par de ángulos son complementarios si la suma resultante de sus medidas es.

Ángulos complementarios Un par de ángulos son complementarios si la suma resultante de sus medidas es. Materia: Matemática de Séptimo Tema: Ángulos y pares de ángulos Objetivos de aprendizaje Entender e identificar ángulos complementarios. Entender e identificar ángulos suplementarios. Entender y utilizar

Más detalles

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Unidad I (Capítulo 16 del texto) Cálculo de Varias Variables 1.1 Funciones de varias variables. 1.2 Derivadas parciales.

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales del Cálculo Diferencial se refiere a la determinación

Más detalles

1.3.- V A L O R A B S O L U T O

1.3.- V A L O R A B S O L U T O 1.3.- V A L O R A B S O L U T O OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de Valor Absoluto y sepa emplearlo en la resolución de desigualdades. 1.3.1.- Definición de Valor Absoluto. El valor absoluto

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

Cálculo vs Análisis. Trabajos

Cálculo vs Análisis. Trabajos 1. Analizar los dos libros que aparecen en la bibliografía del curso, Cálculo Vectorial, de Marsden, J.E. y Tromba, A.J., y Análisis clásico elemental, de Marsden, J.E. y Hoffman, M.J. Hacer un informe

Más detalles

MATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION

MATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION MATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION Resumen razón de cambio promedio La pendiente de la recta secante que conecta dos puntos en la gráfica de una función representa la razón

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1) En cada ejercicio hallar la ecuación de la circunferencia que cumple: 1) El radio es igual a 6 y las coordenadas de su centro son ( 1, 2). 2) Su centro es el origen de coordenadas

Más detalles

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media

Más detalles

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio

Más detalles

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta

Más detalles

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS El estudiante, hasta este momento de sus estudios, está familiarizado con el cálculo de áreas de figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado,

Más detalles

CAPÍTULO. 1 Conceptos básicos

CAPÍTULO. 1 Conceptos básicos CAPÍTULO 1 Conceptos básicos 1.4.2 Curva solución de un PVI Como comentamos al hablar sobre las soluciones generales particulares de una ED, ocurre que las soluciones generales contienen una o más constantes

Más detalles

Consideramos dos líneas. Hay tres formas de que las dos pueden interactuar:

Consideramos dos líneas. Hay tres formas de que las dos pueden interactuar: Materia: Matemática de 5to Tema: Rectas paralelas y perpendiculares Marco Teórico Consideramos dos líneas. Hay tres formas de que las dos pueden interactuar: 1. Son paralelas y por lo que nunca se cruzan.

Más detalles

1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos.

1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma del cuadrado de las distancias a los puntos P 1 = (, 0) y P = (, 0)

Más detalles

2.2 Rectas en el plano

2.2 Rectas en el plano 2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto

Más detalles

Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta

Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta página 1/14 Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta Índice de contenido Base canónica en dos dimensiones como sistema referencial...2 Ecuación vectorial de la recta...4 Ecuación paramétrica de la recta...6

Más detalles

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias

Más detalles

Límites de funciones de varias variables.

Límites de funciones de varias variables. Límites continuidad de funciones de varias variables Límites de funciones de varias variables. En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables algunas de las técnicas

Más detalles

Problema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y),

Problema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y), Problema. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x + y cos(xy), (b) f(x, y) = x x + y, (c) f(x, y) = log x + y x y, (d) f(x, y) = arctan x + y x y, (e) f(x, y) = cos(3x)

Más detalles

DERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente:

DERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente: Tasa de variación media DERIVADAS La tasa de variación media TVM de una unción ( en un intervalo (x, x se deine como: TVM (a, b ( x ( x x x Si consideramos x x + h, podemos expresar la TVM como: Interpretación

Más detalles

Introducción. Flujo Eléctrico.

Introducción. Flujo Eléctrico. Introducción La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante las líneas de fuerza, está relacionada con una ecuación matemática llamada Ley de Gauss, que relaciona el campo eléctrico sobre una

Más detalles

4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios

Más detalles

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Máximos y Mínimos. Equipo 2

CÁLCULO DIFERENCIAL. Máximos y Mínimos. Equipo 2 CÁLCULO DIFERENCIAL Equipo 2 Máximos y Mínimos Estos son los ejercicios que deberá el equipo explicar dentro de la clase, este equipo tendrá un máximo de 5 integrantes, y deberá valerse de materiales o

Más detalles

Matemáticas UNIDAD 5 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

Matemáticas UNIDAD 5 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 5 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl LA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE

Más detalles

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy). UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios

Más detalles

PROGRAMACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS EN LA PREPARACIÓN DE LA PARTE COMÚN DE LA PRUEBA DE ACCESO A LOS C.F.G.S. (Opción C)

PROGRAMACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS EN LA PREPARACIÓN DE LA PARTE COMÚN DE LA PRUEBA DE ACCESO A LOS C.F.G.S. (Opción C) PROGRAMACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS EN LA PREPARACIÓN DE LA PARTE COMÚN DE LA PRUEBA DE ACCESO A LOS C.F.G.S. (Opción C) I.E.S. Universidad Laboral de Málaga Curso 2015/2016 PROGRAMACIÓN DE LA

Más detalles

12 Funciones de proporcionalidad

12 Funciones de proporcionalidad 8 _ 09-088.qxd //0 : Página 9 Funciones de proporcionalidad INTRODUCCIÓN La representación gráfica de funciones de proporcionalidad es una de las formas más directas de entender y verificar la relación

Más detalles

Unidad 5. La derivada. 5.2 La derivada de una función

Unidad 5. La derivada. 5.2 La derivada de una función Unidad 5 La derivada 5. La derivada de una función A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, que es el de la derivada. Este concepto es un ite que está estrecamente ligado

Más detalles

Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma

Más detalles

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid! CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,

Más detalles

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real

Más detalles

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como:

Más detalles

1. Sucesiones y redes.

1. Sucesiones y redes. 1. Sucesiones y redes. PRACTICO 7. REDES. Se ha visto que el concepto de sucesión no permite caracterizar algunas nociones topológicas, salvo en espacios métricos. Esto empieza con algunas definiciones

Más detalles

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:

Más detalles

CAPÍTULO. Conceptos básicos

CAPÍTULO. Conceptos básicos CAPÍTULO 1 Conceptos básicos 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales 1.3.1 Soluciones de una ecuación Ejemplo 1.3.1 Resolver la ecuación: D 0. H Resolver esta ecuación significa encontrar todos los

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Lineal Ma1010 Líneas y s en el Espacio Departamento de Matemáticas ITESM Líneas y s en el Espacio Álgebra Lineal - p. 1/34 Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen

Más detalles

Capítulo 4. Lógica matemática. Continuar

Capítulo 4. Lógica matemática. Continuar Capítulo 4. Lógica matemática Continuar Introducción La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un teorema es falso o verdadero, además

Más detalles

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de

Más detalles

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente

Más detalles

13. Utilizar la fórmula del término general y de la suma de n términos consecutivos

13. Utilizar la fórmula del término general y de la suma de n términos consecutivos Contenidos mínimos 3º ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra. 1. Utilizar las reglas de jerarquía de paréntesis y operaciones, para efectuar cálculos con números racionales, expresados en forma

Más detalles

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES. Problemas 02

PROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES. Problemas 02 PROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES Problemas 0 Salvador Pérez Gómez pies3coma14@hotmail.com 4 de abril de 007 PROBLEMA 1 Sea n un número natural. Sea A n = n + n + 3n. a) Demostrar que

Más detalles

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Introducción a la programación lineal

Introducción a la programación lineal Introducción a la programación lineal La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en una

Más detalles

Matemática 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales República Argentina. Programa de:

Matemática 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales República Argentina. Programa de: Programa de: Matemática 2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales República Argentina Carrera: Ciencias Geológicas Escuela: Geología. Departamento: Matemática.

Más detalles

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera

Más detalles

Matemáticas UNIDAD 8 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

Matemáticas UNIDAD 8 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 8 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA

Más detalles

1. Cinemática: Elementos del movimiento

1. Cinemática: Elementos del movimiento 1. Cinemática: Elementos del movimiento 1. Una partícula con velocidad cero, puede tener aceleración distinta de cero? Y si su aceleración es cero, puede cambiar el módulo de la velocidad? 2. La ecuación

Más detalles

MÓDULO 8: VECTORES. Física

MÓDULO 8: VECTORES. Física MÓDULO 8: VECTORES Física Magnitud vectorial. Elementos. Producto de un vector por un escalar. Operaciones vectoriales. Vector unitario. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. UTN

Más detalles

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. Cuando una ecuación contiene

Más detalles

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Eveln Dávila Contenido TEMA: Ecuaciones Lineales En Dos Variables... Solución

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,

sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces, Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.

Más detalles

Guía de algunas Aplicaciones de la Derivada

Guía de algunas Aplicaciones de la Derivada Guía de algunas Aplicaciones de la Derivada 1.1. Definiciones Básicas. Recordemos que : 1. Recta Tangente y Normal La ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto P = (x 0, y 0 ) es de la forma:

Más detalles

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.

Más detalles