Derivadas Parciales (parte 2)

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1 40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y. Determinar Solución: Consideraremos ahora la situación en la que, pero cada una de las variables e es función de dos variables y. En este caso tiene sentido el problema de determinar TEOREMA (Regla de la Cadena ) Sean funciones que admiten primeras derivadas parciales en y sea diferenciable en. Entonces tiene primeras derivadas parciales dadas por : i) ii) EJEMPLO Si, en donde determinar Usando la Regla de la Cadena, se tiene : y

2 41 z s s s Análogamente : OBSERVACION árbol Ejercicio Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el diagrama del z 2 1 z Demuestre que ( r ) + ( r 2 si con e Solución Entonces Justifique! La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier número de variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización. TEOREMA (Regla de la Cadena Caso General) Supóngase que es una función diferenciable y que cada una de las variables,..., es una función de variables,..., de tal manera que todas las derivadas parciales existen (,,... y. Entonces es función de,,... y para cada

3 42 EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que y Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la correspondiente derivada parcial. En este caso Entonces EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que ) y En este caso el diagrama de árbol está dado por La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de un argumento. Por ejemplo : Sea probar que

4 43 Aquí el diagrama de árbol corresponde a : Lo importante de distinguir aquí es que puede ser cualquier función diferenciable : etc Se probará que independiente de la selección de, se mantiene el resultado En efecto : 2 Por lo tanto : El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales de un número infinito de funciones formadas de la misma manera. Esta situación tiene aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas parciales. EJEMPLO 4.8 Si demostrar que Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una función de tres variables y que puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer explícitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitución, esto es :, donde,, Por consiguiente el diagrama de árbol que queda

5 44 Entonces : Análogamente : ( 1) Finalmente : EJEMPLO La ecuación diferencial parcial constante es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios de la luz o el sonido. En este caso es una función diferenciable de y. Demostrar que cualquier función diferenciable de la forma satisface la ecuación de la onda. Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos diagrama de árbol queda de modo que el

6 45 Entonces : En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado Recordemos que pero, tomándose como una función de y. Entonces : En este caso el diagrama de árbol queda : Entonces Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente reemplazando por en la expresión obtenida anteriormente. En efecto Luego : Para calcular recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar por en la expresión Entonces

7 46 Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que 2 Se propone al alumno verificar que de la onda, de modo que también es solución de la ecuación sigue siendo solución DERIVACION IMPLICITA Aunque en la II Unidad de Cálculo I se introdujo la técnica para derivar funciones ( ) definidas implícitamente por la ecuación, ahora es posible describir más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto, definamos la función compuesta por con entonces De la definición de función implícita, se tiene que de modo que. Además como entonces para todo Por lo tanto : Si entonces Este análisis se puede resumir en TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una función derivable ( ) tal que, entonces

8 47 EJEMPLO Encontrar suponiendo que satisface la ecuación Supongamos, entonces Aplicando el Teorema se tiene : En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de la forma que define implícitamente a una función, por ejemplo,. Esto significa que para todo ( ). Si es diferenciable y las derivadas parciales y existen entonces es posible usar la regla de la cadena para determinar las derivadas parciales y, sin que sea necesario despejar de la ecuación. El siguiente teorema garantiza tal situación : TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una función diferenciable tal que en el dominio de entonces : EJEMPLO Encontrar y suponiendo que satisface la ecuación Supongamos, entonces Aplicando el Teorema se tiene : y DERIVADA DIRECCIONAL

9 48 Recuérdese que si entonces las derivadas parciales y, se definen como : lim lim y representan las razones de cambio de en direcciones paralelas a los ejes coordenados e, es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j. Interesa ahora estudiar la razón de cambio de en cualquier dirección, esto debe conducir al concepto de derivada direccional que está íntimamente relacionado con el concepto de gradiente. Usando la notación p y algebra de vectores se pueden escribir las derivadas parciales anteriores del siguiente modo p lim p i p p lim p j p Notar que para conseguir nuestro propósito, bastará reemplazar los vectores i y vector unitario arbitrario u de dirección arbitraria. Se tiene entonces. j por un DEFINICION 6.1 Sea una función y u un vector unitario arbitrario contenido en. Se llama DERIVADA DIRECCIONAL de en p en la dirección de u, que se denota por u p, al límite p lim p u p si es que este límite existe En la Figura se presenta la interpretación geométrica de p p

10 49 Notar que el vector u determina una recta en el plano que pasa por (, ). El plano que contiene a y es perpendicular al plano intersecta a la superficie en una curva. Entonces la pendiente de la tangente a en el punto ( coincide con. OBSERVACION i) Se confirma facilmente que i p p y que j p p ii La definición se puede generalizar en forma directa para una función de 3 o más variables. El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante el concepto de gradiente y se entregará en su expresión más general. TEOREMA Sea una función con derivadas parciales continuas en una vecindad de p. Entonces tiene una derivada direccional en p en la dirección de un vector unitario u dada por p p u El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables. En efecto a) Si entonces p mientras que si la dirección de u está dada por una recta que forma un angulo con la parte positiva del eje (Ver Figura 6.2) entonces u es un vector unitario en la dirección de (también es posible obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto

11 50 EJEMPLO Dado hallar la derivada direccional de en Cuál es el valor de esta derivada en el punto (2, 1)? Calculamos primero Enseguida calculamos el vector unitario u Por lo tanto u u En particular si ( ) (2, ), se tiene : u EJEMPLO Encontrar la derivada direccional de en el punto (, ) en la dirección del vector a i j En este caso :, entonces Además el vector unitario u en la dirección de a está dado por u, esto es : u i j a a Por lo tanto : 1,4 u, b) Si entonces p mientras que si la dirección de u está dada por la de una recta cuyos ángulos directores son y entonces el vector unitario u en la dirección de está dado por u analogamente al caso se puede obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto u EJEMPLO Dada la función direccional en el punto (1,0,2), en la dirección que va a (5,3,3) hallar la derivada

12 51 En este caso, como se tiene que, Entonces Por otra parte la dirección está dada por a luego u a a Por lo tanto : (1 u En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en que la función aumenta más rapidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente Teorema proporciona esta información : TEOREMA Sea una función diferenciable en un punto p entonces i) El valor máximo de la derivada direccional en p es p el valor mínimo es p ii) La razón de cambio máxima de en p se alcanza en la dirección de p ( la tasa mínima en p EJEMPLO Suponga que la temperatura en un punto ( ) del espacio tridimensional está dada por en donde se mide en C y en metros En qué dirección aumenta más rapidamente la temperatura en el punto (1,1, 2)? Cuál es el valor de la máxima razón de aumento? Como, entonces

13 52 Por lo tanto, la temperatura aumenta más rapidamente en la dirección del vector gradiente (1,1, 2), lo que equivale a la dirección del vector (. Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por : MAXIMOS Y MÍNIMOS TEOREMA (CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES) Supóngase que ( ) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de (, ) y que ( ) Sea i) Si > y (, ) < (, ) es un valor máximo relativo ii) Si > y (, ) > (, ) es un valor mínimo relativo iii) Si < (, ) es un punto de silla de iv) Si el criterio no proporciona información EJEMPLO Determinar los valores extremos relativos de la función ( ) Primero se localizan los puntos críticos estacionarios. En efecto ( ) ( ) O sea : (

14 53 De la segunda ecuación o Reemplazando en la primera se tiene : ( ) o + o Por lo tanto los puntos críticos estacionarios son : ( ), (, ( ) y ( ) Enseguida se calculan las segundas derivadas parciales de y ( ). En efecto :,,, Luego : Por lo tanto : Para ( ) : ( ) >, ( ) < ( ) es un valor máximo relativo Para ( ) : ( ) >, ( ) > ( ) es un valor mínimo relativo. Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE En el ejemplo anterior se resolvió el problema de maximizar la función de distancia desde el plano al origen. En los problemas de aplicación de máximos y mínimos para funciones de una variable también aparecieron situaciones similares, esto es, optimizar una función (función objetivo) sujeta a una condición (ecuación de restricción ). En lo sucesivo centraremos nuestra atención en la resolución de problemas de valores extremos restringidos, esto es, determinar el valor extremo de una función sujeta a cierta restricción. Es conveniente considerar que este tipo de problemas fue manejado anteriormente despejando la variable adecuada de la ecuación de restricción y reemplazándola en la función a optimizar, esta situación es aplicable para funciones de

15 54 una o dos variables, sin embargo, existe un método más práctico, conocido como el método de los Multiplicadores de Lagrange, cuya fortaleza radica en el hecho que se puede aplicar a funciones de dos, tres o más variables sujetas a una o más condiciones restrictivas. Mostraremos solamente el fundamento geométrico del método de los Multiplicadores de Lagrange, para el caso de funciones de dos variables, en este caso el problema a resolver es : Determinar los valores extremos de la función ( ) sujeto a la condición ( ) El método de los Multiplicadores de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico para determinar los puntos (, ) y (, ). En efecto como en estos puntos la curva de nivel de y la curva de restricción son tangentes, esto es, tienen una recta tangente común, entonces las curvas también tienen una recta normal común. Pero ( ) es siempre perpendicular a la curva de nivel de que pasa por. Por otra parte ( ) es siempre normal a. (Debiera ser claro que este análisis también es válido para.) Por lo tanto, los vectores y son paralelos en y, esto es : ( ) ( ) y ( ) ( ) para algún Aunque es posible desarrollar una demostración formal solamente entregaremos el enfoque intuitivo anterior como fundamento de este método.

16 55 TEOREMA (Método de los multiplicadores de Lagrange) Para maximizar o minimizar (p) sujeta a la restricción (p) debe resolver el sistema de ecuaciones (p) (p) (p Cada punto p es un punto crítico estacionario del problema de valor extremo restringido y el correspondiente se llama Multiplicador de Lagrange. EJEMPLO Encontrar los valores extremos de la función ( ) restringidos a la circunferencia En este caso la ecuación de restricción es ( ) Calculamos entonces ( ) y ( ), siendo p ( ) el punto crítico a precisar. En efecto : ( p) (, ) ( p) (, ) Formamos el sistema de ecuaciones contemplado en el Teorema Se obtiene entonces i) ii) iii) ( p) ( p) (, ) (, ) ( p) De i) ( ) entonces o Si entonces de iii) resulta + Si entonces de ii) resulta 1/2 y reemplazando este valor en iii) se obtiene + Por lo tanto los puntos críticos son ( ), ( ), y (

17 56 Evaluando en estos cuatro puntos se tiene : ( ), ( ), ( ) 5/4, ) 5/4 Por lo tanto el valor máximo de en los puntos de la circunferencia es ( ) 5/4 y el valor mínimo es ( )