Conferencia Nº1 Sumario. Objetivos. Desarrollo. Carga eléctrica. Propiedades. Distribución continua de cargas.

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1 Conferencia Nº1. Carga eléctrica. Ley de Coulomb. Ley de Gauss. Sumario. Carga eléctrica. Propiedades de la carga eléctrica. Ley de Coulomb. Principio de superposición. Campo eléctrico. Vector intensidad de campo eléctrico. Línea de fuerza. Flujo del vector intensidad de campo eléctrico. Ley de Gauss. Energía potencial eléctrica. Diferencia de potencial. Objetivos. Caracterizar la carga eléctrica a través de sus propiedades. Interpretar la ley de Coulomb y el principio de superposición. Caracterizar el campo eléctrico a través del vector intensidad de campo eléctrico y con el modelo de las líneas de campo. Definir flujo del vector intensidad de campo eléctrico. Interpretar la ley de Gauss. Caracterizar energéticamente el campo eléctrico mediante los conceptos energía potencial eléctrica y potencial eléctrico. Desarrollo. Carga eléctrica. Propiedades. La experiencia demuestra que: Todos los cuerpos de la naturaleza pueden electrizarse, es decir, adquirir carga eléctrica. La existencia de la carga eléctrica se manifiesta en que el cuerpo cargado interacciona con otros cuerpos también cargados. Hay dos tipos de cargas eléctricas, llamadas convencionalmente positivas y negativas. Las cargas del mismo signo se repelen y las de signos distintos se atraen. La carga eléctrica es una propiedad inseparable de algunas partículas. La carga elemental positiva se designa por medio de la letra e. El electrón es portador de la carga negativa e, el protón es portador de la carga positiva +e y el neutrón no porta carga eléctrica. De estas partículas están formados los átomos y moléculas de todo cuerpo, por lo que las cargas eléctricas entran en la composición de todos los cuerpos. De ordinario las partículas portadoras de cargas distintas están presentes en el cuerpo en cantidades iguales y distribuidas con igual densidad. Si una magnitud física puede tomar solamente determinados valores discretos, se dice que esta magnitud está cuantizada. La carga eléctrica está cuantizada. El experimento (ver imagen) realizado Robert A. Millikan sirvió para medir experimentalmente la carga elemental e. (ver aparato de Millikan) La carga total de un sistema eléctricamente aislado no puede cambiar. Esta afirmación lleva el nombre de ley de conservación de la carga eléctrica. Distribución continua de cargas. Como se analizó anteriormente, una de las propiedades de la carga eléctrica es su carácter discreto. Sin embargo, cuando se trabaja con cuerpos cargados y se analizan macroscópicamente, es conveniente, por razones de un tratamiento matemático más cómodo, considerar la carga distribuida en forma continua. Esto es posible en virtud del tamaño relativamente tan pequeño de la carga elemental, es decir, del electrón, frente a los valores de carga con que se trabaja comúnmente. En base a la suposición anterior, es posible definir una función continua denominada función densidad de carga que nos exprese la forma en que una determinada carga se distribuye sobre un cuerpo. Para ilustrar la situación anterior, supongamos primeramente, un cuerpo cargado eléctricamente en todo su volumen. Si de este cuerpo tomamos un elemento de volumen ΔV,

2 el cual contiene una cantidad de carga Δq, se define la densidad volumétrica de carga, la cual se representa por el símbolo ρ, como: En el sistema internacional de unidades la densidad volumétrica de carga se expresa en C/m 3. Si un cuerpo se encuentra cargado en una forma no uniforme, ρ será función de la posición de cada punto del cuerpo. En un sistema cartesiano Si conocemos explícitamente la forma de la función ρ, la carga total del cuerpo puede calcularse como donde la integral debe calcularse sobre todo el volumen del cuerpo. En el caso que la carga esté distribuida uniformemente en todo el volumen (ρ constante), la carga se puede hallar de la siguiente forma Muchas veces se presenta el caso de cuerpos en los cuales la carga se encuentra prácticamente localizada sobre su superficie. Aunque en estos casos se sabe que las cargas siempre ocupan un pequeño volumen cercano a la superficie del cuerpo, se define la densidad superficial de carga tal como si la carga estuviera distribuida uniformemente sobre su superficie. Si designamos por σ a la densidad superficial de carga, ésta se define como: En el sistema internacional de unidades, la densidad superficial de carga se expresa en C/m 2. De la misma manera, si conocemos la forma explicita de la función σ para cada punto de la superficie del cuerpo, la carga total la podemos calcular como En el caso que la densidad superficial de carga sea constante, la carga se determina como:

3 Hay ocasiones en las cuales el cuerpo cargado es tal, que se puede considerar como un hilo. En estos casos se define la densidad lineal de carga, la cual denominaremos por el símbolo λ, como En el sistema internacional de unidades, λ se expresa en C/m. De igual forma que ρ y σ, λ será función escalar de punto del cuerpo analizado y si conocemos su forma explicita, la carga total se podrá calcular como: Para el caso que λ sea constante, se tiene que: donde la integral debe realizarse sobre toda la longitud del cuerpo. Estudiar ejemplos resueltos donde se aplican estos conceptos de densidad superficial y lineal de carga eléctrica. Ley de Coulomb. Principio de superposición. Debemos plantear en primer lugar que el objetivo fundamental de la electrostática, es el estudio de la acción recíproca entre las cargas y la determinación de la ley que rige esta acción. La ley a que se subordina la fuerza de interacción de las cargas puntuales fue establecida experimentalmente en 1785 por Charles A. de Coulomb. Se llama carga puntual un cuerpo cargado cuyas dimensiones son despreciables en comparación con la distancia de este cuerpo a otros también portadores de carga eléctrica. Valiéndose de balanzas de torsión, midió Coulomb la fuerza de interacción entre bolas cargadas. Como resultado de sus experiencias llegó a la conclusión de que la fuerza con que interaccionan dos cargas puntuales en reposo es proporcional a la magnitud de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. La dirección de la fuerza coincide con la de la recta que une las cargas. Si las cargas son de igual signo, la fuerza es de repulsión y si son de signos contrarios de atracción. Matemáticamente la expresión de la ley de Coulomb es: donde k es una constante. La ley de Coulom b puede expresarse vectorialmente. Para ello supongamos que estamos calculando la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales positivas como se muestra en la figura.

4 Si se quiere determinar la fuerza sobre la carga q 2 debido a la carga q 1, es conveniente definir un vector r dirigido como se observa en la figura, dirigido de la carga q 1 a la carga q 2 y cuya magnitud sea igual a la distancia entre ellas. Entonces Debido a que en el sistema internacional la unidad de carga no se define a partir de la ley de Coulomb, sino que se hace a partir de la unidad de corriente, la constante de proporcionalidad que aparece en la ley de Coulomb, cuando se trabaja en este sistema, está condicionada por la unidad de carga previamente definida y no se puede escoger arbitrariamente. Para el valor de k se obtiene La constante k también se expresa como donde el factor 4Π se introduce con el objetivo de que no aparezca en ecuaciones posteriores que se derivan de la ley de Coulomb. La constante μ o recibe el nombre de constante eléctrica y su valor es Veamos ahora los resultados que se obtienen cuando tenemos más de dos cargas puntuales interactuando. Consideremos un sistema de tres cargas puntuales, como se muestra en la figura. Supongamos que se quiere determinar la fuerza total que actúa sobre la carga q 2. Pues se comprueba experimentalmente que: a) La fuerza que ejerce q 1 sobre q 2 es independiente de la presencia de q 3. b) La fuerza que ejerce q 3 sobre q 2 es independiente de la presencia de q 1. c) La fuerza total ejercida sobre q 2 es la suma vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre ella, es decir, la fuerza debida a q 1 y la fuerza debida a q 3. Estos hechos constituyen la base del llamado principio de superposición, de gran importancia en toda la física y especialmente en electromagnetismo. Este principio puede enunciarse como: Si se tiene un sistema de cargas puntuales q 1, q 2, q 3,, q n y se quiere calcular la fuerza total sobre q n, esta fuerza será la suma (vectorial) de cada una de las fuerzas que ejercen las restantes cargas sobre ella, independientemente de la presencia de las otras cargas. Es decir:

5 En la figura se observa como se obtiene la fuerza total mediante la suma vectorial. Estudiar los ejemplos resueltos en el que se aplica el principio de superposición para hallar la fuerza neta o resultante sobre una de las partículas cargadas que pertenence a una distribución de cargas puntuales. Le sugerimos que revise dentro de los complementos, lo relacionado con Vectores y Operaciones con vectores, pues estos conceptos son aplicados al utilizar el principio de superposición. Campo eléctrico. Vector intensidad de campo eléctrico. Principio de superposición. La interacción de las cargas en reposo se efectúa por medio del campo eléctrico. Toda carga hace que varíen las propiedades del espacio que la rodea: crea en él un campo eléctrico. Este campo se manifiesta en que una carga eléctrica, situada en un punto cualquiera de él, se encuentra bajo la acción de una fuerza. Por consiguiente, para saber si en un lugar dado existe capo eléctrico hay que colocar en él un cuerpo cargado y determinar si este experimenta la acción de una fuerza eléctrica o no. Por la magnitud de la fuerza que actúa sobre la carga dada es posible, evidentemente inferir la intensidad del campo. Estudiemos con ayuda de una carga puntual de ensayo q o el campo creado por una carga puntual q en reposo. Situando la carga de ensayo en el punto cuya posición respecto a la carga q está determinada por el radio vector, se descubre que sobre la carga de ensayo actúa la fuerza: Aquí r es un vector unitario dirigido hacia donde se encuentra la carga de ensayo. Gráficamente queda: Si se toman cargas de ensayo distintas colocadas en el mismo punto, recibirán fuerzas distintas, sin embargo la relación F/q o es la misma para todas las cargas de ensayo y solo depende de las magnitudes q y r que definen el campo en el punto dado. Por esto es natural tomar esta relación como la magnitud característica del campo eléctrico: Esta magnitud vectorial se llama intensidad del campo eléctrico en el punto dado. Comparando las ecuaciones anteriores se deduce que la intensidad del campo de una carga puntual es proporcional a la magnitud de la carga q e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r desde dicha carga hasta el punto dado del campo. Es decir;

6 El vector está dirigido a lo largo de la recta radial que pasa por la carga y por el punto dado del campo, y su sentido, si es positivo, va de la carga al punto, y si es negativo, del punto a la carga. También se puede decir que la fuerza que actúa sobre la carga de ensayo es: En general, sobre toda carga puntual q en un punto del campo de intensidad E, actuará la fuerza: Si la carga q es positiva, el sentido de la fuerza coincide con el del vector. Cuando q es negativa, los sentidos de los vectores y son opuestos. Campo electrostático debido a una carga puntual, un grupo de cargas puntuales y una distribución continua de cargas. Consideremos una región del espacio donde existe una carga puntual q positiva. Llamemos P a un punto que está a la distancia r de q y en el cual queremos determinar el valor de la intensidad de campo eléctrico. Como ya se ha visto anteriormente, el valor de E vendrá dado por la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga de prueba q o localizada en P. La fuerza que actúa sobre q o debido a q será, según la ley de Coulomb: Note que el valor de la intensidad de campo no depende de la carga de prueba q o sino solo del valor de la carga q que lo crea, así como la distancia r al punto considerado. Si en vez de tener una carga puntual, lo que tenemos es un conjunto de cargas puntuales y queremos determinar el campo eléctrico en un punto P determinado, podremos utilizar el principio de superposición. Por ejemplo:

7 Se puede concluir que: El campo resultante en un punto P debido a un conjunto de cargas puntuales será la suma vectorial de cada uno de los campos individuales producidos por cada carga y se puede calcular según el principio de superposición, es decir: Por último si queremos calcular el campo en un punto P, debido a un cuerpo cargado, el cual podemos asumir presenta una distribución continua de cargas, el campo resultante podrá calcularse como la superposición de todos los campos infinitesimales producidos por los elementos de carga dq del cuerpo en cuestión. Esto es: En virtud de la ley de Coulomb la fuerza que actúa sobre la carga de prueba será: por lo que Finalmente el campo resultante podrá obtenerse realizando una integración sobre todos los elementos de carga dq del cuerpo. Matemáticamente queda:

8 Estudiar los ejemplos resueltos donde se aplica el principio de superposición para hallar el campo eléctrico resultante en un punto. Líneas de campo eléctrico. El campo eléctrico se puede describir conociendo la magnitud y la dirección del vector para cada punto. El conjunto de estos vectores forma el campo del vector intensidad de campo eléctrico. El campo eléctrico se puede describir valiéndose de las líneas de intensidad (de campo eléctrico), que abreviadamente se llaman líneas de (también se denominan líneas de fuerza). Las líneas de intensidad se trazan de tal modo que la tangente a ellas en cada punto coincida con la dirección del vector E. La densidad de estas líneas se elige de manera que la cantidad de líneas que atraviesan la unidad de área de una superficie perpendicular a ellas sea igual al valor numérico del vector. Las líneas de del campo de una carga puntual son un conjunto de rectas radiales que parten de la carga, si esta es positiva y que inciden en ella si es negativa. Las líneas se apoyan por un extremo en la carga y por el otro se alejan hacia el infinito. Se dice entonces que las líneas de fuerza del campo eléctrico tienen fuentes y sumideros que no son más que las cargas. En realidad el número total de líneas que atraviesa una superficie esférica de radio arbitrario r, será igual al producto de la densidad de líneas por el área de la esfera 4Πr 2. La densidad de líneas es numéricamente igual a la magnitud del vector E, es decir, (1/4Πε o)(q/r 2 ) Por consiguiente, la cantidad de líneas será numéricamente igual a (1/4Πε o)(q/r 2 )(4Πr 2 ) = q o/ε o. Este resultado significa que el número de líneas a cualquier distancia de la carga será el mismo. De aquí se infiere que, excepto en la carga, las líneas ni empiezan ni terminan en ninguna parte; comenzando en la carga parten hacia el infinito (si la carga es positiva), o proviniendo del infinito terminan en la carga (si esta es negativa). Esta propiedad de las líneas que es general para todos los campos eléctricos, o sea, para los campos creados por cualquier sistema de cargas en reposo: las líneas de campo eléctrico pueden empezar o terminar solamente en las cargas o partir hacia el infinito. Flujo del vector intensidad de campo eléctrico. Ley de Gauss. Flujo de E. Sea una región del espacio en la cual existe un campo electrostático e imaginemos una superficie hipotética S atravesada por este campo.

9 Definimos el flujo elemental que atraviesa un elemento da de esta superficie como: donde da es un vector orientado, convencionalmente según una normal a la superficie y cuyo módulo es igual al área de dicho elemento. Entonces, el flujo total a través de la superficie S será: donde la integración debe realizarse sobre todos los puntos de la superficie. El flujo a través de una superficie puede ser positivo, negativo o nulo dependiendo esto del ángulo que forma el campo con el vector da. Si la superficie considerada es cerrada, el vector debe orientarse según la normal exterior a dicha superficie. En este caso el flujo se calcula como: donde el circulo sobre el signo de la integral representa que la integral está extendida a toda la superficie cerrada. Estudiar el ejemplo resuelto donde se calcula el flujo eléctrico. Ley de Gauss. Consideremos una región del espacio en la cual existe un campo electrostático E creado por la presencia de una carga puntual +q como se muestra en la figura.

10 Consideremos ahora una superficie hipotética S con centro en la carga y radio r. Nuestro objetivo es calcular el flujo del campo electrostático que atraviesa dicha superficie, es decir, calcular: El vector da lo orientaremos según la normal exterior a la superficie S. El campo producido por una carga puntual aislada es radial. Además, por ser la carga positiva, el campo tendrá el sentido indicado y formará por tanto un ángulo de 0 o con el vector da. Entonces, resolviendo el producto escalar E.dA teniendo en cuenta que el coseno del ángulo entre E y da es 1, la expresión queda como: Pero todos los puntos de la esfera equidistan de la carga, por lo que debe esperarse que en todos ellos el campo tenga el mismo valor y entonces podemos sacarlo como una constante en la integral. Por tanto: Ahora bien, E no es más que el campo de una carga puntual cuya expresión ya determinamos y la integral será igual al área de la esfera, por lo que sustituyendo los valores: Sustituyendo. Note que el valor obtenido no depende para nada de ninguna característica geométrica de la superficie esférica escogida, sino solamente del valor de la carga q. Si esto es así, debe esperarse que si calculamos el flujo encerrando la misma carga con otra superficie el resultado debe ser el mismo. Por tanto se puede escribir en general que:

11 En general podemos decir que: El flujo del campo electrostático a través de una superficie cerrada S multiplicado por la constante e o es igual al valor de la carga neta encerrada por la superficie. Esto se expresa según: donde E es el campo eléctrico resultante sobre cada punto de la superficie y es el vector elemental de superficie orientado según la normal exterior. Siempre que la superficie tomada encierre las mismas cargas, este resultado es independiente de su forma así como de la posición de la cargas dentro de ella. Cuando se estudian los campos creados por cargas macroscópicas (o sea, por cargas formadas por un número enorme de cargas elementales) se prescinde de la estructura discreta discontinua) de estas cargas y se supone que están distribuidas en el espacio de un modo continuo, con densidad finita en todas partes. La densidad volumétrica ρ de la carga se determina, por analogía con la densidad de la masa, como la razón de la carga dq al volumen físicamente infinitesimal dv en que se encuentra confinada dicha carga: En este caso, por volumen físicamente infinitesimal se debe entender un volumen tal que, por una parte, sea suficientemente pequeño para que la densidad dentro de sus limites se pueda considerar igual y por otra, sea suficientemente grande para que no pueda manifestarse el carácter discreto de la carga. Conociendo la densidad de la carga en cada punto del espacio se puede hallar la carga total comprendida dentro de la superficie cerrada S. Para ello hay que calcular la integral de ρ extendida al volumen limitado por la superficie: De acuerdo con esto la ley de Gauss puede escribirse como: Teniendo en cuenta el teorema de Gauss, que plantea que: Podemos sustituir el primer miembro de la ecuación de la ley de Gauss y escribir: Por lo que se obtiene que:

12 Esta igualdad expresa la ley de Gauss en forma diferencial. Le sugerimos que estudie los ejemplos resueltos relacionados con el cálculo del flujo eléctrico y la aplicación de la ley de Gauss. Energía potencial eléctrica. Potencial eléctrico. Diferencia de potencial. Analicemos la siguiente situación. Supongamos que un cuerpo de masa m comprime un resorte de constante elástica k. Después la masa es liberada. Como resultado de ello, la masa es lanzada con cierta velocidad. En este proceso la energía potencial elástica que se había acumulado en el sistema, se transforma en energía cinética de la masa. Veamos ahora esta nueva situación: Una partícula positiva q o es traída desde el infinito y colocada, primero en el punto a y posteriormente en el punto b. Si después de ser colocada, ésta es liberada, la partícula experimenta repulsión eléctrica por parte de la partícula Q y también adquiere energía cinética. Decimos que la energía potencial eléctrica que se acumula en el sistema, se transforma en energía cinética. Como se observa, hay elementos comunes en ambas situaciones. Resulta que en el primer caso, la fuerza elástica es una fuerza conservativa al igual que la fuerza eléctrica que aparece en el segundo caso, y por tanto es natural que aparezca energía potencial en uno y otro caso. Se conoce que para las fuerzas conservativas se cumple que: Es decir, el trabajo de estas fuerzas es igual a variaciones de la energía potencial, tomadas con signo negativo. En el segundo caso podemos apreciar, que cuando la partícula q o es colocada en el punto b, en el sistema se almacena una energía potencial mayor que cuando la partícula es colocada en el punto a. Pues a partir de esto, podemos definir el concepto de potencial eléctrico. Se define el potencial eléctrico de un punto dentro de un campo eléctrico, a la razón de la energía potencial eléctrica por unidad de carga, es decir: El potencial eléctrico se expresa en volt (V), es decir, 1V = J/C También se conoce de la mecánica que el trabajo realizado por una fuerza, al trasladar una partícula entre dos puntos a y b se define como:

13 Supongamos ahora que tenemos una partícula q o dentro de un campo eléctrico. que se traslada entre dos puntos a y b Por otro lado tenemos que: Si dividimos la última ecuación por q o se obtiene: Teniendo en cuenta la definición de potencial, se puede escribir que: Comparando las ecuaciones Se obtiene que: que nos permite hallar la diferencia de potencial entre dos puntos dentro de un campo eléctrico. Potencial debido a una carga puntual.

14 Para determinar el potencial eléctrico en un punto dentro de un campo eléctrico, vamos a utilizar la misma situación que vimos al principio: Vamos a suponer que la partícula q o es trasladada desde a hasta b. Teniendo en cuenta la ecuación para determinar la diferencia de potencial tenemos que: De acuerdo con la figura, el diferencial de longitud (dl) tomado sobre la trayectoria no es más que un incremento de la distancia dr, tomada con signo negativo. Si ahora consideramos que el punto a está muy alejado de la carga que produce el campo (Q), el potencial en este punto lo podemos considerar cero, por tanto la ecuación se reduce al potencial en el punto b. Generalizando: Para determinar el potencial en un punto que pertenece a una distribución de cargas, aplicamos el principio de superposición, con la diferencia que al tratarse de una magnitud escalar, como es el potencial, no hay que realizar análisis vectoriales, y solo se realiza la suma algebraica de los distintos potenciales producidos por cada partícula. Cuando se quiere determinar el potencial de una distribución continua de carga, se puede aplicar la siguiente ecuación:

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