Capítulo 1 DETERMINANTES

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1 Capítulo 1 DETERMINANTES 1

2 Matemáticas II DETERMINANTES DE 2 o ORDEN a11 a Sea A una matriz cuadrada de segundo orden A = 12. Se define el determi- a 21 a 22 nante det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a DETERMINANTES DE 3 er ORDEN. REGLA DE SARRUS a 11 a 12 a 13 Sea una matriz cuadrada de tercer orden A = a 21 a 22 a 23. Se define el determi- a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 nante det(a) = A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 Esta expresión se puede recordar fácilmente con ayuda del esquema conocido como regla de Sarrus. (Unir con una linea las letras iguales) a b c c b a c a b Términos con signo + b a c Términos con signo b c a a c b Ejemplo = = = = PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.- El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta. det(a) = det(a t ) 2.- Si un determinante tiene una línea de ceros vale cero. 3.- Si un determinante tiene 2 líneas paralelas iguales, este determinante vale cero. 4.- Si un determinante tiene 2 líneas paralelas proporcionales, este determinante vale cero.

3 Matemáticas II Si en un determinante intercambiamos entre sí 2 líneas paralelas el determinante cambia de signo. 6.- Si se multiplican (o dividen) por k 0 todos los elementos de una línea, el determinante queda multiplicado (o dividido) por k. α x 1 + β y 1 a 12 a 1n x 1 a 12 a 1n y 1 a 12 a 14 α x 2 + β y 2 a 22 a 2n x 2 a 22 a 2n y 2 a 22 a = α + β α x n + β y n a n2 a nn x n a n2 a nn y n a n2 a nn 8.- El valor de un determinante no varía si a los elementos de una línea se les suma otra paralela multiplicada por un número. 9.- Si un determinante tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, este determinante es nulo Si A y B son dos matrices cuadradas, entonces: det(a B) = det(a) det(b) 11.- Si A es regular, entonces: det(a 1 ) = 1 det(a) 1.4. MATRIZ COMPLEMENTARIA. ADJUNTO Sea A una matriz cuadrada de orden n y a ij uno de sus elementos. Si en A se suprime la fila i y la columna j se obtiene una submatriz cuadrada de orden n 1, que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento a ij y que representaremos por B ij. Se llama adjunto del elemento a ij, y se representa por A ij a A ij = ( 1) i+j det(b ij ) Es decir el adjunto de un elemento es el determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo la fila y la columna de dicho elemento, precedido del signo + o según que i + j sea par o impar REGLA DE LAPLACE El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir, tomando la fila i se tiene: j=n A = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in = a ij A ij j=1

4 Matemáticas II 4 Ejemplo Sea el determinate A = Los adjuntos de los distintos elementos tienen los siguientes signos: Desarrollando por los adjuntos de la primera fila se tiene: A = ( 10) ( 12) = = = REGLA DE CHIO El mismo resultado se puede obtener haciendo ceros en la primera fila, utilizando la propiedad número 8 de los determinantes. En efecto, sumando a la tercera columna la primera columna multiplicada por 1 y a la cuarta columna la primera multiplicada por 2 resulta: A = = = = CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz inversa A 1 se calcula siguiendo los siguientes pasos: { = 0, No tiene matriz inversa. 1. Se calcula A = 0, Si tiene matriz inversa. 2. Se calcula la matriz traspuesta A t 3. Se calcula la matriz adjunta Adj(A t ) 4. Se multiplica por 1 A

5 Matemáticas II 5 NOTA: Se llama matriz adjunta de la matriz A a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento a ij por su adjunto A ij. A 1 = 1 A Adj(At ) Ejemplo Calculemos la matriz inversa de la matriz A = Se calcula el determinante de A. A = 2 2. Se calcula la matriz traspuesta de A A t = Se calcula la matriz adjunta de la traspuesta de A Adj(A t ) = = Se multiplica por 1 2 A 1 = = / CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Rango de una matriz A es un número que nos indica el número de filas L.I. que tiene dicha matriz y se representa por:. rango(a) = r(a)

6 Matemáticas II 6 Método de cálculo 1.- Se eliminan de la matriz A las filas de ceros. 2.- Se elige la submatriz A 1 = ( a 11 a 12 ) a 1n y de ésta un elemento no nulo, por ejemplo, a 11. Esto nos permite afirmar que r(a) = Se considera la submatriz: a 11 0 a11 a A 2 = 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (1.1) y en ella se elige la submatriz formada por la columna que contiene al elemento a 11. a11 C 2 = 4.- Se añade a la matriz C 2, sucesivamente, las restantes columnas de la matriz (1.1) hasta encontrar un determinante de segundo orden no nulo. Si todos ellos fuesen cero el rango de la matriz A 2, sería uno y se podría prescindir de la segunda fila y sustituirla por la tercera de A. Así se seguiría hasta llegar a una fila de la matriz A tal que la matriz : a11 a A 2 = 12 a 1n a i1 a i2 a in a 21 tenga un determinante de segundo orden distinto de cero. r(a) = Si este determinante es: a 11 a 12 0 (1.2) a i1 se forma la matriz que resulta de añadir a la matriz A 2 la fila siguiente: a 11 a 12 a 1n A 3 = a i1 a i2 a in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a i2 se forma la submatriz de A 3 con las columnas en que intervienen los elementos del determinante (1.2) a 11 a 12 C 3 = a i1 a i+1,1 a i2 a i+1,2 y se añaden sucesivamente a esta matriz C 3 las restantes columnas de la matriz A 3 hasta hallar un determinante de tercer orden distinto de cero. Así se sigue hasta agotar todas las filas de la matriz A. El orden del último determinante distinto de cero hallado es el rango de la matriz A.