Capítulo 1 DETERMINANTES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Capítulo 1 DETERMINANTES"

Transcripción

1 Capítulo 1 DETERMINANTES 1

2 Matemáticas II DETERMINANTES DE 2 o ORDEN a11 a Sea A una matriz cuadrada de segundo orden A = 12. Se define el determi- a 21 a 22 nante det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a DETERMINANTES DE 3 er ORDEN. REGLA DE SARRUS a 11 a 12 a 13 Sea una matriz cuadrada de tercer orden A = a 21 a 22 a 23. Se define el determi- a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 nante det(a) = A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 Esta expresión se puede recordar fácilmente con ayuda del esquema conocido como regla de Sarrus. (Unir con una linea las letras iguales) a b c c b a c a b Términos con signo + b a c Términos con signo b c a a c b Ejemplo = = = = PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.- El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta. det(a) = det(a t ) 2.- Si un determinante tiene una línea de ceros vale cero. 3.- Si un determinante tiene 2 líneas paralelas iguales, este determinante vale cero. 4.- Si un determinante tiene 2 líneas paralelas proporcionales, este determinante vale cero.

3 Matemáticas II Si en un determinante intercambiamos entre sí 2 líneas paralelas el determinante cambia de signo. 6.- Si se multiplican (o dividen) por k 0 todos los elementos de una línea, el determinante queda multiplicado (o dividido) por k. α x 1 + β y 1 a 12 a 1n x 1 a 12 a 1n y 1 a 12 a 14 α x 2 + β y 2 a 22 a 2n x 2 a 22 a 2n y 2 a 22 a = α + β α x n + β y n a n2 a nn x n a n2 a nn y n a n2 a nn 8.- El valor de un determinante no varía si a los elementos de una línea se les suma otra paralela multiplicada por un número. 9.- Si un determinante tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, este determinante es nulo Si A y B son dos matrices cuadradas, entonces: det(a B) = det(a) det(b) 11.- Si A es regular, entonces: det(a 1 ) = 1 det(a) 1.4. MATRIZ COMPLEMENTARIA. ADJUNTO Sea A una matriz cuadrada de orden n y a ij uno de sus elementos. Si en A se suprime la fila i y la columna j se obtiene una submatriz cuadrada de orden n 1, que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento a ij y que representaremos por B ij. Se llama adjunto del elemento a ij, y se representa por A ij a A ij = ( 1) i+j det(b ij ) Es decir el adjunto de un elemento es el determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo la fila y la columna de dicho elemento, precedido del signo + o según que i + j sea par o impar REGLA DE LAPLACE El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir, tomando la fila i se tiene: j=n A = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in = a ij A ij j=1

4 Matemáticas II 4 Ejemplo Sea el determinate A = Los adjuntos de los distintos elementos tienen los siguientes signos: Desarrollando por los adjuntos de la primera fila se tiene: A = ( 10) ( 12) = = = REGLA DE CHIO El mismo resultado se puede obtener haciendo ceros en la primera fila, utilizando la propiedad número 8 de los determinantes. En efecto, sumando a la tercera columna la primera columna multiplicada por 1 y a la cuarta columna la primera multiplicada por 2 resulta: A = = = = CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz inversa A 1 se calcula siguiendo los siguientes pasos: { = 0, No tiene matriz inversa. 1. Se calcula A = 0, Si tiene matriz inversa. 2. Se calcula la matriz traspuesta A t 3. Se calcula la matriz adjunta Adj(A t ) 4. Se multiplica por 1 A

5 Matemáticas II 5 NOTA: Se llama matriz adjunta de la matriz A a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento a ij por su adjunto A ij. A 1 = 1 A Adj(At ) Ejemplo Calculemos la matriz inversa de la matriz A = Se calcula el determinante de A. A = 2 2. Se calcula la matriz traspuesta de A A t = Se calcula la matriz adjunta de la traspuesta de A Adj(A t ) = = Se multiplica por 1 2 A 1 = = / CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Rango de una matriz A es un número que nos indica el número de filas L.I. que tiene dicha matriz y se representa por:. rango(a) = r(a)

6 Matemáticas II 6 Método de cálculo 1.- Se eliminan de la matriz A las filas de ceros. 2.- Se elige la submatriz A 1 = ( a 11 a 12 ) a 1n y de ésta un elemento no nulo, por ejemplo, a 11. Esto nos permite afirmar que r(a) = Se considera la submatriz: a 11 0 a11 a A 2 = 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (1.1) y en ella se elige la submatriz formada por la columna que contiene al elemento a 11. a11 C 2 = 4.- Se añade a la matriz C 2, sucesivamente, las restantes columnas de la matriz (1.1) hasta encontrar un determinante de segundo orden no nulo. Si todos ellos fuesen cero el rango de la matriz A 2, sería uno y se podría prescindir de la segunda fila y sustituirla por la tercera de A. Así se seguiría hasta llegar a una fila de la matriz A tal que la matriz : a11 a A 2 = 12 a 1n a i1 a i2 a in a 21 tenga un determinante de segundo orden distinto de cero. r(a) = Si este determinante es: a 11 a 12 0 (1.2) a i1 se forma la matriz que resulta de añadir a la matriz A 2 la fila siguiente: a 11 a 12 a 1n A 3 = a i1 a i2 a in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a i2 se forma la submatriz de A 3 con las columnas en que intervienen los elementos del determinante (1.2) a 11 a 12 C 3 = a i1 a i+1,1 a i2 a i+1,2 y se añaden sucesivamente a esta matriz C 3 las restantes columnas de la matriz A 3 hasta hallar un determinante de tercer orden distinto de cero. Así se sigue hasta agotar todas las filas de la matriz A. El orden del último determinante distinto de cero hallado es el rango de la matriz A.

Determinantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).

Determinantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante

Más detalles

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5 DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno

Más detalles

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21 3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

PRUEBA MÚLTIPLE ELECCIÓN MATRICES Y DETERMINANTES

PRUEBA MÚLTIPLE ELECCIÓN MATRICES Y DETERMINANTES PRUEBA MÚLTIPLE ELECCIÓN MATRICES Y DETERMINANTES 1. Sea una matriz A M n n (R) nilpotente de índice p. r(a) n 1 r(a) =p 1 8 4 2 2. Sea la matriz A = 2 1 1 0 5 2 1 1 r(a) =2 r(a) =3 r(a) =4 3. Sea una

Más detalles

Determinante de una matriz

Determinante de una matriz 25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n 2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0

Más detalles

Matemá'cas generales

Matemá'cas generales Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

Más detalles

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes Capítulo 1 Matrices y Determinantes 11 Matrices Generalidades Definición 11 Sea E un conjunto cualquiera, m, n N Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12 a 1n a 21 a

Más detalles

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas

Más detalles

Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:

Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución: 3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x

Más detalles

Curso cero Matemáticas en informática :

Curso cero Matemáticas en informática : y Curso cero Matemáticas en informática : y Septiembre 2007 y y Se llama matriz de orden m n a cualquier conjunto de elementos dispuestos en m filas y n columnas: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m

Más detalles

Matemáticas. D e t e r m i n a n t e s

Matemáticas. D e t e r m i n a n t e s Matemáticas D e t e r m i n a n t e s El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo

Más detalles

Matrices y Determinantes.

Matrices y Determinantes. Matrices y Determinantes. Definición [Matriz] Sea E un conjunto cualquiera, m, n N. Matrices. Generalidades Matriz de orden m n sobre E: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn a ij

Más detalles

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la

Más detalles

Sistem as de ecuaciones lineales

Sistem as de ecuaciones lineales Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........

Más detalles

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21

Más detalles

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1.- Discutir el siguiente sistema, según los valores de λ: Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Universidad de Andalucía SOLUCIÓN: Hay cuatro ecuaciones y tres incógnitas,

Más detalles

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los

Más detalles

!MATRICES INVERTIBLES

!MATRICES INVERTIBLES Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Más detalles

MATRICES. M(n) ó M nxn A =

MATRICES. M(n) ó M nxn A = MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos

Más detalles

!DETERMINANTES. Tema 3.- DETERMINANTES !MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS!RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES. Un poco de historia

!DETERMINANTES. Tema 3.- DETERMINANTES !MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS!RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES. Un poco de historia Tema 3.- DETERMINANTES!DETERMINANTES!MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS!RANGO DE UNA MATRIZ. APLICACIONES 1 Un poco de historia Los determinantes es uno de los temas más útiles del Álgebra Lineal, con muchas

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)

Más detalles

Determinantes. Primera definición. Consecuencias inmediatas de la definición

Determinantes. Primera definición. Consecuencias inmediatas de la definición Determinantes Primera definición Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de

Más detalles

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a

Más detalles

MATRICES DETERMINANTES

MATRICES DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de

Más detalles

Matrices y Determinantes. Sistemas Ec. Lineales

Matrices y Determinantes. Sistemas Ec. Lineales Matrices y Determinantes. Sistemas Ec. Lineales Matrices.- Definiciones.- Se llama matriz de orden nxm a toda ordenación de n.m números ordenados en n filas y m columnas. Se suelen llamar con letras mayúsculas

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Capítulo 6 MATRICES Y DETERMINANTES 6.. Introducción Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y

Más detalles

3- Sistemas de Ecuaciones Lineales

3- Sistemas de Ecuaciones Lineales Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales

Más detalles

Maribel Martínez y Ginés Ciudad-Real Fichas para mejorar la atención MATRIZ DE LETRAS

Maribel Martínez y Ginés Ciudad-Real Fichas para mejorar la atención MATRIZ DE LETRAS MATRIZ DE LETRAS p q d b p p b n g b n w n w n n w b p q d b p q d n w n g b n p q p q p q d b p n g n g n g b n w n d b d b b p q d b b n b n n w n g b n p q p q p q d b p n g n g n g b n w n d b d b

Más detalles

Lección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección

Lección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección Matemáticas Tema 5: Conceptos básicos sobre matrices y vectores Objetivos Lección 5.: y determinantes Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada 3 4 phbe@ugr.es 5 Qué

Más detalles

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales. TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. ÁLGEBRA DE MATRICES Página 47 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes

Más detalles

Í N D I C E MATRICES Y DETERMINANTES.

Í N D I C E MATRICES Y DETERMINANTES. MATRICES Y DETERMINANTES Año escolar: 5to. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

DETERMINANTES página 251 DETERMINANTES. Por ejemplo: 2 1 8 es un determinante de tres filas y tres columnas.

DETERMINANTES página 251 DETERMINANTES. Por ejemplo: 2 1 8 es un determinante de tres filas y tres columnas. DETERMINANTES página 251 DETERMINANTES 13.1 Un determinante es un arreglo numérico en igual número de filas que de columnas del que, a partir de ciertas reglas, se forma un polinomio. El símbolo es un

Más detalles

Capítulo 2 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 2 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo Soluciones de ejercicios seleccionados Sección..4. (a) Sí. (b) No. (c) Sí.. (a) x = si α, pero si α = todo número real es solución de la ecuación. (b) (x, y) = (λ 7/, λ) para todo λ R.. Si k 6

Más detalles

Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos.

Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos. Página 1 de 8 Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos. Objetivos. La primera lección del curs está dedicada a repasar los conceptos y algoritmos del álgebra lineal, básicos para el estudio de la geometría

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 1.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación lineal Las ecuaciones siguientes son lineales: 2x 3 = 0; 5x + 4y = 20; 3x + 2y + 6z = 6; 5x 3y + z 5t =

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. Tema 6 MATRICES Y DETERMINANTES

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. Tema 6 MATRICES Y DETERMINANTES FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Tema 6 MATRICES Y DETERMINANTES 6.1 Definición de matriz de números. Una matriz orden (m n) es un conjunto de m n números ordenados en una tabla: en donde podemos apreciar horizontalmente

Más detalles

2 - Matrices y Determinantes

2 - Matrices y Determinantes Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1

Más detalles

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Parte A: determinantes. A.1- Definición. Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante que se

Más detalles

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Matrices Definición: Una MATRIZ es un conjunto de números reales dispuestos en forma de rectángulo, que usualmente se delimitan por

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que

Más detalles

Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte)

Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte) Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (ª Parte) Definición: Sistemas Equivalentes Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto solución Teorema fundamental

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos

Más detalles

Sucesiones y Progresiones. Guía de Ejercicios

Sucesiones y Progresiones. Guía de Ejercicios . Módulo 5 Sucesiones y Progresiones Guía de Ejercicios Índice Unidad I. Sucesiones Ejercicios Resueltos... pág. 02 Ejercicios Propuestos... pág. 06 Unidad II. Sumatorias de sucesiones Ejercicios Resueltos...

Más detalles

ÁLGEBRA. Vol. I. Enrique Izquierdo

ÁLGEBRA. Vol. I. Enrique Izquierdo ÁLGEBRA Vol. I Enrique Izquierdo Título: Álgebra. Vol. I Autor: Enrique Izquierdo Guallar ISBN: 978-84-8454-751-8 Depósito legal: A-2-2010 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo,

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º DE ESO

MATEMÁTICAS 1º DE ESO MATEMÁTICAS 1º DE ESO LOMCE TEMA IV : LAS FRACCIONES. OPERACIONES Los siginificados de una fracción. Fracciones propias e impropias. Equivalencias de fracciones. Amplificación y simplificación. Fracción

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas

Más detalles

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una

Más detalles

TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TEM SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistemas de ecuaciones lineales. Epresión matricial. Ejemplo Epresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5, Solution is: 9, 9 Se trata

Más detalles

Algebra Lineal Tarea No 22: Valores y vectores propios Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

Algebra Lineal Tarea No 22: Valores y vectores propios Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014) Algebra Lineal Tarea No : Valores y vectores propios a algunos problemas de la tarea (al 9 de junio de 04. Para la matriz A A Indique cuáles vectores son vectores propios: ( ( ( v, v, v 3 3 Recordemos

Más detalles

Determinantes de orden 3

Determinantes de orden 3 Determinantes de orden 3 Definición del determinante de orden 3 Orientación en R 3 Una base (u, v, w) de R 3 (tres vectores que determinan un paralelepípedo) tiene una orientación positiva o negativa,

Más detalles

TEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales

TEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales MATEMÁTICAS 2º Bach. BLOQUE : ALGEBRA José Ramón Padrón TEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales Dándole vueltas a las matrices: La matriz inversa INTRODUCCIÓN Observa los precios de tres

Más detalles

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ... MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones

Más detalles

Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano

Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano página 1/11 Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano Índice de contenido Determinación lineal de un plano. Ecuación vectorial y paramétrica...2 Ecuación general o implícita del plano...6 Ecuación segmentaria

Más detalles

DETERMINANTES y SISTEMAS de ECUACIONES.

DETERMINANTES y SISTEMAS de ECUACIONES. DETERMINANTES y SISTEMAS de ECUACIONES. Lucía Contreras Caballero. Los determinantes son números asociados a las matrices que nos informan sobre la compatibilidad y determinación de un sistema de ecuaciones

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 6 Sistemas de ecuaciones lineales 61 Sistemas de ecuaciones lineales Se llama ecuación lineal en n incógnitas sobre R a una expresión de la forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b con los a i en R para

Más detalles

Temario de Matemáticas

Temario de Matemáticas Temario de Matemáticas BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA 1 o Grado en Biología Alma Luisa Albujer Brotons Índice general 1. Matrices 1 1.1. Conceptos básicos y ejemplos...............................

Más detalles

Fracciones y fractales

Fracciones y fractales C APÍTULO 0 Fracciones y fractales Resumen del contenido El tema del Capítulo 0 es la investigación de patrones en el diseño fractal. No se intimide si no ha visto fractales anteriormente. El propósito

Más detalles

Criterios de divisibilidad

Criterios de divisibilidad ENCUENTRO # 2 TEMA: Criterios de Divisibilidad. CONTENIDOS: 1. Criterios de divisibilidad, múltiplos y divisores de un número dado. 2. Principios Fundamentales de la Divisibilidad. DESARROLLO Criterios

Más detalles

Soluciones oficiales Clasificación Olimpiada Nacional Nivel Mayor

Soluciones oficiales Clasificación Olimpiada Nacional Nivel Mayor Soluciones oficiales Clasificación Olimpiada Nacional 009 Comisión Académica Nivel Maor Problema 1. Calcule todas las soluciones m, n de números enteros que satisfacen la ecuación m n = 009 (n + 1) Solución.

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES. Dadas las matrices A - 3, B 0 - y C 3 -, calcular si es posible: a) A + B b) AC c) CB y C t B d) (A+B)C a) A + B - 3 + 0 - b) AC - 3 3 - +0 -+ 3+ +(-) 0 7 0.+(-).3+(-)(-).+(-)

Más detalles

Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones

Más detalles

Algebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer.

Algebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer. Algebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx

Más detalles

PRÁCTICO: : POLINOMIOS

PRÁCTICO: : POLINOMIOS Página: 1 APUNTE TEÓRICO-PRÁCTICO PRÁCTICO: : POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a

Más detalles

Medidas de centralización

Medidas de centralización 1 1. Medidas de centralización Medidas de centralización Hemos visto cómo el estudio del conjunto de los datos mediante la estadística permite realizar representaciones gráficas, que informan sobre ese

Más detalles

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: cel

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: cel GUIA DE TEORIA NO. 1 LO QUE DEBO SABER Regla de Cramer Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones: Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones

Más detalles

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Economía Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Empezaremos por recordar conceptos ya conocidos de álgebra lineal como las matrices, determinantes,

Más detalles

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes Matrices y Determinantes Definición de matriz Matriz Una matriz es un ente matemático equivalente a una tabla; es decir, es un arreglo de elementos de cualquier naturaleza (aunque, en general, suelen ser

Más detalles