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1 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Mtrices Un mtriz de m n con elementos en C es un rreglo de l form M m KKK KKK m KKK n n mn donde,,..., mn Є y m, n Є Z. L mtriz es de orden m m. [,,..., n ] primer renglón [,,... n ] segundo renglón [ i, i,..., in ] i-ésimo renglón en form nálog M j j nj j-ésim column Definición Sen A [ ij ] y B [b ij ] dos mtrices de m n con elementos en C. A y B son igules, lo que representmos con AB, si: ij b ij ; pr i,,...m y j,,..., n Adición de mtrices y multiplicción por un esclr. de

2 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) L dición Definición Sen A [ ij ] y B[b ij ] dos mtrices de m n con elementos en C. L sum un mtriz s [s ij ] de m n definid por A + B es Sij ij + b ij y i,,..., m j,,..., n Ejemplo: 7 Sen A + i + i + i i ; B ; C i 6 i i A+B 7 + ( + i) ( + i) + i ( + i) + ( i) + + i + i A+C No eiste porque no son del mismo orden. No son conformbles pr l sum. Teorem Si A, B y C son mtrices de m n cuyos elementos son números complejos, entonces: ) A+(B+C) (A+B)+C socitividd ) A+B B+A conmuttividd ) l mtriz de orden m n tl que A+ (-A) elemento neutro Definición de

3 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Sen A [ ij ] y B[b ij ] dos mtrices de m n con elementos en C. L diferenci A-B se define como A-B A+ (-B) A-B (A+(-B) ([ ij + (-b ij )] [ ij - b ij ] Pr ls mtrices definids en el ejemplo nterior: A-B 7 + i + i + i i - i 7 ( + i) ( + i) ( i) ( + i) i i + i i A-C No son conformbles pr l sustrcción. Multiplicción por un esclr Definición Sen A[ ij ] un mtriz de m n con elementos en C y α Є C. El producto α A es un mtriz E dd por E [ ij] e ij α ij ; pr i,,...,m y j,,..., n si α i e de m n definid α Ai 7 + i + i i(7) i( + i) i( + i) i() i 9i 6i i (i-i)i - Teorem de

4 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Si A y B son mtrices de m n con elementos en C y β Є C, entonces ) α (A+ β ) α A+α B ) (α +B) A α A +BA ) α (BA) (α B)A Multiplicción de mtrices Definición Sen A[ ij ] y B[b ij ] dos mtrices con elementos en C, de m n y n q, respectivmente. El producto AB d como resultdo p [p ij ], de m q, definid por p ij n k ik bkj pr i, m j, n i A j B p ij P Teorem Sen A, B y C mtrices de m n, n p y p q, respectivmente, entonces: A(BC)(AB)C Teorem de

5 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Sen A,B y C mtrices de m n, n p y n p respectivmente y D, E y F mtrices de m n, m n y n p, respectivmente, cuyos elementos son numeros complejos. Entonces: ) A(B+C) AB+AC ) (D+E)F DF+EF Definición Se llm mtriz identidd de orden n l mtriz cudrd de orden n, In [ ] δ ij tl que ij si i j ij si i j ij Delt de kronecker I Mtriz de identidd de orden Ejemplo: Sen ls mtrices A B C X X X Demostrr que A(BC) (AB)C de

6 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) 6 de 6 9 BC 9 AB

7 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) 7 de 7 ( ) BC A ( ) ( ) ( )C AB BC A C AB

8 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Ejemplo: Sen A y B dos mtrices de y C, D y E de, y, respectivmente. Determinr cuáles de ls siguientes operciones son conformbles. ) AB A B ---/--- No son conformbles pr l multiplicción b) AC+D A C + D Mtriz de ---/ / / c) AE + B A E + B No son conformbles pr l sum de 8

9 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) d) E (A + B) E (A + B) Mtriz de e) E (AC) E (A C) Mtriz de Invers de un mtriz Definición Se A un mtriz de mn con elementos en C. Un mtriz X se dice que es invers de A si: XAAXIn Y se represent con A - A, X y A - son mtrices cudrds de orden n. Si A tiene invers mtriz no singulr Si A no tiene invers mtriz singulr 9 de 9

10 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) de Mtrices elementles Definición Un mtriz elementl es quell que se obtiene plicndo In un trnsformción elementl y se represent con In (i,j) Se obtiene intercmbindo los renglones i y j de In In k(i) Se obtiene multiplicndo por un número k el renglón i de In In k(i,j) Se obtiene multiplicndo por k el renglón i de In Ejemplo: Se l mtriz A 7 Se plic l trnsformción T igul I (,) E I (,) Si multiplicmos E, A se tiene A EA 7 7 E Mtriz elementl Teorem Ls mtrices elementles son no singulres

11 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Teorem El producto de dos mtrices elementles es un mtriz no singulr Supongmos que eiste un sucesión finit de mtrices elementles A T A T, K A K T K I n Entonces eiste un sucesión finit de mtrices elementles E, E,..., E k E K K E( ( ( E A) ) K ) ( E KKE E) A I n I n Si llmmos P l producto (E k... E E ) se tendrá que PA In Como P es un producto de mtrices elementles, P es no singulr y eiste P - P - (PA) P - In (P - P)A P - InA P - A P - Si post multiplicmos por P AP P - P APIn En consecuenci PAAPIn P es l invers de A de

12 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Se tiene que P E k... E E ( E k... E E )In E k (...(E (E, I n ))...) por lo tnto, P se obtiene plicndo In un sucesión de trnsformciones elementles T, T,... T k T T k [A In]... [In A - ] Inicilmente el rreglo tiene del ldo izquierdo l mtriz A y del ldo derecho l mtriz identidd In. Se efectún (en mbs mtrices) ls trnsformciones necesris pr obtener del ldo izquierdo l mtriz In y l finlizr el proceso se obtiene del ldo derecho l mtriz A -. Ejemplo: Determinr l invers de l mtriz A [ I ] 6 A ~ 6 R / R (- ) + R R (-/) de

13 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) de R (-/) + R A - ½ 6 A es NO singulr Ejemplo: Encontrr, si eiste, A - pr A ~ R ()+ R R ()+ R 6 6 R (-)+ R

14 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) El ultimo renglón de l resultnte mestr que no se puede trnsformr en I ; por tnto, A - no eiste A es singulr Ecuciones con mtrices Un ejemplo de ecuciones con mtrices l constituye l llmd representción mtricil de un sistem de ecuciones lineles. Un sistem de m ecuciones con n incógnits puede quedrse representd por l ecución AXB Donde A Mtriz de coeficientes, de mn B Vector de términos independientes, de nl X Vector de incógnits de ml Si A - se tiene AXB A - (AX) A - B (A - A)X A - B InX A - B X A - B Ejemplo: Resolver el sistem de ecuciones lineles que se plnte X +X X -X - X+X+X de

15 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) de A X X X X B A - X A - B X Es decir: X - X X Ejemplo: Obtener l mtriz X, si eiste tl que XA+BXC Si A ; B ; C XA+BXC X - [XA+B] X - [XC] X - XA+ X - B X - XC InA + X - B InC A+ X - BC

16 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) [A+ X - B] A C-A A+ X - B A C-A X - BC-A X[X - B]X[C-A] InBX[C-A] BX[C-A] B[C-A] - [X[C-A]] [C-A] - B[C-A] - XIn B[C-A] - X XB[C-A] - C-A [C-A] ~ R R ( ) ( ) + R (C-A) es un mtriz singulr [C-A] - y no es posible determinr X. Se presentn lguns diferencis importntes entre el álgebr de los números y el de ls mtrices: 6 de 6

17 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) ) Podemos sumr o multiplicr dos números culesquier, mientrs que no siempre podemos hcerlo con ls mtrices, ésts deben ser conformbles pr l sum o l multiplicción. ) L multiplicción de números es conmuttiv, mientrs que l multiplicción de mtrices no lo es. Pr los números se tiene: Si bc bc Si bc bc Pr ls mtrices: Si BC ABAC Si BC ABCA ) El producto de dos números diferentes de cero es diferente de cero, mientrs que l multiplicción de dos mtrices diferentes de cero puede ser igul l mtriz de cero. Pr ls mtrices A 9 B 6 AB 9 6 A B AB Tipo Especil de Mtrices Digonl principl, tringulr superior y tringulr inferior Digonl principl ii Tringulr superior ij tl que i<j 7 de 7

18 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Tringulr inferior ij tl que i>j Trz Definición Se A[ ij ] un mtriz de n n con elementos en C. Se llm trz de A, y represent con t r A, l número n ii i Ejemplo Se A i i t r A i++(-i) +i Teorem Si A y B son dos mtrices de nn con elementos en C y C. ) t r (A+B) t r (A) + t r (B) ) t r ( A) [t r (A)] ) t r (AB) t r (BA) Mtrices tringulres Definición Se A[ ij ] un mtriz de nn con elementos en C. Se dice que ) A es tringulr superior si ij pr i>j 8 de 8

19 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) ) A es tringulr inferior si ij pr i<j 6 Tringulr superior 6 Tringulr inferior Teorem Si A y B son dos mtrices tringulres superiores (inferiores) del mismo orden y α C entonces ) A+B es tringulr superior (inferior) ) A es tringulr superior (inferior) ) AB es tringulr superior (inferior) Mtriz Digonl Definición Se A[ ij ] un mtriz de nn con elementos en C. Se dice que A es un mtriz digonl si ij pr i j y se represent con dig (,,,..., nn ) i Mtriz digonl dig (,i,) 9 de 9

20 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Teorem Si A y B son dos mtrices digonles dig A (,,..., nn ) dig B (b, b,..., nn ) ) A+B dig ( + b, + b,..., nn b nn ) ) A dig (,,..., nn ) ) AB ( b, b,..., nn b nn ) ) A - dig (/, /,..., / nn ) Si A es no singulr Regl de Srrus Cálculo de determinntes Este método se emple pr determinntes de segundo y tercer orden - ( + + ) - ( + + ) de

21 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Ejemplo Obteng el det A, pr A det A 7- det A -8 ( )( 7 ) ( )( ) 7 A det A [( )( )( ) ] + [( )( )( ) ] + [( )( )( ) ] [( )( )( ) + ( )( )( ) + ( )( )( ) ] Desrrollo por cofctores Se A de

22 Tem det A (-) + (-) Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) (-) + Definición Se A [ ij ] un mtriz de n n con elementos en C (-) i+j M ij Teorem Si A [ ij ] es un mtriz de n n con elementos en e y r un número entero tl que r n, entonces )det A )det A n j n i rj ir c rj c ir Ejemplo Se A Clculr det A det A (-) + + ()(-) + + ()(-) + [(8)-()] - [()-()] de

23 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) det A - (-) -(-) -+ Método de condensción Este método se bs en lo siguiente: ) Elegir un líne que conteng el myor número de ceros posible. ) Elegir un elemento no nulo de dich líne (de preferenci ó -) y plicr reiterdmente trnsformciones elementles hst reducir ceros el resto de los elementos de l líne. ) Desrrollr los fctores según dich líne. ) Repetir los tres psos nteriores hst obtener un determinnte de tercer o segundo orden y obtener su vlor por medio de l regl de Srrus Ejemplo Clculr el determinnte de l mtriz A A Seleccionmos l curt column pr efectur el desrrollo y pr pivote el tercer elemento de dich column. Se multiplic por y - el renglón y se sum los renglones y, respectivmente. de

24 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) de det A ~ desrrollmos por cofctores l column det A ()(-) + Se escoge el primer renglón pr el desrrollo y el elemento de l primer column como pivote det A (-) c ()+ c c ()+ c c (-)+ c - 8 8

25 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) det A (-)()(-) c ()+ c c (-)+ c det A - 7 det A -()(-) + 7 det A [()(-)-(7)(-)] (-6+) 8 Cálculo de l invers por medio de l djunt Se A [ ij ] un mtriz de n n con elementos en C. y se c ij el cofctor del elemento ij. Se llm djunt de A l mtriz Adj A [ bij] donde b ij c ij. Considérese l mtriz A 6 c (-) de

26 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) c (-) c (-) 6 c (-) - 6 c (-) c (-) 6 c (-) c (-) c (-) 6 (-)[-] 6- (8-8)(-) (-) (6-)(-)- (8-6) (-)(-)- (-) Adj A c c c c c c c c c 6 A Adj A de 6

27 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) I Cuál es l relción de - con l mtriz A? si clculmos deta det A 6 es decir Si A es un mtriz de n n con elementos en C, entonces A(Adj A) (det A)A(detA)In Teorem Se A un mtriz de n n con elementos en e. A - eiste si y sólo si A * A - (Adj A) det A * Si A - entonces det A - det A En el ejemplo nterior, 6 A - /- Ejemplo Clculr l invers de A utilizndo el método de l djunt 7 de 7

28 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) c (-) () c (-) ()- c (-) - ()- c (-) () c Adj A c c det A c A - / Solución de un sistem de ecuciones lineles utilizndo l regl de Crmmer Se n n b n n b * * * * * * * * * * * * n + n nn n b n Un sistem de n ecuciones con n incógnits, y se A[ ij ] su mtriz de coeficientes 8 de 8

29 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) A n n n n nn Si det A entonces k det det Ak A pr k,, n donde A k [C ij ] es tl que C ij ij pr j k bij pr j k Ejemplo: Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles utilizndo l regl de Crmmer A B [ Ab] j i det A +8 9 de 9

30 Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) det A k b det A k b det A det A det A det A de

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