SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso 03-04

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1 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - - Comprobr que culquier mriz cudrd M se puede expresr de form úic como sum de dos mrices, u siméric y or isiméric Si MB co siméric ( ) y B isiméric (B -B) resul M B M B M M -B que resolviedo el sisem se obiee y M B M M B Eoces podemos escribir M M MM M, ( ) M M M M M M M M siedo siméric, pueso que y M M M ( M ) MM M M isiméric, y que L descomposició es úic: Si fuer M M M N N M N M N, siedo l difereci de mrices l vez siméric y isiméric, pero l úic mriz simuláemee siméric y isiméric es l mriz ul Luego, M N M N M N ;M N X Y - ) Hllr dos mrices X e Y de dimesió x les que X Y B De l ecució XY, se despej Y-X y se susiuye e l ecució XYB; X(-X)B obeiedo X-/B e Y-(-/B)-/B b) Mism cuesió pr el cso cocreo y B 5 8 X B 8 5 Y B 8 5 Uidd docee de Memáics

2 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - - Esudir si exise lgu mriz rel de dimesió x lque I, dode I es l mriz uidd de orde d d b de c df b c b e b de b e bc ef d e f c f c df bc ef c f d cosα b e d seα c f b cosα α, α, α R/ b de e seα c df c cosα bc ef f se α π π demás, bde cosαcosα seαseα cos( α α) α α ± ó ± π π álogmee: cos αcos α seαseα cos( α α) α α ± ó ± π π cosαcosα seαseα cos( α α) α α ± ó ± π π Pero, α α ( α α ) ( α α ) α α ±π y o coicide co ± ó ±, ± π bsurdo Luego o exise l mriz cosα seα - ) Hllr, siedo cosα seα cos α seα cos α seα cos α seα cosα cosα cosα seα seα seα seα cos α cosα seα seα se α seαcos α cos α cos α seαcos α cos α seα 7 b) Hllr u mriz B l que B Uidd docee de Memáics

3 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso B b L mriz B iee que ser rigulr B c, luego: b b b 7 b 6c 7 B c c c c 8 y de quí 7 7 c 8 b y por cosiguiee B b 6c c c) Hllr C, N, dode C C CC C C C 6 C C C Prece que ( ) ( ) ( ) ( ) Veámoslo por iducció: Se comprueb pr, se supoe ciero pr y se demuesr pr, ( ) ( ) ( ) Uidd docee de Memáics

4 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - 5- Comprobr que el vlor de u deermie de Vdermode es: b b b c c c p p p (b )(c )(p ) (c b)(p b) Resdo e cd fil l erior muliplicd por el deermie qued: b c p b c p b c p b( b ) c( c ) p( p ) b c p b b c c p p b c p (b )(c )(p ) b c p b c p ( ) ( ) ( ) ese úlimo deermie mbié es de Vdermode; efecudo e él el mismo proceso y sí sucesivmee se obiee el resuldo buscdo x x x 6- Resolver l ecució x x x x x x x Resdo cd colum l colum erior x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) x x x x x x x(x ) scdo fcor comú x- por cd fil o colum x x (x ) 6 (x) ( x x x ) (x ) x ríz úic x x 7- Exise lgu mriz rel regulr de orde impr l que? Uidd docee de Memáics

5 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - bsurdo, luego o exise l mriz co deermie disio de cero 8- Hllr l ivers de l mriz y escribir como produco de 5 mrices elemeles ( /I) co E y E se obiee: 5 co E / se obiee: 5 / co E se obiee: 5 / co E5 se obiee: / / co E6 se obiee: / / / / / / / co E7 se obiee: / / / / / / / 5/6 / co E8 se obiee: / / / / 7/6 / / 7/6 / / 5/6 / / 5/6 / / / / / / / EEEEEEEE I (EEEEEEEE) E E E E E E E E Uidd docee de Memáics 5

6 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - - Mismo ejercicio pr l mriz 5 6 ( /I) f f f f L mriz o es iversible f f f f - Hllr el rgo de l mriz Eoces r() - Discuir, e fució del prámero, el siguiee sisem de ecucioes lieles x y z x y z - x - y ( ) z x y ( 6) z - 8 Uidd docee de Memáics 6

7 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - L mriz de los coeficiees es de orde x y l mriz mplid 6 * de orde x puede ser de rgo * ( ) Podemos disiguir res csos: Si y r(*)>r() SISTEM INCOMPTIBLE * Si r( ) r ; r( ) r <úmero de icógis SISTEM COMPTIBLE INDETERMINDO * Si r( ) r ; r( ) r úmero de icógis SISTEM COMPTIBLE DETERMINDO - Se, B ( R) B y B, co y B Clculr: B, M B B,, 5 5 5, 6, B B, B ( ) B, 5,, Uidd docee de Memáics 7

8 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - - Se B ( R) iversible Resolver el siguiee sisem mricil: M BX Y B B X BY Hllr X e Y pr el cso cocreo B E el sisem muliplicmos por l mriz B l primer ecució: BX Y B B(BX Y) BB BX BY B BX BY ( ) BX resmos ls ecucioes BY ( ) BX BY ( ) BX BX B B(X BX) B Por ser B iverible B(X BX) B (I B)X I Supoiedo que l mriz I-B es iverible (I B)X I X (I B) hor de l segud ecució: B X BY Y B X B (I B) B (B I) Pr l mriz B, eemos que hllr l ivers de B I f f ff ff ff f f f f Uidd docee de Memáics 8

9 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - / / / / / / / / / / / / / / f f f f f / / / / / / f f f / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / ( B I) f f / / / / / / / / / / / / / / / / / / Por o X (I B) e / / / / / / 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ Y B (B I) 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ - ) Resolver el sisem liel siguiee X B medie el méodo de Guss: x 5 y 7 5 z b) Hllr C M ( R) l que C se u mriz rigulr superior equivlee por fils 5 ) 5 7 siedo E f f siedo E f f 5 Uidd docee de Memáics

10 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso siedo E f siedo E f f siedo E5 f f x z 5 Por o, el sisem equivlee: y z 6, cuy solució será x-; y; z z b) Si llmmos l mriz de los coeficiees del sisem erior, hllr u mriz C l que C se u mriz rigulr superior equivlee e fils EEEEE 5 C EEEEE Se l mriz ; se pide: b ) Esudir el rgo de e fució de los prámeros reles y b b) Pr b, cosideremos el sisem de ecucioes lieles X B, dode B Discuir el sisem segú los vlores del prámero y resolverlo pr c) Se X, C y D res mrices de orde Supoiedo que l mriz I es X C D X ) Pr resolver el clculo del rgo obeemos el vlor del deermie de : ( b b) e igulmos cero b b iversible, despejr X e l ecució: ( ) Uidd docee de Memáics

11 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - ( b b) Podemos disiguir los siguiees b b b csos: Si,b r() Si ; co r() Si b ; r() x b) Pr b el sisem qued: y Por el prdo erior: z * Si r() y l mriz mplid r( ) el sisem es compible deermido * Si r() y l mriz mplid r( ) <º de icógis el sisem es compible ideermido x z El sisem pr es x X y z z c) XC- D(X -) XC- DX- XCDX (I-)XD-C y como -I es iverible se puede despejr X ( I) ( D C) d) Pr b qued 6 y l mriz I 8 iee ivers y por djuos eemos que: co Uidd docee de Memáics

12 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - Uidd docee de Memáics EJERCICIOS PROPUESTOS - Se y B mrices cudrds de orde Probr que si I-B es iverible, eoces I-B mbié es iverible y que ( ) ( ) B B I I B I No: I es l mriz uidd de orde - Se u mriz cudrd de orde l que I Eoces es iverible - Ecorr el cojuo de mrices que comu co l mriz - Demosrr que l mriz verific l relció: N, 5- Hllr p y q pr que se verifique l ecució: ) ( qi p siedo e I 6- Resolver l siguiee ecució mricil CXDB-EX siedo E 7- Hllr ls mrices iverss de ls siguiees mrices: cos x sex sex cos x, B, C 8- Probr que y so siempre mrices simérics Es comuivo el produco erior? Mosrr mbié que es siméric, si es cudrd; qué sucede co? - ) Hllr l ivers de 5 b) Escribir como produco de mrices elemeles - álogo problem pr 5 - Sbiedo que ls mrices, X e Y so de orde 7 y que el deermie de es igul k, se pide: ) Clculr los deermies de,, -, -,

13 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - Uidd docee de Memáics b) Supoiedo que -I se iverible, resolver el sisem: ( ) Y X Y X c) Resolver l siguiee ecució mricil siedo B, C mrices de orde 7: X B) (X C X X - Se, se pide: ) Clculr, y dr l expresió geerl de b) Comprobr que I c) Obeer SOLUCIONES LOS EJERCICIOS PROPUESTOS - b ; - Por iducció; 5- p -, q ; 6- ( ) ( ) C DB E X ; 7- cos x sex sex cos x, 7 8 B, C 8- E geerl, es isiméric; - ) 7 8, b) - o es iversible y o puede escribirse como produco de mrices elemeles - ) k k,, k k,, k ; b) ( ) ( ) I Y, I X c) ( ) C B X - ( ),

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