PRÁCTICA No. 4 OBTENCIÓN DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO, EIGENVALORES Y EIGENVECTORES DE UNA MATRIZ

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María Rosa Natalia Plaza Vega
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1 PRÁCTICA No. 4 OBTENCIÓN DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO, EIGENVALORES Y OBJETIVO EDUCACIONAL EIGENVECTORES DE UNA MATRIZ El alumno aprenderá a obtener el polinomio característica, los eigenvalores (valores propios o valores característicos) y los eigenvectores (vectores propios o vectores característicos) de una matriz, a través del uso del software Octave (o MatLab) para su aplicación en asignaturas posteriores a su perfíl académico. INTRODUCCIÓN Polinomio característico de una matriz por el método de Krylov Las matrices de orden nxn no singulares poseen un polinomio característico; las raíces de este polinomio son llamados valores característicos y cada valor característico tienen asociado un vector característico. Iniciando con la determinación del polinomio característico. El polinomio característico de la matriz A se obtiene por medio de la expresión: El resultado de este determinante es un polinomio en función de de grado igual al orden de la matriz A, en este caso, de orden n. Este polinomio característico posee n raíces, o valores característicos. El polinomio característico es de la forma: [1] El método de Krylov se fundamenta en la aplicación del Teorema de Cayley Hamilton [1], mismo que establece que toda matriz A verifica su ecuación característica: [2] Es decir, si situamos a la matriz A en [2], el resultado deberá ser cero. Si embargo, operativamente es necesario hacer algunos comentarios. De inicio, la matriz A es de orden n, por lo cual la sustitución arrojará un sistema de n ecuaciones lineales; en consecuencia, el coeficiente a 0 deberá ser diferente de cero. Resulta conveniente hacer que este coeficiente sea la unidad, por lo cual se divide el polinomio entero por a 0, resultando: [3] [4] 1 de 6

2 Donde los coeficientes b i se obtienen como polinomio 4:. Aplicando el Teorema de Cayley Hamilton en el El polinomio 5 representa un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes de b i. La solución de este sistema nos proporciona los coeficientes b i que sustituidos en el polinomio 4 nos proporciona el polinomio característico de A. Una forma sencilla de realizar este procedimiento es simplificar la elevación de la matriz A a las potencias necesarias. Esto se logra multiplicando a la matriz A por un vector compatible diferente de cero. Debe recordarse que la multiplicación de una matriz por un vector compatible arroja un vector. Este vector puede ser libremente elegido, proponiéndose que su conformación permita realizar de mejor forma las operaciones. Una buena elección es elegir al vector con la forma: [5] Ubicando al elemento 1 en posición estratégica de acuerdo al coeficiente de A de tal forma que se minimicen las operaciones. Atendiendo a la anterior recomendación, el sistema que de la siguiente forma: Determinación de Eigenvalores Todo Eigenvalor (valor propio) λo debe ser raíz del polinomio característico asociado a A: [6] Determinación de Eigenvectores Un Eigenvector (vector propio) λ debe ser solución al sistema homogeneo: 2 de 6

3 MATERIAL, EQUIPO Y REACTIVOS 1.-Computadora 2.- Programa Octave PROCEDIMIENTO Lo que primeramente se realizo antes de iniciar con la practica fue conocer como se utiliza y algunas de las funciones principales de programa octave. Aprendimos a utilizar algunos comandos como son: clc: El cual nos sirve para limpiar la pantalla. Alt + 91: Abre corchete [. Alt + 93: Abre corchete ]. Alt + 94: Indica potencia de lo anterior a él ^. Alt + 92: se obtiene \ (Diagonal inversa). format rat: Muestra el número de forma racional. format short: Muestra valores en decimales (5 decimales). format long: Muestra valores en decimales (15 decimales). poly(a): Muestra los coeficientes del polinomio característico de la matriz A. [V,D]=eig(A): Muestra los eigenvectores [V] y los eigenvalores [D] de la matriz A. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL POLINOMIO CARACTERÍSTICO, LOS EGIENVALORES Y EIGENVECTORES DE UNA MATRIZ Sea la matriz determine: a) El polinomiio caraterístico b) Los eigenvalores c) Los eigenvectores 1. Se introduce la matriz : 3 de 6

4 2. Se obtiene el polinomio característico: Sólo muestra los coeficientes del polinomio característico, quedando de la siguiente manera: 3. Para obtener los eigenvectores [V] y los eigenvalores[d] de la matriz A se escribe y despues de oprimir enter se obtiene: Por lo que los resultados son, siendo la matriz : a) El polinomio característico de : b) Los eigenvalores: c) Los eigenvectores: 4 de 6

5 EJERCICIOS Obetener, a) El polinomiio caraterístico b) Los eigenvalores c) Los eigenvectores De las siguientes matrices: Matrices Escribe las soluciones D E CUESTIONARIO 1.- Bajo qué teorema se basa el proceso de Krylov? 2.- Qué grado tendrá los polinomios de una matriz de 2x2 y una matriz de 5x5, respectivamente? 3.- Es posible que tener dos eigenvectores de una matriz de 3x3? 5 de 6

6 4.- Cómo se determinan los eigenvalores? 5.- Cuál es comando que se utiliza en Octave para determinar el polinomio característico de una matriz cuadrada? 5.- Cuál es comando que se utiliza en Octave para determinar los eigenvalores y eigenvalores de una matriz cuadrada? CONSULTAS Grossman, Stanley I. Algebra lineal 6ª Ed---México; McGraw Hill, 2008 Polinomios, valores y vectores característicos: Método de Krilov Consultado 11 de abril de Valores y Vectores Propios. Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM. 1 de abril de Consultado 11 de abril de de 6

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