Modelo Matemático Multiobjetivo para la Selección de una Cartera de Inversión en la Bolsa Mexicana de Valores

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1 Modelo Matemátco Multobjetvo para la Seleccó de ua Cartera de Iversó e la Bolsa Mexcaa de Valores José Crspí Zavala-Díaz, Marco Atoo Cruz-Chavez, Jorge Ruz Vaoye 3, Martí H. Cruz-Rosales 4 Facultad de Cotaduría, Admstracó e Iformátca, Cetro de Ivestgacó e Igeería y Cecas Aplcadas, 4 Facultad de Cecas Uversdad Autóoma del Estado de Morelos. Ave. Uversdad 00 Col. Chamlpa CP609 crsp_zavala, mcruz, 3 Uversdad Juárez Autóoma de Tabasco, DAIS Resume. Se preseta u modelo matemátco multobjetvo para la seleccó de ua cartera de versó y su aplcacó e la Bolsa Mexcaa de Valores (BMV). El modelo multobjetvo propuesto se basa e uestro modelo matemátco de programacó leal publcado recetemete. Se establece el plateameto del problema multobjetvo, sus restrccoes, la magtud de las msmas y la estratega de búsqueda. La estratega cosste e modfcar el parámetro que acota la magtud de cada ua de las restrccoes. Nuestro modelo se prueba co la seleccó de ua cartera de versó co dez accoes de la BMV, dode uestros resultados so mejores que los obtedos co los modelos de máxmo redmeto y mímo resgo resueltos e forma depedete. Palabras Clave. Multobjetvo, programacó leal, cartera de versó, Bolsa Mexcaa de Valores.. Itroduccó. Ua cartera de versó es ua combacó de actvos o títulos dvduales, dode se pretede que esa combacó de accoes dsmuya el resgo y aumete la utldad. Desde el puto de vsta teórco, la exsteca del equlbro resgoredmeto es básca para los modelos de evaluacó de actvos. Metras que desde el puto de vsta práctco se debe teer la capacdad de colocar los resultados absolutos e el cotexto de característcas de resgo-redmeto de u programa de versó. Los cco pasos del proceso de la versó so []: La polítca de la versó, el aálss de los valores, la costruccó de la cartera, la revsó de la cartera y la evaluacó peródca del desempeño de la cartera. M.A Cruz-Chávez, J.C Zavala Díaz(Eds):CICos009, ISBN: , pp , 009.

2 Modelo Matemátco Multobjetvo 397 E partcular para la costruccó de la cartera se debe de detfcar las accoes específcas e las cuales vertr y cuato hacerlo. La selectvdad, el tmg y la dversfcacó debe ser tratadas por el versosta. La selectvdad, també coocda como mcro proóstco, se refere al aálss de valores y se efoca e el proóstco de los movmetos de precos de valores dvduales. El tmg, també coocdo como macro proóstco, mplca el proóstco de los movmetos del preco de las accoes ordaras respecto a los valores de greso fjo, como los aboos corporatvos y las letras del tesoro. La dversfcacó es la costruccó de la cartera del versosta que mmce el resgo sujeto a certas restrccoes. E este trabajo os efocamos a realzar u mcro proóstco para obteer ua cartera de versó. E el problema de la seleccó de la cartera de versó se tee dos fucoes objetvo, la prmera es maxmzar el redmeto y la seguda, o meos mportate que la prmera, es mmzar el resgo. Dos modelos so fudametales para la valoracó de ua cartera de versó, el de Markowtz [] y el Captal Assets Prcg Model (CAPM) [3]. E el prmero se cosdera el plateameto del problema cuadrátco de mmzacó del resgo co dos restrccoes. La prmera restrccó es el redmeto, cuya magtud de la msma camba e fucó de u parámetro. La seguda restrccó, la suma de las varables de decsó es gual al 00%. Co este modelo se obtee la frotera de carteras efcetes cosderado el resgo y el redmeto e fucó de la covaraza etre las accoes. El CAPM por medo de ua aproxmacó leal, co las msmas varables que el modelo de Markowtz, obtee la cartera de versó por medo de ua líea tagete que toca la frotera de carteras efcetes. Co base a estos dos modelos se ha desarrollado otros, como el uestro [4], dode la cartera de versó se obtee resolvedo e forma depedete las dos fucoes objetvos, maxmzar el redmeto y mmzar el resgo, y s cosderar la covaraza etre las accoes. E este modelo la cartera seleccoada será la que tega la dfereca míma etre las solucoes de esos dos problemas, tal y como lo establece CAPM. Por otro lado, se ha desarrollado modelos y métodos para seleccoar la cartera de versó como u problema multobjetvo [5,6,7], dode se determa la frotera de carteras efcetes. Esta frotera costtuye el frete de Pareto, dode se ecuetra las solucoes o domadas. Para determar esas solucoes se supoe que el espaco de búsqueda es covexo y su recorrdo es por medo de los algortmos llamados evolutvos [8], que se basa e dferetes meta heurístcas [5,6,7]. E estos plateametos multobjetvo, el resgo y el redmeto o sempre se calcula como se platea e el modelo de Markowtz [6], y e alguos otros se utlza restrccoes como el preco de veta [7]. Por tato, e este trabajo se plateo desarrollar u modelo multobjetvo leal que cosdere o solo el espaco de búsqueda dado por la frotera de carteras efcetes determadas por Markowtz, so que el problema se platea desde las suposcoes del CAPM, el cual establece que u solo puto de la líea tagete toca a u solo puto de la frotera mecoada.

3 398 J.C. Zavala, M.A. Cruz, J. Ruz, M.H. Cruz E la seguda parte de este trabajo se preseta ua descrpcó de los problemas multobjetvos. E la tercera se preseta las bases de uestro modelo. E la cuarta se preseta la seleccó de ua cartera de versó durate u perodo a la alza.. Fudametos del Problema Multobjetvo. El problema de optmzacó multobjetvo es smlar al problema de optmzacó global, excepto que para el caso multobjetvo se teta ecotrar u vector de solucó que optmce smultáeamete todas las fucoes objetvo, de atemao se cooce que estas fucoes se ecuetra e coflcto uas co otras y el mejorar ua de ellas sgfca empeorar el desempeño de las otras [8]. El problema de optmzacó multobjetvo se puede defr matemátcamete como: Ecotrar el vector x x x x T,,... que satsfaga las m restrccoes de la desgualdad: g x, =,,, m () 0 Las p restrccoes de gualdad: x Y que optmce: h f 0, =,,, p () x f x f x... f k x, E otras palabras, se teta determar el cojuto de todos aquellos úmeros que satsface las restrccoes y que optmce todas las fucoes objetvo. Las restrccoes defe la regó factble del problema y cualquer vector x que esté e esta regó se cosdera como ua solucó factble. E optmzacó multobjetvo, el térmo optmzar camba co respecto a la optmzacó moo-objetvo (global), porque se trata de ecotrar u ajuste etre las dsttas fucoes objetvo e lugar de ua sola solucó como e optmzacó global. Wlfredo Pareto e 896 do ua defcó más formal del óptmo e problemas multobjetvo [9], que se cooce e la actualdad como óptmo de Pareto. La defcó formal es la sguete: Sea I el cojuto I={,, }, u vector de varables de decsó x F (F es la regó factble) es u óptmo de Pareto s o exste otro x F tal que: I f x f x y j I f j x f j x. E otras palabras, El óptmo de Pareto es aquel vector de varables e el cual o se puede mejorar las solucoes del problema e ua fucó objetvo s empeorar cualquera de las demás [8,9]. Co esto se obtee u cojuto de solucoes llamado Cojuto de Óptmos de Pareto. El cojuto de vectores que correspode a ua solucó, cluda e el cojuto de óptmos de Pareto, so llamados o domados. T (3)

4 Modelo Matemátco Multobjetvo 399. Cojuto de Óptmos de Pareto. Para u problema multobjetvo defe como: P x x F : x F f, el cojuto de óptmos de Pareto ( P ) se f x f x (4). Domaca de Pareto. El térmo Domaca de Pareto puede ser defdo por: U vector u u,..., u k doma a otro v v,..., (deotado medate u v ) s, y sólo s u es parcalmete meor a v: v k,..., k, u v,..., k u v : (5) Es decr, para que ua solucó dome a otra, ésta ecesta ser estrctamete mejor e al meos u objetvo y o peor e guo de ellos..3 Frete de Pareto. La represetacó de las fucoes objetvo cuyos vectores so o domados y está e el cojuto de óptmos de Pareto se llama el Frete de Pareto. Su defcó es la sguete: Para u problema multobjetvo Pareto P, el frete de Pareto ( f x FP ) se defe como: x x FP k y u cojuto de óptmos de f f,..., f : x P (6) La mejor forma para ecotrar el frete de Pareto es evaluar todos y cada uo de los putos e la regó factble, al realzar ua búsqueda exhaustva el problema se hace o computable. Por tato, se tee la ecesdad de aplcar o desarrollar heurístcas para producr aproxmacoes del frete de Pareto. E la fgura se descrbe cada uo de los elemetos defdos prevamete. Fg.. Ejemplo de u frete de Pareto de u problema de optmzacó co dos fucoes objetvo.

5 400 J.C. Zavala, M.A. Cruz, J. Ruz, M.H. Cruz.4 Breve Descrpcó de los Algortmos de Solucó Multobjetvo Para obteer el vector de solucoes, frete de Pareto, de los problemas multobjetvo se ha desarrollado la computacó evolutva. La computacó evolutva costa de u cojuto de heurístcas que basa su fucoameto e el mecasmo de la seleccó atural propuesto por Charles Darw, y luego exteddo e el deomado Neo- Darwsmo [8]. E la computacó evolutva ua poblacó está compuesta por dvduos, u dvduo es ua solucó a u problema y está codfcada segú las ecesdades del problema, por ejemplo e ua cadea de bts. El medo dode se desevuelve este dvduo se represeta por la fucó objetvo, metras que las restrccoes del problema os dca qué ta apto es el dvduo para sobrevvr e ese medo. A los dvduos de la poblacó, llamados padres, se les aplca operadores probablístcos, cruza y mutacó para obteer uevos dvduos llamados hjos, los que matee alguas propedades de sus atecesores. Los atecesores se coserva o se elma medate ua seleccó determístca o probablístca, este proceso se realza co cada uo de los dvduos de la poblacó hasta formar ua ueva poblacó co uevos dvduos. Este proceso se repte durate u certo úmero de teracoes llamadas geeracoes e computacó evolutva. Co respecto a la programacó leal multobjetvo, so tres los métodos que se utlza para resolver este tpo de problemas, los cuales so: el de poderacoes, e- restrccoes y el SIMPLEX multobjetvo [0]. Los dos prmeros també so utlzados para problemas o leales, metras que el últmo es sólo para problemas leales. Cada uo de ellos tee su ámbto de aplcacó, que osotros utlzamos para seleccoar el método adecuado para uestro problema..4.. Método de Poderacoes. Para llevarlo a cabo se tee que cosderar e forma sstemátca ua sere de cojutos de pesos postvos que multplque a cada objetvo del problema. Usualmete se empeza por la optmzacó dvdual de cada objetvo, equvale a cosderar los pesos {, 0,, 0}, {0,,, 0},, {0, 0,, }. Posterormete se troduce ua varacó sstemátca de estos pesos co ua tasa de aumeto prefjada. Cada problema de poderacó es u problema de programacó leal cuya resolucó coduce a ua solucó efcete. Se puede teer certos coveetes: dsttos cojutos de pesos puede geerar el msmo puto, el tamaño de paso de u cojuto de pesos a otro puede o permtr geerar todos los putos extremos y, por tato, se obtedría ua aproxmacó al cojuto efcete..4.. Método e-restrccoes. Cosste e optmzar la fucó objetvo más mportate que las otras, dode éstas estará lmtadas por las cotas ferores. Las cotas ferores represeta preferecas subjetvas del decsor, por lo que s o exstera ua solucó se tedría que relajar al meos ua de las cotas. La solucó del problema será efcete s es ua úca solucó Método SIMPLEX-Multobjetvo. Este método se compoe de tres etapas y es ua extesó atural del algortmo SIMPLEX, ya que utlza la msma

6 Modelo Matemátco Multobjetvo 40 trasformacó de pvote para moverse de u puto extremo efcete a otro adyacete. Las tres etapas so: ª. Se determa ua solucó básca cal factble. Esta se lleva a cabo, como el uí objetvo, troducedo varables de holgura y/o artfcales, se obtee u puto extremo cal factble. ª. Se determa u puto extremo efcete, cuya exsteca está garatzada. S la regó factble del problema es o vacía y todas las fucoes objetvas está acotadas e ella, etoces exste al meos u puto extremo efcete. 3ª. Falmete, se determa todos los putos efcetes partedo de la solucó de la etapa ateror y se geera, a partr de ella, los restates putos extremos. 3. Fudametos de uestro Algortmo Multobjetvo Leal. Nuestra prmera hpótess es que se supoe que el portafolo de versó co el mayor redmeto y el mímo resgo está e la líea de las carteras efcetes, frete de Pareto, esa cartera estará e equlbro a causa de que es ua solucó o domada, ya que cualquer modfcacó afectará el redmeto o el resgo. La seguda suposcó es que la determacó de ese portafolo es posble co el CAPM, ya que a través de ua líea recta tagete a la curva de las carteras efcetes determa u úco puto, y éste es el portafolo de versó óptmo. E cosecueca, el problema es calcular u solo puto del frete de Pareto, el determado por el CAPM. A partr de esta observacó osotros desarrollamos el plateameto para el modelo matemátco multobjetvo. E la fgura se descrbe la teraccó gráfca de los dos modelos, el de Markowtz y el CAPM. E la fgura la líea FF represeta el Frete de Pareto de portafolos de versó óptmos. La líea SS es la líea de segurdad del mercado, dode el puto R f represeta el redmeto lbre de resgo. El puto a sobre la líea FF represeta la cartera de versó optma co u redmeto R y u resgo. E cosecueca, el puto a es el puto que tee la meor dfereca etre el resgo y el redmeto [3]. Fg.. El CAPM La gráfca de la fgura 3 se elaboro co los resultados de la seleccó de ua cartera de versó de dez accoes de la Bolsa Mexcaa de Valores (BMV),

7 40 J.C. Zavala, M.A. Cruz, J. Ruz, M.H. Cruz durate el perodo julo de 005 a febrero 007 []. La gráfca muestra que la determacó del puto a se hace desde la regó de las solucoes factbles. 600 Redmeto X Resgo X0- Fg. 3. Carteras de versó de la regó factble perodo julo 005 a febrero 007 [] E la fgura tres se muestra que sólo u puto es la solucó, este puto es el que se ecuetra más a la zquerda de todos los putos, y éste tee la dfereca míma etre el resgo y el redmeto. A causa de que los dos problemas se resuelve e forma depedete, el de maxmzar el redmeto y el de mmzar el resgo, e las fguras 4 y 5 se grafca el redmeto y el resgo e fucó de la dfereca míma etre ellos, respectvamete. Resgo-Redmeto X Redmeto X0- Fg. 4. Redmeto e fucó de la dfereca míma para 0 accoes, perodo julo 005 a febrero 007 []. Las gráfcas de las fguras 4 y 5 muestra que so áreas covexas, como se esperaba, ya que cuado u problema tee ua solucó por medo de programacó leal o puede exstr superfces que o sea covexas [0].

8 Modelo Matemátco Multobjetvo 403 E los cojutos de los elemetos que se grafca e las fguras 4 y 5 estará el redmeto y el resgo que determe la meor dfereca de la fgura 3, es decr, se determa el puto a, co lo cual queda:,,..., k: a. R Resgo-Redmeto X Resgo X0- Fg. 5. Resgo e fucó de la dfereca míma para 0 accoes, perodo julo 005 a febrero 007 [] E cosecueca de lo ateror, se supoe que la determacó del puto a se puede hacer a través de la búsqueda del redmeto R (Fgura 4) y del resgo (Fgura 5), esta búsqueda se puede hacer a través de modfcar la magtud de las restrccoes para reducr el espaco de búsqueda y evaluar la apttud, como la dfereca míma etre el resgo y el redmeto. Lo ateror cocde co el método de la e-restrccoes. 4. Plateameto del Problema Multobjetvo Leal. E el modelo cosderado se hace las suposcoes sguetes [4]: Prmera suposcó. La catdad de dero requerda míma es el costo de la accó mas barata, a partr de esta catdad se llega a la catdad de dero de la accó más cara. Seguda suposcó. El resgo mímo de la cartera de versó es el resgo de la accó que tega el meor de todas las accoes y éste varará hasta el resgo más alto de la accó correspodete. Tercera suposcó. El redmeto mímo de la cartera de versó es el redmeto de la accó que tega el meor redmeto de todas las accoes y éste varara hasta el redmeto más alto de la accó correspodete. Co las suposcoes aterores se formularo los modelos sguetes [4]:

9 404 J.C. Zavala, M.A. Cruz, J. Ruz, M.H. Cruz 4. Modelo de Maxmzar el Redmeto Sujeto a: Maxmzar z x R (7) x x Pv Pv Pv Pv m max m x, x max m m Dode R, y Pv es el redmeto, resgo y preco de veta de la accó, respectvamete. x es el decmal de la accó que debe comprarse y es ua varable real 0 x, x = 0 cuado la accó o forma parte de la cartera de versó., : so varables que se utlza para recorrer todo el espaco de solucoes y su valor es 0,. 4. Modelo de Mmzacó del Resgo Sujeto a: Mmzar z x (8) x x Pv Pv Pv Pv m max R R R R m x, x max m m Las varables so las msmas que e el problema de maxmzar del puto 4..

10 Modelo Matemátco Multobjetvo Modelo Multobjetvo Leal para la Seleccó de ua Cartera de Iversó Cosderado los dos modelos (7) y (8), el método e-restrccoes y las suposcoes cosderadas e el puto 3, el modelo multobjetvo resultate se muestra a cotuacó: Sujeto a: x m max Mmzar z3 x R m (9) (0) x R R m R max R m () () x Pv Pv m x, x Dode las varables so las msmas del puto 4.. Las restrccoes (0) y () so las fucoes objetvos de los dos modelos de optmzacó base, cuya magtud varará desde la cota feror hasta la cota superor, tal y como lo establece el método de e-restrccoes. Además, refleja la seguda y tercera suposcó del plateameto orgal. La restrccó () refleja la prmera suposcó del modelo orgal. Dado que las restrccoes (0), () y () so valdas para los elemetos del cojuto de la regó factble, lo prmero que se tee que hacer es cosderar elemetos de esa regó, ua vez que ya se tee u elemeto de la regó factble se hace el recorrdo al elemeto de la cartera óptma. E la fgura 6 se muestra la estratega de recorrdo para determar el portafolo óptmo. Fg. 6. Estratega de búsqueda del plateameto multobjetvo.

11 406 J.C. Zavala, M.A. Cruz, J. Ruz, M.H. Cruz La estratega cosste e car desde el orge producdo por las cotas mímas, posterormete se cremeta u, prmero e la fucó f y después e la f, así sucesvamete hasta llegar a ua solucó factble. Ua vez que se llego a ua solucó factble se recorre la regó covexa mateedo f costate hasta alcazar el frete de Pareto. Cuado se halla alcazado el frete de Pareto, éste se recorre modfcado el cremeto, la cual cosste e dvdr e dos ese cremeto cada vez. La prmera modfcacó será, la seguda y así sucesvamete hasta 4 llegar a, dode m es el úmero de modfcacoes ecesaras para llegar al m portafolo cosderado óptmo. 5. Aplcacó del Modelo Multobjetvo para Calcular ua Cartera de Iversó e la Bolsa Mexcaa de Valores. De la pága de Iteret de la Bolsa Mexcaa de Valores (BMV) se elgero las accoes de 0 empresas más bursatlzadas y que so cosderadas para el cálculo del IPC []. Los datos so de Julo del 005 a Febrero de 007, los valores del redmeto y del resgo se obtuvero como lo establece los modelos cosderados, ecuacoes (3) y (4) []. R m r j j m j m r R j m Dode R es el redmeto promedo de la accó, r es el redmeto de la accó e cada perodo j y m es el úmero de perodos cosderados. es el resgo (desvacó estádar del redmeto). E la tabla está los redmetos y resgos de esas 0 accoes. E la tabla está los resultados obtedos co el modelo multobjetvo y la estratega de búsqueda dseñada para este problema, e esa msma tabla també está los resultados obtedos del msmo problema co los modelos moo-objetvo de maxmzar el redmeto y mmzar el resgo. (3) (4)

12 José Crspí Zavala-Díaz, Marco Atoo Cruz-Chavez, Jorge Ruz Vaoye3, Martí H. Cruz-Rosales4 Tabla. Redmeto, preco de veta y resgo de dez empresas de julo 005 a febrero 007 [,]. Var Empresa R Pv x GMEXICOB x WALMEX V x 3 G MODELOC x 4 CEMEX CPO x 5 TELMEX L x 6 TELEVISACPO x 7 URBI x 8 KIMBERA x 9 TELECOMA x 0 NAFTRAC Tabla. Dfereca meor etre el máxmo redmeto y el mímo resgo (julo005 a febrero de 007) Modelo x x 3 x 5 X 7 x 0 Suma Df Mmzar Resgo R Maxmzar Redmeto Multobjetvo R R Como muestra los resultados de la tabla, el redmeto se acerca al redmeto del promedo artmétco de los dos modelos (3.5%), metras que el resgo se acerca más al resgo calculado e el plateameto de mmzar el resgo. Es decr, la solucó obteda es más cercaa a los óptmos determados por el modelo de mmzacó del resgo. La obtecó de mejores resultados se debe a que los cremetos de los parámetros fuero más pequeños que los cremetos utlzados por los modelos u-objetvos. E los modelos u-objetvos se utlzó u cremete costate de 0. para recorrer todo el espaco de búsqueda, metras que e el modelo multobjetvo se llego a utlzar cremetos de 0./ 5 e las últmas teracoes. Lo ateror os permtó obteer ua mejor solucó. Para obteer los resultados que se preseta e la tabla se requró de 6 teracoes y de 5 cremetos.

13 408 J.C. Zavala, M.A. Cruz, J. Ruz, M.H. Cruz 6. Coclusoes. Se cocluye que el plateameto multobjetvo del problema de la seleccó de ua cartera de versó es mejor que solucoar e forma depedete los problemas de maxmzar el redmeto y mmzar el resgo. La seguda coclusó es que las suposcoes del CAPM se puede aplcar al problema multobjetvo, y que co ellas es posble lmtar el espaco de búsqueda a u solo puto y o determar todo el Frete de Pareto. La tercera coclusó es que los resultados os muestra que la búsqueda se puede hacer por medo de modfcar los parámetros, y o ecesaramete se requere de u algortmo evolutvo para la geeracó de los dvduos que puede formar ua solucó. 7. Referecas. [] D. J. Messut, V. A. Alvarez, H. Romao Graff Selecto of vestmet. Itroducto to the theory of portfolo Ed. Macch, 99, pp 35-87, 47-5, [] H. M. Markowtz Portfolo Selecto Joural of Face, Vol 7, 95, pp 77-9 [3] E. F. Fama ad K. R. Frech The Captal Asset Prcg Model: Theory ad Evdece CRSP Workg paper o. 550, 003, do:0.39/ssrm [4] J. C. Zavala-Díaz, J. Perez-Ortega, R. A. Pazos-Ragel, D. V. García-Vllagomez, L. Cruz- Reyes Mathematcal Model for Optmzg the Composto o fa Ivestmet Potfolo for the Mexca Stock Market. Secod Iteratoal Jot Coferece o Computatoal Sceces ad Optmzato (CSO009), Aprl 009, pp [5] J. Brake, B. Scheckebach, M. Ste, K. Deb, H. Schmeck Portfolo optmzato wth a evelope-based mult-objectve evolutoary algorthm Joural Europea Research 99 (009), pp [6] Raj Subbu, Pero P. Bossoe, Nel Eklod, Srvas Bollapragada, Kate Chalerm Kravuth Multobjectve Facal Portfolo Desg: A Hybrd Evolutoary Approach Cogress o Evolutoary Computato IEEE Sept. 005, Volume:, pp 7-79 Vol. ISBN: [7] Joatha E. Feldsed ad Sameer Sgh Pareto Mult-objectve No-Lear Regresso Modellg to Ad CAPM Aalogous Forecatg Proc. IEEE Itl. Cof. o Computatoal Itellgece, 00 - laa.mx [8] Carlos A Coello Coello Itroducto to Evolutoary Multobjectve Optmzato CINVESTAV-IPN 00. [9] Lus Vcete Sataa Qutero U Algortmo Basado e Evolucó Dferecal para Resolver Problemas Multobjetvo Tess de Maestría CINVESTAV-IPN, ovembre de 004. [0] Ríos Isúa Sxto Ivestgacó Operatva: Modelos Determstcos y Estocástcos. Edtoral Uverstara Ramo Areces, España 004. [] J. C. Zavala-Díaz, J. A. Ruz-Vaoye, D. V. García-Vllagomez, O. Díaz-Parra Selecto of a Ivestmet Portfolo by meas of a Mathematcal Model of Optmzato Appled to Mexca stock-market Perod of Debacle IMS009: the 5th Iteratoal Coferece o Advaced Iformato Maagemet ad Servce, Seoul Korea, August 009. [] Mexca stock-market

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