EJERCICIOS DE CONTROL POR COMPUTADOR BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)

Transcripción

1 C. Determine el valor al que tenderá en régimen permanente la salida ante un escalón de amplitud 3 a la entrada del sistema discreto dado por: z.7 G( z) ( z.5) z C. a) Determinar la región del plano z donde pueden ubicarse un par de polos complejos conjugados, de forma que la respuesta del sistema discreto cuya función de transferencia estuviera formada únicamente por esos dos polos, ante secuencia escalón unitario presente las siguientes características: SO %, t s < 7 ciclos (es decir, si el sistema procediera de uno continuo muestreando a un periodo T m, el tiempo de subida que nos piden sería t s < 7T m, en segundos). b) Concretar un par de polos complejos conjugados, eligiendo un valor específico de tiempo de subida por debajo del límite dado en el apartado (a). Comparar estos polos con los que resultarían de la conversión directa de los polos en continuo correspondientes a dicha sobreoscilación y tiempo de subida. C3. Qué es y para qué sirve un filtro anti-aliasing? Dibuje el esquema de control por computador de un sistema continuo en que se añade un filtro de este tipo. C4. Explique la forma en que elegiría un periodo de muestreo adecuado para un sistema continuo que se pretender discretizar, del cual se conoce su respuesta escalón unitario: Una vez elegido el periodo de muestreo, justifique si los polos del sistema continuo están contenidos en la franja primaria del plano s C5. a) Obtener la transformada en Z de la secuencia correspondiente a la señal cuya transformada de Laplace es (suponiendo muestreo a segundo): s X ( s) ( s + ) ( s + ) b) Obtener los primeros términos de la secuencia correspondiente. Corroborar dichos términos mediante división larga. C6. a) Obtenga la secuencia de ponderación {g k } del sistema descrito mediante la siguiente ecuación en diferencias: yk a yk xk ( < a < ) b) Si dos sistemas descritos mediante esta ecuación se conectan en serie Cuál sería la secuencia de ponderación del sistema resultante?

2 C7. Para el sistema descrito por: y k + yk + uk a) Determinar la respuesta ante un impulso a la entrada. b) Para qué valores de una ganancia K, suponiendo que se calcula la entrada al sistema como u K r y ), el sistema resultante es estable. k ( k k C8. Para el sistema descrito por: yk + yk +. 5 uk Para qué valores de una ganancia K, suponiendo que se calcula la entrada al sistema como u K r y ), el sistema resultante es estable. k ( k k C9. Al realizar una aproximación discreta de tipo Euler I de un controlador continuo C(s), con un periodo de muestreo T, resultan dos polos complejos conjugados inestables para C(z), situados en: z,.5 ± j. a) Se desea rediscretizar el controlador (de nuevo mediante la aproximación de Euler I) con un nuevo periodo de muestreo T α T que garantice que el C(z) resultante en este caso sea estable. Determinar el máximo valor de α necesario. b) Si el segundo proceso de discretización se realiza mediante la aproximación de Tustin, explique, sin realizar ninguna operación matemática, en qué condiciones sería estable el controlador resultante. C. Supuesto un sistema continuo con la siguiente configuración de polos y ceros: c -8, p, -±4j, p 3,4-5±j. Se pretende discretizarlo usando un periodo de muestreo T m π/9. Representar en el Plano s la configuración de polos y ceros del sistema. a) Determinar, a partir de esa distribución gráfica de polos y ceros en el Plano s, si se estará muestreando adecuadamente a este sistema. b) Qué otra combinación de polos y ceros continuos daría lugar a la misma configuración en el Plano z? C. Sea el sistema discreto G(z), cuya respuesta ante escalón unitario es la que aparece en la figura. En ella se puede apreciar que el sistema se puede aproximar mediante una dinámica dominante de primer orden (sin ceros), junto con un cierto retardo puro. Obtenga la expresión de G(z) Periodo de muestreo (k)

3 3 C. (NO OBLIGATORIO) Para el sistema continuo:.s +. G( s) 3 s + 7s + 6.s +. a) Diseñar un PID mediante el método de Ziegler-Nichols en BA (utilizar MATLAB para simular su respuesta ante escalón y poder extraer los parámetros necesarios). Discretizar dicho controlador y comparar el comportamiento del sistema controlado en continuo y en discreto mediante SIMULINK. Elegir un periodo de muestreo apropiado pero que no suponga una carga computacional innecesariamente elevada. b) Llevar a cabo el programa que implemente el controlador obtenido, suponiendo que se dispone de convertidores de bits con rango de conversión de 5 a +5 voltios y que la función de transferencia indica la relación de las señales de entrada y salida expresadas en voltios. C3. El comportamiento dinámico de un horno que usa combustible sólido puede describirse mediante la siguiente función de transferencia discreta: Y ( z) K( z c) G( z), U ( z) Ζ[ { uk }], Y ( z) Ζ[ { yk }] U ( z) z ( z p) Donde {u k } es el incremento de combustible a la entrada del horno e {y k } es el incremento de la temperatura de los gases de salida del horno. Sabiendo que la respuesta ante escalón es la que se muestra en la figura. Hallar los valores de los tres parámetros de la función de transferencia (pueden usarse los valores de la gráfica, tanto los del transitorio como los del permanente) Respuesta ante escalón unitario Periodos de muestreo C4. Sea el sistema en tiempo continuo: G( s) ( s + ) Se pide diseñar directamente en discreto y escribir el código del controlador para implementarlo en una computadora de un PID digital que cumpla: error en régimen permanente nulo frente a escalón y tiempo de subida aproximado de 3 segundos. Para ello elija el periodo de muestreo adecuadamente y diseñe el controlador mediante asignación de polos (ver solución).

4 4 C5. Sea el sistema continuo: +.s G( s) s +.s + Diseñe en continuo un controlador PID por cancelación de polos, para conseguir que en bucle cerrado el sistema tenga un tiempo de subida de unos 3 segundos. Obtenga una aproximación discreta de este controlador de la forma que considere más conveniente, para que pueda ser implementada en una computadora.

5 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% C8. Una empresa pretende realizar un estudio sobre un panel solar portado por un satélite. El estudio exige que desde la Tierra se pueda controlar la posición del panel (por simplicidad, consideramos que sólo se dispone de un grado de libertad, por ejemplo, el panel podrá girar sobre un eje cierto ángulo q). El satélite dispone, por un lado, de un conjunto electromecánico que permite realizar los movimientos del panel, y por otro,de un conjunto de sensores que medirán el ángulo alcanzado, si bien, no dispone de ningún controlador a bordo. Por lo tanto, las señales de control u viene dadas por el controlador instalado en Tierra. En la figura, se representan dos respuestas. Por un lado, la respuesta {q k } (ángulo del panel) obtenida cuando se envía desde la Tierra una secuencia {u k } escalón unitario (respuesta en bucle abierto). Por otro lado, se muestra la respuesta {q k } deseada ante referencia {r k } escalón unitario, cuando se utilice un controlador. Se pide: a) Diseñar el controlador discreto que dé la respuesta deseada (se puede usar el método de Truxal). b) El pseudocódigo del programa que implemente la ley de control obtenida en un computador. Nota: El periodo de muestreo es de s. Existe un retardo en las comunicaciones de segundos como puede apreciarse en las gráficas. Pueden considerarse respuestas de primer orden (identifiquen suponiendo que las gráficas fueran respuestas de sistemas continuos)..9 Respuesta deseada (BC) Respuesta BA Tiempo en segundos C9. Considérese el sistema: 5s e G( s) + s a) Diseñar un controlador discreto por método directo, especificando los polos para conseguir un tiempo de subida en torno a segundos y una sobreoscilación de un 5%. Además se desea que el error en régimen permanente ante entrada escalón sea nulo.

6 6 b) Realizar un nuevo diseño, pero intentando satisfacer además que el error en régimen permanente ante entrada en rampa sea del %. En ambos casos puede emplearse un periodo de muestreo de.5 segundos. Sea el controlador discreto C(z), cuyo denominador consta sólo de dos polos complejos conjugados.5±.75j. Se sabe que este controlador ha sido obtenido de discretizar un controlador continuo C(s) mediante una aproximación rectangular hacia atrás (Euler II) con un tiempo de muestreo T. Se pide estudiar qué hubiera sucedido (respecto a la estabilidad del controlador discreto) si el tiempo de muestreo hubiera sido veces superior ó veces inferior que el original. Qué sucedería si el controlador se hubiese implementado en tiempo continuo?