Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
|
|
- Natalia Camacho Méndez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 1 Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Notas Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente. Definición Sea R el conjunto de los números reales. Un espacio vectorial sobre R consta de un conjunto no vacío V, una ley de composición interna sobre V, +, y una aplicación de R V en V,, (ley externa), verificando las siguientes propiedades: (1) (V, +) es un grupo abeliano, esto es, para todo u, v, w V, (1.1) u + v = v + u. (Conmutativa). (1.2) u + ( v + w) = ( u + v) + w. (Asociativa). (1.3) Existe 0 V tal que para todo u V, 0 + u = u. (Elemento neutro). (1.4) Para todo u V, existe u V tal que u + u = 0 (opuesto de u). (2) Para todo u, v V y para todo α, β R, (2.1) α ( u + v) = α u + α v. (2.2) (α + β) u = α u + β u. (2.3) α (β u) = (α β) u. (2.4) 1 u = u. 1
2 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Notas (1) Los elementos de V se denominarán vectores y los de R escalares. (2) El elemento u cuya existencia asegura (1.4) es único y se notará por u. Ejemplos Son espacios vectoriales sobre R: M(n m, R). (Conjunto de las matrices con coeficientes en R con n filas y m columnas). Un conjunto con un único elemento { 0} es un espacio vectorial que llamaremos espacio vectorial trivial. El conjunto R[X] de los polinomios en X, de grado menor o igual que n, con coeficientes en R es un espacio vectorial sobre R. Proposición Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo u, v V y todo α, β R se verifica que: (1) α 0 = 0. (2) 0 u = 0. (3) α ( u v) = α u α v. (4) (α β) u = α u β u. (5) ( α) u = α u. Definición Llamaremos espacio numérico sobre R, de dimensión n, al conjunto: R n = {(a 1,..., a n ) a i R, i = 1,..., n} En R n definimos las siguientes operaciones: (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ). a (a 1,..., a n ) = (a a 1,..., a a n ). Nota Los elementos de R n se denominan vectores y los notaremos por u, v,.... Proposición R n es un espacio vectorial sobre R. 2
3 Grupos A y D Curso 2014/ Subespacios vectoriales Definición Sea V un espacio vectorial sobre R. Diremos que L V (L ) es un subespacio vectorial (o una variedad lineal) de V sobre R si L, con las leyes de composición interna y externa de V, es un espacio vectorial. Proposición L V es subespacio vectorial de V si y sólo si. (a) u, v L u + v L. (b) u L, α R α u L. Condiciones que se pueden resumir en una sola: α, β R, u, v L α u + β v L Dependencia lineal Definición Diremos que v V es combinación lineal de v 1,..., v n V si existen α 1,..., α n R tales que: v = α 1 v α n v n Ejemplos (1) 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. (2) u es combinación lineal de cualquier conjunto que contenga a u. (3) En R[x] todo polinomio de grado menor o igual a n es combinación lineal de los polinomios {1, x, x 2,..., x n }. Definición Sea A V. Se llama subespacio vectorial engendrado por A, y se designa por L(A), al conjunto de todas las combinaciones lineales de un número finito de elementos de A. Si A =, se define L( ) = { 0}. Proposición (1) L(A) es un subespacio vectorial de V. 3
4 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) (2) L(A) A. (3) Si A B L(A) L(B). (4) Si A es un subespacio vectorial de V, entonces L(A) = A. (5) L(L(A)) = L(A). Definición Diremos que V es un espacio vectorial de dimensión finita si existe un número finito de elementos de V, u 1,..., u n, tales que: V = L( u 1,..., u n ) Un tal conjunto diremos que es un sistema de generadores de V. Ejemplos (1) R n es de dimensión finita. (2) R[x] (polinomios en la indeterminada x con coeficientes en R) no es de dimensión finita. (3) El conjunto de los polinomios en la indeterminada x, de grado menor o igual que n, con coeficientes en R, sí es un espacio vectorial de dimensión finita. Definición Sean u 1,..., u n V. (1) u 1,..., u n son linealmente dependientes si existen α 1,..., α n R,no todos nulos, tales que: α 1 u α n u n = 0 (2) u 1,..., u n son linealmente independientes si: α 1 u α n u n = 0 α 1 = = α n = 0 Ejemplos (1) Si 0 { u 1,..., u n }, entonces u 1,..., u n son linealmente dependientes (2) Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes se le añaden cualesquiera otros vectores, resulta un conjunto de vectores linealmente dependientes. 4
5 Grupos A y D Curso 2014/2015 (3) Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es un conjunto de vectores linealmente independientes. Proposición Si v es combinación lineal de v 1,..., v n, entonces el conjunto { v, v 1,..., v n } es linealmente dependiente. Demostración: Por hipótesis existen α 1,..., α n R tales que: v = α 1 v α n v n Entonces: ( 1) v + α 1 v α n v n = 0 y no todos los coeficientes son nulos, porque el primero es 1. Proposición Si los vectores v 1,..., v n son linealmente dependientes, alguno de ellos es combinación lineal de los demás Bases y dimensión Definición Decimos que B = { u 1, u 2,..., u n } V es una base de V si se verifica: (1) V = L{ u 1, u 2,..., u n }. Esto es, { u 1, u 2,..., u n } es un sistema de generadores de V. (2) { u 1, u 2,..., u n } son linealmente independientes. Ejemplo {(1,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0,..., 1)} es una base de R n. Teorema Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base. Teorema En un espacio vectorial de dimensión finita todas las bases tienen el mismo número de elementos. 5
6 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Definición Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión finita. Se llama dimensión de V, dim(v ), al número de elementos de cualquier base de V. Si V = { 0}, convenimos en que tiene dimensión cero. Ejemplo dim(r n ) = n. Corolario Sea V un espacio vectorial con dim(v ) = n. (1) Todo conjunto de n vectores linealmente independiente es una base. (2) Todo conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente. (3) Todo sistema de generadores de V tiene al menos n elementos. (4) Todo sistema de generadores con n elementos es una base. (5) Todo subespacio de V es de dimensión finita y tiene dimensión menor o igual que n. (6) Toda base de un subespacio de V puede ampliarse a una base de V. Teorema Si B = { u 1,..., u n } es una base de V, entonces para cada v V existe un único (α 1,..., α n ) R n tal que: v = α 1 u α n u n Este elemento de R n se denomina coordenadas de v respecto de B y lo notaremos por: v B = (α 1,..., α n ) 6
7 Grupos A y D Curso 2014/ Ejercicios resueltos 1.- El vector (2, 1, 3) es combinación lineal de los vectores (1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), ya que existen α 1, α 2, α 3 R tales que: (2, 1, 3) = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 0, 0) + α 3 (1, 1, 0) = (α 1 + α 2 + α 3, α 1 + α 3, α 1 ) α 1 + α 2 + α 3 = 2 de donde se obtiene el sistema: α 1 + α 3 = 1 α 1 = 3 cuya solución es α 1 = 3, α 2 = 7, α 3 = 2. Por tanto, existen α 1, α 2, α 3 R tales que: (2, 1, 3) = 3(1, 1, 1) + 7(1, 0, 0) 2(1, 1, 0). 2.- En el espacio vectorial R 3, los vectores (1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0) son linealmente independientes, ya que la única forma de expresar el vector nulo como combinación lineal de los tres es con todos los escalares iguales a cero. Es decir, si: α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 0, 0) + α 3 (1, 1, 0) = (α 1 + α 2 + α 3, α 1 + α 3, α 1 ) = (0, 0, 0) α 1 + α 2 + α 3 = 0 se obtiene el sistema: α 1 + α 3 = 0 que es compatible determinado y cuya α 1 = 0 única solución es la trivial α 1 = α 2 = α 3 = 0, luego los tres vectores son linealmente independientes. 3.- El conjunto de vectores (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) forman una base de R 3. Tenemos que comprobar que esos vectores son linealmente independientes y que forman un sistema de generadores de R 3. En primer lugar, son linealmente independientes ya que si disponemos esos vectores en forma matricial, resulta : A = y se verifica que rango(a) = 3, por lo que los tres vectores que conforman la matriz son linealmente independientes. Por último, comprobamos que constituyen un sistema de generadores de R 3 : Para comprobarlo, se escribe el vector (a, b, c) R 3 como combinación lineal de los tres: (a, b, c) = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (0, 1, 1) + α 3 (0, 0, 1) = (α 1, α 1 + α 2, α 1 + α 2 + α 3 ) 7
8 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) α 1 = a α 1 + α 2 = b α 1 + α 2 + α 3 = c α 1 α 2 α 3 a = b c Es un sistema lineal con variables α 1, α 2, α 3 y términos independientes a, b, c. La matriz del sistema tiene rango 3 como se vio anteriormente y coincide con el rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema tiene solución única. Esa solución es el conjunto de escalares que nos permite escribir la combinación lineal. 4.- El conjunto A = {(x, y) R 2 : x + y = 1} no es un subespacio vectorial de R 2 ya que (0, 0) / A. 5.- El conjunto A = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0} es un subespacio vectorial de R 3. Para comprobarlo, aplicamos la condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial: u, v A, α, β R : α u + β v A. Si u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) A, entonces u 1 + u 2 + u 3 = 0, v 1 + v 2 + v 3 = 0, por lo que: α u + βbfv = α(u 1, u 2, u 3 ) + β(v 1, v 2, v 3 ) = (αu 1 + βv 1, αu 2 + βv 2, αu 3 + βv 3 ). Para que α u, β v A se debe cumplir: αu 1 + βv 1 + αu 2 + βv 2 + αu 3 + βv 3 = 0, en efecto: αu 1 +βv 1 +αu 2 +βv 2 +αu 3 +βv 3 = α(u 1 +u 2 +u 3 )+β(v 1 +v 2 +v 3 ) = α 0+β 0 = 0, α, β R, por tanto, A es un subespacio vectorial de R El conjunto A = {(x, y, z) R 3 : x y = 0} no es un subespacio vectorial de R 3. A pesar de que (0, 0, 0) A, comprobaremos con un contraejemplo que no se verifica la condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial. Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) A dado que, en ambos casos x y = 1 0 = 0 1 = 0, pero u + v = (1, 1, 2) / A, pues x y = 1 1 =
9 Grupos A y D Curso 2014/ Sea el subespacio A R 3, generado por los vectores u = (1, 0, 1) y v = (1, 1, 1), es decir A = (1, 0, 1), (1, 1, 1). Determinar una base, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implícitas de A. a) A = u, v = (1, 0, 1), (1, 1, 1). Los vectores que generan el subespacio son linealmente independientes, ya que 1 1 rg 0 1 = 2, por lo que forman una base de A y dim(a) = b) Ecuaciones paramétricas: escribimos un vector genérico x = (x, y, z) A como combinación lineal de los vectores de la base: (x, y, z) = λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1) = (λ + µ, µ, λ + µ) x = λ + µ de dónde obtenemos las ecuaciones paramétricas. y = µ z = λ + µ Aparecen dos parámetros igual a la dimensión de A. λ, µ R. c) Para las ecuaciones implícitas consideramos que (x, y, z) A, los vectores (x, y, z), (1, 0, 1), (1, 1, 1) son linealmente dependientes y que el rango de la matriz que forman debe coincidir con la dimensión de A: x 1 1 x 1 1 rg y 0 1 = 2 y 0 1 = 0 z x = 0 z 1 1 z 1 1 Luego el subespacio A tiene una ecuación implícita A = {(x, y, z) R 3 : z x = 0}. 8.- Calcular la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones paramétricas del subespacio de R 3 : A = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x + y + z = 0} a) Comenzamos con las ecuaciones implícitas. El rango de la matriz del sistema formado por las ecuaciones que definen a A es dos: rg = por lo que las dos ecuaciones que definen A son un par de ecuaciones implícitas. 9
10 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) b) Para obtener las ecuaciones paramétricas de A resolvemos el sistema: x + y + z = 0 x + y + x = 0. Dado que el rango de la matriz del sistema es 2, como se vio anteriormente, 1 1 y que un menor principal de la matriz es, le damos a la variable z el 1 1 x + y = λ valor de un parámetro, z = λ y resolvemos el sistema: x + y = λ que tiene por solución: x = 0, y = λ, z = λ, que son las ecuaciones paramétricas del subespacio A. c) Para obtener una base de A usamos las ecuaciones paramétricas: (x, y, z) A : (x, y, z) = (0, λ, λ) = λ(0, 1, 1), por lo que cualquier vector de A está generado por (0, 1, 1) que es una base de A. Por tanto, la dimensión de A es Ejercicios Propuestos 1.- Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3), v = (1, 3, 1). 2.- Determinar a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinación lineal de (1, 2, 1, 2) y de (0, 1, 2, 1). 3.- Demostrar que los vectores u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (1, 0, 1), u 3 = (0, 1, 1) forman una base de (R 3, +, ), y encontrar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de dicha base. 4.- Determinar qué conjuntos son subespacios vectoriales de (R ): A = {(x, y, z) : x y + z = 0}, B = {(x, y, z) : x + 2y + z = 1}, 10
11 Grupos A y D Curso 2014/2015 C = {(x, y, z) : x y = 0, x z = 0, }, D = {(x, y, z) : x y + z = 0, y + z = 1}, E = {(x, y, z) : x = 0, y = z}, F = {(x, y, z) : x y = 0} 5.- Demostrar que el conjunto E = {(a, 0, b, a), a, b R } es un subespacio vectorial de (R 4, +, ). En caso afirmativo, hállese una base del mismos. 6.- Calcular una base, unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales: a) H 1 = (1, 0, 1), ( 1, 1, 0) b) H 2 = (1, 1, 1), ( 1, 0, 1), (0, 1, 2) c) H 3 = {(x, y, z) R 3 : x = y z d) H 4 = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x 2z = Sea P 3 [x] el Espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x de grado menor o igual que 3. Probar que si p(x) es un polinomio de grado 3, entonces es una base. { } p(x), p (x), p (x), p (x) Tómese p(x) = x 3 3x, y hállense las coordenadas de q(x) = x 3 + x 2 respecto de dicha base. 8.- Sean los conjuntos: F [x] = { } p(x) P 3 [x] : p(0) + p (0) = 0, G[x] = { } p(x) P 3 [x] : p (x) = 0. Demostrar que F [x] y G[x] son subespacios vectoriales de P 3 [x], y encontrar sendas bases para cada uno de ellos. 11
12 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 12
Problemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesAlgebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21
Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)
Más detalles(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)
Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detallesTema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.
TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesSESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES
SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre un campo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será
Más detallescomo el número real que resulta del producto matricial y se nota por:
Espacio euclídeo 2 2. ESPACIO EUCLÍDEO 2.. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:,
Más detallesCombinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291)
Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) I. Combinación Lineal Definición: Sean v 1, v 2, v 3,, v n vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier
Más detallesMATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios
Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1 MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesUniversidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión.
Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Algebra I I Relación de problemas 3. Espacios vectoriales. 1.-Estudiar si los siguientes conjuntos forman o
Más detallesTema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS
1 Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1.1 Los Números Naturales. Los números naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar
Más detallesTema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesÁlgebra Lineal VII: Independencia Lineal.
Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx
Más detallesTeoría Tema 9 Ecuaciones del plano
página 1/11 Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano Índice de contenido Determinación lineal de un plano. Ecuación vectorial y paramétrica...2 Ecuación general o implícita del plano...6 Ecuación segmentaria
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesTEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesVectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Más detallesTemario de Matemáticas
Temario de Matemáticas BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA 1 o Grado en Biología Alma Luisa Albujer Brotons Índice general 1. Matrices 1 1.1. Conceptos básicos y ejemplos...............................
Más detallesFundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 4: Diagonalización de matrices. Curso
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial Esp en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4: Diagonaliación de matrices
Más detallesTEMA 6 Ejercicios / 3
TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores
Más detallesTEMA 4: Espacios y subespacios vectoriales
TEMA 4: Espacios y subespacios vectoriales 1. Espacios vectoriales Sea K un cuerpo. Denominaremos a los elementos de K escalares. Definición 1. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto V cuyos elementos
Más detallesSistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas
Más detallesDependencia e independencia lineal
CAPíTULO 3 Dependencia e independencia lineal En este capítulo estudiaremos tres conceptos de gran importancia para el desarrollo del álgebra lineal: el concepto de conjunto generador, el concepto de conjunto
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........
Más detallesExamen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO 5 - ndalucía OPCIÓN.- [,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada
Más detallesTEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES
TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I En este tema comenzaremos el estudio de los objetos que nos interesarán en esta asignatura: los espacios vectoriales. Estos son estructuras básicas
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado
Más detallesCálculo de la matriz asociada a una transformación lineal (ejemplos)
Cálculo de la matriz asociada a una transformación lineal ejemplos Objetivos Estudiar con ejemplos cómo se calcula la matriz asociada a una transformación lineal Requisitos Transformación lineal, definición
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detalles40 Matemáticas I. Parte II. Álgebra Lineal. I.T.I. en Electricidad. Prof: José Antonio Abia Vian
40 Matemáticas I Parte II Álgebra Lineal 41 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 4 Espacios vectoriales reales 4.1 Espacios vectoriales Definición 88.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesEl Teorema Fundamental del Álgebra
El Teorema Fundamental del Álgebra 1. Repaso de polinomios Definiciones básicas Un monomio en una indeterminada x es una expresión de la forma ax n que representa el producto de un número, a, por una potencia
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesDiagonalización de matrices.
Diagonalización de matrices. 1. Diagonalización de matrices. Definición 1.1 Sea A una matriz cuadrada,, decimos que es un autovalor de A si existe un vector no nulo tal que En esta situación decimos que
Más detallesCapítulo 8: Vectores
Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no
Más detallesTema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.
Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal
Más detallesAnillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo
Capítulo 2 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo En el conjunto Z se ha visto cómo la relación ser congruente módulo m para un entero m > 1, es compatible con las operaciones suma y producto.
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesMatrices positivas y aplicaciones. María Isabel García Planas Profesora Titular de Universidad
Matrices positivas y aplicaciones María Isabel García Planas Profesora Titular de Universidad Primera edición: Septiembre 2008 Editora: la autora c M ā Isabel García Planas ISBN: 978-84-612-6101-7 Depósito
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
Más detalles3- Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos
Más detalles1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Más detallesTEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y
Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos
Más detallesEjemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
Más detalles4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES
Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-
Más detalles(L. S. I. P. I.) Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO. Espacios Vectoriales
ÁLGEBRA II (L.S.I P.I.) Guía de Trabajos Prácticos Nº ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía de Trabajjos Prácttiicos Nºº Espacios Vectoriales.- Dados los vectores u v w r = s = verifique gráficamente: u v
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detalles1. RANGO DE UNA MATRIZ
. RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Más detallesResumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo
Más detalles1. ESPACIOS VECTORIALES
1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu
Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también
Más detalleselemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;
3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detalles3.1 El espacio afín R n
3. Geometría analítica 3.1 El espacio afín R n Consideremos el conjunto R n, formado por las listas ordenadas (x 1,...,x n ) de números reales. Convengamos en llamar puntos a los elementos de R n. Pero
Más detallesTema 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Estructura del tema. Definiciones básicas Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesSubespacios Vectoriales
Subespacios Vectoriales Prof. Apuntes del Postgrado en Ingeniería 31 Mayo 2008 Subespacio Definición de Subespacio y Ejemplos. Definición Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V(K). Si
Más detalles8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES.
Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 6 8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. 8.. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL. EJEMPLO 8.. Estudiar
Más detalles1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.
CAPÍTULO El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C..... El espacio vectorial de los vectores Definición. Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio nos
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K (Q,
Más detallesTema 2 ESPACIOS VECTORIALES
Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesr j ϕ j (v i ) = r i, ϕ(v i ) = v = n a ij ϕ j(v) ϕ i (v) =
ESPACIO DUAL 1. Espacio Dual En temas anteriores dados V y V espacios vectoriales sobre k, definíamos en Hom(V, V ) una suma y un producto por elementos de k que convertían este conjunto en un espacio
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesGrupos libres. Presentaciones.
S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad
Más detallesTema 2. Aplicaciones lineales y matrices.
Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesConjunto R 3 y operaciones lineales en R 3
Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Objetivos. Definir el conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las operaciones aritméticas en
Más detalles3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.
3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.. Se considera el conjunto C = {(x, y, z R 3 : x y + z = x 3 y + z = }. Encontrar los puntos singulares de la curva C. Solución: Llamemos f (x,
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2.3
ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2. Transformaciones ortogonales (Curso 2010 2011) 1. Se considera el espacio vectorial euclídeo IR referido a una base ortonormal. Obtener la expresión
Más detallesEjemplo 1. Ejemplo introductorio
. -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo
Más detalles