Señales y Sistemas II

Transcripción

1 1 Señales y Sistemas II Módulo IV: La Teoría de Muestreo

2 Contenido de este módulo Representación discreta de señales continuas 2.- Muestreo, reconstrucción y aliasing 3.- Consideraciones prácticas sobre el muestreo 4.- Cambio del período de muestreo

3 3 1.- Representación discreta de señales continuas 2.- Muestreo, reconstrucción y aliasing 3.- Consideraciones prácticas sobre el muestreo 4.- Cambio del período de muestreo

4 Motivación 4 Será posible representar una señal continua mediante una señal discreta sin perder información? Sin perder información = la señal continua original puede ser recuperada exactamente a partir de la señal discreta

5 Motivación 5 Será posible representar una señal continua mediante una señal discreta sin perder información? Sin perder información = la señal continua original puede ser recuperada exactamente a partir de la señal discreta Pareciera que sí, pues: LA SERIE DE FOURIER ES UNA REPRESENTACIÓN DISCRETA DE UNA SEÑAL CONTINUA!!!

6 Aproximación intuitiva 6 En las próximas láminas desarrollaremos una aproximación intuitiva al teorema de muestreo, en la que veremos bajo que condiciones es posible representar una señal continua a través de sus muestras sin perder información alguna.

7 CTFS de una señal periódica 7 Consideremos una señal periódica f(x) con período 2W, cuya representación en serie de Fourier está dada por: f(x) = Σ g[n] e -j n = - 2π n x 2W donde g[n] son los coeficientes de la serie de Fourier y están dados por la fórmula de análisis: W W 1 g[n] = f(x) e 2W j 2π n x 2W dx

8 Ejemplo de señal periódica y su CTFS 8 Como ejemplo podemos proponer: g[n] = 3/2 [1 cos(2/3 π n)], si n (π n) 2 f(x) = Σ T 1 (x 3k) 1/3, si n = k = W =

9 CTFT de una señal no periódica 9 Consideremos ahora una señal continua no periódica r(y) con transformada de Fourier R(x), de modo que r(y) y R(x) están relacionadas a través de la fórmula de síntesis: r(y) = R(x) e j 2π x y dx Donde podemos proponer: R(x) = T 1 (x)

10 Versión periódica de una señal finita 1 De manera que R(x) coincide con un período de la señal f(x) previamente definida f(x) W W R(x) = f(x), si -W n W, en el resto R(x).4.2 En nuestro ejemplo W = 3/ W W

11 Señal continua y sus muestras 11 De esta forma, r(y) está relacionada con f(x) mediante la siguiente expresión: r(y) = R(x) e j 2π x y dx W W = f(x) e j 2π x y dx Y si tomamos muestras de r(y) para los valores de y = n/2w tenemos que: W W r[n] = r(n/2w) = f(x) e j 2π n x 2W dx

12 Muestras y coeficientes de la CTFS 12 Donde finalmente, comparando g[n] con r[n] = r(n/2w) W W 1 g[n] = f(x) e 2W j 2π n x 2W dx W W r[n] = r(n/2w) = f(x) e j 2π n x 2W dx se hace evidente que: 2W g[n] = r(n/2w)

13 Ejemplo de señal continua y CTFS 13 Es decir, los coeficientes g[n] corresponden a muestras de señal r(y) escalados por un factor de 2W. r(y) 2W g[n]

14 Muestreo y su efecto sobre la CTFT 14 g[n] f(x) Serie de Fourier W y = n/2w MUESTREO Replicación periódica r(y) Transformada de Fourier R(x)

15 Recuperación de la señal continua 15 g[n] f(x) Serie de Fourier W y = n/2w Recuperación de la señal original Extracción de un período r(y) Transformada de Fourier R(x)

16 Conclusión general 16 De donde podemos concluir que, debido a que existe una correspondencia única entre la señal r(y) y su transformada de Fourier R(x), y entre la señal f(x) y los coeficientes de su serie de Fourier g[n]; entonces seremos capaces de recuperrar r(y) a partir de sus muestras 2W g[n] si, y sólo si, somos capaces de obtener R(x) a partir de f(x).

17 Condición para la recuperación 17 g[n] f(x) y = n/2w Máximo contenido de frecuencia posible para r(y)!!! W r(y) R(x) W W

18 Postulado del teorema de muestreo 18 Una señal con contenido de frecuencia máximo W, puede ser muestreada con una frecuencia mayor o igual a 2W sin perder información alguna. Este teorema es el resultado de los aportes de H. Nyquist y de C. E. Shannon a las teorías de la comunicación y de la información, y es comúnmente conocido como el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.

19 Representación discreta de señales continuas 2.- Muestreo, reconstrucción y aliasing 3.- Consideraciones prácticas sobre el muestreo 4.- Cambio del período de muestreo

20 Modelo del muestreador ideal 2 El modelo matemático de un muestreador ideal, o sampler, está definido de acuerdo con el siguiente sistema: Σ δ(t n = - nt s ) Tren de impulsos f(t) Multiplicador Secuenciador f s (t) Señal continua en tiempo Tren de impulsos modulado f[n] Señal discreta en tiempo

21 El muestreo visto en el tiempo 21 De acuerdo con el modelo presentado, el proceso de muestreo puede verse en el dominio del tiempo en dos pasos: 1.- Multiplicación por un tren de impulsos: f s (t) = f(t) Σ δ(t nt s ) = f(nt s ) δ(t nt s ) n = Secuenciación: f[n] = f(nt s ). Como se puede observar, en este segundo paso la variable tiempo es normalizada por el Σ n = - valor del período de muestreo T s.

22 El muestreo visto en la frecuencia 22 Estos dos pasos pueden verse en el dominio de la frecuencia de la siguiente forma: 1.- La multiplicación de f(t) por un tren de impulsos, corresponde a la convolución de la transformada F(Ω) con otro tren de impulsos: F s (Ω) = F(Ω) Σ 1 * 1 δ(ω kω s ) = F(Ω kω s ) T s T s k = - Σ k = - Donde Ω es la frecuencia angular de tiempo continuo Ω = 2π/t y Ω s es la frecuencia angular de muestreo Ω s = 2π/T s.

23 Replicación espectral 23 En donde se hace evidente que el espectro del tren de impulsos modulado f s (t) está compuesto de infinitas réplicas escaladas del espectro de la señal original f(t): F(Ω) 1 F s (Ω) = Σ F(Ω kω s ) T s 1 k = - 1/T s F s (Ω) Ω s Ω s

24 Normalización de la frecuencia La normalización de la variable tiempo resultante del proceso de secuenciación implica una normalización de la frecuencia Ω por el factor 1/T s. Así, la frecuencia angular de tiempo discreto ω, queda definida como ω = Ω T s, y ω s = Ω s T s = 2π F s (Ω) F(e jω ) 1/T s 1/T s Ω s Ω s 2π 2π

25 Conversión a tiempo continuo 25 El modelo de un conversor de tiempo discreto a tiempo continuo está definido de acuerdo con el siguiente sistema: Σ δ(t n = - nt p ) Tren de impulsos f[n] Secuenciador f s (t) Filtro f(t) Señal discreta en tiempo Tren de impulsos modulado Señal continua en tiempo

26 Conversión vista en el tiempo 26 De acuerdo con el modelo presentado, el proceso de conversión a tiempo continuo se realiza mediante dos procesos: 1.- Secuenciación. Mediante la cual la secuencia discreta f[n] es convertida en un tren de impulsos modulado. En este proceso la variable tiempo es escalada por un factor T p. f s (t) = Σ f[n] δ(t nt p ) n = Filtrado. Mediante el cual la señal continua en tiempo f(t) es obtenida a partir del tren de impulsos f s (t): f(t) = h(t) f s (t). *

27 Filtro de reconstrucción ideal 27 Aunque muchos filtros pueden ser usados para obtener una señal continua a partir del tren de impulsos f s (t), existe un filtro óptimo que se conoce como filtro de reconstrucción ideal. Su respuesta impulsiva está dada por: h ideal (t) = sin(πt/t p ) πt/t p Y su respuesta en frecuencia está dada por: H ideal (Ω) = T p, si Ω < π/t p, en el resto

28 Reconstrucción ideal 28 El filtro de reconstrucción ideal h ideal (t) permite recuperar una señal continua f(t) a partir de sus muestras f[n] si se cumplen las dos condiciones siguientes: El período de muestreo original T s y el período de reconstrucción T p son iguales. El período de muestreo original T s satisface la condición del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon: 1/T s 2 f máxima

29 Conversión vista en la frecuencia 29 La conversión a tiempo continuo puede verse en la frecuencia así: 1.- El escalamiento de la variable tiempo por el factor T p implica un escalamiento de la frecuencia angular de tiempo discreto ω por el factor 1/T p. Así, Ω = ω/t p, y Ω p = 2π/T p. F(e jω ) F s (Ω) 1/T s 1/T s 2π 2π Ω p Ω p

30 Filtrado visto en la frecuencia El filtrado corresponde a la multiplicación de los espectros del filtro de reconstrucción y del tren de impulsos modulado. De forma que F(Ω) = H ideal (Ω)F s (Ω). H ideal (Ω) F s (Ω) F(Ω) 1/T s T p /T s T p Ω p Ω p

31 Solapamiento espectral ó aliasing 31 Cuando una señal continua f(t) es muestreada con frecuencias por debajo del doble de su frecuencia máxima, entonces las copias resultantes de su espectro F(Ω kω s ) se solapan y su espectro original F(Ω ) se hace irrecuperable. F(Ω) 1 Ω s < 2Ω máxima 1/T s F s (Ω) X -3Ωs -2Ω s -Ω s Ω s 2Ω s 3Ω s Ω máxima

32 Representación discreta de señales continuas 2.- Muestreo, reconstrucción y aliasing 3.- Consideraciones prácticas sobre el muestreo 4.- Cambio del período de muestreo

33 Aproximación práctica al muestreo 33 Los modelos matemáticos estudiados en la sección anterior no son realizables en la práctica por dos razones principales: 1.- No es posible construir un tren de impulsos 2.- No es posible construir filtros de reconstrucción ideal Adicionalmente, en la práctica, además del muestreo se llevan a cabo procesos de discretización en amplitud y codificación con el objeto de obtener representaciones digitales para las señales muestreadas.

34 Pasos para la conversión A/D 34 En la práctica, la conversión de una señal analógica a digital se realiza mediante los siguientes pasos*: Señal analógica Señal pseudo-discreta en tiempo Señal digital Filtrado Muestreo Cuantificación Codificación antialiasing y retención 2 4 Señal analógica con contenido en frecuencia limitado Señal discreta en tiempo y amplitud * El estudio detallado de estos procesos no es objeto de este curso

35 Filtrado antialiasing 35 El filtrado antialiasing se usa para garantizar que no habrá aliasing una vez muestreada la señal continua. Este proceso consiste en la utilización de un filtro que limita el contenido de frecuencia de la señal que se va a digitalizar. Espectro sin filtrar Filtro Espectro filtrado f máxima

36 Muestreo y retención 36 El proceso de muestreo y retención se utiliza para fijar el valor de la señal continua por intervalos de duración igual al período de muestreo T s para dar tiempo al cuantificador a discretizar el valor de la amplitud. Señal continua amplitud retenida Señal con muestreo y retención

37 Cuantificación 37 La cuantificación es un proceso mediante el cual a cada muestra de la señal se le asigna el valor más cercano de un conjunto finito de valores posibles predefinidos. Niveles de cuantificación Valor cuantificado... Valor de amplitud de una muestra

38 Error de cuantificación 38 El proceso de cuantificación es irreversible, en el sentido de que la información que se pierde en este proceso es irrecuperable. A la diferencia entre la señal original y los valores que resultan de este proceso se le llama error de cuantificación. Señal cuantificada Error de cuantificación

39 Codificación 39 La codificación consiste en asignar un código a cada valor de amplitud cuantificado. La señal resultante de este proceso es una señal digital. Existen muchos tipos de códigos. Un ejemplo muy común es el formato binario sin signo para números enteros: N a... N a 2 a 1 a = Σ a i 2 i, con a i = {, 1 } i =

40 Pasos para la conversión D/A 4 La conversión de una señal digital a analógica se realiza mediante los siguientes pasos*: Señal digital Señal analógica Decodificación Reescalamiento Sincronización y retención Filtrado de reconstrucción Donde cada uno de estos sistemas revierte, en la medida de lo posible, los procesos realizados durante la conversión A/D * El estudio detallado de estos procesos no es objeto de este curso

41 Escogencia de la frecuencia de muestreo 41 Finalmente es importante destacar que en la práctica siempre se usan frecuencias de muestreo mayores a la establecida por en el teorema de muestreo: f s > 2 f máxima Filtro real Esto se debe al hecho de que los filtros reales siempre tienen una banda de transición que es necesario tomar en cuenta para la reconstrucción. Banda de transición

42 Representación discreta de señales continuas 2.- Muestreo, reconstrucción y aliasing 3.- Consideraciones prácticas sobre el muestreo 4.- Cambio del período de muestreo

43 Cambio del período de muestreo 43 Hay veces en las que se hace necesario cambiar el período de muestreo de una señal discreta. Una forma de lograr este objetivo es: Señal discreta con Ts = T 1 Conversión D/C Señal continua en tiempo Conversión C/D Señal discreta con Ts = T 2 Sin embargo esta operación puede realizarse completamente en el dominio discreto!!!

44 Submuestreo por un factor entero 44 El proceso de submuestreo (downsampling) se realiza a través del siguiente sistema, denominado compresor discreto: x[n] M x C [n] = x[nm] Donde M se denomina el factor de compresión Las DTFT de x[n] y x C [n] se relacionan de la siguiente forma: M 1 X C (e jω 1 ) = X(e j(ω 2πm)/M ) M Σm =

45 Ejemplo de submuestreo 45 En este ejemplo se ilustra el proceso de submuestreo con M = 2 para una señal con ω max = π/3 x[n] A X(e jω ) π / π π π 2π x[2n] X C (e jω ) A/2 2π / π π π 2π

46 Peligro de aliasing 46 En este ejemplo se ilustra el proceso de submuestreo con M = 2 para una señal con ω max = π/3 x[n] x[2n] A ATENCIÓN!!! Si Mω max >π entonces habrá ALIASING π /3 2π π π 2π X(e jω ) X C (e jω ) A/2 2π / π π π 2π

47 Decimador discreto 47 Para evitar el aliasing se aplica un filtro antes de submuestrear, este proceso combinado de filtrado y compresión se conoce como decimación. DECIMADOR x[n] F d x d [n] M x d [nm] Donde la respuesta del filtro es: F d (e jω ) = 1, ω 2πk < π/m, en el resto

48 Sobremuestreo por un factor entero 48 El proceso de sobremuestreo (upsampling) se realiza a través del siguiente sistema, denominado expansor discreto: x[n] L x E [n] = x[n/l], n=kl, en el resto Donde L se denomina el factor de expansión Las DTFT de x[n] y x E [n] se relacionan de la siguiente forma: X E (e jω ) = X(e jωl )

49 Ejemplo de sobremuestreo 49 En este ejemplo se ilustra el proceso de sobremuestreo con L = 2 para una señal con ω max = 2π/3 x[n] X(e jω ) B 2π / π π π 2π x E [n] X E (e jω ) B π / π π π 2π

50 Interpolador discreto 5 Para completar los valores de una señal expandida se aplica un filtro después de sobremuestrear, este proceso combinado de expansión y filtrado se conoce como interpolación. INTERPOLADOR x[n] L x E [n] F I x I [n] Donde la respuesta del filtro es: F I (e jω ) = L, ω 2πk < π/l, en el resto

51 Ejemplo de filtro interpolador 51 En este ejemplo se muestra el filtrado de interpolación con L=2 F I (e jω ) x E [n] 2 X E (e jω ) B π π π 2π π /2 x I [n] 2B X I (e jω ) π π π 2π

52 Remuestreo por un factor no entero 52 El proceso de remuestreo (resampling) por un factor no entero se realiza mediante la conexión en cascada de un interpolador y un decimador: INTERPOLADOR DECIMADOR x[n] L F I x I [n] F d M x Id [n] Período de muestreo original: T Período de muestreo intermedio: T/L Período de muestreo final: TM/L

53 53 Fin del Módulo IV La Teoría de Muestreo