Teoría de Sistemas y Señales

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Ángeles Lagos Cáceres
hace 7 años
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1 Teoría de Sitema y Señale Señale en Tiempo Dicreto Teorema de Muetreo Autor: Dr. Juan Carlo Gómez Señale en Tiempo Continuo: etán definida en un intervalo continuo de tiempo. Señale en tiempo dicreto: etán definida ólo en valore dicreto de tiempo. Lo intante de tiempo no neceariamente etán equiepaciado. La eñale en Tiempo Dicreto (TD) aparecen cuando e muetrea una eñal analógica, e decir, cuando e toman muetra de la eñal a intante dicreto de tiempo. TeSyS J. C. Gómez 2

2 x a (t) Señal Analógica x a (t) F = T Muetreador Ideal x(n) x(n) = x a (nt) Señal en TD 0 t F : frecuencia de muetreo [Hz] T = : período de muetreo [eg] F n 0 T2T3T... t=nt TeSyS J. C. Gómez 3 Conideraremo muetreo periódico o uniforme intervalo entre muetra uceiva contante. La variable t y n etán relacionada de acuerdo a: t = nt = Como conecuencia, la frecuencia F (o Ω) de una eñal periódica en TC, etará relacionada con la frecuencia f (o ω) de la correpondiente eñal muetreada. F n TeSyS J. C. Gómez 4

3 Conideremo x a (t) = A co (2πFt+θ) Muetreo F = T x(n) = x a (nt) = A co(2πfnt+θ) = Ω =A co( 2π θ) F nf + = A co(2πfn+θ) = ω por lo que: f = F F ω = Ω = ΩT F frecuencia normalizada o relativa TeSyS J. C. Gómez 5 En contrate con la eñale enoidale en TC, la eñale enoidale en TD verifican:. Una eñal enoidal en TD e periódica i y ólo i u frecuencia f e un número racional. Por definición x(n) e periódica i y ólo i N ( N>0 ) tal que: x(n + N) = x(n) n El menor valor de N que verifica eta propiedad e denomina período fundamental. Para el cao de una onda enoidal, tendríamo: co(2πf (N+n) + θ ) = co(2πf n + θ ) n que e verifica i y ólo i: 2πf N = 2π k con k entero c f = k N f e racional TeSyS J. C. Gómez 6

4 Para determinar el período fundamental N de una enoide dicreta, expreamo f como el cociente de do número entero primo relativo. Entonce el período N e el denominador de eta expreión. f 30 = = 60 2 próxima a N muy ditinta = 2 N = Señale inuoidale en TD cuya frecuencia etán eparada un múltiplo entero de 2π on idéntica. co[ (ω + 2π)n + θ ] = co[ ωn + 2πn + θ ] = co[ ωn + θ ] Como conecuencia toda la ecuencia de inuoide x k (n) = A co(ω k n+ θ ) donde: ω k = ω + 2πk on inditinguible (idéntica). f = TeSyS J. C. Gómez 7 π ω π En particular, una inuoide con frecuencia en el rango ω > π erá equivalente a una inuoide en el rango ω π ( f 0.5) y e la denomina un alia de la inuoide en el rango ω π. El rango fundamental de frecuencia de eñale en TD e entonce: -π ω π -0.5 f 0.5 Mientra que para eñale en TC e: - Ω - F rango de frecuencia de eñale en TC TeSyS J. C. Gómez 8

5 3.La máxima frecuencia de ocilación de una enoide en TD e ω = π (o f = 0.5 ) Coniderando que: f = F F y que f max =0.5, reulta que la máxima frecuencia F max de la eñal en TC que puede muetreare con una frecuencia F in que e produzca aliaing e: Fmax F f max = = F 2 F max = 2 En otra palabra, para evitar que e produzca aliaing y de ea forma poder recontruir una eñal a partir de la muetra debemo eleccionar: F > 2 F max donde F max e la máxima frecuencia contenida en la eñal analógica. TeSyS J. C. Gómez 9 Teorema de Muetreo: Si la frecuencia má alta contenida en una eñal analógica x a (t) e F max = B y la eñal e muetreada con una frecuencia F S > 2 F max = 2B, entonce x a (t) puede er exactamente recuperada a partir de la muetra como: x )g(t ) F n F n a (t) = x a ( n= donde x a ( ) x a (nt) x(n) F n = = on la muetra de x a (t) y g(t) e la función de interpolación definida como: g(t) = in( 2π Bt) 2π Bt TeSyS J. C. Gómez 0

6 Interpolación Ideal Teorema de Muetreo A F N = 2B e la denomina Taa de Muetreo de Nyquit TeSyS J. C. Gómez Ejemplo: Determinar la taa de muetreo de Nyquit x a (t) = 3 co(50πt) + 0 in (300πt) - co(00πt) Solución: F = 25 Hz F 2 = 50 Hz F 3 = 50 Hz Veamo que F max = 50Hz F N = 300 Hz Sin embargo, i muetreamo con F = F N, la muetra de la componente 0 in(300 πt) reultan 0 in(πn) que on idénticamente nula y obviamente no puede recuperare la eñal a partir de la muetra!! TeSyS J. C. Gómez 2

7 Ejemplo: Supongamo que e deea generar y graficar la eñale en tiempo continuo x (t) y x 2 (t) definida como x x 2 ( t) = co(2π 50t) ( t) = co(2π 550t) y la correpondiente eñale en tiempo dicreto que e obtienen muetreandola con una frecuencia F =500 Hz. Notar que la do eñale tienen aociada la mima eñal muetreada 2π 50n x ( n) = co( ) 500 2π 550n x2( n) = co( ) = co 2πn x 2 (n) e un alia de x (n). 2π 50n 500 ( n) TeSyS J. C. Gómez 3 = x Señale x(t), x2(t) y muetreada Tiempo [] TeSyS J. C. Gómez 4

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