Análisis de Datos en Física de Partículas

Transcripción

1 Análisis de Datos en Física de Partículas Sección de Posgrado Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Ingeniería C. Javier Solano S. Página del curso: curso-analisis-estadistico-de-datos-en-fisica-de-particulas-mf708/ J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 1

2 Análisis de Datos en Física de Partículas: Temas por Capítulo 1 Teorema de Probabilidad de Bayes, Variables aleatorias, y pdfs 2 Funciones de r.v.s, Valores de expectación, propagación de errores 3 Catálogo de pdfs 4 El método de Monte Carlo 5 Test estadísticos: conceptos generales 6 Test statistics, métodos multivariantes 7 Tests Bondad de ajuste (goodness-of-fit) 8 Parámetros de estimación, maximum likelihood 9 Mas de maximum likelihood 10 Método de mínimos cuadrados (least squares) 11 Intervalo de estimación, establecimiento de límites 12 Parámetros molestos (nuisance), incertidumbres sistemáticas 13 Ejemplos de aproximación Bayesiana J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 2

3 Algunos libros de Estadística, artículos, etc. G. Cowan, Statistical Data Analysis, Clarendon, Oxford, 1998 ver también R.J. Barlow, Statistics: A Guide to the Use of Statistical Methods in the Physical Sciences, Wiley, 1989 ver también hepwww.ph.man.ac.uk/~roger/book.html L. Lyons, Statistics for Nuclear and Particle Physics, CUP, 1986 F. James., Statistical and Computational Methods in Experimental Physics, 2nd ed., World Scientific, 2006 S. Brandt, Statistical and Computational Methods in Data Analysis, Springer, New York, 1998 (CD c/libreria de programas) C. Amsler et al. (Particle Data Group), Review of Particle Physics, Physics Letters B667 (2008) 1; ver también pdg.lbl.gov secciones de probabilidad estadística, Monte Carlo J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 3

4 Análisis de Datos en Física de Partículas Observar eventos de un cierto tipo Medir características de cada evento (momenta de partículas, número de muons, energía de jets,...) Teorías (ej. SM) predicen distribuciones de estas propiedades usando parámetros libres, e.g., α, G F, M Z, α s, m H,... Algunas de las tareas de análisis de datos: - Estimar (medir) los parámetros; - Cuantificar la incertidumbre de las estimación de los parámetros; - Probar hasta donde las predicciones de una teoría están de acuerdo con los datos. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 4

5 Trabajando con incertidumbre En Física de Partículas hay varios elementos de incertidumbre: Teoría no es determinista Mecánica Cuántica errores aleatorios de medición presentes aún sin efectos cuánticos cosas que en principio podríamos conocer, pero no.. ejs. de limitaciones de costo, tiempo,... Podemos cuantificar la incertidumbre usando PROBABILIDAD J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 5

6 Una definición de probabilidad Considerar conjunto S con subconjuntos A, B,... Axiomas de Kolmogorov (1933) A partir de esos axiomas podemos derivar otras propiedades, ej. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 6

7 Probabilidad Condicional, independencia Definir también probabilidad condicional de A dado B (con P (B) 0): Ej: tirar dados: Subconjuntos A, B independendientes si: Si A, B independendientes, Nota: no confundir con subconjuntos disjuntos, i.e., J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 7

8 Interpretación de probabilidad I. Frecuencia relativa A, B,... son los resultados de un experimento repetible cf. mecánica cuántica, scattering de partículas, decaimiento radiactivo... II. Probabilidad subjectiva A, B,... son hipótesis (declaraciones que son verdaderas o falsas) Ambas interpretaciones consistentes con axiomas de Kolmogorov En Física de Partículas, la interpretación frecuentista a menudo más útil, pero la probabilidad subjetiva puede proporcionar un tratamiento más natural de fenómenos no repetibles: incertidumbre sistemática, probabilidad que partículas SUSY existan,... J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 8

9 Teorema de Bayes De la definición de probabilidad condicional tenemos, and pero, entonces Teorema de Bayes primero publicado (posthumously) por el Reverendo Thomas Bayes ( ) An essay towards solving a problem in the doctrine of chances, Philos. Trans. R. Soc. 53 (1763) 370; reimpreso en Biometrika, 45 (1958) 293. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 9

10 Ley de probabilidad total B Considerar un subconjunto B del espacio muestra S, S Dividir en subconjuntos disjuntos A i tal que i A i = S, A i B A i Ley de probabilidad total El teorema de Bayes se convierte en J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 10

11 Un ejemplo usando el teorema de Bayes Suponer la probabilidad (para cualquiera) de tener AIDS (SIDA) es: Considerar un test de AIDS: resultado es + o probabilidad a priori, i.e., antes de realizar cualquier test probabilidades de (in)correctamente identificar una persona infectada probabilidades de (in)correctamente identificar una persona no infectada Suponga que tu resultado es +. Que tan preocupado deberías estar? J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 11

12 Un ejemplo usando el teorema de Bayes (cont.) La probabilidad de tener AIDS dado un resultado + es Osea que probablemente estas OK! probabilidad posterior Tu punto de vista: mi grado de creencia que tengo AIDS es de 3,2% El punto de vista de tu doctor: 3,2% de las personas como el tendrá el AIDS J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 12

13 Estadística frecuentista filosofía general En estadísticas frequentistas, probabilidades se asocian sólo con los datos, es decir, resultados de observaciones repetibles (abreviatura: ). Probabilidad = frequencia límite Probabilidades tal como P (boson de Higgs existe), P (0.117 < α s < 0.121), etc. son 0 o 1, pero no sabemos cual. Las herramientas de la estadística frecuentista nos dicen qué esperar, bajo la suposición de ciertas probabilidades, sobre hipotéticas observaciones repetidas. Las teorías preferidas (modelos, hipótesis,...) son aquellas en las que nuestras observaciones se considerarían 'normales'. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 13

14 Estadística Bayesiana filosofía general En estadística Bayesiana, se usa la probabilidad subjetiva para las hipótesis: Probabilidad de los datos asumiendo hipótesis H (el likelihood/probabilidad) probabilidad a priori, i.e., antes de ver los datos Probabilidad a posteriori, i.e., despues de ver los datos normalización envuelve suma sobre todas las hipótesis posibles Teorema de Bayes tiene un caracter de si-entonces : Si tu probabilidad a priori fuera π(h), entonces te dice como esa probabilidad cambiará a la luz de los datos. Ninguna prescripción general para los prioris (subjectivo!) J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 14

15 Variables aleatorias y funciones de densidad de probabilidad Una variable aleatoria es una característica numérica asignada a un elemento del espacio de muestra; puede ser discreta o continua. Supongamos que el resultado del experimento es el valor continuo x f(x) = función de densidad de probabilidad (pdf) x debe estar en alguna parte O para resultados discretos x i con e.g. i = 1, 2,... tenemos función de probabilidad x debe tomar uno de sus posibles valores J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 15

16 Función de distribución acumulativa Probabilidad de tener un resultado menor o igual a x es función de distribución acumulativa Alternativamente definir pdf con J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 16

17 Histogramas pdf = histograma con muestra infinita de datos, bin de ancho cero, normalizada a área unidad J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 17

18 Distribuciones multivariantes Resultado de un experimento caracterizado por varios valores, por ej. un vector de n-componentes, (x 1,... x n ) pdf conjunta Normalización: J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 18

19 pdf marginal A veces sólo queremos pdf de algunos (o uno) de los componentes: i pdf marginal x 1, x 2 independiente si J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 19

20 pdf marginal pdf (2) pdf marginal ~ proyección de pdf conjunta en distintos ejes. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 20

21 pdf conditional A veces queremos considerar algunos componentes de la pdf conjunta como constante. Recordemos probabilidad condicional: pdfs conditionales: Teorema de Bayes se convierte en: Recordar A, B independientes si x, y independientes si J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 21

22 pdfs conditional (2) Por ej. pdf conjunta f(x,y) usada para encontrar pdfs condicionales h(y x 1 ), h(y x 2 ): Básicamente tratar algunos de las r.v.s como constante, entonces dividir la pdf conjunta por la pdf marginal de esas variables que se mantienen constantes, para que lo que quedó tenga la normalización correcta, por ej. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 22

23 Terminando Capítulo 1 Hasta ahora hemos hablado de algunas de las propiedades abstractas de la probabilidad: definición e interpretación, teorema de Bayes,... Y hemos definido las variables aleatorias (etiquetas numéricas para el resultado de un experimento), los cuales se describen utilizando funciones de densidad de probabilidad. Siguiente: Funciones de variables aleatorias, valores esperados. J. Solano Clases de Análisis de Datos en Física de Partículas Capítulo 1 página 23